RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA PROVA DE MATEMÁTICA FGVSP - ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO 2016

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RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

PROVA DE MATEMÁTICA FGVSP -

ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO 2016

Questão 01 De acordo com matéria da revista The Economist divulgada em 2014, o Brasil tem o quinto Big Mac mais caro do mundo, ao preço de US$ 5,86. A mesma matéria aponta o preço do Big Mac nos EUA (US$ 4,80) como o décimo quarto mais caro do mundo. Se usássemos o preço do Big Mac nos EUA (em US$) como referência de preço, então o preço do Big Mac no Brasil (em US$) supera o dos EUA em, aproximadamente,

(A) 22%. (B) 18%. (C) 16%. (D) 12%. (E) 6%. RESOLUÇÃO:

Para determinar o valor do percentual pedido, encontra-se o valor da seguinte razão ... 0,220833.. 80 , 4 06 , 1 80 , 4 80 , 4 86 , 5  _{ } RESPOSTA: Alternativa A.

Questão 02 Na reta numérica indicada a seguir, todos os pontos marcados estão igualmente espaçados.

Sendo assim, a soma do numerador com o denominador da fração irredutível que representa x é igual a (A) 39. (B) 40. (C) 41. (D) 42. (E) 43. RESOLUÇÃO: O intervalo de 7 3 a 7 4

, representado na reta, está dividido em quatro partes iguais a m.

Então, . 28 1 4 1 7 1 4 : 7 1 4 : 7 3 7 4                                  m m m m 41 28 13 28 13 28 1 12 28 1 7 3 7 3_{    }  _{     }  m x x soma x . RESPOSTA: Alternativa C.

Questão 03 Um professor de matemática aplica três provas em seu curso (P1, P2, P3), cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final do aluno é a média aritmética ponderada das três provas, sendo que o peso da prova Pn é igual a n2. Para ser aprovado na matéria, o aluno tem que ter nota final maior ou igual a 5,4. De acordo com esse critério, um aluno será aprovado nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas primeiras provas, se tirar na P3, no mínimo, nota

(A) 7,6. (B) 7,9. (C) 8,2. (D) 8,4. (E) 8,6.

RESOLUÇÃO:

A média final é determinada segundo a relação:

4 , 5 14 9 4 3 2 1 3 2 1 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 2              P P P M P P P Mfinal final

Como um aluno pode ser aprovado nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas primeiras provas, apenas com a nota da P3, imagine-se que tenha tirado zero nas duas primeiras

4 , 8 75,6 9 4 , 5 14 9 0 0 3 3 3 _{    }   P P P . RESPOSTA: Alternativa D.

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Questão 04 O triângulo ABC possui medidas conforme indica a figura a seguir.

A área desse triângulo, em cm2, é igual a

(A) 8. (B) 6 2. (C) 4 6. (D) 10. (E) 6 6.

RESOLUÇÃO:

No triângulo ABC aplicando a lei dos cossenos em relação ao ângulo α:

 

5 3 cos 24 cos 40 cos 40 41 65 cos 4 5 2 4 5 652 2 2                   

Sendo 0° < α <180°, sen α é um número positivo.

5 4 α sen 25 16 α sen 25 9 1 α sen 1 α sen 5 3 1 α sen α cos 2 2 2 2 2 2 _{         }        

Cálculo da área do triângulo ABC em função do sen α: 8 S 5 4 5 4 2 1 S senα c b 2 1 S           cm2. RESPOSTA: Alternativa A.

Questão 05 Três números formam uma progressão geométrica. A média aritmética dos dois primeiros é 6, e a do segundo com o terceiro é 18. Sendo assim, a soma dos termos dessa progressão é igual a (A) 18. (B) 36. (C) 39. (D) 42. (E) 48.

RESOLUÇÃO:

Sejam a, aq e aq2esses números.





                                             3 4 12 12 3 3 12 36 ) 1 ( ) 1 ( : 36 ) 1 ( 12 ) 1 ( 36 12 18 2 6 2 1 2 2 2 a a a q q a q aq E E q aq q a aq aq aq a aq aq aq a

Os três números em P.G. são: 3, 9 e 27 cuja soma é 39. RESPOSTA: Alternativa C.

Questão 06 O resto da divisão do número 62015 por 10 é igual a

(A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 8. (E) 9.

RESOLUÇÃO:

Conjunto das potências de 6 com expoentes maiores que zero:



61, 62, 63,...66, 67,...







6, 36, 216,...46656, 279936,...



Pela observação pode-se concluir que o algarismo das unidades de qualquer potência de 6 é 6.

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caminhada em linha reta de 10 metros (cada um) na mesma direção, mas em sentidos contrários. Depois dessa caminhada, André lança uma moeda honesta e, se der cara, gira 90° para a direita e caminha mais 10 metros em linha reta, na direção e no sentido para os quais está voltado; se der coroa, gira 90° para a esquerda e caminha mais 10 metros em linha reta, na direção e no sentido para os quais está voltado. Bianca faz o mesmo que André. Depois dessa segunda caminhada de ambos, André e Bianca repetem o mesmo procedimento em uma terceira caminhada de 10 metros. Ao final dessa terceira caminhada de ambos, a probabilidade de que André e Bianca se encontrem é igual a

(A) 12,5%. (B) 25%. (C) 37,5%. (D) 50%. (E) 62,5%.

RESOLUÇÃO:

Para que André e Bianca se encontrem num mesmo ponto após a terceira caminhada é necessário que suas caminhadas ocorram como está descrito na figura I ou como na figura II.

Logo a probabilidade pedida é: 0,125 12,5%

8 1 16 1 16 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1_{           }  p . RESPOSTA: Alternativa A

Questão 08 As cordas ABe CD de uma circunferência de centro O são, respectivamente, lados de polígonos regulares de 6 e 10 lados inscritos nessa circunferência. Na mesma circunferência, as cordas

ADe BC se intersectam no ponto P, conforme indica a figura a seguir.

A medida do ângulo BPˆD, indicado na figura por α, é igual a

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RESOLUÇÃO:

Sendo a corda ABo lado de um hexágono regular, a medida do menor arco que ela determina na circunferência é 60

6 360

.

Sendo a corda CD o lado de um decágono regular, a medida do menor arco que ela determina na circunferência é 36

10 360

.

A medida de um ângulo excêntrico interno é a semissoma dos arcos que seus lados determinam na circunferência.

      48 2 36 60  .                180  180   180 48  132  RESPOSTA: Alternativa E.

Questão 09 No plano cartesiano, a equação da reta tangente ao gráfico de x2 + y2 = 25 pelo ponto (3,4) é

(A) 4x + 3y – 25 = 0. (C) 4x + 5y – 9 = 0. (E) 3x + 4y – 5 = 0. (B) 4x + 3y – 5 = 0. (D) 3x + 4y – 25 = 0.

RESOLUÇÃO:

O ponto A(3,4) pertence à circunferência x2 + y2 = 25 e tem centro no ponto O(0, 0).

Sendo a reta r tangente à circunferência no ponto A(3,4) é perpendicular ao raio OA .

O coeficiente angular da reta s é igual a

3 4 0 3 0 4 _      O A O A x x y y . Então, sendo r  s o coeficiente da reta r é

4 3  . Considere-se y xb 4 3

como equação da reta r. Logo 4 25 4 9 4 3 4 3 4  bb  b Assim: 4 3 25 3 4 25 0 4 25 4 3 _{       }   x y x x y y . RESPOSTA: Alternativa D.

Questão 10 O domínio da função real definida por f(x) 6 2x7 é {x ∈ IR / m ≤ x ≤ n}. Em tal condição, a média aritmética simples entre o menor valor possível para m e o maior valor possível para n é igual a

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O domínio da funçãof(x) 6 2x7 é constituído pelos valores de x que satisfazem ao

sistema          0 7 2 0 7 2 6 x x 2 29 2 7 2 7 2 29 2 7 29 2 2 7 36 7 2 7 2 6 7 2 0 7 2 0 7 2 6 _{  }                                              x x x x x x x x x x x O domínio da função é       _{   }  2 29 2 7 ; x R x S Sendo 2 7   m (Maior valor de m) e 2 29

n (Menor valor de n) , a média aritmética entre esses dois

valores é 5,5. 4 22 2 2 29 2 7     RESPOSTA: Alternativa B. Questão 11

Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas entre si, e

perpendiculares à reta t. Sabe-se, ainda, que AB = 6 cm, CD = 3 cm, AC é perpendicular a CD , e a medida do ângulo entre CD e a reta s é 30°.

Nas condições descritas, a medida de DE , em cm, é igual a

(A) 123 3 (C) 64 3 (E) 32 3

(B) 122 3 (D) 62 3

RESOLUÇÃO:

As retas r e s são paralelas e CD um segmento a elas transversal.

Os ângulos DCˆF e BDˆC são alternos internos formados por essas paralelas e a transversal, logo são congruentes, têm a mesma medida 30°.

Como AC é perpendicular a CD, o ângulo DCˆB é reto. No triângulo BCD tem-se 3 2 3 6 2 3 x 3 60 x 3_{      } x x sen .

No triângulo retângulo AEB, tem-se 3 2 6 2 1 6 y 30 6 y_{      } y x sen . DE = x + y  DE = 2 33 RESPOSTA: Alternativa E.

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Questão 12

Sabendo-se que o resto da divisão do polinômio P(x) = x3 – x2 + 2k + 2 por x – 3 é igual a 4k – 220, o valor de k é (A) – 4. (B) –2. (C) 2. (D) 3. (E) 4. RESOLUÇÃO: x3 – x2 + 2k + 2 x – 3 – x3 _{+ 3x}2 _x2 _{+ 2x + 6} 2x2 + 0x + 2k + 2 –2x2 + 6x + 6x + 2k + 2 – 6x + 18 2k + 20 Ou por Briot-Ruffini. 3 6 18 3 1 – 1 + 0 (2k + 2) 1 + 2 + 6 +(2k + 20 Resto 2k+20 = 4k – 220  22k – 2k = 240 Fazendo 2k = y  y2 – y – 240 = 0 2 31 1 2 960 1 1  _{ }   y y , sendo 2k = y, y > 0 tem-se: 4 2 2 16 2 31 1 _{  } 4_{ }  k y k . RESPOSTA: Alternativa E. Questão 13 O produto                             2015 1 1 . ... . 4 1 1 . 3 1 1 . 2 1 1 é igual a (A) 2014–1 (C) (2014.2015)–1 (E) 1008.2015–1 (B) 2015–1 (D) 2014.2015–1 RESOLUÇÃO:                             2015 1 1 . ... . 4 1 1 . 3 1 1 . 2 1 1

Efetuando as operações entre parênteses chegamos a : 

                                         2015 2014 . 2014 2013 . 2013 2012 ... . 5 4 . 4 3 . 3 2 . 2 1

Efetuando a simplificação por cancelamento tem-se 20151 2015

1 _ 

RESPOSTA: Alternativa B.

Questão 14 A equação algébrica ax3 + bx2 + cx + d = 0 possui coeficientes reais a, b, c, d, todos não nulos. Sendo x1, x2 e x3 as raízes essa equação, então

1 3 2 1 1 1 1          x x x é igual a (A) c d  (B) d c  (C) a d  (D) b a  (E) a b 

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c d a c a d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                         2 1 3 1 3 2 3 2 1 1 3 2 1 2 1 3 1 3 2 1 3 2 1 . . . . . . . . . . 1 1 1

Aplicando as relações entre raízes e coeficientes:

a d x x x₁. ₂. ₃  e a c x x x x x x₂. ₃ ₁. ₃ ₁. ₂  , então c d a c a d x x x x x x x x x _     _{1 3 1 2} 3 2 3 2 1 . . . . . . RESPOSTA: Alternativa C.

Questão 15 Certa empresa teve seu faturamento anual aumentado de R$ 80.000,00 para

R$ 400.000,00 em três anos. Se o faturamento cresceu a uma mesma taxa anual nesse período, essa taxa foi igual a

(A)



100.log35



% (C)



100.35100



% (E) % 3 100       (B)



100.34



% (D) % 3 200       RESOLUÇÃO:

Considere-se i como a taxa anual de crescimento.

80000 . (1 + i).(1 + i) . (1 + i) = 400000  (1 + i)3 = 5  (1 + i) = 35  i = 35  1 i = (10035  100)%

RESPOSTA: Alternativa C.

Questão 16 Observe o gráfico da função f no plano cartesiano. Dentre as expressões apresentadas nas alternativas a seguir, a única que pode corresponder à lei da função f é

(A) f(x) = (x – 1)2 · (x – 2)2 (B) f(x) = (x – 1)2 · (x – 2)2 · (x + 1) · (x + 2) (C) f(x) = (x2 – 1) · (x2 – 4) (D) f(x) = (x2 – 1) · (x2 – 4) · (x – 1) (E) f(x) = (x2 – 1) · (x2 – 4) · (x + 1) RESOLUÇÃO:

Analisando o gráfico da função conclui-se que ela é do 5o grau. A função tem 5 raízes: 2, 1, 2, 1 e 1. Duas raízes iguais a 1 porque o gráfico tangencia o eixo das abscissas no ponto (1, 0). Sua equação pode ser escrita:

f(x) = (x +2) (x +1) (x – 2) (x – 1) (x – 1)  f(x) = (x2 – 1) · (x2 – 4) · (x – 1).

RESPOSTA: Alternativa D.

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Questão 17 Sendo p e q números reais, com p>q e p+q>0, definiremos a operação # entre p e q da seguinte forma: p # q=p2–q2+log(p+q), com log(p+q) sendo o logaritmo na base 10 de (p+q). Utilizando-se essa definição, o valor de 10 # (–5) é igual a

(A) 176 – log 2 (C) 76 – log 2 (E) 74 – log 2 (B) 174 – log 2 (D) 74 + log 2 RESOLUÇÃO: . 2 log 76 2 log 10 log 75 2 10 log 75 5 log 25 100 ) 5 10 log( ) 5 ( 10 ) 5 ( # 10   2  2            RESPOSTA: Alternativa C.

Questão 18 Os marcos A, B, C e D de uma cidade estão conectados por pistas de rodagem, conforme mostra a malha viária indicada no diagrama da figura 1. A figura 2 indica uma matriz que representa as quantidades de caminhos possíveis de deslocamento entre os marcos (dois a dois). Considera-se um caminho entre dois marcos qualquer percurso que não viole o sentido da pista, que não passe novamente pelo marco de onde partiu e que termine quando se atinge o marco de destino final pela primeira vez. As flechas da figura 1 indicam o sentido das pistas de rodagem.

Durante período de obras na malha viária descrita, a pista de rodagem entre os marcos A e D passou a ser de mão simples (sentido de A para D), e a pista do marco C para o marco D, ainda que tenha permanecido com mão simples, teve seu sentido invertido, passando a ser de D para C. Comparando os 16 elementos da matriz da figura 2 com seus correspondentes na matriz da nova configuração de malha viária, a quantidade de elementos que mudarão de valor é igual a

(A) 5. (B) 6. (C) 7. (D) 8. (E) 9.

RESOLUÇÃO:

Como durante o período de obras a pista de rodagem entre os marcos A e D passou a ser de mão simples (sentido de A para D), e a pista do marco C para o marco D, permaneceu com mão simples, porém com seu sentido invertido, passando a ser de D para C, o gráfico ao lado representa o novo planejamento

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1 linha) AA (0); AB; ADCB; ACB (3)

ABDC; ADC; AC (3) AD; ABD; ACBD (3) 2a linha) BA (1); BB (0); BDC (1); B D (1) 3a linha) CA (1); CB; CAB (2) ; CC (0) CBD; CAD; CABD (3) 4a linha) DCA(1); DCB; DCAB (2) DC (1); DD (0);             0 1 2 1 3 0 2 1 1 1 0 1 3 3 3 0 D C B A D C B A 2 FIGURA 0 1 2 1 4 0 3 3 1 1 0 1 4 1 2 0 D C B A D C B A                         0 1 2 1 0 1 1 0 1 0 D C B A D C B A 3 2 1 3 3 3

Comparando as duas matrizes conclui-se que mudarão de valor os 6 elementos (A, B), (A, C),

(A, D), (C, A), (C, B) e (C, D).

RESPOSTA: Alternativa B.

Questão 19 Maria repartiu, entre seus cinco sobrinhos, o seguinte valor monetário: uma moeda de 25 centavos, uma moeda de 50 centavos, uma moeda de 1 real, uma nota de 2 reais e uma nota de 5 reais. Depois de feita a repartição, todos receberam algum valor monetário. A respeito da repartição, Maria e seus sobrinhos fizeram os seguintes comentários:

 Aldo: “Recebi a moeda de 1 real”.

 Bruno: “Não recebi a nota de 2 reais”.

 Cláudio: “Bruno recebeu mais dinheiro do que eu”.

 Daniel: “Aldo recebeu a moeda de 50 centavos”.

 Eric: “Cláudio não recebeu a nota de 2 reais”.

 Maria: “Daniel recebeu menos dinheiro do que Aldo”.

Se apenas uma das seis pessoas disse a verdade em seu comentário, é correto concluir que Aldo recebeu

(C) 1 real. (E) 5 reais.

(A) 25 centavos. (D) 2 reais. (B) 50 centavos.

RESOLUÇÃO:

Pela análise das afirmativas, chega-se à conclusão de que Bruno e Eric não podem estar

mentindo ao mesmo tempo. Um deles está falando a verdade.

1. Bruno está falando a verdade:

I.

Aldo não recebeu a moeda de 1 real;

II.

Aldo não recebeu a moeda de 50 centavos;

III.

Cláudio recebeu a nota de 2 reais;

IV.

Daniel recebeu mais dinheiro que Aldo.

V.

Pelas três primeiras conclusões conclui-se que Aldo recebeu a moeda de 25 centavos

ou a nota de 5 reais.

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VI.

Pela 4

a

conclusão como Daniel recebeu mais dinheiro que Aldo, este somente poderá

ter recebido 25 centavos.

2. Eric está falando a verdade:

I.

Aldo não recebeu a moeda de 1 real;

II.

Bruno recebeu a nota de 2 reais;

III.

Bruno recebeu menos dinheiro do que Cláudio;

IV.

Cláudio recebeu a nota de 5 reais;

V.

Aldo não recebeu a moeda de 50 centavos.

VI.

Logo Aldo não recebeu as moedas de 50 centavos e de 1 real e nem as notas de 2 e 5

reais;

Conclusão: Aldo recebeu a moeda de 25 centavos.

RESPOSTA: Alternativa A

Questão 20 Para 1 < x < y < x+y, seja S = {1, x, y, x + y}. A diferença entre a média e a mediana dos elementos de S, nessa ordem, é igual a

(A) 2 1 (C) 2 4 1 y (E) 4 2 1x y (B) 4 1 (D) 4 y x RESOLUÇÃO:

A média dos elementos de S é

4 1 2 2 4 ) ( 1xy xy _ x y . A mediana desses valores é

2

y x

.

A diferença entre a média e a mediana dos elementos de S, nessa ordem, é igual a





4 1 4 2 1 2 2 2 4 1 2 2x y _xy _ x y  xy _ . RESPOSTA: Alternativa B.

Questão 21 Observe o plano Argand-Gauss a seguir:

Elevando-se a 2015 o número complexo indicado nesse plano Argand-Gauss, o afixo do número obtido será um ponto desse plano com coordenadas idênticas e iguais a

(A) 22015 (B) 21007 (C) 1 (D) 2–2015 (E) –21007 RESOLUÇÃO:

O número complexo representado acima no plano Argand-Gauss é z = 1 – i

 

  

 

 

 

  



 







 

  

 

 

 

   i z i i z i i z i i z2015 1 2015 2015 1 2014 1 2015 1 21007 1 2015 2 1007 1

 

  

 

  

 

  

 

  

 

 

   

     i i z i i z i i z2015 21007 1007 1 2015 21007 3 1 2015 21007 1

 



i



z

 

  

i z

 

i z i z2015 21007  1  2015 21007 11  2015210071  20152100721007 As coordenadas são iguais a 21007.

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Questão 22

No intervalo de 0 a π, a função que permite calcular a área A da região limitada pelo eixo x, pelas retas de equações x = p e x = q e pelo gráfico da função definida por y = sen x é dada por A = cos p – cos q.

Com base na informação fornecida, observe a figura a seguir.

A área da região sombreada nessa figura é, aproximadamente, igual a

(A) 2,64. (B) 2,14. (C) 1,86. (D) 1,14. (E) 0,86. RESOLUÇÃO:

A área da região em verde é: A = cos 0 – cos  = 1 – (– 1) =2.

A área sombreada em cinza é a diferença entre a área do retângulo, de base 

pintada de verde:

S = 1. - A = 3,14 – 2 = 1,14.

RESPOSTA: Alternativa D.

Questão 23 Em uma rifa, são vendidos 100 bilhetes com números diferentes, sendo que 5 deles estão premiados. Se uma pessoa adquire 2 bilhetes, a probabilidade de que ganhe ao menos um dos prêmios é de (A) 330 31 (B) 495 47 (C) 198 19 (D) 165 16 (E) 990 97 RESOLUÇÃO:

A probabilidade da pessoa não ganhar é que seus bilhetes estejam entre os 95 que não foram premiados: 990 893 9900 8930 99 94 100 95 _{  } .

A pessoa adquiriu 2 bilhetes dos 100 bilhetes vendidos, a probabilidade de que ganhe ao menos um dos prêmios é de 990 97 990 893 990 990 893 1    . RESPOSTA: Alternativa E.

12

Questão 24 No plano cartesiano, a área do polígono determinado pelo sistema de inequações

           4 2 3 12 4 3 0 x y x x é igual a (A) 12. (B) 12,5. (C) 14. (D) 14,5. (E) 15. RESOLUÇÃO: 3 0x e    2 4 3 12 4 x y x                            4 2 4 3 4 3 0 4 2 3 12 4 3 0 x y x y x x y x y x

Esta inequação determina no plano cartesiano o triângulo ABC cuja base mede AC = 10 e altura

BH = 3.

A área deste triângulo é: 15 2

3 10 _

RESPOSTA: Alternativa E.

Questão 25 A figura indica um semicírculo de centro C e diâmetro DE = 24 cm, e um triângulo retângulo ABC. A área sombreada no semicírculo é igual a 69π cm2.

Nas condições descritas, a medida do ângulo , denotado por α, é igual a

(A) 75°. (B) 75,5°. (C) 82°. (D) 82,5°. (E) 85°. RESOLUÇÃO: Área do semicírculo: 2 2 2

72

2

)

(12

cm

cm

S









.

Razão entre a área do sector circular ACB e a do semicírculo:

24

1

72

3

72

69

72

2 2 2









cm

cm

cm

R







Medida em graus do setor circular:





180





7

,

5



24

1



.

No triângulo retângulo ABC:









90









90













90





7

,

5









82

,

5



13

meio da fórmula

3 2.PV.AB

, sendo V o vértice da parábola.

Sendo b um número real positivo, a parábola de equação y = –0,5x2 + bx determina, com o eixo x do plano cartesiano, um segmento parabólico de área igual a 18. Sendo assim, b é igual a

(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5. (E) 6.

RESOLUÇÃO:

Fatorando o segundo membro da equação y = –0,5x2 + bx  y = –x(0,5x – b). Determinando as raízes desta equação: –x(0,5x – b) = 0  –x = 0 ou 0,5x – b = 0  x' = 0 ou x’’ =

b

2

b

5

,

0



.

Agora as coordenadas do vértice da parábola determinada pela equação y = –0,5x2 + bx:





.

1

5

,

0

2

2

x

b

b

x

b

x

a

b

x

_{V V V}



_V























 





.

2

2

5

,

0

4

4

2 2 2

b

y

b

y

b

y

a

y

_{V V V}



_V

























PV =

,

2

2

b

AB = 2b.

Se a área do segmento parabólico é igual a 18 e ela é calculada pela relação 3 2.PV.AB :

3

27

18

3

2

18

3

.2b

2

b

2.

18

3

2.PV.AB

3 3 2































b

b

b

RESPOSTA: Alternativa B.

14

Questão 27 Sendo k um número real, o sistema linear

       k 4y 6x 21 6y 9x

possui infinitas soluções (x,y) para k igual a

(A) –10,5. (B) 0. (C) 7. (D) 10,5. (E) 14.

RESOLUÇÃO: Para o sistema linear

       k 4y 6x 21 6y 9x

possuir infinitas soluções é preciso que , x e y sejam iguais a zero.

0

36

36

4

6

6

9

























































0

84

6

84

6

0

6

84

4

6

21

k

k

k

k

x x





























0

9

126

9

126

0

9

126

6

21

9

k

k

k

k

y y RESPOSTA: Alternativa E.

Questão 28 O número de pares ordenados (x,y), com x e y inteiros, que satisfazem a desigualdade x2 + y2 – 8x + 11 ≤ 0 é igual a

(A) 24. (B) 21. (C) 19. (D) 18. (E) 13.

RESOLUÇÃO:

x2– 8x + 16 + y2 – 16 + 11 = 0  (x – 4)2 + (y – 0)2 – 5 = 0  (x – 4)2 + (y – 0)2 = 5 A circunferência de equação x2 + y2 – 8x + 11= 0 tem centro no ponto (4, 0) e raio

5

.

Traçando essa circunferência e destacando na figura todos os pontos determinados pelos pares (x, y) em que os valores de x e y são inteiros conclui-se que a quantidade desses pares é 21:

(2,0), (2,1), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (3, 1), (3, 2) (4,0), (4,1), (4,2), (4, 1), (4, 2), (5,0), (5,1), (5,2), (5,

1), (5, 2) (6,0), (6,1) e (6,1). RESPOSTA: Alternativa B.

15

em uma circunferência de centro O. O hexágono é recortado, e, em seguida, faz-se um recorte no raio

OB . A partir do recorte no raio, o pedaço de papel será usado para formar uma pirâmide de base quadrangular e centro O. Tal pirâmide será feita com a sobreposição e a colagem dos triângulos OAB e OCD, e dos triângulos OAF e OBC.

O volume da pirâmide formada após as sobreposições e colagens, em cm3, é igual a

(A) 3 2 (B) 3 3 (C) 4 2 (D) 2 2 9 (E) 2 3 9 RESOLUÇÃO:

A figura 1 representa a sobreposição e a colagem dos triângulos OAB e OCD, e dos triângulos OAF e OBC.

A figura 2 representa a planificação das faces laterais da pirâmide quadrangular a ser formada.

A figura 3, a pirâmide de altura OO’ = h, faces laterais são triângulos equiláteros de lados medindo 3 cm e base quadrada de lado 3cm.

O segmento EC é a diagonal da base e sua medida é EC 3232 3 2. No triângulo retângulo AO’O, O’C=

2 2 3 cm, AO = 3cm e OO’ = h: 2 2 3 2 3 2 9 2 9 18 2 9 9 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 _{    }  _{     }           h h h h h h . O volume da pirâmide é: 2 2 9 2 2 3 3 3 1 2 _            V cm³. RESPOSTA: Alternativa D.

16

Questão 30 Alfredo e Breno partem, ao mesmo tempo, dos pontos A e B, respectivamente, ambos caminhando sobre a reta AB , mas em sentidos contrários. No momento em que eles se encontram, Alfredo havia percorrido 18 km a mais do que Breno. Logo depois do encontro, eles continuam suas caminhadas sendo que Alfredo leva 4 horas para chegar em B, percorrendo x quilômetros, e Breno leva 9 horas para chegar em A. Admitindo-se que Alfredo e Breno fizeram suas caminhadas com velocidades constantes durante todo o tempo, x será a raiz positiva da equação

(A) 5x2 – 36x – 684 = 0. (D) 5x2 – 144x – 1 296 = 0. (B) 5x2 – 72x – 1 296 = 0. (E) 5x2 – 144x – 1 368 = 0. (C) 5x2 – 72x – 1 368 = 0. RESOLUÇÃO: t x x VAlfredo 18 4    . 9 18    x t x VBreno .

Montando e desenvolvendo o sistema de equações:





_ 



                                        1296 144 4 9 72 4 18 9 18 9 72 4 9 18 t 72 4 9 18 18 4 2 2 x x x x x x x x x t x x t x x x x t x t x t x x . RESPOSTA: Alternativa D.