teoriadafila

(1)

Teoria da Fila

Cláudio Serra

É uma técnica analítica que estuda os

parâmetros de uma fila (tempo médio de

espera, tamanho médio da fila, taxa média

de utilização do servidor, entre outros), de

um sistema real.

(2)

Sistema de Fila

População de Clientes

Sistema

Entrada _Fila Saída

Atendimento

(3)

Cláudio Serra

Fatores Condicionantes de Operação

• Forma de atendimento;

• Processo de chegada;

• Disciplina de atendimento;

• Estrutura do Sistema.

•Dimensionamento da capacidade; •Treinamento dos atendentes; •Rotinas administrativas; •Sistemas de informação • Aleatório; • Processo estacionário; • Processo transitório • Ordem de chegada; • Ordem inversa de chegada; • Aleatórias • Uma fila para 1 servidor;

• Uma fila para c servidores;

(4)

Exemplos

• Bancos;

• Caixas de supermercados;

• Centrais Telefônicas;

• Portos e Aeroportos;

• Unidades de Processamento;

• Serviços de atendimento em geral;

• Processos produtivos.

(5)

(6)

Objetivo

Cliente Empresa

(7)

Limitações

• Modelos simples;

• Modelo estático;

• Sistema estáveis;

• Limitações de modelos matemáticos;

• Valores médios;

(8)

Notação de Kendall

A/B/c/K/m/Z

• A – descreve a distribuição do processo de

chegada (M, Em, Hm, D);

• B – descreve a distribuição do processo de

atendimento (M, Em, Hm, D);

• c – é a quantidade de servidores por fila;

• K – número máximo de clientes no sistema;

• m – tamanho da população;

(9)

Notação de Kendall

A/B/c/K/m/Z

• M/M/1/∞/ ∞/FIFO

M/Em/5/∞/∞/FIFO

M/M/1/8/∞/∞/Randômico

M/M/5

(10)

Modelo M/M/1

• Processo de chegada descrito por uma

distribuição de Poisson com média



chegadas/tempo;

• Os tempos de atendimento seguem uma

distribuição exponencial negativa com

média 1/;

• Atendimento é dado pela ordem de

chegada;

• População infinita;

• Capacidade infinita.

(11)

Modelo M/M/1

                   n Pn      NS



 



    TF

Probabilidade de ter n clientes no sistema Número médio de clientes no sistema



 



    2 NF     1 TS

Número médio de clientes na fila Tempo médio de espera no sistema Tempo médio de espera na fila

Taxa de utilização do servidor _

  

(12)

Modelo M/M/1

Ex2: Pacientes chegam a um consultório a um ritmo de 3 por hora e o atendimento demora, em média, 16 minutos por cliente. Responda: a) Taxa de utilização do servidor;

b) Tempo médio de espera na recepção

Ex3: Pessoas chegam a um caixa de um fast-food a um ritmo de 25 por hora. O tempo médio de atendimento é de 2 minutos por cliente. Calcule o tamanho médio da fila; O tempo médio de espera na fila; E a fração do tempo em que o caixa está livre.

Ex1: Uma seção recebe um ritmo médio de 15 processos por dia para fazer análise. Sabe-se que o ritmo médio de processos atendidos é de 21 por dia. Responda:

a) Tempo médio que o processo leva nessa seção;

b) Número médio de processos aguardando para serem analisados;

c) Há uma expectativa que o ritmo de processos aumente para 19 processos por dia, você acha que se deve contratar mais um ajudante?

(13)

Modelo M/M/1

Ex4: Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (=1 c/min) e o ritmo de atendimento (=1,5 c/min) seguem o modelo marcoviano (M/M/1). A fábrica paga R$4,50 por hora ao atendente e R$9,00 ao operário. Pede-se:

a) O custo horário do sistema;

b) O gerente da fábrica está pensando em demitir o atendente para contratar um mais barato (R$2,50), só que este consegue atender 1,2 c/min devido a sua inexperiência. Você concorda com a opção do gerente?

(14)

Modelo M/M/1

Ex5: O que acontece em um sistema M/M/1 quando a taxa de utilização do servidor tende para 1?

(15)

Teste do Qui-Quadrado

Ex2 – Resolva os exercícios 1 e 2 (p. 55 do livro Teoria das Filas e da Simulação, Darci Prado, Ed. DG).

Caso positivo as respostas, para ambas as questões, avalie a taxa de ocupação do servidor, o tamanho médio na fila, e o tempo médio que cada caminhão espera na fila.

(16)

Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total

CA CE CT

(17)

Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total

    . . . , unit unit unit CA CA e CE CE NS CE CE onde CE CA CT      

 

unit unit unit unit CA CE d CT d CA CE CT . 0 . . * _             

(18)

Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total

Ex1 – Uma oficina de reparos eletrodomésticos recebe por dia uma média de 2 pedidos de consertos, segundo uma distribuição de Poisson. O eletrecista consegue reparar uma média de 2,5 aparelhos por dia, também segundo uma distribuição de Poisson. A oficina estima que cada dia de espera de um aparelho custa $80. Por outro lado, cada conserto custa uma média de $80 de mão-de-obra. Pede-se:

A) O Custo Total de operação da firma;

B) Determine a eficiência do eletrecista que resultaria no menor custo.

(19)

Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total

Ex2 – Uma empresa apurou que os equipamentos danificados apresentam custo médio de $2500 por semana, desde do momento de quebra até a volta à produção. Sabe-se que o tempo médio em que ficam fora da produção é de 0,5 semana, então qual deveria ser a taxa de atendimento da seção de modo a minimizar o custo total da seção. O CEunit=$500 e o CAunit=$100.

(20)

Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total

Ex3 – Um sistema MM1, tem uma média de 20 chegadas de cliente por hora. Sabe-se que cada cliente custa $60 por hora e que cada atendimento custa $2,50. Sabe-se também que o número médio de clientes no sistema é de 5 por hora. Pede-se:

A) Qual o custo total do sistema por mês (22 dias de 8h cada);

(21)

Taxa de Serviço para Mínimo Custo Total

Ex4 – Uma empresa de mineração mediu o tempo médio que os caminhões gastam para descarregar no britador de minérios, tendo encontrado 0,2h (tempo no sistema). Por outro lado, a taxa de ociosidade do britador é de 20%. Sabendo-se que o CEunit=$100 por hora e que CAunit=$10 por caminhão. Pede-se:

A) Qual a taxa de atendimento que o britador deveria oferecer de modo a minimizar o custo total; B) Considerando-se que uma ampliação do britador para atender a esse número custa-se $28.000 por mês, pergunta-se se o investimento é viável (considere 22dias de 8h)

(22)

Sistema M/M/C

ocuptot P S NF             ₁ 0 ! 1!( ) 1 s j s j S s j Po    s  S Po P s ocuptot ) ( ! 1     

Probabilidade de ter 0 clientes no sistema

Número médio de clientes no sistema Número médio de clientes na fila

Tempo médio de espera no sistema Tempo médio de espera na fila

Probabilidade de todos o canais estejam ocupados

 1 NF TF     NF NS  1 NS TS 

(23)

Sistema M/M/C

Ex1: Uma fábrica possui um depósito de ferramentas onde os operários vão receber as ferramentas para a realização de uma determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (=1 c/min) e o ritmo de atendimento (=1,5 c/min) seguem o modelo marcoviano (M/M/1). A fábrica paga R$4,50 por hora ao atendente e R$9,00 ao operário. Pede-se: a) O custo horário do sistema;

b) O gerente da fábrica está pensando em demitir o atendente para contratar um mais barato (R$2,50), só que este consegue atender 1,3 c/min devido a sua inexperiência. Você concorda com a opção do gerente?

c) Refaça o problema agora, considerando: 2, 3 e 4 atendentes.

(24)

Sistema M/M/C

Ex2: Um banco deseja modificar a forma de atendimento a seus clientes, que hoje funciona com diversas filas, pela introdução do sistema de fila única. Os dados de hoje são:

 =70 c/h (total de chegada);  = 20 c/h;

(25)

Sistema M/M/C

Ex3: Uma empresa decidiu centralizar seu serviço de datilografia em um único setor. Na situação atual, cada departamento possui sua própria datilógrafa, com uma capacidade de atendimento =10 serviços. As taxas de chegada são:

Departamento: 1 2 3 4 5 Taxa de Cheg.: 6 3 4 7 5 Pede-se:

a) O tempo médio para um serviço ser concluído em cada departamento;

b) Centralize as atendentes em um único posto e avalie o tempo médio de serviço;

(26)

Sistema M/M/C

Ex4: Um banco possui dois funcionários trabalhando no setor de atendimento ao público. O primeiro trabalha apenas com depósitos e o segundo, com retiradas. Sabe-se que o tempo de serviço de ambos segue a distribuição exponencial, com uma média de 3 minutos por cliente. As chegadas obedecem a distribuição de Poisson, com média de 16 c/h para os depositantes e 14 c/h para os que vão fazer retiradas. Valeria a pena juntar os dois funcionários em um sistema M/M/C?

(27)

Sistema M/M/C

Ex5: Clientes chegam a um caixa eletrônico segundo um processo de Poisson com ritmo de 0,3 c/min. O tempo médio (exponencialmente distribuído) de uso por cliente é de 2 min.

A) Avalie o desempenho desse sistema;

B) O sistema está preparado para um aumento no ritmo de 50%?

C) E se o ritmo dobrar?

(28)

Sistema M/M/C

Ex6: Clientes chegam a uma padaria e são atendidos por 4 balconistas, cada um deles capaz de atender em média 360 fregueses por hora. Os fregueses chegam à padaria a uma taxa de 80 clientes por hora.

A) Calcule a taxa de utilização de cada balconista; B) Tamanho médio na fila;

C) Tempo médio de espera do freguês;

(29)

Sistema M/M/C

Ex7: Veículos chegam a um posto de pedágio à razão de 10 c/min. Um único atendente pode atender 6 c/min. Calcule a quantidade de atendentes de modo que o tempo médio na fila (única) seja menor que 0,2 min. Como a fila única não é apropriada para um pedágio, imagine que os clientes se distribuam por diversos servidores. Calcule agora a quantidade ótima de servidores tal que para cada um deles TF seja inferior aos 0,2 minutos.

(30)

Modelo M/M/1/K





                1 , ) 1 )( 1 ( ) 1 ( 1 1 , 2 1 1        se k k se k Ns k k k

Probabilidade do sistema estar vazio

             , 1 1 ) 1 ( 1 , 1 1 1 0     se se k P k

Probabilidade de ter n clientes no sistema

             , 1 1 ) 1 ( 1 , 1 1 1      se se k P k n n

(31)

Modelo M/M/1/K

0 1 P NS NF     P_k  NS TS   1 

Número médio de clientes na Fila Tempo médio de clientes no Sistema



P_k



NF TF   1 

Tempo médio de clientes na Fila

Taxa de rejeição

k

P

(32)

Sistema M/M/1/K

Ex1: Clientes chegam a uma pequena agência bancária segundo um processo de Poisson de

taxa 0,3 c/min. A agência acomoda

confortavelmente até 6 pessoas. O

atendimento é prestado por um único caixa, na ordem das chegadas em um tempo exponencialmente distribuído com média igual a 2 minutos.

(33)

Sistema M/M/1/K

Ex2: A um centro de computação chegam trabalhos segundo uma distribuição de Poisson com parâmetro de dois trabalhos por hora. Esses trabalhos são processados na ordem das chegadas, em tempo exponencialmente distribuídos com média de 20 minutos, por uma única máquina que consegue armazenar no máximo 4 trabalhos. Se o centro está disponível 24h por dia, qual o número de trabalhos rejeitados por dia?

(34)

Sistema M/M/1/K

Ex3: Um posto para lavar carros está sendo planejado, para o que se faz necessário dimensiona o local onde os carros aguardarão pelo serviço. Imagina-se que a demanda por esse serviço seguirá uma distribuição de Poisson com taxa de um carro a cada 5 minutos. Existirá uma única máquina para lavar os carros cujo tempo de serviço segue uma distribuição exponencial com média de 4 minutos.

Compare o número de carros perdidos devido à falta de espaço para as seguintes capacidade de área de espera: 2 e 4.

(35)

Sistema M/M/1/K

Ex4: Um certo serviço, usuários chegam segundo um processo de Poisson com média de 2c/h. As tarefas são realizadas por um único servidor com média de 15 minutos. Sabendo que o sistema suporta apenas um cliente, calcule:

a) A probabilidade de um usuário ser atendido imediatamente;

b) A taxa de usuários perdidos pela limitação da capacidade.

(36)

Sistema M/M/1/K

6 , 0 5 , 0 3 , 0    41 , 0 6 , 0 1 ) 6 , 0 1 ( 1 6 0 _    _ P





₁_,₃ ) 6 , 0 1 )( 6 , 0 1 ( ) 1 6 ( 6 , 0 6 , 0 * 6 1 6 , 0 1 6 6 1 6         _ Ns Ex1: Resolução 71 , 0 41 , 0 1 3 , 1     NF 019 , 0 6 , 0 1 6 , 0 ) 6 , 0 1 ( 1 6 6 6 _    _ P 1 0,019 4,42 3 , 0 3 , 1 _   TS



1 0,019



2,42 3 , 0 71 , 0 _   TF

(37)

Modelo M/M/c/K







 







1 0 c n n

P

c

n

c

NF

NS



P_k



NS TS   1 

Número médio de clientes no Sistema

Tempo médio de clientes no Sistema

Taxa de rejeição

k

P





(38)

Modelo M/M/c/K

            , 1 n K ! 1 -c n 1 , ! 0 0 se P c c r se P n r P c n n n n

Probabilidade do sistema estar vazio

                                                  _           



1 c , ) 1 ( ! 1 ! 1 c , ! ) 1 ( ! 1 1 1 0 1 1 0 0 r se c r c c r r n r r se c c K r n r P c K c c n n c c n n

Probabilidade de ter n clientes no sistema

  

r onde

(39)

Modelo M/M/c/K











                                                 1 c , 1 1 1 1 ! 1 se , 2 1 ! 2 1 1 0 0 r se c r c r c r c k c r c c r P c r c k c k c r P NF c K c K c c

Número médio de clientes na Fila



P_k



NF TF   1 

(40)

Sistema M/M/c/K

Ex1: Clientes chegam a uma pequena agência bancária segundo um processo de Poisson de taxa 0,3 c/min. A agência acomoda confortavelmente até 6 pessoas. O atendimento é prestado por um único caixa, na ordem das chegadas em um tempo exponencialmente distribuído com média igual a 2 minutos.

Agora calcule os parâmetros da fila considerando que teremos 2 caixas para atendimento e 5 lugares somente para o cliente. Calcule também a rejeição em um dia de atendimento (considere 1d=8h).

(41)

Sistema M/M/c/K

Ex2: Em um posto de vistoria de veículos com três boxes de atendimento individual chegam usuários seguindo um processo de Poisson com taxa de um carro por minuto. Esses carros formam fila única e o atendimento respeita a ordem de chegada. A capacidade do posto é

de até quatro carros aguardando o

atendimento. O tempo de atendimento em cada box segue uma distribuição exponencial com parâmetro um carro a cada 6 minutos. Qual o número médio de carros por hora que não entram no sistema devido a limitação de espaço?

(42)

Sistema M/M/c/K

Ex3: Pacientes chegam a uma maternidade segundo um processo de Poisson com taxa de 12 por dia e são encaminhadas a uma das cinco salas de parto, se houver disponibilidade; caso contrário, são transferidas para outra maternidade. Uma paciente ocupa a sala de parto por 6 horas em média, estando esse tempo de permanência exponencialmente distribuído.

a) Determine a taxa de transferência; b) O tempo médio de espera na fila.

(43)

Sistema M/M/c/K

6 , 0 5 , 0 3 , 0   r 265 , 0 0  P NS 1,52 Ex1: Resolução 375 , 0  NF 04 , 0 5  P TS  2,64 66 , 0  TF

(44)

Modelo M/M/c/c

Probabilidade de se ter n clientes no sistema

Probabilidade do sistema ficar lotado

c n P n r P n n  0   ! 0, 1 0 0 !        



c n n n r P

Probabilidade do sistema ficar vazio



  _c i i c c i r c r P 0 ! !

(45)

Sistema M/M/c/c

Ex1: Um estacionamento que comporta apenas oito carros, chegam clientes segundo um processo de Poisson com taxa de 4 c/h. O tempo de permanência médio é de 30 minutos dado por uma distribuição exponencial. Como a fiscalização de trânsito é intensa na área, caso o estacionamento esteja lotado o cliente não pode esperar.

a) Qual a probabilidade de um carro não conseguir estacionamento?