MODELO DE OTIMIZAÇÃO ESTOCÁSTICA DOIS
ESTÁGIOS PARA O PLANEJAMENTO
ESTRATÉGICO DA CADEIA AGRÍCOLA DE
BIODIESEL
Pedro Senna Vieira (Cefet/RJ )
pedro.sennavieira@gmail.com.br
O Programa Nacional de Uso e Produção de Biodiesel destaca a produção de biodiesel a partir da mamona como alternativa energética não poluente e como gerador de empregos em regiões carentes. Todavia um empecilho à produção deste biodiesel advém da precariedade da produção da mamona, baseada em agricultores familiares pouco estruturados e com condições logísticas ruins. Assim, este trabalho visa a contribuir à resolução deste problema, procurando otimizar o planejamento estratégico desta cadeia de suprimentos de biodiesel em particular. O objetivo é minimizar os custos totais de transporte e de armazenagem de grãos dos produtores agrícolas às usinas de esmagamento. Uma importante peculiaridade deste problema é a incerteza da produção, que afeta o projeto da cadeia. Desta forma, foi proposto um Modelo de Programação Linear Inteira-Mista (PLIM) Estocástico, com formulação dois estágios Cabe ressaltar que este modelo foi testado em um caso real no semiárido brasileiro. Como resultado, são apresentadas as alocações de fluxos e entrepostos de custo mínimo para ambos os modelos. Por fim, são apresentados os resultados e indicadores de qualidade da solução encontrada.
2
1. Introdução
O biodiesel pode substituir total ou parcialmente o óleo diesel de petróleo em motores automotivos. Sua utilização possibilita a economia de divisas com a importação de petróleo e óleo diesel, além de gerar empregos em áreas geográficas menos atraentes para outras atividades econômicas, e assim, promover inclusão social (FERREIRA; BORENSTEIN, 2007).
O mercado de biodiesel tem crescido de forma significativa nos últimos anos, na medida em que este combustível vem se tornando uma importante alternativa ao petróleo. Lançado em 2004, o Programa Nacional de Uso e Produção de Biodiesel (PNPB) visa a promover o desenvolvimento regional em áreas carentes por meio da inclusão de agricultores familiares na cadeia produtiva (PNPB, 2013). Neste programa, destaca-se a produção de biodiesel a partir da mamona fornecida por pequenos produtores agrícolas da região nordeste.
Neste trabalho é proposto um modelo de otimização para apoiar o planejamento estratégico da cadeia produtiva de biodiesel produzido através da mamona. Mais especificamente, o presente trabalho visa a propor um modelo de localização de entrepostos e alocar fluxos de forma a minimizar o custo total da rede logística.
O modelo de Programação Linear Inteira-Mista (PLIM) aplicado em um caso real serve de base para a tomada de decisões estratégicas no que diz respeito ao projeto desta rede logística. Ao longo do trabalho percebeu-se que havia uma grande incerteza com relação às safras de mamona. Tal incerteza pode ser considerada o principal objeto de estudo e é tratada utilizando um PLIM estocástico dois estágios.
2. Revisão de literatura
2.1. Biodiesel a partir da mamona
A relevância do biodiesel vem sendo destacada na literatura devido à sua importância, quer seja econômica ou ambiental. O biodiesel é originário de uma fonte renovável, é biodegradável e não tóxico, além disso, em termos de emissões gasosas, possui melhor desempenho que os derivados de petróleo (ZHANG et al., 2003).
3 O fato da produção de oleaginosas ser em grande parte baseada em agricultura familiar gera dificuldades que a pesquisa operacional pode, em grande parte, contribuir, fornecendo uma solução que diminua os custos da operação.
Comercialmente, o óleo de mamona possui aplicações industriais e medicinais. Da industrialização da mamona, extraem-se o óleo (seu principal produto) e o subproduto nomeado torta (ALVES et al., 2004). A torta de mamona, produzida durante a extração do óleo, é um importante subproduto da cadeia produtiva da mamona. Seu uso predominante é como adubo orgânico, já que se trata de uma rica fonte de nitrogênio. (EMBRAPA, 2007). A mamoneira é tida como tolerante à seca. Há referências de bons rendimentos com chuvas de 375 a 500 mm anuais, no entanto, tanto a ausência como o excesso de chuvas no período da floração, podem reduzir a produtividade da planta (WEISS, 1983). Ela produz economicamente em áreas onde a precipitação pluvial mínima até o inicio da floração seja em torno de 400 mm (SOUZA; TÁVORA, 2006). A consideração sobre as chuvas é determinante para o trabalho, pois, o regime pluviométrico é um dos fatores principais de variação na produção total de mamona.
2.2. Otimização estocástica dois estágios
O modelo de programação estocástica mais aplicado e estudado é o de programação linear de dois estágios (SHAPIRO; PHILPOTT, 2007).
O modelo de dois estágios, como o próprio nome sugere, divide as variáveis de em dois estágios distintos de decisão (RIBAS, 2008). As variáveis de primeiro estágio devem ser decididas antes da realização de incertezas. As variáveis de segundo estágio são utilizadas como medidas de correção contra qualquer inviabilidade que tenha surgido após a realização de incertezas. O modelo de programação estocástica de dois estágios pode ser formulado como: (1) Min Z(x) [ ( , ) ] . . b 0 x X T C x E Q x S A Ax x
4 Onde Q x ( , ) é o valor ótimo do problema de segundo estágio.
(2)
Onde n
xR é o vetor das variáveis de decisão de primeiro estágio. n
CR , bRm e ARmxn, são dados associados ao problema de primeiro estágio, yRm é o vetor das variáveis de decisão de
segundo estágio e ( , ,q T W h, ) contém os dados para o problema de segundo estágio que podem ser variáveis aleatórias com distribuições de probabilidade conhecidas. No primeiro estágio são tomadas decisões do tipo aqui e agora, com base na informação que se possui hoje. Essas decisões correspondem ao vetor x. No segundo estágio, quando as informações já estão disponíveis são tomadas decisões sobre os valores do vetor y. No primeiro estágio efetua-se a minimização do custo de cTx mais o valor esperado do problema de segundo estágio. As decisões tomadas no problema de segundo estágio consistem em uma “correção de rumo”, em uma correção das decisões tomadas antes da incerteza ser revelada. As restrições que garantem que as decisões de primeiro estágio dependam apenas da informação disponível até aquele momento são chamadas de restrições de não-antecipatividade.
2.3. Medidas de comparação entre modelos determinísticos e estocásticos
Em geral, o modelo estocástico apresenta uma complexidade que torna difícil sua resolução. Ribas (2008) afirma que é comum optar pela solução de um modelo determinístico usando a média das variáveis aleatórias ou resolvendo um problema determinístico para cada cenário. No entanto, dois indicadores foram apresentados em Birge e Louveaux (1997), são eles, o Valor da Solução Estocástica (VSS – Value of Stochastic Solution) e Valor Esperado da Informação Perfeita (EVPI – Expected Value of Perfect Information).
Ribas (2008) define o EVPI como o indicador que mede o máximo valor que um tomador de decisão estaria disposto a pagar para obter a informação perfeita, isto é, o preço a pagar para conhecer as realizações futuras. Para cada cenário, é possível calcular a solução conhecida como espere - e - veja (Wait –and - See, WS). A solução chamada WS corresponde ao valor ótimo do problema quando as realizações futuras são conhecidas, ou seja, o tomador decisão
Min . . 0 T x X q y S A Wy h Tx y
5 pode aguardar e avaliar o futuro antes de decidir. O problema de recurso (Recourse Problem, RP) corresponde ao problema de dois estágios, onde a decisão deve ser tomada “aqui-e-agora”. Assim, o indicador EVPI é definido como a diferença entre as soluções WS e RP, sendo então, EVPI = |WS - RP|.
Outro indicador de qualidade da solução é o valor da solução estocástica (Value of Stochastic
Solution – VSS). Neste caso calcula-se a solução do problema determinístico associado à
média das variáveis aleatórias para comparar com a solução estocástica. Então, define-se o EV (Expected Value), como o problema que é obtido ao se substituir as variáveis aleatórias pelo valor esperado das mesmas (Birge e Louveaux, 1997). O EEV (Expected result of using
the expected value solution) mede como funciona a solução do problema EV no problema
original com incerteza. O valor VSS, então, é definido como: VSS = |EEV – RP|. O VSS pode ser interpretado como o benefício esperado por se considerar a incerteza, ou a perda esperada por se optar pela modelagem determinística.
3. Descrição do problema
O problema consiste no planejamento estratégico da cadeia de suprimentos de biodiesel produzido a partir da mamona que é comprada por uma empresa de grande porte produtora de biocombustíveis. Para que tal operação seja viável economicamente, é necessário que haja uma busca constante pela redução de custos. Com vias de reduzir estes custos, faz-se necessário um desenho eficiente da rede logística. Uma solução possível para reduzir tais custos é o posicionamento de entrepostos que consolidam as produções para possibilitar que caminhões maiores façam as entregas na usina esmagadora, evitando, desta forma, que muitos caminhões não consolidados sejam utilizados, o que gera desperdício de capacidade de transporte e aumento do custo logístico total. Tais entrepostos podem ser bases fixas, instalações mais caras e maiores ou pontos de compra, que são instalações menores e mais baratas.
4. Modelo matemático
O modelo matemático desenvolvido para dar suporte ao processo de tomada de decisão é baseado em um PLIM estocástico dois estágios. O problema considerado pode ser classificado como um problema de localização e alocação de fluxos onde grafos orientados são utilizados para representa-lo. Os nós do grafo representam municípios produtores, municípios
6 candidatos a entrepostos e usinas. A rede logística deste problema possui dois conjuntos de arcos que são os fluxos primários (dos produtores aos entrepostos) e os fluxos secundários (dos entrepostos à usina).
Tal modelo possui como objetivo minimizar os custos de transporte, de carregamento da mamona e de instalação dos entrepostos. A composição destes custos forma a função objetivo do problema. São objetos de decisão do modelo a localização e o tipo de entreposto a ser instalado, montantes de fluxos entre os municípios produtores, os entrepostos e os montantes de fluxos entre os entrepostos instalados e as usinas de esmagamento. No modelo dois estágios criado é decidido o posicionamento de instalações no primeiro estágio (que coincide com o período de tempo 0) e no segundo estágio (1º e 2º períodos) são tomadas decisões relativas a alocação de fluxos. Neste modelo as decisões tomadas quanto ao posicionamento de instalações não podem ser modificadas.
O processo decisório associado ao modelo dois estágios é representado pela Figura 1:
7 No modelo dois estágios o primeiro estágio (t = 0) corresponde ao posicionamento das instalações que serão utilizadas em t = 1 e t = 2, ou seja, as decisões de instalações são tomadas antes da realização da incerteza. Nos períodos t = 1 e t = 2 apenas são tomadas decisões de fluxo que são as decisões responsáveis por escolher a melhor localidade para enviar a produção. Cada linha horizontal da Figura 1 representa uma realização possível. Cada realização possui distintos valores de produção, assim como distintas probabilidades.
4.1. Conjuntos
A Tabela 1 lista os conjuntos considerados na formulação do modelo.
Tabela 1. Conjuntos Índices e Conjuntos Descrição
Faixas de distâncias Municípios Tipos de Entreposto Produtos Períodos de tempo Cenários kK , , i j l L pP f F t T
8 O índice f representa os custos por faixa de distância, os nós, que representam os municípios produtores, entrepostos ou a usina, são representados pelos índices i, j e l. O fluxo primário representa o fluxo do produtor ao entreposto e o custo é calculado multiplicando a quilometragem percorrida pela quantidade de toneladas transportadas. O índice k representa o tipo de instalação que pode ser um ponto de compra ou uma base fixa. O índice p representa os dois tipos de produtos existentes, mamona com casca e mamona sem casca. No fluxo secundário o custo é por tonelada de acordo com a faixa de quilometragem. O índice t representa o período de tempo e o índice representa o cenário.
A Tabela 2 mostra os subconjuntos utilizados na formulação do modelo.
Tabela 2 - Subconjuntos Subconjuntos Descrição Municípios candidatos à base fixa Municípios candidatos a pontos de compra
Município onde se localiza a usina
4.2. Parâmetros
A Tabela 3 mostra os parâmetros utilizados pelo modelo dois estágios:
Tabela 3 - Parâmetros do Modelo Dois Estágios
Custo de carregamento Distância entre cidades
Custo de instalação Limite de distância
Capacidade máxima do entreposto Limite de cada faixa
Fator de correção do transporte secundário Probabilidade do cenário
Custo de transporte primário Produção
Custo de transporte secundário Parâmetros , i k CMA i CC , i k CI , i j DI f LF , , i p t PRO p CTP PR LD , f p CTS COR 4.3. Variáveis A U L PC L BF L
9 Tabela 4 mostra as variáveis utilizadas no modelo
Tabela 4. Variáveis
Domínio Quantidade transportada por fluxo
primário
Quantidade transportada por fluxo secundário
Entreposto instalado
Domínio Variável auxiliar de instalação
Variável auxiliar Variável , , , i j p t in , , , i j p t
xp
, , i k tin
, , i k tinl
, , , i j p txs
0,1
0,1
A variável auxiliar inli k t, , serve para que os custos de instalação sejam cobrados apenas no período em que a instalação é posicionada. A variável ini k t, , é a variável decidida no primeiro
estágio e se mantém para o segundo estágio sem alterações. As variáveis
, , , i j p t
10 primário) e
, , , i j p t
xs (fluxo secundário) são variáveis de segundo estágio e existem somente nos períodos t = 1 e t = 2.
4.4. Função objetivo
A função objetivo é composta por três parcelas relativas aos custos de carregar os caminhões, ao custo de instalar um entreposto e ao custo de transporte. Neste modelo os custos de instalação são custos de primeiro estágio, enquanto os custos de transporte e carregamento são custos de segundo estágio.
A eq.3 representa a função objetivo composta pelos custos de instalação, (eq.4) (6), carregamento (eq.5) e transporte (eq.6). Nos custos de instalação a diferença ini k t, , inli k t, ,
representa a modelagem utilizada para garantir que a rede só incorra no custo de instalação no período exato em que o entreposto for instalado. As restrições representadas na eq. 11 e na eq.12 garantem que isso ocorra. Na eq.6 o parâmetro CORindica um fator de correção que também é mantido em sigilo. Tal fator é colocado, pois, na usina, o descarregamento não faz parte da composição de custos da empresa analisada nesta dissertação, pagando, assim, apenas os custos de carregamento efetuado nos entrepostos.
(3) (4) (5) (6) 4.5. Restrições
Nesta seção é apresentado o equacionamento das restrições. A explicação sobre as restrições são seguidas de seus respectivos equacionamentos.
, , , , , , , , , , i i j p t , , , , i i j p t i j p t i j p t pca
PR CC xp COR
PR CC xs , , , 0,1 = + xp xs in inlmin Z pin ptr pca
, , , , , , , i k( i k t i k t) i k t pin
CI in inl , , , , , , , , , , , , , , i j p i j p t + , , , , , i j f p i j p t i j p f t i j p f t ptr
PR DI CTP xp
PR DI CTS xs11 A eq.7 limita que apenas um tipo de entreposto possa ser instalado em um determinado município:
(7)
A eq.8 diz que deve ser respeitada a capacidade máxima de cada entreposto e informar ao modelo que toda a capacidade de armazenagem disponível depende da instalação de um entreposto no período anterior.
(8)
A eq.9 é uma restrição de balanço de fluxo que diz que a produção total transportada até os entrepostos deve ser igual à produção total dos produtores.
(9)
A eq.10 diz que os fluxos dos produtores aos entrepostos somados à produção dos municípios que funcionam também como entrepostos devem ser iguais ao somatório dos fluxos de produtos enviados para a usina.
(10)
A eq.11 diz respeito ao valor da variável auxiliar inli t k, , para os pontos de compra. Para as bases fixas, esta variável tem valor zero no período em que a instalação foi posicionada e tem valor 1 em todos os outros períodos. Desta forma o modelo só incorre em custos de instalação no período exato que foi colocado o entreposto. Para os pontos de compra esta variável vale sempre 0, pois, o ponto de compra é instalado período a período.
, , 1 , i k t kin i L t T
, , , , , , 1 , i j p t i k i k t , , , j pxs kCMA in i j L t T
, , , , , , , , | , , , ,( ) , ( 0 ), i p t i u p t i u p t i i UPRO i u p t xp xs p P t T
, , , , , , , , , , , , , , ( ) ( ) , , , , , i j p t i j p t j p t j l p t j l p t i xp xs PRO l xp xs i j l L p P t T
12
(11)
A eq.12 também se refere a variável inli t k, , e diz que ela deve ter o mesmo valor da variável
, ,
i t k
in posicionada no período t-1. Esta restrição faz com que os custos de instalação sejam cobrados apenas no período em que o entreposto é de fato instalado.
(12)
A eq. 13 serve para fixar as decisões de instalações tomadas no primeiro período para os outros períodos posteriores, ou seja, as decisões sobre instalações de entrepostos tomadas em um período t-1 são mantidas obrigatoriamente no período t.
(13)
5. Estudo de caso
Nesta seção são apresentados os dados de entrada, a geração de cenários e os resultados obtidos após a otimização. O modelo utiliza ao todo 145 municípios e uma usina previamente localizada em Feira de Santana (BA). São ao todo 26 municípios candidatos a pontos de compra e 9 candidatos a bases fixas
Objetivando manter o sigilo da empresa, alguns dados são apresentados sob a forma de proporções, multiplicados por uma constante arbitrária. Os custos de carregamento são multiplicados pela constante κ, onde o custo de carregamento secundário seria κ e o primário 2 κ.
A Tabela 5 mostra os custos de transporte por quilometragem organizada por faixas de quilometragem. Aqui também os dados reais serão preservados, o que é mostrado é uma proporção tomando como base o custo utilizando a constante σ. Cabe lembrar que o fluxo primário é o fluxo entre os pequenos produtores e os entrepostos, e que o fluxo secundário é aquele entre tais entrepostos e as usinas de esmagamento.
Tabela 5 - Custos de transporte
Tipo de Transporte Faixa de Custo Custo de transporte (σR$) , , 0 , i t k PC inl i L t T , , , 1, , i t k BF i t k BF inl in i L t T k K , , , , 1 , , i k t i k t in in i L t T k K
13 Primário única (custo por quilômetro) 1
Secundário 1 (0-100km) 13,6 Secundário 2 (100-200km) 21,7 Secundário 3 (200-300km) 29,9 Secundário 4 (300-500km) 35,9 Secundário 5 (500-1000km) 77,2 Secundário 6 (1000-1500km) 127,7
O custo do transporte primário é calculado por ton.km, como mostrado na Tabela 5. Cabe ressaltar que os dados reais estão multiplicados pela constante , para preservar os dados originais. Os demais custos referentes ao transporte secundário são calculados por tonelada em cada faixa específica.
A Tabela 6 mostra as estimativas iniciais da quantidade produzida por cada estado e o total produzido.
Tabela 6 - Estimativas de produção por estado Estado Produção ( ton.)
BA 748,70 CE 2.235,79 BA 545,65 PB 112,41 PE 796,71 PI 85,91 RN 111,72 Total 4.636,89
14 As bases fixas possuem capacidade de armazenagem de 7.500 ton. e possuem custo de instalação de R$ 80.000,00, enquanto os pontos de compra possuem capacidade de 4.500 ton. e custo de instalação R$ 100.000,00.
Um dos principais desafios na geração dos cenários para a produção foi a pouca disponibilidade de dados. Outra dificuldade foi a não existência de histórico da produção específica de cada município utilizado no estudo.
Foi, portanto, considerado que os desvios percentuais da produção nacional representam os desvios da produção para os municípios considerados no estudo. Assim, foram plotados os desvios percentuais na Figura 2. Nota-se que há 35 períodos (primeiro período é a diferença entre 76/77 e 78/79; segundo período é a diferença entre 80/81 e 82/83 e assim por diante).
Figura 2 - Desvios percentuais da produção
Para evitar a alta complexidade computacional e dada a pouca quantidade de dados, optou-se por utilizar um método de discretização que fosse capaz de selecionar três pontos suficientemente bons para representar a distribuição dos desvios percentuais.
Keefer e Bodily (1983) propuseram uma extensão do método Swanson-Megill sugerindo que fosse aproximado por uma FMP (Função Massa de Probabilidade) chamando então de
Extended Swanson-Megill onde os percentis 10, 50 e 90 seriam ponderados pelas
probabilidades 0,3; 0,4 e 0,3 e é recomendada para aproximar a distribuição lognormal, ainda que não deva ser usada em lognormais com assimetrias muito altas. Os autores ainda afirmam que o método pode ser usado em outras distribuições além da lognormal. Este método foi considerado o mais adequado encontrado na literatura para a discretização, tendo em vista os dados disponíveis.
15 Esses desvios percentuais são então selecionados de forma apropriada para compor os cenários gerados pelos métodos de discretização. Foram usados os percentis 10%, 50% e 90% o que respectivamente resultam nos valores -59,38%; -2,78% e 104,39% com as probabilidades 0,3; 0,4 e 0,3.
6. Resultados
O principal propósito da construção do modelo de otimização dois estágios (OE2E) é levar em conta as incertezas na produção e encontrar uma solução razoavelmente boa para todos os cenários. Para este problema o valor da função objetivo é R$ R$ 8.628.002,77. Ressalta-se que foram utilizadas coordenadas reais das cidades, assim como as reais distâncias. A Figura 3 exemplifica como o modelo construído apresenta a parte gráfica da solução.
Figura 3 - Exemplo de solução encontrada
Os entrepostos selecionados para o modelo OE2E estão na Tabela 7:
Tabela 7 - Entrepostos instalados
Cidade Instalação Período
0 1
Caracol (PI) Ponto de Compra 1 1 Catunda (CE) Ponto de Compra 1 1
16 Itatira (CE) Ponto de Compra 1 1
Matias Cardoso (MG) Base Fixa 1 1 Nova Redenção (BA) Base Fixa 1 1 Ouricuri (PE) Ponto de Compra 1 1 Pedra Branca (CE) Ponto de Compra 1 1 Porteirinha (MG) Ponto de Compra 1 1
Quixadá (CE) Base Fixa 1 1
Remígio (PB) Ponto de Compra 1 1 Santa Cruz (RN) Ponto de Compra 1 1 São Francisco (MG) Base Fixa 1 1 Serra do Ramalho (BA) Base Fixa 1 1 Serra Talhada (PE) Ponto de Compra 1 1
Tauá (CE) Base Fixa 1 1
Irecê (BA) Base Fixa 1 1
A diferença entre o modelo determinístico (EV) e OE2E consiste no fato do município de Independência (CE) que entregava sua produção em Pedra Branca (CE), tornar-se um ponto de compra, fazendo com que os fluxos da região se reorganizem.
A situação inicial é exemplificada pela Figura 4.
17 Na Figura 5 pode ser visualizada a reorganização dos fluxos logísticos da região com o município de Independência (CE) se transformando em um ponto de compra
Figura 5 – situação posterior da rede logística
No modelo EEV, que verifica o quão boa é a solução encontrada do modelo EV frente às incertezas, encontra-se R$ 9.156.309,01 como valor da função objetivo.
Assim, pode-se calcular o Valor da Solução Estocástica (VSS) que consiste na diferença entre o EEV (R$ R$ 9.156.309,01.) e o RP (R$ 8.628.002,77), sendo este último o valor da F.O. Relativa ao Recourse Problem do modelo OE2E: VSS |EEVRP|R$ 605.547, 46 Pode-se dizer então, que R$ 605.547,46, reprePode-sentando 6,61% do EEV, é a economia que o tomador de decisão teria ao incorporar as incertezas ao modelo. Em termos de instalações, significa no período t = 1 posicionar um entreposto na cidade de Independência (CE), o que faz com que a rede tenha que modificar diversos fluxos na região. O EVPI é calculado utilizando o prévio resultado do WS, Espere-e-veja, que na prática significa supor que seria possível calcular a otimização tendo a certeza absoluta da ocorrência um cenário de produção específico. O valor do WS é R$ 8.550.761,55. Assim, |WSRP|R$ 77.241, 22 valor que corresponde a 0,90%
18 do RP. O valor baixo significa que para esta árvore de cenários, especificamente, não há muito ganho financeiro em utilizar a informação perfeita.
7. Conclusões e estudos futuros
A abordagem utilizada consiste no desenvolvimento de um modelo de programação estocástica dois estágios (OE2E). O modelo proposto tem como principal objetivo posicionar entrepostos e alocar fluxos de produtos de forma a obter o menor custo possível. Neste sentido, é fundamental a incorporação da incerteza, que torna o modelo mais aderente à realidade enfrentada pela empresa estudada neste trabalho.
Para gerar os cenários foi utilizado o método de discretização Extended Swanson-Megil. O desempenho do modelo de programação estocástica depende diretamente da árvore de cenários gerados para representar a incerteza. No caso específico do problema estudado, não havia a disponibilidade de uma quantidade suficientemente grande de dados que permitisse saber qual a distribuição de probabilidade das safras de mamona.
Como estudos futuros recomenda-se abordar o mesmo problema sob a ótica de um modelo multi-estágios que ofereça maior flexibilidade de decisões.
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BIRGE, John; LOUVEAUX, François. Introduction to Stochastic Programming. Springer Series in Operations Research, New York: Springer-Verlag. 1997.
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19
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