Exercícios Exercícios
1) Dimensione a viga em
1) Dimensione a viga em seção retangular de madeira serrada, considerando:seção retangular de madeira serrada, considerando: a)
a) Altura igual a duas vezes a base ( h = 2b Altura igual a duas vezes a base ( h = 2b );); b)
b) Dicotiledônea C-60 de 1Dicotiledônea C-60 de 1aacategoria;categoria; c)
c) Classe de umidade 2;Classe de umidade 2; d)
d) Ação permanente de grande variabilidade com peso próprio incluso: g = 3 kN/mAção permanente de grande variabilidade com peso próprio incluso: g = 3 kN/m e)
e) Ação variável de longa duração em piso de oficina: q = 2 kN/mAção variável de longa duração em piso de oficina: q = 2 kN/m
Esforços solicitantes de cálculo Esforços solicitantes de cálculo
g, q
g, q
Solução: Solução: q qdd= 1,4 g + 1,4 q = 7 kN/m= 1,4 g + 1,4 q = 7 kN/m M Msdsd= = 1414kN.mkN.m 8 8 4 4 7 7 8 8 L L q qdd 22 22 = = ⋅⋅ = = ⋅⋅ V Vsdsd = = 1414kNkN 2 2 4 4 7 7 2 2 L L q qdd = = ⋅⋅ = = ⋅⋅Estados limites últimos: Estados limites últimos: - Momento fletor - Momento fletor a) Borda Tracionada a) Borda Tracionada f f t0,k t0,k == 77,9277,92MMPPaa 0,77 0,77 60 60 0,77 0,77 f f c0,c0,k k = = = = k
k modmod=k =k mod1mod1.k .k mod2mod2.k .k mod2mod2=0,7x1,0x1,0=0,7=0,7x1,0x1,0=0,7
f
f t0,dt0,d=k =k modmod 30,330,3MPaMPa
1,8 1,8 77,92 77,92 0,7 0,7 f f wt wt k k t0, t0, = = ⋅⋅ = = γ γ ⋅⋅
Contenções
Contenções
laterais
laterais
W= 3 3 2 2 b 3 2 6 b 4 6 (2b) b 6 h b = ⋅ = ⋅ = ⋅ d t0, sd d t0, sd td f M W f W M ≥ ≤ = σ ⇒ d t0, sd 3 f M b 3 2 ≥ cm 20 h e cm 10 b cm 8,8 3,03 1400 2 3 f M 2 3 b 3 3 d t0, sd = = ⇒ = ⋅ = ≥ b) Borda comprimida 20 10 200 b Lb b = = = λ f c0,d=k mod. 30MPa 1,4 60 0,7 f wc k c0, = ⋅ = γ ⋅
Ec0,ef= k mod.Ec0,m= 24500. 0,7 = 17150 MPa
Tabela 8,8 2 10 20 b h = ⇒ = = β M simples flexao a verificar 64,96 30 8,8 17150 E , 0 M ef c0, 0 = > ⇒ ⋅ = = b d c f λ β λ d c0, 2 2 sd 21MPa f cm kN 2,1 20 10 6 1400 W M < = = ⋅ ⋅ = = cd σ - Força Cortante f v0,d=0,10 f c0,d=0,10 .30 = 3 MPa MPa 3 f MPa 1,05 cm kN 0,105 200 14 2 3 bh V 2 3 d v0, 2 sd sd = ⋅ = ⋅ = = < = τ
Estados limites de utilização: - Flecha 0,6q) (g I E L 384 5 0,6 ef c0, 4 q g q 2 g d =δ +ψ δ =δ + ⋅δ = ⋅ + δ 4 3 3 cm 6666,7 12 20 10 12 h b I = ⋅ = ⋅ = Ok! cm 2 200 400 200 cm 22 , 1 ) 02 , 0 6 , 0 03 , 0 ( 7 , 6666 1715 400 384 5 Lim 4 = = = < = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = L d δ δ
2) Verifique se a viga de seção retangular de 10 cm x 20 cm, de madeira serrada, atende as exigências da NBR-7190/97, considerando :
a) Dicotiledônea C 40 de 1a categoria ; b) Classe de umidade 2;
c) Ação permanente de grande variabilidade com peso próprio incluído: g = 1,2 kN/m; d) Sobrecarga de longa duração em arquivos : Q = 2 kN
g
Q
Solução:
Esforços solicitantes de cálculo
M
V
Q gV
M
g Q Mg = 3,75kN.m 2 2,5 1,2 2 L g 2 2 = ⋅ = ⋅ MQ=Q⋅L =2⋅2,50=5kN.m Msd=1,4Mg + 1,4MQ=1,4 (3,75 + 5) = 12,25 kN.m Vg = g.L =1,2.2,50 =3,0 kN VQ = Q = 2 kN Vsd=1,4.Vg + 1,4.VQ =1,4.(3,0 + 2,0) = 7 kNEstados limites últimos: - Momento fletor 0 5 10 250 2 b Lb b = ⋅ = = λ
Ec0,ef= k mod.Ec0,m= 0,7.19500 = 13650 MPa f c0,d= 20MPa 1,4 40 0,7 f k wc k c0, mod = ⋅ = γ 10 2 8,8 20 b h M = β ⇒ = = Tabela 77,56 20 8,8 13650 f E d c0, M ef c0, 0 = ⋅ = ⋅ β = λ simples flexao a verificar 0 ⇒ < λ λ b Ok! f MPa 18,375 cm kN 1,8375 20 10 6 1225 W M d c0, 2 2 sd = = < ⋅ ⋅ = = cd σ -Força cortante f v0,d=0,10 f c0,d= 0,10x20 =2 MPa OK! f MPa 0,525 cm kN 0,0525 20 10 7 2 3 bh V 2 3 d v0, 2 sd sd = = < ⋅ ⋅ = ⋅ = τ
Estados limites de utilização: - Flecha δd =δg + ψ δ2 Q =δg + 0,6 δQ cm 0,644 6666,7 1365 8 250 0,012 I E 8 L g 4 ef c0, 4 g = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = δ cm 1,145 6666,7 1365 3 250 2 E 3 L Q 3 ef c0, 3 Q = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = δ Ok! cm 2,50 100 250 100 L cm 1,331 1,145 0,6 0,644 Lim d = + ⋅ = <δ = = = δ
3) Dimensione a viga da figura em seção retangular de madeira serrada, considerando: a)Altura igual a duas vezes a base ( h = 2b ) ;
b)Jatobá de 1acategoria ; c)Classe de umidade 4;
d)Ação permanente de grande variabilidade com peso próprio incluso : g = 2 kN/m e)Ação variável de longa duração em piso de oficina : q = 4 kN/m.
Solução:
Esforços solicitantes de cálculo
Msd= 16,8kN.m 2 2 8,4 2 a q 2 2 d ⋅ = ⋅ = Vsd=qd ⋅a =8,4⋅2=16,8kN
Estados limites últimos: - Momento Fletor
a) borda tracionada
f t0,k =0,70.f t0,m=0,70.157,5 = 110,25 MPa
k mod= k mod1.k mod2.k mod3 = 0,7.0,8.1,0 = 0,56
Contenções laterais
DEC
f t0,d= 34,30MPa 1,8 110,25 0,56 f k wt k t0, mod = ⋅ = γ cm 20 h cm 17,14 3,43 10 1680 6 f b M 6 h d t0, sd = ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ≥ b) borda comprimida f c0,k = 0,70.f c0,m= 0,70.93,3 = 65,31 MPa f c0,d= 26,124MPa 1,4 65,31 0,56 f k wc k c0, mod = ⋅ = γ
Ec0,ef = k mod.Ec0,m = 0,56.23607 = 13220 MPa 2 8,8
10 20 b h M = β ⇒ = = tab 7.2.1 57,5 26,124 8,8 13220 f E c0.d M ef c0, 0 = ⋅ = ⋅ β = λ 0 b b 40 10 400 b 2a b L λ < = = = = λ * d , 0 c f = f c0,d=26,124 MPa * d c0, 2 2 sd cd 25,2MPa f Ok! cm kN 2,52 20 10 6 1680 W M < = = ⋅ ⋅ = = σ - Esforço Cortante f v0,k = 0,54.f v0,m= 0,54.15,7 = 8,478 MPa f v0,d= 2,64MPa 1,8 8,478 0,56 f k wc k co, mod = ⋅ = γ Ok! f MPa 1,26 cm kN 0,126 20 10 16,8 2 3 h b V 2 3 d v0, 2 sd sd = = < ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = τ
Estados limites de utilização : - Flecha
f
v bf
δ δδ δb= I E a q 24 7 4 ⋅ ⋅ ⋅ e δv= I E 24 a 5q 4 ⋅ ⋅ ⋅ δd =δg + ψ δ2 q =δg + 0,6δq 0,04) 0,6 (0,02 6666,7 1322 200 24 7 q) 0,6 (g I E a 24 7 4 ef c0, 4 ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = d δδ δδ δd=2,33 cm > δLim= 2cm 100 200 100 L = = Não atende ! Usar seção 12,5cm x 25 cm : δd= 0,95cm Ok! 16276 6666,7 2,33⋅ = <δ Lim
4) O piso de uma oficina foi construído com tábuas de 3 cm de espessura sobre vigas de 10 cm x 20 cm a cada 0,50 m, apoiadas em vigas treliçadas afastadas de 3 m . Verifique se as vigas atendem as exigências da NBR-7190, considerando :
a) Dicotiledônea C60 - classe 4 - de 2a categoria; b) Sobrecarga de 2 kN/m2 ;
c) Ação permanente :
c.1) G= peso das tábuas = 10x0,03 = 0,3 kN/m2 ; c.2) gp= peso próprio = 10x0,10x0,20= 0,2 kN/m ;
d) Contenções laterais em toda a extensão das vigas proporcionadas pela fixação das tábuas; e) Sistemas bi-apoiados tanto para as vigas como para as tábuas.
4x0,5=2m 8x0,5=4m 4x0,5=2m
0,5m
Vigas 10 x 20
Solução:
Esforços solicitantes de cálculo
g = gp + gt = 0,2 + 0,3x0,50 =0,35 kN/m q = 2.0,50 = 1 kN/m qd = 1,3.g + 1,4.q = 1,3.0,35 + 1,4.1 = 1,855 kN/m d
q
L
8
2 dq
DMF
DEC
dq L
2
Msd= 2,087kN.m 8 3 1,855 8 L qd 2 2 = ⋅ = Vsd= 2,7825kN 2 3 1,855 2 L qd = ⋅ =Estados limites últimos - Momento fletor
k mod=k mod1.k mod2.k mod3 = 0,7.0,8.0,8 = 0,45
MPa 19,28 1,4 60 0,45 f k f f t0,d = c0,d = mod c0,k = ⋅ = wc γ Ok! f MPa 3,13 cm kN 0,313 20 10 6 208,7 W M d c0, 2 2 sd d = = < ⋅ ⋅ = = σ - Esforço Cortante f v0,d= 0,10f c0,d=0,10x19,28 =1,928 MPa Ok! f MPa 0,208 cm kN 0,0208 20 10 2,7825 2 3 h b V 2 3 d v0, 2 sd d = = < ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = τ
Estados limites de utilização: - Flecha
E=Eco,ef =k mod.Ec0,m= 0,45.24500=11025 MPa
δd =δg+ ψ δ2 q =δg + 0,6.δq = (g 0,6q) I E L 384 5 4 + ⋅ ⋅ ⋅ Ok! cm 1,5 200 300 200 L cm 0,136 0,01) 0,6 0,0035 ( 6666,7 1102,5 300 384 5 4 = = < = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = d δ