Probabilidade
Os ar J. P.
Eboli e J. Fernando Perez
Instituto de Fsi a
Universidade de S~ao Paulo
Breve Introdu ~ao a Teoria da
Probabilidade
A Me ^ani a Qu^anti a traz emsua estrutura objetos que, independente
de qualquer postulado interpretativo, s~ao des ritos em Matemati a no
ontexto da Teoria das Probabilidades. Os postulados interpretativos
tornam-se naturais do ponto de vista on eitual ao onstatarmos esse
fato. Este ap^endi e tem por objetivo sumarizar e familiarizar o leitor
om esse instrumentalmatemati o.
A.1 Con eitos basi os
A teoria da probabilidade e o aptulo da Matemati a que forne e as
ferramentas on eituais para a analise de fen^omenos que em Ci^en ias
Naturaiss~ao lassi ados omoaleatorios. A palavraaleatorioe usada
para ontrastar omapalavradeterminsti o noseguintesentido.
Con-sideremos um onjunto C de ondi ~oes sob as quais um determinado
experimento e realizado. Um determinado evento A e denominado
erto, seguro ou ne essario se ada vez que o experimento for
reali-zado observando-se exatamente as mesmas ondi ~oes C, veri ar-se a
o orr^en ia doevento A. Se ao ontrario sob as mesmas ondi ~oes C o
evento A nun a o orre, elee de larado impossvel. Um sistemafsi oe
dito determinsti o quando ada eventopode ser apenas ne essarioou
Exemplo: Se um objeto apenas sob a a ~ao da for a da gravidade,
num lo al onde a a elera ~ao da gravidade tem o valor g, for
abando-nado om velo idadeini ial zero ea uma altura h do solo( onjunto C
de ondi ~oes), ent~ao ne essariamente o objeto atingira o solo om
ve-lo idadev = p
2gh (eventoA). De maneirageral, todos osfen^omenos
des ritos no ^ambito da Me ^ani a Classi a, quando o onjunto C de
ondi ~oes forne e om pre is~aoabsolutaasposi ~oesevelo idades
ini i-aisde todas aspart ulas envolvidas bem omo asfor as atuantes, s~ao
determinsti os, istoe, todoevento e ne essario ouimpossvel.
Ha poremfen^omenos para os quais aespe i a ~aode um onjunto
C de ondi ~oes pode ser insu iente para que um determinado evento
Asejaapenas ne essarioouimpossvel,i.e. oeventoAasvezes o orre
eas vezes n~ao. Tais fen^omenos s~aoal unhados de aleatorios.
Exemplo: Osexemplosmaistpi oss~aooslan amentosdeummesmo
dado oude uma mesmamoeda ( onjunto C de ondi ~oes) e os eventos
referem-se aos resultados, por exemplo, A = dar ara no lan amento
da moeda ou dar o numero 4 no lan amento do dado. Note que se
o onjunto C de ondi ~oes forne er exatamente a posi ~ao ini ial e
ve-lo idade ini ial de todos os pontos dos solidos envolvidos ent~ao esses
dois fen^omenoss~aode natureza determinsti a: esoanossa ignor^an ia
sobre as ondi ~oes ini iais bem omo a di uldade de pre isa-las de
forma absoluta que determinam o arater aleatorio desses fen^omenos.
Umades oberta relativamentere entemostra poremque os hamados
sistemas aoti os, embora des ritos no ^ambito da Me ^ani a Classi a e
portanto determinsti os, por apresentarem extrema sensibilidade em
rela ~aoas ondi ~oes ini iais,devemser tratados omoaleatorios jaque
mnimasin ertezas omrela ~aoas ondi ~oesini iaisimpli amnumgrau
imprevisibilidadequase que absoluto.
A.1.1 Espa o amostral
Dado um fen^omeno aleatorio, tal omo o resultado de uma roleta ou
Exemplos:
Para des rever o resultado do lan amento de uma moeda temos
um espa o amostral om 2 elementos, a saber, S
0
= f 1; +1g
ondeoponto 1representaC arae+1representaK oroa.
E laroque o onjuntoS
0
pode ser substitudoporqualquer
on-junto om exatamentedois elementos.
No aso do lan amento de 1 dado o espa o amostral pode ser
representado pelo onjuntoS
1
=f1;2;3;4;5;6g.
Para o lan amento de 2 dados o espa o amostral e dado pelo
produto artesianoS 2 =S 1 S 1 =f(1;1);(1;2);(1;3);:::;(6;5); (6;6)g = fx = (x 1 ;x 2 ) j x i 2 S 1 ; i = 1;2g om 36 elementos.
Analogamente o lan amento de N dados pode ser des rito por
S =(S 1 ) N = fx = (x 1 ;x 2 ;:::;x N ) j x i 2 S 1 ; i = 1;2;:::;Ng ou
porqualquer onjunto om 6 N
elementos.
No lan amento de 3 moedas podemos utilizar
S 3 = f(CCC); (CCK); (CKC); (KCC); (CKK); (KCK); (KKC); (KKK)g = fC;Kg fC;Kg fC;Kg ; om2 3 elementos,ousimplesmenteS 3 =(S 0 ) 3 =fx=(x 1 ;x 2 ;x 3 ) jx i 2S 0
; i=1;2;3g. De novo, para olan amentode N moedas
podemos tomar omo espa o amostral o produto artesiano S =
(S 0 ) N =fx=(x 1 ;x 2 ;:::;x N ) jx i 2S 0 ; i=1;2;:::;Ng.
De maneira geral se S e o espa o amostral que des reve um
de-terminadofen^omenoaleatorio,oespa o adequadopara des rever
N repeti ~oes dependentes ou independentes do experimento e o
produto artesiano (S) N = fx = (x 1 ;x 2 ;:::;x N ) j x i 2 S; i = 1;2;:::;Ng.
deumapart ulaexe utandomovimentoBrownianopodeser
des- rito porS =R 3
.
Avidautilde l^ampadasemhorasestaasso iadaaoespa o
amos-tralS =fx2R j 0<x5000 horasg.
A.1.2 Eventos
De nimos um EVENTO (E) omo sendo qualquer sub onjunto do
espa o amostral. Nas apli a ~oes prati as um evento refere-se a algum
aspe toobservavelnumdeterminadoexperimento omespa oamostral
S dado.
Exemplos:
DadoS
1
a ima, podemos onsiderar osseguintes eventos:
E
1
=f1;3;5g,istoe, oresultado empar.
E
2
=f2;4;6g,istoe, oresultado epar.
E
3
=f1;2;3;5g,istoe,o resultado e primo.
Para o espa oS
2
a ima, podemoster E
1 =f(2;2); (1;3); (3;1)g = f(x 1 ;x 2 )2S 2 jx 1 +x 2
=4g,istoe,soma4em2lan amentos.
No lan amento de tr^es moedas S
3 : F
1
= f2 oumais aras g =
f(CCC);(CCK);(CKC);(KCC)g orrespondendo a
proprieda-de de haver pelo menos 2 \ aras " em3 lan amentos da moeda.
Alternativamenteo onjuntoF
1
podeserdes ritoatravesde F
1 = fx=(x 1 ;x 2 ;x 3 )2S 3 jx 1 +x 2 +x 3 1g.
Duaspessoas ombinamdeseen ontraremumdeterminadolo al
nointervalodetempoquevaidas2ateas3horasdatarde, oma
min-dentro dointervalode tempo ombinado,o espa oamostral
ade-quado pode ser des rito omo S
4 =[0;60℄ 2 =fx=(x 1 ;x 2 ) j x i 2
[0;60℄; i = 1;2g. O evento E orrespondente a o orr^en ia do
en ontroe dado por
E =fx2S 4 jjx 1 x 2 j<10g:
E onvenienteintroduzir dois eventos triviais:
E=S evento erto poissempre o orre;
E=; (vazio) evento impossvelvisto que nun a o orre.
Mais ainda, dados dois ou mais eventos E e F , podemos gerar novos
eventos atraves das opera ~oes usuais de onjuntos: E [F, E \ F,
EnF. Assim, dadoum eventoE,de nimos oseu evento omplementar
E
=SnE:
De ni ~ao: dizemos que dois eventos E e F s~ao eventos
mutua-mente ex lusivosse E\F =;. Exemplos: EmS 1 oseventosE 1 eE 2
a ima,s~aomutuamenteex lusivosdado
queE 1 \E 2 =;. Em S 3 de nindo F 2 = fKKKg, segue que F 1 e F 2 s~ao
mutua-mente ex lusivos ja queF
1 \F
2 =;.
A.2 Probabilidades
Existemfen^omenosaleatoriosqueapresentam uma ara tersti anot
a-vel: dado o onjunto C de ondi ~oes, embora elas sejam insu ientes
paraqueum determinadoeventoAseja ertoouimpossvel,
repetindo-seo experimento N vezes observa-se que a fra ~ao
n
A
onde n
A
e o numero de vezes em que o evento A o orreu, tende a
estabilizar-se quando N res e, onvergindo para um numero que
de-notaremos por p A = lim N!1 n A N :
Quandoumfen^omenoaleatorioapresentaestanotavelpropriedadepara
todoevento A, dizemos queesse sistema e probabilsti o ou esto asti o
equeonumerop
A
eaprobabilidade doeventoA. Para umtalsistema
onumero p
A
representa a frequ^en ia de o orr^en ia doevento A .
Essas onsidera ~oes juntamente omaspropriedadesde frequ^en ias
motivama introdu ~ao de de ni ~aoabaixo.
De ni ~ao: A adaeventoE deumespa oamostralSasso iamosum
numerorealP(E), hamadoprobabilidade,oqualsatisfaz asseguintes
propriedades:
1. 0P(E)1;
2. P(S)=1;
3. Se os eventos E
i
; i = 1;2;::: s~ao mutuamente ex lusivos ent~ao
P([ i E i )= P i P(E i ). Exemplos:
Nolan amentodeumdadohonesto, aprobabilidadedeumadada
fa e e 1=6, i.e. para o espa o amostral S
1
se E = fxg e um
onjunto om um uni o elemento x 2 S
1
, ent~ao P(E) = 1
6 . A
probabilidade de um evento qualquer e obtida a partir destas
utilizandoapropriedade (3) a ima. 1
Uma lasse muito grande de exemplos pode ser des rita atraves
de espa os amostrais nitos, i.e., S e uma ole ~ao nita
S =fx 1 ;:::;x N g 1
de elementos. Nesse aso a probabilidade P(E) de um evento
qualquer E S pode, omo no exemplo a ima, ser
ompleta-mentede nidaapartirde uma ole ~aode N numerosfp
1 ;:::;p N g satisfazendo p i 0 , N X i=1 p i =1; onde P(x i )=p i e P(E)= X x i 2E p i :
Por exemplo, se todos os resultados possveis x
i
tem a mesma
frequ^en ia de o orr^en ia temos
p i = 1 N ;
em ujo aso aprobabilidade de um eventoE e dada por
P(E)= n E N ; onde n E
eo numerode elementosno onjunto E.
Noexemplodas3moedaslan adasindependentemente, i.e. para
oespa o amostralS
3
a probabilidadede uma sequ^en ia x2S
3 e
p
x
=1=8.
Consideremos o lan amento de dois dados que e des rito pelo
espa o amostral S
2
. A probabilidade de no segundo lan amento
sair2 ou 3,i.e. aprobabilidade doevento E =fx j x
2
2 f2;3gg
e dada por P(E) = 1
3
. Justi que esse resultado intuitivamente
obvioa partir dade ni ~aode P(E).
Considereoespa oamostralS
4
=[0;60℄ 2
introduzidoa imapara
des rever o problema do en ontro de suas pessoas. A
probabili-dade de um evento qualquer F S
4
e dada pelaraz~ao
P(F)= area de F area de S :
Exer io: Cal ulea probabilidadeP(E)de o orrer oen ontro.
Demaneirageral aes olhaaleatoriade um numeroreal no
inter-valoS
5
=[a;b℄, ondea<b, temaprobabilidadedonumeroestar
emE S 5 dada por P(E)= jEj b a ;
onde jEjeo omprimento do onjuntoE.
A.2.1 Propriedades da probabilidade
Pode-se demonstrar 2
queade ni ~aodada para aprobabilidadeP
on-duz as seguintes propriedades:
1. P( )=0 (Di a: use S =S[ e oaxioma (3) )
2. P(E
)=1 P(E) (Use que S=E+E
; E\E
= )
3. P(E[F)=P(E)+P(F) P(E\F)
4. P(E[F)=P(E)+P(E
\F)
A.2.2 Distribui ~oes de probabilidade
Para espa os amostrais ontnuos, omo nos dois exemplos anteriores,
a situa ~ao mais tpi a e quando S R n
e a probabilidade de
even-tos e de nida atraves de uma fun ~ao : S ! R om as seguintes
propriedades: a) (x)0, para todox=(x 1 ;:::;x n )2S e b) R S (x)d n x=1:
A probabilidadede evento E S e ent~aoexpressa atraves de
P(E)= Z E (x)d n x: 2
Poressa raz~aoa fun ~aoedenominadade densidadede probabilidade.
Exer io: Determine asdensidadesde probabilidadenos dois
exem-plos anteriores.
Exemplos:
Naretareal,S =Ralgumasdensidadesdeprobabilidadefreq
uen-tes s~ao:
1. Distribui ~aogaussiana,de nidaatravesde2par^ametros>
0 e x 0 2R (x)= 1 p 2 exp " (x x 0 ) 2 2 2 # ;
2. Distribui ~aode Cau hy om par^ametro >0
(x)= 1 x 2 + 2 ;
3. Distribui ~aoexponen ial om par^ametro >0
(x)= e x se x>0 0 sex0 :
Exer io: Veri que queas3 fun ~oes a imade nem densidadesde
probabilidade.
Se uma part ula em R 3
parte daorigem no instante t =0 e
ex-e utaum movimentoBrowniano num meio om onstante de
di-fus~aoD,aprobabilidadedapart ulanoinstantet0
en ontrar-se no onjunto E R 3
e dada atraves dadensidade de
probabi-lidade t (~x)= 1 (4tD) 3 2 exp ~ x 2 4tD :
Exer io: Veri que que a fun ~ao
t
s-A.2.3 Distribui ~oes mistas
Espa os amostrais ontnuos podem tambema omodar densidades de
probabilidade on entradas em pontos, om isso sendo possvel tratar
espa osamostraisdis retosatravesdedensidadesdeprobabilidade. Por
exemplo, onsideremos o espa o dis retoS
d =fa 1 ;a 2 ;:::;a n j a i 2Rg, om probabilidadesP(a i )=p i 0, quesatisfazem n X i=1 p i =1:
Ent~ao,a fun ~ao generalizadade nida noespa o amostralS =R
(x)= n X i=1 p i Æ(x a i )
pode ser usada para de nir probabilidadesde eventos E R, atraves
de P(E) = Z E dx (x) = X i2E p i ;
oque esta de a ordo om o que vimosanteriormente. Neste aso
dize-mos que a probabilidadeesta on entrada nos pontos a
i
; i=1;:::;n,
pois P(E) = 0 se o onjunto E n~ao ontiver nenhum dos pontos
a
1 ;:::;a
n .
Exer io: Veri que que a fun ~ao generalizada de ne uma
densi-dade de probabilidade e que P(E) tem as propriedades de
probabili-dade.
Em espa os amostrais ontnuos podemos a omodar superposi ~oes
de densidades ontnuas omdensidades on entradasemum onjunto
ontavel de pontos. Vejamos isto atravesde algunsexemplos.
Exemplos:
Considere S =R e
onde 0; 0 , + = 1 om
1 e
2
sendo densidades de
probabilidade. Ent~ao, tambem e uma densidade de
probabili-dade;veri que! Se
1
forporexemplo adensidade
1 = n X i=1 p i Æ(x a i ) ; omoa imae 2
forumadistribui ~ao ontnua, omoporexemplo
a gaussiana, de Cau hy ou qualquer outra dada por uma fun ~ao
positivaintegravel,tem-se ent~aouma densidade mista
P(E)= X i2E p i + Z E 2 (x)dx:
NoexemplodomovimentoBrownianoadensidade
t
quee ont
-nua para t >0, entretanto, nolimite t !0, produz a densidade
dis reta 0 (~x)=lim t!0 t =Æ(~x) ;
onsistente om a ondi ~ao de que a part ula estava na origem
em t = 0; justi que esta a rmativa! Sugest~ao: veri que antes
que o mesmo efeito o orre para as distribui ~oes gaussiana e de
Cau hy nos limites !0 e !0, respe tivamente.
A.2.4 Eventos Independentes
Em um fen^omeno aleatorio dois eventos s~ao ditos independentes se
o orr^en ia ou n~ao o orr^en ia de um deles n~ao afetar a o orr^en ia do
outro. Tipi amentetem-seemmenteexemplostais omonolan amento
de 2 dados, onde um dos eventos refere-se somente ao resultado do
primeirodadoeoutrosomenteaoresultadodosegundodado. Doponto
de vista formaltemos
De ni ~ao: Em um espa o de probabilidade om espa o amostral
Exemplos:
No lan amento de 3 moedas os eventos E = ara na primeira
=fx2S 3 jx 1 = 1g e F = oroa na segunda =fx 2S 3 jqx 2 =
+1g= s~ao independentes. Por outro lado, os eventos G= fx 2
S 3 jx 1 +x 2 =0geH =fx2S 3 jx 1 x 2 =0gn~aoindependentes.
Veri que estas a rmativas.
Exemplos tpi os de eventos independentes s~ao produzidos da
seguinte forma:
1. Considere dois espa os amostrais nitos: S = fx
1 ;:::;x n g e R = fy 1 ;:::;y m
g om probabilidades de nidas a partir
dos numeros p i = Pfx i g, i = 1;:::;n e q j = Pfy j g, j =
1;:::;m e formemos o espa o amostral produto T = S
R = f(x i ;y j );i = 1;:::;n; j = 1;:::;mg om probabilidade de nida atravesde p ij = Pf(x i ;y j )g = p i q j :
Nessas ondi ~oes os eventos E = AR e F = SB s~ao
independentes qualquer quesejam AS eB R .
2. Considere dois espa os amostrais S
1 e S
2
ontnuos, por
exemplo S 1 = S 2 = R e duas densidades 1 e 2 em R. A fun ~ao (x 1 ;x 2 )= 1 (x 1 ) 1 (x 2 )
de ne ent~ao uma densidade de probabilidade emS
1 S 2 = R 2
. Nessas ondi ~oes oseventos E =AS
2
e F = S
1 B
s~ao independentes.
Exer io. Veri que a independ^en ia dos eventos E e F nos dois
exemplosa ima.
Menos trivialdo queos asos a ima des ritos e oseguinte
exem-plo. Considere emS =R 2 adensidade gaussiana (x 1 ;x 2 )= 1 exp x 2 1 +x 2 2
e mostre que os eventos E = fx = (x 1 ;x 2 ) j (x 1 +x 2 ) 2 Ag e E = fx = (x 1 ;x 2 ) j (x 1 x 2 ) 2 Bg, onde A;B R s~ao
onjuntos arbitrarios, s~ao independentes.
A.3 Variaveis Aleatorias
Emfen^omenosaleatoriosenaturalasso iara adaresultadopossvelde
umexperimentoum numeroreal. Istoefeitode nindo-seuma variavel
aleatoriaf,a qualeuma fun ~aono espa oamostral S.
f :S !R;
x2 S!f(x)2R:
Exemplos:
No aso do lan amento de um dado, i.e. no espa o amostral
S 1 =f1;:::;6g asfun ~oes f 1 (x)=x; f 2 (x)=x 2 ;
quedes revem respe tivamenteo resultado de um experimentoe
oquadrado doresultado s~ao variaveis aleatorias.
No lan amento de 3 moedas, i.e. para o espa o amostral S =
(S 0 ) 3 as fun ~oes 8 < : f 1 (x)=x 1 ; f 2 (x)=x 2 ; f 3 (x)=x 3 ; g(x)= 1 3 (x 1 +x 2 +x 3 ) ; h(x)= 1 3 (x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 ) ; om x = (x 1 ;x 2 ;x 3
) 2 S, de nem variaveis aleatorias, onde f
i
orresponde ao resultado do i-esimo lan amento, g a media dos
re- No lan amento de N moedas, S = (S
0 )
N
podemos de nir de
formaanaloga as variaveis aleatorias
8 < : f n (x)=x n ;n=1;:::;N g(x)= 1 N (x 1 +:::+x N )= 1 N P N n=1 x n h(x)= 1 N (x 2 1 +:::+x 2 N )= 1 N P N n=1 x 2 n
om asmesmas interpreta ~oes do aso N =3:
Umexemplode variavelaleatoriaemumespa odeprobabilidade
ea fun ~aoindi atriz
E
de um eventoE, de nida por
E (x)= 1se x2E 0se x2= E :
No aso do movimento Browniano em R 3
podemos de nir por
exemploas seguintes variaveis aleatorias:
f i (~x)=x i para i=1;2;3; r(~x )= p x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 ; g(~x )=r(~x) 2 =x 2 1 +x 2 2 +x 2 3 ;
que representam respe tivamente as oordenadas da part ula, a
dist^an ia e oquadrado dadist^an iada part ula aorigem.
A.3.1 Distribui ~ao de probabilidades
Consideremosum espa oamostral nito,i.e. S =fx
i
; i=1;2;:::;Ng
om probabilidades de nidas a partir dos numeros p
i
= Pfx
i
g; i =
1;:::;N e uma variavel aleatoria f om valores no onjunto imagem
f(S) fa 1 ;a 2 ;:::;a K
g, onde K N pois podemos ter f(x
i ) = f(x j ) embora x i 6= x j
. Podemos ent~ao de nir probabilidades no onjunto
imagemfa 1 ;a 2 ;:::;a K gatraves de q =Pff 1 (a )g ,j =1;:::;K
i.e. os numeros q
j
representam as probabilidades dos eventos E
j =
fx 2 S j f(x) = a
j
g, ou seja, a probabilidade da fun ~ao f assumir o
valora
j
. Por issoes revemos tambem
q j =Pff =a j g: A ole ~ao fq 1 ;:::;q K
g e a distribui ~ao de probabilidades da variavel
aleatoriaf. Note que
q j 0 eque X j=1 Kq j =1;
logo,de nindoprobabilidadesno onjuntoimagemf(S)fa
1 ;:::;a K g. Exemplos: No espa o amostral S 1
, orrespondente a um dado, a variavel
aleatoriaf
2
de nida a ima tem um onjuntoimagem
f 2 (S 1 )= a 1 = 1 4 ;a 2 = 9 4 ;a 3 = 25 4
possuindoa seguinte distribui ~ao de probabilidade
q 1 =q 2 =q 3 = 1 3 :
Para o lan amento de tr^es moedas S = (S
0 ) 3 , e as variaveis aleatorias f 1
e g de nidas a ima temos f
1 (S) = fa 1 = 1;a 2 = +1g; eas probabilidades q 1 =Pff =a 1 g=q 2 =Pff =a 2 g= 1 2 ; eg(S)=fb 1 = 1;b 2 = 1 3 ;b 3 =+ 1 3 ;b 4 =+1g; om q 1 =Pff =a 1 g= 1 8 ; q 2 =Pff =b 2 g= 3 8 ; q 3 =Pff =b 3 g= 3 8 ; q 4 =Pff =b 4 g= 1 :
Caso ontnuo
Consideremos agora um espa o amostral S ontnuo no qual temos
uma probabilidade P de nida. Dada uma variavel aleatoria f em S,
i.e. uma fun ~ao om imagem A ontida em R, podemos de maneira
analogaaoquefoifeitono asode espa osamostrais nitosde niruma
distribui ~aode probabilidadeP f emR atravesda formula P f (A)=P(f 1 (A))=P(fx2S j f(x)2Ag) ; i.e. P f
(A) e a probabilidade da fun ~ao f tomar valores em A, e por
issoes revemos tambem
P
f
(A)=P(f 2A):
Exemplo: Consideremos em R as variaveis aleatorias f
1 (x) = x e f 2 (x) = x 2
e onsideremos em R a probabilidade P. Podemos ent~ao
al ular P f1 (A)=P(A); e P f2 (A)=P(x 2 2A):
Se por exemplo a probabilidadeP for de nida por uma densidade e
A=[0;a℄ onde a>0ent~ao
P f1 ([0;a℄)= Z a 0 (x)dx; e P f2 ([0;a℄)= Z p a 0 (x)dx :
De maneira geral a distribui ~ao de probabilidade de uma variavel
aleatoriaf pode ser dada poruma densidade
f de nida por P f (A)=P(f 2A)= Z A f (x)dx: A fun ~ao f
e a densidade de probabilidade da variavel aleatoria f,
sendo
f
(x)dx aprobabilidadede avariavel f tomarvaloresentre x e
f (x) 0; e Z f (x)dx = 1:
Exemplo: Nos dois exemplos a ima podemos al ular
f 1 e f 2 , re-sultandoque f 1 (x)=(x); e f 2 (x)= 1 2 p x (x) sex0 0se x<0 :
De ni ~ao: Dizemos que uma variavelaleatoriaf e dis reta se o
on-juntof(S)de valoresqueelapodetomarforum onjunto enumeravel.
Quando os valores assumidos por uma variavel aleatoria f formam
um onjunto n~ao enumeravel dizemos que f e uma variavel aleatoria
ontnua.
No asode uma variavelaleatoriaf dis retatemos aop ~ao de
on-siderar o onjunto imagem f(S) = fa
i
; i = 1;2;:::g omo feito no
aso de um espa o nito e de nir uma distribui ~ao de probabilidade
q
i
=P(f =a
i
),ouent~ao onsideraro onjuntoimagemf(S) omoum
sub onjuntode Rede nirasuadensidadede probabilidadeutilizando
f (x)= X i q i Æ(x a i ) :
Exemplo: Considere a variavelaleatoria
f :S !R;
que assume somente os valores inteiros n~ao negativos k = 0;1;:::. f
des reve,porexemplo,onumerodevezesqueo orre determinadofato.
Caso fa amos aes olha
q k =P(f =k)= e k
onde > 0, dizemos que a variavel aleatoria f tem uma distribui ~ao
de Poisson omdensidade . 3
Estavariavelaleatoriatambempode ser
ara terizadapor f (x)= 1 X k=1 e k k! Æ(x k):
Consideremossimultaneamenteduasvariaveisaleatoriasf
1 ef
2 num
espa oamostral, ouseja, onsideremos aprobabilidadede
simultanea-mentef
1 ef
2
assumiremvaloresem onjuntosA
1 eA
2
respe tivamente.
Essas probabilidades determinam probabilidadesP
f 1 ;f 2 em R 2 atraves daseguinteformula. P f 1 ;f 2 (A 1 A 2 )=P f 1 1 (A 1 )\f 1 2 (A 2 ) =P(f 1 2(A 1 );f 2 2(A 2 ))
Analogamenteobtemos adistribui ~ao(
f1;f2 (x 1 ;x 2 )) de probabilidade
onjunta de nida pelarela ~ao
P f1;f2 (B)= Z Z B f1;f2 (x 1 ;x 2 )dx 1 dx 2 : Afun ~ao f 1 ;f 2
temaspropriedadesdeumadensidadedeprobabilidade
em R 2 , e f 1 ;f 2 (x 1 ;x 2 )dx 1 dx 2 e a probabilidade de f 1 estar entre x 1 e x 1 +dx 1 e de f 2 estar entre x 2 e x 2 +dx 2 .
De ni ~ao: Em um espa o de probabilidade om espa o amostral S
eprobabilidadeP,duas variaveisaleatoriasf
1 ef 2 s~aoditas indepen-dentesseoseventos E 1 =f 1 1 (A 1 )eE 2 =f 1 2 (A 2 )s~aoindependentes, i.e. P(E 1 \E 2 ) = P(E 1 ) P(E 2
), qualquer que seja a es olha dos
onjuntos A 1 e A 2 R. Em outras palavrasse P(f 1 2(A 1 );f 2 2(A 2 ))=P(f 1 2A 1 )P(f 2 2(A 2 ));
ouainda, todos os eventos que se referem somente avariavelaleatoria
f
1
s~aoindependentesdetodososeventosquereferemsomenteavariavel
3
Veri quequea ole ~aode numerosq
k
aleatoriaf 2 . Se f 1 ef 2
s~aoindependentesent~aoadistribui ~ao onjunta
f1;f2
satisfaz apropriedade de fatoriza ~ao
f 1 ;f 2 (x 1 ;x 2 )= f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 ) :
Exemplo: Consideremosoespa oamostralS =R 2 omadistribui ~ao gaussiana de probabilidade (x 1 ;x 2 )= 1 2 exp x 2 1 +x 2 2 2 :
As variaveis aleatorias f
1 = x 1 e f 2 = x 2 s~ao independentes. Mais
ainda,asvariaveisaleatoriasf
3 =x 1 +x 2 ef 4 =x 1 x 2 tambemos~ao.
Veri que estas a rmativas!
A.4 Momentos
De niremosalgunspar^ametros, hamados momentos, queservem para
ara terizaruma distribui ~aode probabilidadedis retaou ontnuade
uma variavel aleatoria.
A.4.1 Media
A media, ou esperan a matemati a, denotada por hfi, da variavel
aleatoriaf, de nida emumespa oamostralS om probabilidadeP,e
de nida daseguintemaneira:
a) Se S for um onjunto enumeravel, nito ou in nito, S = fx
1 ; x 2 ;:::g om P(x i )=p i , ent~ao hfi= X i1 f(x i )p i :
De um ponto de vista heursti o, e razoavel esperar que este par^
a-metro estime a media dos valores obtidos para a variavel aleatoriaem
Umamaneiraalternativapara al ularesomando-sesobre osposs
-veisvaloresfen~aosobreospontosnoespa oamostral. Assimsuponha
quevariavelaleatoriaf possa assumirosvalores no onjunto( nitoou
in nito) fy k ; k = 1;2;:::g om probabilidades q k = P(f = y k ). A
express~ao a imapode ent~aoser es rita daseguinte forma:
hfi= X i1 f(x i )p i = X k1 2 4 y k X ijf(x i )=y k p i 3 5 : Ora X ijf(xi)=y k p i =q k ; eportanto hfi= X i1 f(x i )p i = X k1 y k q k : Exemplos:
Consideremosolan amentodeumdado,i.e. S
1 =f1;:::;6g; p i = 1 6
easvariaveisaleatoriasf
1 =ief 2 =(i hf 1 i) 2 . Podemosent~ao al ular hf 1 i= 6 X i=1 i 1 6 = 1 6 (1+2+3+4+5+6)= 7 2 ; e hf 2 i= 6 X i=1 1 6 i 7 2 2 = 1 3 1 2 2 + 1 3 3 2 2 + 1 3 5 2 2 : No al ulodehf 2
iasduasformulas orrespondemasduasmaneiras
possveis de al ularo valormedio, omo des ritoa ima.
No lan amentode 3 moedas, i.e. S =(S
0 ) 3 om p x = 1 2 3 para
fun ~oes f i , g e h de nidas anteriormente: hf i i= P x2S 1 2 3 x i = 1 2 (+1)+ 1 2 ( 1)=0; hgi=0; hhi=1:
b) Se a variavel aleatoria estiver de nida num espa o amostral S
ontnuo, omo por exemplo S = R n (x= (x 1 ;:::;x n )), e se a
proba-bilidadefor de nida atraves de uma densidade de probabilidade(x),
ent~ao o valormedio davariavelaleatoriaf :S !R e dado por
hfi= Z S=R n f(x)(x)d n x:
A exemplo do que foi feito no aso de um espa o dis reto, a media da
variavelaleatoriaf pode tambemser al ulada atravesdadistribui ~ao
de probabilidades dos valores da fun ~ao f, integrando-se sobre o
on-junto (H) dos valores possveis de f ponderado adequadamente pela
densidade de probabilidade f (y): hfi= Z S=R n f(x)(x) d n x= Z H y f (y)dy :
Essa formula pode ser trivialmenteveri ada para fun ~oes dotipo
f = N X i=1 i E i ;
i.e., ombina ~oes lineares de fun ~oes indi atrizes de eventos E
i , i =
1;:::;N. O aso geral e obtidopassando-se ao limiteN !1.
Exemplos:
Se uma variavel aleatoriaf tem uma distribui ~ao uniforme
on- entrada no intervalo[0;1℄,i.e.
f (x)=
ent~ao hfi= Z 1 0 dxx f (x)= Z 1 0 dxx= 1 2 :
Se uma variavel aleatoriatem uma distribui ~ao gaussiana,
f (x) = 1 p 2 e (x x 0 ) 2 2 2
, e fa ilverque
hfi= Z +1 1 dxx f (x)=x 0 : De maneirageral,se f
(x) foruma fun ~aosimetri apor re ex~ao
emtorno doponto x 0 , ouseja, f (x)= f ( x+2x 0 ) ent~ao hfi=x 0 . Justi que!
Se f exibiruma distribui ~ao exponen ial
f (x)= e x , sex0 0, se x<0 onde >0,ent~ao hfi= 1 : Propriedades da media 4
Se k euma onstante e f e g s~ao variaveisaleatorias ent~aotemos que
1. hkfi=khfi;
2. hf+gi=hfi+hgi;
3. Se f eg s~aovariaveisaleatoriasindependentesent~ao
hfgi=hfihgi;
ouseja,amediadoprodutodevariaveisaleatoriasindependenteseigual
aoproduto das medias. Veri quemos essa propriedade no aso emque
f eg s~aovariaveisdis retas, onde f admitevalores fx
i ; i=1;:::g om probabilidades fp i ; i = 1;:::g e g admite valores fy i ; i = 1;:::g om probabilidadesfq j
; j =1;:::g, respe tivamente. Assim
hfgi= X i1 X j1 (x i y j )P(f =x i ;g =y j );
omo f e g s~ao variaveis aleatorias independentes temos que
P(f =x i ;g =y j )=P(f =x i )P(g=y j )=q i p j : Portanto, hfgi= X i1 X j1 (x i q i )(y j p j )= X i1 x i q i ! X j1 y j p j ! =hfihgi:
Para o aso de variaveis om distribui ~oes ontnuas use ofato de que
se f e g s~ao variaveis aleatorias independentes, ent~ao a fun ~ao de
dis-tribui ~ao onjunta f;g (x;y)e dadaatraves de f;g (x;y)= f (x) g (y). A.4.2 Moda
Amodaede nida omosendoopontodemaiorprobabilidade,no aso
dis reto, ou de maior densidade de probabilidade,no aso ontnuo.
Exemplos:
Para a distribui ~ao Gaussiana
f (x) = 1 p 2 e (x x 0 ) 2 2 2 a moda assumeo valorx 0 .
Para a distribui ~ao exponen ialf(x)=e x
amodavalezero.
A.4.3 Vari^an ia
Umbomindi adorde omoumavariavelaleatoriaf \ utua"emtorno
desuamediahfieoseu desviopadr~ao
f , ujoquadrado 2 f e hamado
de vari^an ia de f, a quale de nida atraves de
2 f = (f hfi) 2 :
Maisexpli itamente, paravariaveis ontnuas suaexpress~aoedadapor
2 f = Z dx f (x)(x hfi) 2 ;
enquanto que para variaveisdis retas elatoma aforma
2 f = X i1 (x i hfi) 2 p i :
Podemos aindautilizar aspropriedadesdamedia(hfi)para rees rever
2 f , obtendo que 5 2 f = f 2 2fhfi+hfi 2 = f 2 hfi 2 : Exemplos:
No aso dolan amentode um dado e davariavelaleatoriaf =i
temos que 2 f = 6 X i=1 1 6 (i hxi) 2 = 6 X i=1 1 6 i 2 1 6 6 X i=1 i ! 2 = 91 6 21 6 2 = 35 12 : 5
Paraumavariavel ontnua omdistribui ~aouniformeentre(0;1),
sua vari^an iaedada por
2 f = Z 1 0 dx x 1 2 2 = 1 3 1 4 = 1 12 :
Para uma variavel om distribui ~aoexponen ial
2 f = Z 1 0 dx x 1 2 e x = 1 2 :
No aso de uma variavel ontnua om distribui ~ao Gaussiana
f (x)= 1 p 2 e (x x 0 ) 2 2 2
, a vari^an iae dada por
2 f = Z +1 1 dx (x x 0 ) 2 p 2 e (x x 0 ) 2 2 2 = :
Einteressantenotar que
P( x)= Z dx 1 p 2 e x 2 2 2 =0:6826:
De maneiramais geral, podemosestimar para a>0 a
probabili-dade P(x>a) atravesde P(x>a) = 1 p 2 Z x>a dx e x 2 2 2 1 p 2 Z x>a dx x a e x 2 2 2 = p 2 a e a 2 2 2 :
Propriedades da vari^an ia
Partindo da de ni ~ao da vari^an ia podemos demonstrar as seguintes
propriedades. Se k e uma onstante e f e g s~ao variaveis aleatorias
independentes, ent~ao
1. 2
2. 2 fg = 2 f + 2 g ; 3. 2 kf =k 2 2 f ; 4. 2 (fk) = 2 f .
Uma onsequ^en ianotaveldaspropriedadesdavari^an iaeofatode
que se onsiderarmos uma ole ~ao ff
1; ;f
2
;:::g variaveis aleatorias
in-dependenteseigualmentedistribudas,emparti ular ommediasiguais
ahf
i
i=m evari^an ias iguais a 2
f
i =
2
, ent~ao avari^an ia dasoma
S N = N X i=1 f i ; edada por 2 S N = N X i=1 2 f i =N 2 ;
ouseja,odesviopadr~ao
S
N =
p
N. Istomostraqueembora amedia
hS N i= N X i=1 hf i i=Nm ;
res apropor ionalmenteaN,as utua ~oes omomedidaspelodesvio
padr~ao
S
N
res em apenas propor ionalmentea p
N!
Momentos de uma distribui ~ao
Ainforma ~aosobreamediaeavari^an iadeumavariavelaleatoriae,em
geral,depou avalia omoingredientepara ara terizar ompletamente
asuadistribui ~aodeprobabilidade,poishain nidadesde distribui ~oes
de probabilidade om mesmasmedias evari^an ias.
A media hfi e amedia doquadrado hf 2
i de uma variavelaleatoria
f s~ao apenas asos parti ulares dos hamados momentos de f: para
n = 1;2;:::, o n-esimo momento de f e o valor medio de f n
, i.e.
hf n
i. O onhe imento de todos os momentos hf n
permite al ular o valor medio de qualquer fun ~ao F(f) que admita
uma expans~ao onvergente serie de pot^en ias. De fato, se
F (f)= X n f n ; ent~ao hF (f)i= X n hf n i= X n a n :
Exemplo: Considere uma variavel aleatoria f om uma distribui ~ao
uniforme nointervalo[0;1℄:Neste aso
hf n i= Z 1 0 x n dx= 1 n+1 :
Maisainda, se porexemplo F (f)=e f ent~ao hF (f)i= 1 X n=0 1 n! 1 n+1 = Z 1 0 e x dx=e 1:
O onhe imento de todos os momentos de uma variavel aleatoria
possibilitauma ompletare onstru ~aodesta,i.e. podemosn~aosoobter
as probabilidades, mas tambem os valores que a variavel aleatoria
as-sume! Para entendermos isso, onsideremos o aso de uma variavel
aleatoriaque assume um onjunto nito de valores distintos fx
k ; k =
1;:::;Ng om probabilidades p
k
. Podemos determinar as respe tivas
probabilidadesp k =P(f =x k )eosvaloresx k apartirdo onhe imento dos momentos hf n i=a n
uma vez que asigualdades
a n = N X k=1 x n k p k
podem ser onsideradas omoum sistemade equa ~oes paradeterminar
osvaloresde p
k e x
k
, para k =1;:::;N.
A.5 Fun ~ao Cara tersti a de uma Variavel Aleatoria
Podemos determinar todos os momentos hf n
i e a propria distribui ~ao
ara tersti a da variavelaleatoriaf de nida por C f (t) e itf ;
ondeteuma variavelreal. Caso f sejauma variavelaleatoria ontnua
temos que C f (t)= Z e itx f (x)dx;
enquanto que para variaveisdis retas
C f (t)= X k p k e itx k : A fun ~ao C f
tambeme hamada de fun ~ao geratrizdos momentos
davariavelaleatoriajaquepodemos al ularon-esimo momentode f
atravesda derivada n-esima de C
f (t) pontot =0 hf n i= 1 i n n C f t n t=0 :
Exemplo: Considere a distribui ~aogaussiana
(x)= 1 p 2 e (x x 0 ) 2 2 2 :
Sua fun ~ao ara tersti a C
f (t) e dada por C f (t)=e itx0 e 1 2 2 t 2 :
Teorema Importante: A fun ~ao ara tersti a C
f
(t) determina
ompletamenteadistribui ~aode probabilidade
f
davariavelaleatoria
atravesda express~ao f (x)= Z e itx 2 C f (t)dt ;
A.5.1 Propriedades da fun ~ao ara tersti a
A fun ~ao ara tersti a C
f
(t) possui as seguintes propriedades:
1. Sek euma onstanteefeumavariavelaleatoria,ent~aoafun ~ao
ara tersti a da variavelaleatoriakf edada por
C
kf
(t)=C
f (kt):
2. Se f eg, s~aovariaveisaleatorias independentesent~ao
C f+g (t)= C f (t)C g (t) : Em parti ular, se ff 1 ;:::;f N
g s~ao variaveis aleatorias
indepen-dentes e igualmentedistribudas, i.e.
f1 == f N , ent~ao C f1+:::+f N (t)=[C f1 (t)℄ N :
A.6 A Lei dos Grandes N umeros
Um fen^omeno aleatorio foi de nido omo sendo de natureza
proba-bilsti a se ao serem efetuadas N ensaios om o mesmo onjunto C
de ondi ~oes, a frequ^en ia relativa de o orr^en ia de um determinado
evento E, n
E
=N tende a estabilizar-se para grandes valores de N em
um valor P(E), ouseja,
n
E
N
!P(E);
eesse valore identi ado om a probabilidadedoevento.
Ateoriadaprobabilidadee apazdeadequadamenteexpressaressa
propriedade. De fato, onsideremoso espa o amostralS
0
quedes reve
um determinadofen^omeno. Para sermosmais on retos podemos
on-siderar, por exemplo, o lan amento de um dado S
0
= f 1;+1g. Se
onsiderarmos N repeti ~oes independentes do lan amento, o espa o
amostralrelevanteedadoporS =(S
0 ) N =fx=(x 1 ;:::;x N ); x i 2S 0 g omprobabilidadep x = 1 2 N
. Intuitivamenteesperamosqueafrequ^en ia
relativa de o orr^en ia de \ aras" i.e. x
i
= 1 estabilize-se em 1
esse foiovaloradotadopara de nirp x = 1 2 N
! Para investigaresse fato,
onsideremosa variavel aleatoria
f N (x)= 1 N N X i=1 i (x) ; onde i (x)= 1 se x i = 1 0 se x i =+1 :
A variavel aleatoria representa exatamente a frequ^en ia relativa de
o orr^en ia de \ aras" em N tentativas. O que esperamos, de a ordo
om o que foi dito a ima, e que f
N
(x) ! 1
2
, em palavras, a variavel
aleatoriadeve onvergir para uma onstante! Note ini ialmente que a
media de f N edada por hf N i= 1 2 ;
eque a sua vari^an iaedada por 6 2 f N = N N 2 2 i = 1 2N :
O fato relevante e que a vari^an ia 2
f
N
! 0 quando N ! 1, o que
signi aque a variavel f
N
esta onvergindopara uma onstante! Para
fazer uma a rmativa ainda mais pre isa vamos ini ialmente deduzir
uma importante, pelonumero de apli a ~oes prati as, desigualdade
de-vidaa Chebys hev. Se f e uma variavel aleatoriaent~ao,se a>0:
f 2 = Z x 2 f (x)dx Z x 2 >a 2 x 2 f (x)dx a 2 Z x 2 >a 2 f (x)dx=a 2 P(jfja); ouseja, P(jfja) hf 2 i a 2 : 6
Veri que essas a rmativas, notando que as variaveis
i
Emparti ular para uma variavelf de media zero, P(jfja) 2 f a 2 :
Retornando ent~ao a nossa variavel f
N
, podemos apli ar a ultima
de-sigualdade a variavel g
N f
N hf
N
i, que tem media zero e om
vari^an ia 2 g N = 2 f N , para obter P(jf N hf N ija) 2 f N a 2 = 1 2a 2 N !0 quando N ! 1:
Esse limitemostra exatamentea onsist^en ia interna dateoriada
pro-babilidadenosseusaspe tosinterpretativos: ealeidosgrandesnumeros
em a ~ao.
Repetindo todos os passos da dis uss~ao a ima podemos apresenta
vers~ao muito mais geral dolimite a ima obtido.
Teorema: Sejam
i
(i1)variaveisaleatoriasindependentesemum
espa o amostralS om medias e vari^an iasiguais h
i i=m e 2 i = 2 eseja tambem f N = 1 N P N i=1 i . Ent~ao, P(jf N mja) 2 f N a 2 = 2 a 2 N !0 quando N !1;
o que signi a que para grandes valores de N os desvios da media
tornam-se ada vez mais improvaveis.
A.7 Teorema Central do Limite ou Import^an ia da
Gaussiana
Da se ~ao anterior on lumos que a variavel aleatoria
f N = 1 N N X i=1 i ; onde i
(i 1) s~ao variaveis aleatorias independentes e igualmente
2
i =
2
, onverge \ em probabilidade"para ovalormedio omum m,
istoe
P(jf
N
mja)!0 quando N !1:
Queremos agora obter uma estimativa mais pre isa de omo a
va-riavel f
N
utua em torno do seu valor medio, para N grande. Essa
informa ~aonos e forne ida pelo hamado Teorema Central do Limite,
quedizqueparaN grandeessas utua ~oes tem umadistribui ~ao
gaus-siana om vari^an ia 2 . f N m= 1 N N X i=1 i Nm ! ' 1 p N G; ouequivalentemente, g N p N(f N m)= 1 p N N X i=1 i Nm ! !G quando N !1;
onde Geuma variavel aleatoria om uma distribui ~aoGaussiana om
media zero evari^an ia igual avari^an ia omum 2 = 2 i .
Uma forma matemati amente pre isa de se enun iar e demonstrar
esse resultado `gravissimum" da teoria da probabilidade e atraves do
al ulodafun ~ao ara tersti aC
g
N
(t) davariavelg
N
. Porsimpli idade
apenas, suponhamos que amedia omum m seja nula, m=0. Usando
aspropriedades das fun ~oes ara tersti as podemos al ular:
C g N (t) =C p Nf N (t)= h C 1 p N (t) i N = C( t p N ) N ; onde C(t) C 1 (t) = = C N
(t) e a fun ~ao ara tersti a omum
as variaveis aleatorias
i
;i = 1;:::;N. O lado direito pode ser ent~ao
al ulado. C g N (t)= C( t p N ) N = D e i t p N 1 E N :
Para N grande, podemos expandir aexponen ial
e i t p N 1 =1+i t p 1 t 2 2N 2 1 +O 1 N 2 ;
eportanto D e i t p N 1 E N = 1 t 2 2N 2 +O 1 N 2 N ;
onde usamos o fato de que h
i i = 0 e 2 i = 2 . Tomando agora o limite N !1, obtemos lim N!1 C g N (t)= lim N!1 1 t 2 2 2N +O 1 N 2 N =e t 2 2 2 ; ;
empalavras: afun ~ao ara tersti a C
g
N
(t) onverge paraa fun ~ao
a-ra tersti adeumagaussianademediazeroevari^an iaigualavari^an ia
omum 2
. Isto impli a para a distribui ~ao de probabilidade
g N a propriedade lim N!1 Z E g N (x)dx = Z E e x 2 2 2 p 2 dx:
