2 Derivada Fracionária e as Funções de Mittag-Leffler

(1)

Fun¸

c˜

oes de Mittag-Leffelr: Teorema de Adi¸

c˜

ao e Aplica¸

c˜

oes

R. Figueiredo Camargo, Ary O. Chiacchio Departamento de Matem´atica

Imecc − Unicamp, CP 6065, 13081-970 Campinas, SP, Brasil [email protected], [email protected]

e

E. Capelas de Oliveira Departamento de Matem´atica Aplicada

Imecc, Unicamp, CP 6065, 13081-970 Campinas, SP, Brasil

[email protected]

Resumo

No presente trabalho são apresentadas novas rela¸cões e um teorema de adi¸cão envolvendo uma das fun¸cões mais importantes relacionadas ao cálculo fracionário, a fun¸cão de Mittag-Lefller.

1 Introdu¸

c˜

ao

O cálculo fracionário é uma ferramenta precisa para se refinar, por exemplo, a descri¸cão de fenômenos naturais. Uma maneira bastante comum de se utilizar esta ferramenta é substituir a derivada de ordem inteira de uma equa¸cão diferencial parcial, que descreve um determinado fenômeno, por uma derivada de ordem não-inteira. Vários resultados importantes e generaliza¸cões foram obtidos através desta técnica, em diversas áreas do conhecimento, tais como: mecânica dos fluidos, fenômenos de transporte, redes elétricas, probabilidade, biomatemática, dentre outros [3]. Por várias razões esperadas, a solu¸cão de uma equa¸cão diferencial de ordem não-inteira costuma ser mais complexa do que a da respectiva equa¸cão de ordem inteira. Uma das dificuldades advém do fato de o conhecimento das fun¸cões inerentes ao cálculo fracionário, não ser tão desenvolvido quanto o conhecimento das fun¸cões relacionadas ao cálculo de ordem inteira. Em particular, mencionamos que uma equa¸cão diferencial ordinária, linear, de segunda ordem com coeficientes constantes apresenta, como solu¸cão, uma fun¸cão exponencial o que não é o caso de uma sua correspondente equa¸cão diferencial fracionária, de onde emergem as fun¸cões de Mittag-Leffler [9]. No presente trabalho, utilizando o conceito de fun¸cão de Green relativa à equa¸cão diferencial fracionária associada ao problema do telégrafo [4], apresentamos e demonstramos um teorema de adi¸cão para as fun¸cões de Mittag-Leffler.

2 Derivada Fracion´

aria e as Fun¸

c˜

oes de Mittag-Leffler

Para resolver nossa principal equa¸c˜ao diferencial parcial fracion´aria1_{, utilizamos a metodologia da}

justaposi¸cão de transformadas [6], ou seja, aplicamos a transformada de Fourier na parte espacial e a transformada de Laplace para eliminar a dependência temporal. Para tanto, relembramos resultados que nos serão úteis neste trabalho relativos à derivada fracionária no sentido de Caputo [1], bem como suas transformadas de Laplace e Fourier. Além disso, recuperamos alguns resultados envolvendo as fun¸cões de Mittag-Leffler.

Provavelmente a existência de várias defini¸cões não equivalentes para a derivada de ordem fracionária, bem como a falta de uma interpreta¸cão geométrica evidente, fizeram com que o cálculo

(2)

fracionário não fosse utilizado em larga escala [12]. Apesar disto, inúmeros resultados importantes e generaliza¸cões foram obtidos gra¸cas ao cálculo fracionário.

Há várias formas de se introduzir a derivada de ordem não-inteira como uma generaliza¸cão para a derivada de ordem inteira, dentre elas podemos citar a defini¸cão de Riemann-Liouville, que é a mais conhecida e a de Caputo que, apesar de mais restritiva, nos parece mais adequada para o estudo de problemas f´ısicos [4].

No presente trabalho estamos interessados na resolu¸c˜ao de uma EDPF relacionada a um prob-lema f´ısico, por esta raz˜ao apresentamos apenas a derivada no sentido de Caputo.

A derivada de ordem µ no sentido de Caputo ´e definida da seguinte maneira [1]

Dµtf (t, x) ≡ ∂µ ∂tµf (t, x) =        1 Γ(n − µ) Z t a f(n)_{(τ, x)} (t − τ)µ+1−ndτ , n − 1 < µ < n , f(n)_{(t, x) ,} _{µ ≡ n ∈ N}

na qual f(n)_{(t, x) denota a derivada usual de ordem n em rela¸c˜}_{ao `a vari´avel t.}

Deste ponto em diante, consideramos o limite inferior a como sendo −∞ na parte espacial e zero na parte temporal. O primeiro e segundo casos est˜ao associados, respectivamente, `as transformadas de Fourier e de Laplace [6, 10].

Sendo s, com Re(s) > 0, o parˆametro da transformada de Laplace sabemos que [12] L ∂ µ ∂tµf (t, x) = sµ_{F (s, x) −} n−1 X k=0 sµ−1−kf(k)(0+, x)

com n − 1 < µ ≤ n e n ∈ N. Nesta equa¸cão, F (s, x) denota a transformada de Laplace de f(t, x). Enquanto a transformada de Laplace da derivada fracionária de Caputo depende de condi¸cões iniciais que possuem interpreta¸cão f´ısica, a derivada fracionária segundo Riemann-Liouville de-pende de condi¸cões dadas em termos deaDµ−k−1t f (t)|t=0. Outra importante diferen¸ca entre estas

duas abordagens é que a derivada fracionária de Caputo de uma constante é zero, o que não ocorre com a defini¸cão de Riemann-Liouville.2 _{Isto justifica a utiliza¸c˜}_{ao da derivada de Caputo e n˜}_{ao a}

de Riemann-Liouville, quando estamos interessados em resolver uma EDPF.

Enfim, sendo ω o parˆametro da transformada de Fourier podemos escrever para a derivada fracion´aria de Caputo

F_{Dµ_x_{f (t, x)} = |ω|}2µF (t, ω), na qual F (t, ω) ´e a transformada de Fourier da fun¸c˜ao f (t, x).

Por outro lado, vamos introduzir a cl´assica fun¸c˜ao de Mittag-Leffler, denotada por Eα(x),

bem como a fun¸c˜ao de Mittag-Leffler de dois parˆametros, denotada por Eα,β(x), a partir da

fun¸cão de Mittag-Leffler com três parâmetros, também conhecida como fun¸cão de Mittag-Leffler generalizada, proposta por Prabhakar [13], isto é,

E_α,βρ (z) = ∞ X k=0 (ρ)k Γ(kα + β) zk k! (1)

na qual (ρ)k ´e o s´ımbolo de Pochhammer,

(ρ)k=

Γ(ρ + k)

Γ(ρ) ≡ ρ(ρ + 1) · · · (ρ + k − 1)

e z ∈ C, Re(ρ) > 0, Re(α) > 0 e Re(β) > 0. Esta fun¸cão generaliza a clássica fun¸cão de Mittag-Leffler e a fun¸cão de Mittag-Leffler de dois parâmetros [7, 11], pois E1

α,1(x) = Eα(x) = ∞ X k=0 zk Γ(kα + 1) e E 1 α,β(x) = Eα,β(x) = ∞ X k=0 zk

Γ(kα + β), conseq¨uentemente para α, β, ρ = 1 temos E1

1,1(x) = ex.

(3)

Neste ponto estamos interessados apenas na transformada de Laplace da fun¸cão de Mittag-Leffler. Diversas rela¸cões envolvendo a fun¸cão de Mittag-Leffler de um parâmetro podem ser encontradas em [12]. Ainda mais, Hartley-Lorenzo [8] discutem a solu¸cão geral de uma EDPF linear e obtêm diversas rela¸cões envolvendo a fun¸cão de Mittag-Leffler de um parâmetro.

Enfim, a transformada de Laplace da fun¸c˜ao de Mittag-Leffler generalizada [9], ou seja3_,

Lhtβ−1_Eρ α,β(±λt

α₎i₌ sαρ−β

(sα_{∓ λ)}ρ

cuja transformada inversa pode ser escrita da seguinte forma L−1

_sαρ−β

(sα_{∓ λ)}ρ

= tβ−1Eρ_α,β(±λ tα_), ₍₂₎

com Re(s) > 0 e Re(β) > 0. Destacamos por fim que recentemente Chamati-Tonchev [2] intro-duziram a fun¸c˜ao de Mittag-Leffler generalizada na teoria de “finite-size scaling”.

3 A Equa¸

c˜

ao do Tel´

egrafo Fracion´

aria

A assim chamada equa¸cão diferencial do telégrafo fracionária é dada por

(D2αt + 2λ Dαt − D2γx )Gγα(x, t) = λ1δ(t)δ(x) (3)

na qual 0 < α ≤ 1, 0 < γ ≤ 1, Dξ = ∂/∂ξ, λ e λ1s˜ao constantes positivas. Esta equa¸c˜ao generaliza

a clássica equa¸cão do telégrafo e também, para valores espec´ıficos dos parâmetros, a equa¸cão de difusão.

Em [4] discute-se a solu¸cão para a equa¸cão diferencial fracionária associada ao problema do telégrafo através de duas diferentes maneiras. Comparando os resultados obtidos podemos escrever novas rela¸cões matemáticas e um teorema de adi¸cão envolvendo as fun¸cões de Mittag-Leffler. A seguir, apresentamos os principais passos que levaram ao nosso resultado principal e posteriormente propomos uma demonstra¸cão formal para um novo teorema de adi¸cão associado à fun¸cão de Mittag-Leffler generalizada.

A fim de discutir o caso geral tomamos as seguintes condi¸c˜oes iniciais Gγ_α_{(x, 0) = λ}₂_δ(x) _e ∂

∂t[G

γ

α(x, t)]t=0= 0

com λ2 uma constante real, e as seguintes condi¸c˜oes de contorno

lim x→±∞ Gγ_α_{(x, t) = 0 = lim} x→±∞ ∂ ∂xG γ α(x, t) .

Utilizando a justaposi¸cão de transformadas, Fourier na parte espacial e Laplace na parte tem-poral, obtemos a partir da equa¸cão (3), a seguinte expressão

Gγ_α(ω, s) = λ1+ λ2(s

2α−1_{+ 2λ s}α−1₎

s2α_{+ 2λ s}α_{+ Λ} (4)

na qual Λ = −|ω|2γ_{, ω e s s˜}_{ao, respectivamente, os parˆ}_{ametros da transformada de Fourier e de}

Laplace. Podemos reescrevˆe-la na forma Gγ_α(ω, s) = Ω Λ Λ s−α sα_{+ 2λ} 1 1 + Λ s −α sα_{+ 2λ} = Ω ∞ X k=0 (−1)k_Λk s−αk−α (sα_{+ 2λ)}k+1, 3

Note que para obter a transformada de Laplace das fun¸cões de Mittag-Leffler clássica e de dois parâmetros basta substituir os correspondentes valores de α e β.

(4)

onde Ω = λ1+ λ2(s2α−1+ 2λ sα−1). A segunda igualdade da equa¸c˜ao acima ´e devida ao fato de

estarmos considerando |Λ s−α_/(sα_{+ 2λ)| < 1.}

Calculando a transformada de Laplace inversa obtemos4

Gγ α(ω, t) = ∞ X k=0 (−Λ)kn_λ 1t2αk+2α−1Eα,2αk+2αk+1 (−µ tα)+ (5) + λ2t2αk h E_α,2αk+1k+1 (−µ tα_{) + µ t}2α−α_Ek+1 α,2αk+α+1(−µ tα) io

na qual µ = 2λ e E_α,βρ (x) é a fun¸cão de Mittag-Leffler generalizada, dada pela equa¸cão (1). Por outro lado, uma outra maneira de se abordar o problema é considerar o denominador da equa¸cão (4) escrito na seguinte forma

s2α+ 2λ sα+ Λ = (sα− µ1)(sα− µ2) onde µ1= −λ − √ λ2_{− Λ e µ} 2= −λ + √

λ2_{− Λ com Λ = −|ω|}2γ_{. Calculando a transformada de}

Laplace inversa temos Gγ α(ω, t) = λ1 t2α−1 µ1− µ2 [µ1Eα,2α(µ1tα) − µ2Eα,2α(µ2tα)] + λ2 µ1− µ2 [µ1Eα,1(µ1tα) − µ2Eα,1(µ2tα)] + + 2λ λ2t α µ1− µ2 [µ1Eα,α+1(µ1tα) − µ2Eα,α+1(µ2tα)] . (6)

4 Teorema de Adi¸

c˜

ao

Comparando as duas express˜oes para Gγ

α(ω, t), obtidas anteriormente, podemos escrever novas

rela¸c˜oes para as fun¸c˜oes de Mittag-Leffler. Recentemente o caso em que λ1 = 1 e λ2 = 0 foi

estudado em detalhe e um novo teorema de adi¸c˜ao foi obtido [5].

Aqui, no presente trabalho, vamos analisar o caso em que λ1= 0 e λ2= 1 a fim de escrever o

seguinte resultado:

Teorema. _{Sejam x, y ∈ R com |x| < 1 e |y| < 1. Se x 6= y ent˜ao}

∞ X k=0 (−xy)khEα,2αk+1k+1 (x + y) − (x + y)Eα,2αk+α+1k+1 (x + y) i =x Eα(y) − y Eα(x) x − y · (7)

Demonstração. Note que a demonstra¸cão do teorema é conseqüência direta da igualdade das duas expressões obtidas para Gγ

α(ω, t), isto ´e, toma-se λ1= 0 e λ2= 1, bem como introduz-se

as mudan¸cas de vari´avel µ1ξ = x e µ2ξ = y, contudo apresentamos a seguir uma demonstra¸c˜ao

formal para o teorema. Seja Ω1 ≡

∞

X

k=0

(−xy)kEk+1α,2αk+1(x + y). Temos, pela defini¸c˜ao da fun¸c˜ao de Mittag-Leffler

generalizada, que Ω1= ∞ X k=0 (−xy)k ∞ X l=0 (k + 1)l Γ(αl + 2αk + 1) (x + y)l l! .

4_{Para se obter a fun¸c˜}_{ao de Green ´}_{e necess´}_{ario aplicar tamb´}_{em a transformada de Fourier inversa, contudo para}

o nosso objetivo é suficiente calcular apenas a transformada de Laplace inversa. O cálculo da fun¸cão de Green pode ser encontrado em [4].

(5)

Utilizando a express˜ao associada ao binˆomio (x + y)l₌ l X n=0 l! n!(l − n)!x l−n_yn

e rearranjando os somat´orios, podemos escrever Ω1= ∞ X k=0 (−xy)k ∞ X n=0 ∞ X l=n (k + 1)l Γ(αl + 2αk + 1) xl−n_yn n!(l − n)!. Introduzindo a mudan¸ca de ´ındices l → l + n, podemos escrever

Ω1= ∞ X k=0 (−xy)k ∞ X n=0 yn n! ∞ X l=0 (k + 1)l+n Γ(αl + αn + 2αk + 1) xl l!. Utilizando a defini¸c˜ao do s´ımbolo de Pochhammer5

Ω1= ∞ X k=0 (−xy)k k! ∞ X n=0 yn n! ∞ X l=0 Γ(l + n + k + 1) Γ(αl + αn + 2αk + 1) xl l!. As mudan¸cas de ´ındices n → n − k e l → l − k nos conduzem `a seguinte express˜ao

Ω1= ∞ X k=0 (−xy)k k! ∞ X n=k yn−k (n − k)! ∞ X l=k Γ(l − k + n + 1) Γ(αl + αn + 1) xl−k l! . Mudando a ordem dos somat´orios podemos escrever

Ω1= ∞ X n=0 yn ∞ X l=0 xl Γ(αl + αn + 1) ∞ X k=0 (−1)k k! (l + n − k)! (l − k)!(n − k)!, de onde segue que

Ω1= ∞ X n=0 yn ∞ X l=0 xl Γ(αl + αn + 1) ∞ X k=0 (−1)kl + n − k l − k _n n − k , ou ainda, utilizando a propriedade do binˆomio (complementar)

Ω1= ∞ X n=0 yn ∞ X l=0 xl Γ(αl + αn + 1) ∞ X k=0 (−1)kl + n − k_n n_k . Uma vez que [14]

n X k=0 (−1)kn_ka − k_m = a − n m − n , conclu´ımos que Ω1≡ ∞ X k=0 (−xy)k_Ek+1 α,2αk+1(x + y) = ∞ X n=0 ∞ X l=0 xl_yn Γ(αl + αn + 1)· (8)

De maneira inteiramente an´aloga temos Ω2≡ ∞ X k=0 (−xy)k(x + y)E_α,2αk+α+1k+1 (x + y) = (x + y) ∞ X n=0 ∞ X l=0 xl_yn Γ(αl + αn + α + 1)· (9) 5_(β) k= Γ(β + k) Γ(β) ·

(6)

Sendo6 _{Λ ≡} ∞ X k=0 (−xy)kh_Ek+1 α,2αk+1(x + y) − (x + y)E k+1 α,2αk+α+1(x + y) i = Ω1− Ω2, podemos escr-ever Λ = ∞ X n=0 ∞ X l=0 xl_yn Γ(αl + αn + 1)− (x + y) ∞ X n=0 ∞ X l=0 xl_yn Γ(αl + αn + α + 1), ou ainda, Λ = ∞ X l=0 xl Γ(αl + 1) l X n=0 y x n − (x + y) ∞ X l=0 xl Γ(αl + α + 1) l X n=0 y x n . Utilizando a soma da s´erie geom´etrica

xl l X n=0 y x n =x l+1_{− y}l+1 x − y , com x 6= y podemos escrever

Λ = ∞ X l=0 xl+1_{− y}l+1 x − y 1 Γ(αl + 1)− (x + y) ∞ X l=0 xl+1_{− y}l+1 x − y 1 Γ(αl + α + 1).

Fazendo a mudan¸ca de ´ındices l → l − 1 no segundo somat´orio da express˜ao anterior, temos7

Λ = 1 x − y ∞ X l=0 xl+1_{− y}l+1 Γ(αl + 1) − x + y x − y ∞ X l=1 xl_{− y}l Γ(αl + 1) = 1

x − y{xEα(x) − yEα(y) − (x + y)xEα,α+1(x) + (x + y)yEα,α+1(y)}

= 1

x − y{xEα(x) − yEα(y) − (x + y)[Eα(x) − 1] + (x + y)[Eα(y) − 1]} = x Eα(y) − y Eα(x)

x − y .

Sendo assim, conclu´ımos que Λ = ∞ X k=0 (−xy)khEα,2αk+1k+1 (x + y) − (x + y)Eα,2αk+α+1k+1 (x + y) i =x Eα(y) − y Eα(x) x − y ,

que ´e justamente o resultado que busc´avamos 3

5 Aplica¸

c˜

oes e Casos Particulares

Iniciamos esta se¸cão apresentando algumas conseqüências naturais advindas do teorema apresen-tado na Se¸cão anterior.

Corol´ario 1. Para x ∈ R com |x| < 1 temos que

∞ X k=0 (−x2)khEα,2αk+1k+1 (2x) − 2xEk+1α,2αk+α+1(2x) i = Eα(x) − x E ′ α(x). (10)

Demonstração. Utilizando a regra de l’Hôpital e tomando o limite y → x na equa¸cão (7) segue-se o resultado 3

6

Note que Λ equivale ao lado esquerdo da equa¸c˜ao (7).

7_{A terceira igualdade ´}_{e devida ao fato xE}

(7)

Corol´ario 2. Para x ∈ R com |x| < 1 temos que ∞ X k=0 x2kE_α,2αk+1k+1 (0) = Eα(x) + Eα(−x) 2 = E2α(x 2_). ₍₁₁₎

Demonstração. Mais uma vez utilizando a regra de l’Hôpital e o limite y → −x na equa¸cão (7) obtemos o resultado da equa¸cão (11) 3

Além disso, utilizando a rela¸cão existente entre a fun¸cão de Mittag-Leffler generalizada e a fun¸cão hipergeométrica confluente,

Γ(β)Eρ_1,β(x) =1F1(ρ; β; x) ≡ ∞ X k=0 (ρ)k (β)k xk k!,

com ρ, β ∈ C, e tomando α = 1 em todas as rela¸cões acima podemos escrever vários novos resul-tados envolvendo regras de soma e teoremas de adi¸cão para a fun¸cão hipergeométrica confluente. Explicitamos aqui apenas dois destes resultados.

Corol´ario 3. Para x, y ∈ R com |x| < 1 e |y| < 1 temos que

∞ X k=0 (−xy)k ₁ Γ(2k + 1)1F1(k + 1; 2k + 1; x + y) − − _{Γ(2k + 2)}x + y 1F1(k + 1; 2k + 2; x + y) = x e y _{− y e}x x − y . (12)

Demonstração. Tomando α = 1 na equa¸cão (7), utilizando a rela¸cão entre a fun¸cão hiper-geométrica confluente e a fun¸cão de Mittag-Leffler, bem como utilizando o fato que E1(x) = ex,

segue o resultado 3

Utilizando o resultado da equa¸c˜ao (12) e tomando o limite y → −x podemos escrever

∞ X k=0 (x)2k (2k)!1F1(k + 1; 2k + 1; 0) = e−x_{+ e}x 2 = cosh x. (13)

Novamente, utilizando a equa¸c˜ao (12), a regra de l’Hˆopital e tomando o limite y → x podemos escrever ∞ X k=0 (−x2)k (x) 2k (2k)!1F1(k + 1; 2k + 1; 2x) − 2x (2k + 1)!1F1(k + 1; 2k + 2; 2x) = ex(1 − x).

6 Conclus˜

oes

Neste trabalho, utilizando o conceito de fun¸cão de Green fracionária associada à equa¸cão do telégrafo fracionária, escrita em termos da fun¸cão de Mittag-Leffler de dois parâmetros, estabele-cemos novas rela¸cões envolvendo as fun¸cões de Mittag-Leffler.

Uma continua¸cão natural deste trabalho é generalizar os resultados advindos do cálculo das fun¸cões de Green e propagadores para a equa¸cão geral de difusão (de onda) com derivada temporal fracionária, em uma, duas e três dimensões, isto é, substituindo o operador diferencial de Laplace por sua generaliza¸cão fracionária.

(8)

Referˆ

encias

[1] M. Caputo, Vibrations of an Infinite Viscoelastic Layer with a Dissipative Memory, J. Acoust. Soc. Amer., 56, 897-904, (1974).

[2] H. Chamati and N. S. Tonchev, Generalized Mittag-Leffler Functions in the Theory of Finite-Size Scaling for Systems With Strong Anisotropy and/or Long-Range Interaction, J. Phys. A: Math. Gen., 39, 469-478, (2006).

[3] Debnath, Recent Applications of Fractional Calculus to Science and Engineering, Int. J. Math. Math., 2003, 3413-3442 (2003).

[4] R. Figueiredo Camargo, Ary O. Chiacchio and E. Capelas de Oliveira, Differentiation to Fractional Orders and the Fractional Telegraph Equation, J. Math. Phys., 49, 033505, (2008) [DOI 10.1063/1.2890375].

[5] R. Figueiredo Camargo, Ary O. Chiacchio e E. Capelas Teorema de Adi¸c˜ao para as Fun¸c˜oes de Mittag-Leffler, Submetido ao XXXI CNMAC, (2008).

[6] R. Figueiredo Camargo, Do Teorema de Cauchy ao M´etodo de Cagniard, Disserta¸c˜ao de Mestrado, Unicamp, Campinas, (2005).

[7] R. Figueiredo Camargo, E. Capelas de Oliveira e Ary O. Chiacchio, Sobre a Fun¸c˜ao de Mittag-Leffler, R. P., 15/2006, Unicamp, Campinas, (2006).

[8] T. T. Hartley and C. F. Lorenzo, A Solution to the Fundamental Linear Fractional Order Differential Equation, NASA/TP-1998-208693 (1998).

[9] A. A. Kilbas, H. M. Srivastava and J. J. Trujillo, Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Mathematics Studies, Vol. 204, Edited by Jan van Mill, Elsevier, Amsterdam, (2006).

[10] C. F. Lorenzo and T. T. Hartley, Initialized Fractional Calculus, NASA/TP-2000-209943, (2000).

[11] F. Mainardi and R. Gorenflo, On Mittag-Leffler-Type Functions in Fractional Evolution Pro-cess, J. Comput. Appl. Math., 118, 283-299, (2000).

[12] I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Mathematics in Science and Engineering, Vol.198, Academic Press, San Diego, (1999).

[13] T. R. Prabhakar, A Singular Integral Equation With Generalized Mittag-Leffler Function in the Kernel, Yokohama Math. J., 19, 7-15, (1971).

[14] A. P. Prudnikov, Y. A. Brychkov and O. I. Marichev, Integrals and Series, vol. I, II, III, Elementary Functions, Gordon and Breach, New York, (1986).