UFBA - Departamento de Matem´atica Prova 1 - MAT507
Professor: Henrique Barbosa da Costa Nome:
Data: 04/12/2019
Quest˜oes Notas Quest˜oes Notas
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2 6
3 7
4 8
5 10
Quest˜ao 1 Seja (X, τ) um espa¸co topol´ogico. Mostre que a fam´ılia F dos fechados de X satisfazem as propriedades:
(F1) X ∈ F e ∅ ∈ F.
(F2) Se A, B ∈ F, ent˜aoA∪B ∈ F.
(F3) Se Γ⊂ F, ent˜ao ∩γ∈ΓFγ ∈ F.
Suponha agora que X ´e um conjunto eF ⊂ P(X) tem as propriedades (F1)−(F3). Prove que existe uma ´unica topologiaτ em X tal que F ´e a fam´ılia de fechados em (X, τ).
Quest˜ao 2 Seja X um conjunto ordenado com a topologia gerada por esta ordem. Um subconjunto Y de X ´e dito convexo se dadosa < b em Y, o intervalo (a, b) de X est´a contido em Y. Mostre que a topologia da ordem em Y coincide com a topologia que Y herda como subespa¸co de X.
Quest˜ao 3 Sejam X, Y dois espa¸cos topol´ogicos e Fi, i = 1, . . . , n, subconjuntos fechados tais que X = ∪ni=1Fi. Se f: X → Y ´e uma fun¸c˜ao tal que fi = f|Fi ´e cont´ınua, para cada i = 1, . . . , n, mostre que f ´e cont´ınua. Dˆe um exemplo que mostre que a hip´otese de cada Fi ser fechado ´e necess´aria.
Quest˜ao 4 Seja (X, ρ) um espa¸co m´etrico.
(a) Mostre que as m´etricas
ρ1(x, y) = min{1, ρ(x, y)} eρ2(x, y) = ρ(x, y)/(1 +ρ(x, y)),
s˜ao m´etricas limitadas equivalentes `a ρ.
(b) Mostre que seX ´e compacto, ent˜ao toda m´etrica em X ´e limitada.
(c) Respectivamente, mostre que se toda m´etrica que gera a topologia deX ´e limitada, ent˜ao X ´e compacto.
Quest˜ao 5 Seja X um compacto de Hausdorff infinito. Mostre que existem sequˆencias de pontos (xn)n∈N e de abertos dois a dois disjuntos (Un)n∈N tais que xn∈Un, para todo n.
Quest˜ao 6 Dˆe um exemplo de um espa¸co T31
2 (Tychonoff) que n˜ao ´eT4.
Quest˜ao 7 Seja X um espa¸co topol´ogico T4. Mostre que existe uma fun¸c˜ao f: X → [0,1]
que satisfaz f(x) = 0, para todo x∈A, e f(x)>0, para todox6∈A, se, e somente se,A´e um fechadoGδ deX.
Quest˜ao 8 Mostre queRadmite compactifica¸c˜oesK1eK2 tais que|K1\R|= 1 e|K2\R|= 2.
Mostre que nem K1 nem K2 s˜ao homeomorfas `a compactifica¸c˜ao de Stone-Cech, βR.
Quest˜ao 9 Dizemos que uma fun¸c˜aof: X →Y ´econexa se ela leva conexos deX em conexos deY. Exiba uma fun¸c˜ao entre espa¸cos topol´ogicos que ´e conexa mas n˜ao ´e cont´ınua.
Quest˜ao 10 Mostre que o espa¸co das sequˆencias limitadas em R, isto ´e, l∞(R) ={(xn)n∈N : sup|xn|<∞}, ´e um espa¸co m´etrico, com a m´etrica do supremo d((xn),(yn)) = sup|xn−yn|, que n˜ao ´e separ´avel.
