Álgebra de Rees de ideais

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE

PROGRAMA DE P ´

OS-GRADUAC

¸ ˜

AO EM MATEM ´

ATICA

´

Algebra de Rees de Ideais

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal de Sergipe, como parte dos requisitos para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Jeoc´

astria Rezende dos Santos Santana

Orientador: Zaqueu Alves Ramos

(2)

(3)

(4)

Sum´

ario

1 Generalidades sobre a ´algebra de Rees de um ideal 11

1.1 Algebras sobre an´´ eis . . . 11

1.2 Mon´oides . . . 13

1.3 Algebras Graduadas´ . . . 13

1.4 Filtra¸c˜oes e ´algebras de Rees . . . 16

1.5 Outras ´algebras graduadas associadas a uma filtra¸c˜ao . . . 18

1.6 Algebra sim´´ etrica de um m´odulo . . . 19

2 A dimensão de Krull da álgebra de Rees 24 2.1 Generalidades sobre dimensão de Krull . . . 24

2.2 Determinando a dimens˜ao da ´algebra de Rees . . . 25

2.3 A dimensão da álgebra simétrica . . . 29

3 As equa¸cões de defini¸cão da álgebra de Rees 33 3.1 Apresenta¸cão polinomial da álgebra de Rees . . . 33

3.2 Ideais de tipo linear . . . 34

3.2.1 d-Sequˆencias . . . 36

3.2.2 Ideias de tipo linear versus condi¸c˜ao G∞ de Nagata . . . 38

3.3 Ideais de tipo fibra . . . 40

3.4 Equa¸c˜oes da ´algebra de Rees estendida . . . 42

(5)

Resumo

A álgebra de Rees de um ideal é uma constru¸cão algébrica que ocupa lugar de destaque na álgebra comutativa e geometria algébrica. Atualmente, o estudo de propriedades aritméticas e homológicas desse objeto é motivo de diversas pesquisas em álgebra comutativa. Nosso principal objetivo nesse trabalho é tratar de aspectos como dimensão e equa¸cões de defini¸cão da álgebra de Rees e de outras álgebras que relacionam-se com ela.

Palavras Chave: Álgebra graduada, álgebra de Rees, dimensão de Krull, equa¸cões de defini¸cão.

(6)

Abstract

The Rees algebra of an ideal is an algebraic construction that takes place in commutative algebra and algebraic geometry. Currently, the study of arithmetic and homological properties of this object is cause for diverse research in commutative algebra. Our main goal in this work is to address aspects such as dimension and defining equations of the Rees algebra and other algebras that relate to it.

(7)

Agradecimentos

• Agrade¸co primeiramente a Deus, por me amparar nos momentos dif´ıceis, me dar for¸ca interior para superar as dificuldades e n˜ao desistir, por sempre me conceder sabedoria nas escolhas dos melhores caminhos e coragem para acreditar nas vit´orias dos meus desafios.

• Agrade¸co em especial a meu orientador, por ter me ensinado a arte de pensar o trabalho acadêmico com rigor e disciplina, propiciando-me a fundamentao básica, sem a qual este trabalho não teria sido escrito. Zaqueu, suas sugestões levaram a sucessivas revisões do texto, cujas eventuais falhas, teriam sido mais numerosas se não fosse por seu aux´ılio constante e incisivo no per´ıodo de cons-tru¸cão desta disserta¸cão.

• A meu companheiro, Rivaldo, que nesta trajetória, soube compreender como ninguém, a fase pela qual eu estava passando. Durante a realiza¸cão deste traba-lho, sempre tentou entender minhas dificuldades e minhas ausências. Agrade¸co-lhe, carinhosamente, por tudo!

• Meu querido filho, David, por ser a preciosidade da minha vida, e por conseguir tornar os meus dias mais alegres. Dede, mam˜ae te ama!

• Meus pais, Joselma e Jos´e Carlos, por sempre acreditarem na minha capacidade. Obrigada pelo amor incondicional de vocˆes!

• Meus irm˜aos, Allysson e Lisiane, pelo incentivo e pela presen¸ca sempre constante em minha vida. Obrigada por estarem ao meu lado e acreditarem em mim! • A minha grande amiga, Jussineide, que esteve do meu lado, desde a gradua¸c˜ao

até a defesa do mestrado. E que aos poucos nos tornamos mais que amigas, quase irmãs... Neide, obrigada por dividir comigo as angústias e alegrias. O mestrado chegou ao fim, mas espero, com fé em Deus, que seremos amigas por toda vida.

• Aos professores do curso de Licenciatura e Pós-gradua¸cão em Matemática dos campus de Itabaiana e de São Cristovão, que contribu´ıram direta ou indireta-mente na minha forma¸cão. Obrigada pelos conhecimentos prestados e esclare-cimentos concedidos durante o curso.

(8)

• Aos meus amigos do mestrado: Carla, Charlene, Everton, Luiz, Neide e Michele, pelo apoio, coleguismo e amizade durante todo o curso. Saibam que jamais esquecerei os bons momentos que compartilhamos. Foi bom poder contar com vocˆes!

• Agrade¸co a Funda¸cão de Apoio à Pesquisa e à Inova¸cão Tecnológica do Estado de Sergipe, FAPITEC, pela bolsa concedida durante os anos do curso.

• E por fim, agrade¸co a todos que por esquecimento não mencionei, mas que de alguma forma, colaboraram para a realiza¸cão e conclusão dessa disserta¸cão. A vocês, minha sincera gratidão.

(9)

Introdu¸

c˜

ao

A ´algebra de Rees de um ideal I em um anel A, denotada RA(I), ´e, a grosso modo,

uma constru¸cão que “empacota” em um único objeto o anel A e todas as potências do ideal I. Ela foi originalmente introduzida por David Rees para estudar os seguintes assuntos em álgebra comutativa:

• A constru¸c˜ao de um contra-exemplo para a generaliza¸c˜ao de Zariski do 14◦ problema de Hilbert.

• O crit´erio para um anel local ser n˜ao ramificado. • O lema de Artin-Rees.

Do ponto de vista algébrico, a álgebra de Rees de ideais em anéis Noetherianos capturam em outro anel Noetheriano um grande número de informa¸cões sobre como o ideal I se situa no anel A e como suas potências variam. Numa perspectiva geométrica, a álgebra de Rees é bastante importante pois ela é a realiza¸cão algébrica do blowing-up de uma variedade ao longo de uma subvariedade, constru¸cão esta que desempenha papel central no problema de resolu¸cão de singularidades.

Nosso objetivo nesta disserta¸cão é tratar de alguns aspectos que situam-se nos fundamentos da pesquisa sobre propriedades da álgebra de Rees. Para isso, dividimos o trabalho em três cap´ıtulos os quais passamos a descrevê-los.

No Cap´ıtulo 1 o propósito é enfatizar a álgebra de Rees como uma álgebra gra-duada. Em virtude disso, definimos conceitos como álgebras graduadas, subálgebras graduadas, ideais homogêneos e homomorfismo de álgebras graduadas. A t´ıtulo de informa¸cão, damos uma defini¸cão geral de álgebra de Rees em fun¸cão da no¸cão de filtra¸cão. Também apresentamos nessa parte outras álgebras relacionadas à álgebra de Rees, como exemplo: a álgebra de Rees estendida, o anel graduado associado, a fibra especial e a álgebra simétrica.

(10)

No Cap´ıtulo 2 o interesse é discutir sobre a dimensão de Krull da álgebra de Rees e das álgebras que relacionam-se com ela.

Finalmente, no Cap´ıtulo 3, abordamos a questão das equa¸cões de defini¸cão da ´

algebra de Rees. Destacamos sobretudo os casos dos ideais de tipo linear - e a rela¸cão entre esta no¸cão e a condi¸cão G∞ de Nagata - e dos ideais de tipo fibra. Mostramos

(11)

Cap´ıtulo 1

Generalidades sobre a ´

algebra de

Rees de um ideal

Nosso principal interesse nesse cap´ıtulo é discutir alguns pormenores da estrutura de álgebra graduada com ênfase ao principal objeto desse trabalho, a álgebra de Rees de um ideal. Também daremos destaque as álgebras graduadas que relacionam-se com a álgebra de Rees por exemplo: o anel graduado associado, a álgebra de Rees estendida, a fibra especial e a álgebra simétrica.

Observamos de uma vez por todas que em todo este trabalho consideraremos apenas an´eis comutativos com identidade e Noetherianos.

1.1 Algebras sobre an´

´

eis

Defini¸cão 1.1.1. Seja A um anel comutativo. Uma A-álgebra é um anel B equipado com um homomorfismo de anéis ϕ : A → B. Dizemos neste caso que A é anel base e que ϕ é o homomorfismo estrutural.

Notemos que uma A-álgebra é em particular um A-módulo, onde a multiplica¸cão por escalar é definida naturalmente por

ab := ϕ(a)b (1.1)

para cada a ∈ A e b ∈ B, e o produto no segundo membro de (1.1) ´e o produto no anel B.

O homomorfismo estrutural ϕ nesse trabalho tratar-se-á do homomorfismo de in-clusão. Em virtude disso, sempre que nos referirmos a A-álgebras estaremos pensando,

(12)

daqui em diante, naquelas cujo homomorfismo estrutural ´e a inclus˜ao.

Exemplo 1.1.2. Dado um anel A, os modelos mais básicos de A-álgebras são os anéis de polinômios A[X1, . . . , Xn].

Defini¸cão 1.1.3. Uma A-subálgebra de uma A-álgebra B é um subanel de B que contém A.

Como observado acima, uma A-álgebra é em particular um A-módulo. Sendo assim, podemos pensar em um conjunto gerador para uma A-álgebra no sentido de A-módulos. Contudo, podemos considerar também a seguinte no¸cão mais fraca de conjunto gerador.

Defini¸cão 1.1.4. Seja B uma A-álgebra. Um subconjunto S de B é chamado um conjunto gerador da A-álgebra B se cada elemento de B é uma expressão da seguinte forma:

X

v∈Nn

avsv11· · · svnn (1.2)

com av ∈ A distintos de zero apenas para uma quantidade finita de ´ındices, si ∈ S,

v = (v1, . . . , vn) ∈ Nn e n ∈ N.

Também dizemos nesse caso que B é uma A-álgebra gerada pelo conjunto S. De maneira imprecisa, dizer que uma A-álgebra B é gerada por um conjunto S significa simplesmente que cada elemento de B é uma expressão polinomial dos elementos de S. Obviamente, {X1, . . . , Xn} é um conjunto gerador de A[X1, . . . , Xn].

Nota¸cão: B := A[S] é a nota¸cão para A-álgebra gerada por S.

A nota¸cão é sugestiva, uma vez que ela nos lembra que os elementos de B são expressões polinomiais dos elementos de S com coeficientes em A.

Quando o conjunto gerador de uma A-álgebra B é finito, dizemos que B é uma A-álgebra finitamente gerada (ou de tipo finito).

Proposi¸cão 1.1.5. Seja B uma A-álgebra. Dados {s1, . . . , sn} ∈ B, existe um único

homomorfismo

ϕ : A[X1, . . . , Xn] → B

(13)

Prova. Considere

ϕ : A[X1, . . . , Xn] → B

f (X1, . . . , Xn) 7→ f (s1, . . . , sn)

´

E imediato que ϕ assim definida é homomorfismo e que satisfaz as condi¸cões da proposi¸cão.

Defini¸cão 1.1.6. O único homomorfismo ϕ definido na proposi¸cão acima e seu núcleo chamam-se, respectivamente, de homomorfismo e ideal de apresenta¸cão da A-álgebra A[s1, . . . , sn].

1.2 Mon´

oides

Defini¸cão 1.2.1. Um monóide ´_{e um conjunto M não vazio dotado de uma opera¸cão} binária + para qual valem as seguintes propriedades:

(i) (a + b) + c = a + (b + c), para cada a, b, c ∈ M.

(ii) Existe um (´_{unico) elemento 0 ∈ M tal que para todo a ∈ M, a + 0 = 0 + a = a.} Os exemplos mais importante de monóides são os dos n´_{umeros naturais N =} {0, 1, 2, . . .} e dos inteiros Z. Outros, não menos importantes, são o Nn_{e o Z}n_{(n ∈ N)}

equipados com a opera¸cão de adi¸cão coordenada à coordenada. De fato, estes serão os monóides que figurarão nas defini¸cões dos principais objetos tratados nesse texto.

1.3 Algebras Graduadas

´

Seja A um anel. Como é bem conhecido dos cursos elementares de teoria dos anéis, o anel de polinômios A[X1, . . . , Xn] admite a seguinte decomposi¸cão:

A[X1, . . . , Xn] =

M

u∈N

A[X1, . . . , Xn]u,

onde A[X1, . . . , Xn]usignifica o A-módulo de todos os polinômios homogêneos de grau

u. Tal decomposi¸cão acaba sendo útil por vários motivos, já que em muitas situa¸cões podemos nos restringir aos “peda¸cos” A[X1, . . . , Xn]u para responder diversos

pro-blemas (e.g., fun¸cão de Hilbert). A maneira que generalizamos essa caracter´ıstica do anel A[X1, . . . , Xn] é através da seguinte defini¸cão:

(14)

Defini¸cão 1.3.1. Seja B uma A-´_{algebra e (M, +) um monóide. Dizemos que B é} uma A-´_{algebra M-graduada se ela admitir uma decomposi¸cão em soma direta}

B =M

u∈M

Bu

tal que para cada u ∈ M, Bu ´e um grupo abeliano e:

(i) B0 = A.

(ii) Bu· Bv ⊂ Bu+v.

Notamos da defini¸cão acima que, cada Bu é um A-módulo e que cada elemento

β ∈ B ´e escrito de forma ´unica como

β =X

u∈M

βu

onde βu ∈ Bu e βu 6= 0 apenas para um n´umero finito de ´ındices u ∈ M. Cada

A-módulo Bu é chamado de parte homogênea de grau u de B. Os elementos de Bu serão

chamados de elementos homogˆeneos de grau u.

Exemplo 1.3.2. Como hav´ıamos antecipado no ´ınicio da se¸cão, o protótipo mais básico de A-´_{algebra N-graduada é o anel de polinômios B = A[X}1, . . . , Xn].

Exemplo 1.3.3. Sejam A um anel e M um mon´oide. Defina B0 = A e Bu = {0} para

todo u ∈ M − {0}. Temos claramente uma gradua¸cão, e esta é chamada gradua¸cão trivial.

Observa¸c˜_{ao 1.3.4. Seja M um mon´oide e r um n´umero natural. ´}_{Algebras M}r

-graduadas são também chamadas de multigraduadas. Para cada parti¸cão de r, r = r1+ . . . + rs,

podemos pensar uma ´_{algebra M}r_{-graduada S como uma ´}_{algebra M}s_{-graduada da}

seguinte maneira: para cada elemento homogˆeneo de multigrau (u1r1, . . . , ur1r1, . . . , u1rs, . . . , ursrs)

(15)

r1 X i=1 uir1, . . . , rs X i=1 uirs !

Exemplo 1.3.5. Seja A um anel. Podemos ver o anel de polinˆomios A[X1, . . . , Xr]

como uma A-´_{algebra N}r_{-graduada com X}

i tendo multigrau (0, . . . , 1, . . . , 0). Se para

este exemplo considerarmos a parti¸c˜ao r = r1 e procedermos tal como na observa¸c˜ao

acima, recuperamos a N-gradua¸c˜ao do Exemplo 1.3.2. Defini¸c˜ao 1.3.6. Seja B =M

u∈M

Bu uma A-´algebra M-graduada e C uma sub´algebra

de B. Dizemos que C é uma sub´_{algebra graduada de B se C é uma álgebra} M-graduada tal que Cu ⊆ Bu.

Defini¸c˜ao 1.3.7. Seja B =M

u∈M

Bu uma A-´algebra M-graduada. Um ideal I de B ´e

dito ideal homogêneo se ele é gerado por elementos homogêneos de B. Tem-se facilmente que um ideal I de uma A-álgebra graduada B =M

u∈M

Bu ´e ideal

homogêneo se, e somente se, ele se decompõe como soma direta de A-módulos da seguinte maneira:

I =M

u∈M

(I ∩ Bu).

Costumamos denotar o A-m´odulo I ∩ Bu por Iu e o chamamos de parte homogˆenea

de grau u do ideal I.

Defini¸c˜_{ao 1.3.8. Seja M um mon´oide. Suponhamos B =} M

u∈M

Bu e C =

M

u∈M

Cu

duas A-´_{algebras M-graduadas. Um homomorfismo de A-´algebras ϕ : B → C ´e dito} homomorfismo M-graduado se ϕ preserva graus, i.e., ϕ(Bu) ⊂ Cu para cada u ∈ M.

Vejamos agora como se comporta o n´ucleo de um homomorfismo graduado. Proposi¸c˜_{ao 1.3.9. Seja M um mon´oide. Suponhamos B =} M

u∈M

Bu e C =

M

u∈M

Cu

duas A-´_{algebras M-graduadas e ϕ um homomorfismo M-graduado. Ent˜ao o n´ucleo} de ϕ ´_{e um ideal M-graduado de B.}

Prova. Seja β =X

u∈M

(16)

ϕ(β) =X

u∈M

ϕ(βu) = 0.

Assim, ϕ(βu) = 0 para cada u ∈ M, pois a soma ´e direta. Desse modo conclu´ımos o

desejado.

1.4 Filtra¸

c˜

oes e ´

algebras de Rees

Nesta parte do trabalho estudaremos sobre filtra¸cões e veremos alguns dos exem-plos mais importantes da mesma. Para a partir da´ı, definirmos a principal no¸cão dessa se¸cão, a álgebra de Rees.

Defini¸c˜ao 1.4.1. Dado um anel A, dizemos que uma fam´ılia F = {In}_n∈N tem

estrutura de A-filtra¸cão se as seguintes condi¸cões são satisfeitas. (i) I0 = A.

(ii) I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ . . . .

(iii) Ii· Ij ⊂ Ii+j para cada i, j ∈ N.

Exemplo 1.4.2. Dado um ideal I em um anel A temos que fam´ılia F = {In_}

n∈N das

potências ordinárias de I é um exemplo de A-filtra¸cão. Esta é denominada filtra¸cão I-ádica.

Exemplo 1.4.3. Sejam A um anel, I um ideal de A e n ∈ N. A n-ésima potência simbólica de I, denotada por I(n) _´_{e definida pela seguinte igualdade}

I(n):= {a ∈ A | s · a ∈ Inpara algum s ∈ A − ZA(A/I)},

onde ZA(−) é a nota¸cão para o conjunto dos divisores de zero de um A-módulo. É de

f´acil verifica¸c˜ao que I(n)_´_{e ideal e que a fam´ılia F = {I}(n)_}

n∈N, das potˆencias simb´olicas

do ideal I, é uma A-filtra¸cão. Além disso temos:

I ⊃ I(n) ⊃ In _(1.3)

(17)

(I(n)∩ In−1_)/In _(1.4)

´

e a A/I-tor¸c˜ao do m´odulo conormal In−1/In de ordem n.

Exemplo 1.4.4. Seja I um ideal em um anel A. Um elemento α ∈ A ´e dito inteiro sobre I se existe um inteiro positivo r e elementos ai ∈ Ii (i = 1, . . . , r) tal que

αr+ a1αr−1+ a2αr−2+ . . . + ar−1α + ar = 0. (1.5)

A equa¸cão (1.5) é chamada de equa¸cão de dependência inteira de α sobre I. O conjunto de todos os elementos de A que são inteiros sobre I é chamado fecho inteiro de I e é denotado por ¯I. É fácil deduzir que ¯I é também um ideal de I. Além disso também temos que a fam´ılia F = {In_}

n∈N ´e uma A-filtra¸c˜ao.

Podemos agora definir a principal no¸c˜ao dessa se¸c˜ao

Defini¸cão 1.4.5. Sejam A um anel e F = {In}n∈N uma A-filtra¸cão. A álgebra de

Rees da filtra¸cão F, denotada RA(F), é a seguinte A-subálgebra da A-álgebra A[t]

RA(F) := M n∈N Intn= ( _n X i=0 aiti | n ∈ N; ai ∈ Ii ) .

Notamos imediatamente da defini¸cão que a álgebra de Rees associada a uma A-filtra¸cão ´_{e N-graduada e, como A-módulo, é livre de tor¸cão.}

Diante dos exemplos citados acima de filtra¸c˜oes listamos as seguintes ´algebras de Rees:

• A álgebra de Rees ordinária de um ideal I ⊆ A, associada à filtra¸cão I-ádica, {In_}

n∈N. Denotaremos a ´algebra de Rees associada a esta filtra¸c˜ao simplesmente

por RA(I).

• A álgebra de Rees simbólica, associada à filtra¸cão {I(n)}_n∈N. Denotamos esta ´

algebra de Rees simplesmente por Rs_A(I).

• A álgebra de Rees associada à filtra¸cão dos fechos inteiros das potências de um ideal I.

(18)

Observa¸c˜ao 1.4.6. Como A ´e Noetheriano, dado um ideal I de A existem f1, . . . , fn ∈

A tais que I = (f1, . . . , fn). `A luz desse fato segue que

RA(I) = A[f1t, . . . , fnt],

ou seja, RA(I) é uma A-álgebra finitamente gerada. Contudo essa é uma

particula-ridade da álgebra de Rees ordinária, que não ocorre em geral para álgebras de Rees associadas a outras filtra¸cões. Um primeiro exemplo, referente a álgebra de Rees simbólica não ser finitamente gerada, foi dado por David Rees em [11]; em seu exem-plo, I é um ideal primo no anel graduado A de uma curva projetiva de gênero ≥ 1. Um fato surpreendente sobre a finitude da gera¸cão da álgebra de Rees simbólica foi notado por Cowsik em [12]. Nesse artigo ele mostrou como é poss´ıvel limitar supe-riormente o número de geradores de um ideal primo I do espectro perfurado de um anel local (A, m) desde que se saiba a priori que a álgebra de Rees simbólica Rs

A(I)

´

e finitamente gerada.

1.5 Outras ´

algebras graduadas associadas a uma

filtra¸

c˜

ao

Seja F = {In}_n∈N uma A-filtra¸cão. Pelas propriedades de filtra¸cão também

pode-mos definir naturalmente as seguintes álgebras graduadas: R0_A(F) := M n∈Z Intn ⊂ A[t, t−1] (1.6) com In= A se n ≤ 0, e gr_F(A) :=M n≥0 In/In+1= R0A(F)/(t −1 )R0_A(F) (1.7) Chamamos R0_A(F) e gr_F(A), respectivamente, de álgebra de Rees estendida e anel graduado associado da filtra¸cão F.

Quando F é a filtra¸cão I-ádica escrevemos R0_A(I) e grI(A) para R0A(F) e grF(A),

respectivamente. Em tal caso, R0_A(I) e grI(A) s˜ao chamados, respectivamente, de

´

algebra de Rees estendida e anel graduado associado de I.

(19)

Defini¸c˜ao 1.5.2. Seja (A, m) um anel local e F = {In}n∈N uma filtra¸c˜ao de A. A

fibra especial da filtra¸c˜ao F ´e dada por FA(F) :=

M

n≥0

In/mIn= RA(F)/mRA(F) = grF(A)/mgrF(A). (1.8)

Quando F é a filtra¸cão I-ádica escrevemos FA(I) em vez de FA(F).

Mais adiante estaremos interessados na seguinte vers˜ao de fibra especial

Defini¸c˜ao 1.5.3. Seja k um corpo, A = k[X1, , . . . , Xn] anel de polinˆomios com a

gradua¸c˜ao usual, e I um ideal homogˆeneo de A. Seja m = (X1, . . . , Xn) – chamamos

este de ideal irrelevante de A – e RA(I) a ´algebra de Rees ordin´aria de I. A fibra

especial de I ´e

FA(I) := RA(I)/mRA(I). (1.9)

1.6 Algebra sim´

´

etrica de um m´

odulo

Seja A um anel e I um ideal de A. Outra álgebra graduada associada a I que relaciona-se com a álgebra de Rees RA(I) é a álgebra simétrica de I. Nesta se¸cão

definiremos este objeto no contexto mais geral de m´odulos.

Seja M um A-m´odulo gerado por elementos v1, . . . , vm ∈ M. Dado um inteiro

r ≥ 0, definimos Tr(M ) :=                      A, se r = 0 M, se r = 1 r O i=1 M, se r > 1

e br(M ) = {0} ⊂ A, caso r = 0; br(M ) = {0} ⊂ M, caso r = 1; br(M ) = subm´odulo

de Tr_{(M ) gerado pelos elementos da forma v}

i1 ⊗ . . . ⊗ vir − viσ(1)⊗ . . . ⊗ viσ(r), com

σ pertencente ao grupo de permuta¸c˜oes que operam sobre (1, . . . , r), caso r > 1. Agora consideremos o seguinte A-m´odulo

SA(M ) :=

M

r∈N

(20)

onde

Sr(M ) = Tr(M )/br(M ).

Definimos uma multiplica¸c˜ao de maneira natural sobre SA(M ) do seguinte modo:

para cada g1⊗ . . . ⊗ gr∈ Sr(M ) e h1⊗ . . . ⊗ hs ∈ Ss(M ) o produto entre estes ´e igual

a g1 ⊗ . . . ⊗ gr ⊗ h1 ⊗ . . . ⊗ hs ∈ Sr+s(M ) (a defini¸c˜ao desta multiplica¸c˜ao para os

demais elementos de SA(M ) segue por distributividade). Obviamente, SA(M ) com a

multiplica¸cão assim definida é uma A-álgebra graduada.

Defini¸cão 1.6.1. A A-álgebra SA(M ) é chamada álgebra simétrica de M.

As demonstra¸cões das propriedades da álgebra simétrica a seguir podem ser en-contradas em [2, Appendix 2].

Proposi¸cão 1.6.2. Seja A um anel e M um A-módulo finitamente gerado. Então: (a) Para qualquer A-álgebra B e qualquer homomorfismo de A-módulos ϕ : M →

B, existe um ´unico homomorfismo de A-´algebras ϕ : S_e A(M ) → B tal que o

diagrama M ϕ // ι B SA(M ) e ϕ ;;

é comutativo, onde ι é a inclusão de M em SA(M ).

(b) Se B é uma A-álgebra então SA(M ) ⊗AB ' SB(M ⊗ B).

A seguir veremos que a propriedade (a) da proposi¸c˜ao acima caracteriza SA(M )

a menos de isomorfismos.

Proposi¸cão 1.6.3. Seja A um anel e M um A-módulo finitamente gerado. Su-ponhamos uma A-´_{algebra N-graduada T e um homomorfismo injetor de A-módulos} θ : M → T tal que:

(i) T ´e gerado como A-´algebra por θ(M ).

(ii) Para qualquer A-álgebra B e qualquer homomorfismo de A-módulos ϕ : M → B, existe um único homomorfismo de A-álgebras ϕ : T → B tal que o diagrama_e

M ϕ // θ B T e ϕ >>

(21)

´e comutativo. Ent˜ao SA(M ) ' T .

Prova. Considerando o homomorfismo ι : M → SA(M ), segue a existˆencia de um

´

unico homomorfismos de A-´algebras_eι : T → SA(M ) tal que

eι ◦ θ = ι

Por outro lado, usando o item (a) da proposi¸c˜ao anterior e o homomorfismo θ : M → T segue a existˆencia de um eθ : SA(M ) → T tal que

e

θ ◦ ι = θ.

Assim,

eι ◦ eθ ◦ ι = ι.

Desse modo,_eι ◦ eθ ´e a identidade sobre M. Como os elementos de M geram SA(M )

temos que_eι ◦ eθ ´e a identidade de SA(M ). Usando o fato de que eθ ◦ ι ◦ θ = θ concluimos

de forma análoga à anterior que eθ ◦ ι é a identidade de T . Portanto,_eι : T → SA(M )

´

e um isomorfismo e temos assim o resultado desejado.

Usaremos a proposi¸cão anterior para determinar a álgebra simétrica de A-módulos livres.

Proposi¸cão 1.6.4. Seja A um anel e M um A-módulo livre de posto n. Então SA(M ) ' A[Y1, . . . , Yn]

Prova. Suponhamos que {e1, . . . , en} ´e uma base de M. Consideremos o

homomor-fismo de A-m´odulos

ψ : M → A[Y1, . . . , Yn]

ei 7→ Xi

Este homomorfismo está bem definido, pois M é livre, é injetor e ψ(M ) gera a A-álgebra A[Y1, . . . , Yn]. Suponhamos uma A-álgebra B e um homomorfismo de

A-m´odulos ϕ : M → B. Definamosϕ : A[Y_e 1, . . . , Yn] → B por

e

(22)

Temos que

e

ϕ ◦ ψ(ei) =ϕ(Ye i) = ϕ(ei)

para qualquer 1 ≤ i ≤ n. Logo, ϕ ◦ ψ = ϕ. Assim, o diagrama_e

M ϕ // ψ B A[Y1, . . . , Yn] e ϕ 88 ´

e comutativo. Tamb´em temos que ϕ(Y_e i) = ϕ(ei) e ϕ(a) = a para cada a ∈ A; logo,e pela Proposi¸c˜ao 1.1.5, ϕ ´_ee unicamente determinado.

Todas estas afirma¸c˜oes deduzidas sobre o anel A[Y1, . . . , Yn] combinadas com a

Proposi¸c˜ao 1.6.3 nos levam a conclus˜ao desejada.

Seja A um anel Noetheriano e M um A-m´odulo finitamente gerado. Digamos que M = (v1, . . . , vn). Ent˜ao, podemos considerar o homomorfismo sobrejetor de

A-m´odulos

ψ : An _M

ei 7→ vi

(1.10) onde os ei’s correspondem aos elementos da base canˆonica de An. Por conseguinte, o

núcleo de ψ será um A-submódulo finitamente gerado de An_{. Digamos que ker (ψ) =}

(z1, . . . , zm). Ent˜ao, como antes, podemos considerar a aplica¸c˜ao

ϕ : Am → An

i 7→ zi

(1.11) onde os i’s correspondem aos elementos da base canˆonica de Am. Notemos que

Im(ϕ) = ker (ψ) e assim temos a sequˆencia exata:

Am ϕ→ An ψ_{→ M → 0} _(1.12)

Defini¸cão 1.6.5. A sequência exata (1.12) é chamada uma apresenta¸cão livre do A-módulo M. A matriz ϕ é chamada uma matriz de apresenta¸cão (ou matriz de siz´ıgias) de M.

(23)

gerado. Suponhamos que ϕ = (aij)n×m é a matriz de apresenta¸cão de M. Então SA(M ) ' A[Y1, . . . , Yn]/Q onde Q = n X i=1 ai1Yi, . . . , n X i=1 aimYi !

Prova. Pelas considera¸c˜oes acima temos uma apresenta¸c˜ao livre de M da seguinte forma

Am ϕ→ An ψ→ M → 0

Para cada r ∈ N considere o homomorfismo de A-m´odulos Tr(An) → Tr(M )

ei1 ⊗ . . . ⊗ eir 7→ ψ(vi1) ⊗ . . . ⊗ ψ(vir)

Pelo Corolário 4.0.7, temos que o núcleo desse homomorfismo é gerado pelos pro-dutos x1⊗ . . . ⊗ xr tais que xi ∈ ker (ψ) = Im(ϕ) = (

Pn

i=1ai1ei, . . . ,

Pn

i=1aimei) para

algum 1 ≤ i ≤ r. Portanto, o n´ucleo do homomorfismo induzido Sr(An) → Sr(M )

ser´a gerado por multiplos de elementos que pertencem a

n X i=1 ai1ei, . . . , n X i=1 aimei ! .

Desse modo, o homomorfismo de A-´algebras

Γ : A[Y1, . . . , Yn] ' SA(An) → SA(M )

induzido pelos homomorfismos de A-módulos Sr(An) → Sr(M ) terá como núcleo o

ideal Q = n X i=1 ai1Yi, . . . , n X i=1 aimYi ! ' n X i=1 ai1ei, . . . , n X i=1 aimei ! .

Os elementos do ideal Q no teorema acima são chamados de equa¸cões de defini¸cão da álgebra simétrica SA(M ).

(24)

Cap´ıtulo 2

A dimens˜

ao de Krull da ´

algebra de

Rees

Na geometria do século XIX, a ideia de dimensão foi utilizada de forma intui-tiva. Com o passar dos anos, a no¸cão de dimensão teve várias defini¸cões. Entretanto, como constru¸cões cada vez mais complexas foram feitas em álgebra comutativa, tais defini¸cões tornaram-se insatisfatórias. Em 1937, Wolfgang Krull prôpos uma defini¸cão em termos do comprimento de cadeias de ideais primos, como veremos. Esta defini¸cão de Krull unificou várias outras existentes e tornou-se um dos invariantes mais básicos associados a um anel (ou módulo). Em virtude disso, dado um anel (ou módulo) é imediato queremos saber sobre a sua dimensão. Nesse cap´ıtulo faremos uma apre-senta¸cão geral sobre a dimens¸cão de Krull e em seguida especializaremos a discussão para o caso das álgebras de Rees.

2.1 Generalidades sobre dimens˜

ao de Krull

Seja A um anel e P0 ( P1 ( . . . ( Pnuma cadeia de ideais primos de A. Dizemos

que n ´e o comprimento de tal cadeia.

Defini¸c˜ao 2.1.1. Seja P um ideal primo de um anel A. A altura de P, denotada alt(P ) ´e o supremo dos comprimentos das cadeias de ideais primos

P0 ( P1 ( . . . ( Pn

(25)

Para generalizarmos a no¸cão de altura para um ideal arbitrário I de A necessitamos da seguinte defini¸cão

Defini¸cão 2.1.2. Seja I um ideal de um anel A. Dizemos que um ideal primo P de A é primo m´ınimo de I se satisfaz as seguintes condi¸cões:

(a) I ⊂ P.

(b) Se P0 é ideal primo de A e I ⊂ P0 ⊂ P então P = P0. Nota¸cão: Min(I) = {P ⊂ A | P é primo m´ınimo de I}.

Observa¸cão 2.1.3. A hipótese de que A é anel Noetheriano garante que o conjunto Min(I) seja finito. Uma referência para maiores detalhes sobre esse fato é [5, Chapter 2].

Mediante a no¸c˜ao de primo m´ınimo temos

alt(I) := min{alt(P ) | P ∈ Min(I)}.

Defini¸cão 2.1.4. Seja A um anel. A dimensão de Krull de A, denotada dim(A), é o supremo dos comprimentos das cadeias de ideais primos P0 ( P1 ( . . . ( Pn = P de

A.

A altura e a dimensão estão relacionadas através da seguinte proposi¸cão: Proposi¸cão 2.1.5. ([14, Chapter 5]) Seja I um ideal de um anel A. Então

dim(A) ≥ alt(I) + dim(A/I).

2.2 Determinando a dimens˜

ao da ´

algebra de Rees

O resultado a seguir caracteriza a fam´ılia dos primos m´ınimos das álgebras de Rees associadas a filtra¸cão I-ádica em termos dos primos m´ınimos do anel base. Lema 2.2.1. Seja I um ideal de um anel A. Então:

Min(RA(I)) =P A[t, t−1] ∩ RA(I) | P ∈ Min(A)

(2.1) e

(26)

Prova. Observamos inicialmente que para cada ideal J de A, J ⊆ J RA(I) ∩ A ⊆ J R0A(I) ∩ A ⊆ J A[t, t

−1

] ∩ A = J ; (2.3) ou seja, cada ideal de A é contra¸cão de ideais de RA(I) e R0A(I). Também,

A J ⊂ RA(I) J A[t, t−1_{] ∩ R} A(I) ⊂ R 0 A(I) J A[t, t−1_{] ∩ R}0 A(I) ⊂ A[t, t −1_] J A[t, t−1_] ' A J[t, t −1 ]. (2.4)

Se P ´e primo m´ınimo de A ent˜ao de (2.3) e (2.4) temos que P A[t, t−1] ∩ RA(I) e

P A[t, t−1] ∩ R0_A(I) s˜ao primos m´ınimos de RA(I) e R0A(I) respectivamente.

Por outro lado, dado um elemento nilpotente em RA(I) ou R0A(I) este tamb´em

ser´a nilpotente em A[t, t−1]; logo, ele pertencer´a a \

P ∈Min(A)

P.

Assim, cada primo m´ınimo de RA(I) ou R0A(I) ´e contra¸c˜ao de um primo m´ınimo

de A[t, t−1] da forma P A[t, t−1], com P ∈ Min(A).

O próximo resultado revela que para efeito de cálculo da dimensão das álgebras de Rees podemos sempre reduzir o problema ao caso em que o anel base é um dom´ınio de integridade.

Lema 2.2.2. Seja I um ideal de um anel A. Ent˜ao:

dim RA(I) = max

dim RA P I + P P | P ∈ Min(A) (2.5)

dim R0_A(I) = max dim R0A P I + P P | P ∈ Min(A) (2.6) Prova. Para um anel R qualquer temos

dim R = max{dim R Q

| Q ∈ Min(R)}. (2.7) Por outro lado,

RA(I) J A[t, t−1_{] ∩ R} A(I) ' RA J I + J J (2.8)

(27)

R0 A(I) J A[t, t−1_{] ∩ R}0 A(I) ' R0A J I + J J (2.9) para qualquer ideal J ∈ A. Combinando estes dois isomorfismos, (2.7) e o Lema 2.2.1 temos o desejado.

Antes de enunciarmos o próximo teorema observamos que para um ideal primo Q em um anel R denotaremos o corpo de fra¸cões do dom´ınio R/Q por κ(Q) e o grau de transcendência de um dom´ınio S sobre um dom´ınio R denotaremos por gr.trR(S).

Teorema 2.2.3. Seja A um subanel de um anel B. Suponhamos que B é dom´ınio. Se Q é ideal primo de B e P = A ∩ Q então:

alt(Q) + gr.tr_{κ(P )}(κ(Q)) ≤ alt(P ) + gr.tr_A(B) (2.10) Para maiores detalhes sobre o teorema acima ver [13, Theorem B.2.5 ].

Finalmente, temos o principal resultado dessa se¸c˜ao

Teorema 2.2.4. Seja A um anel cuja dimensão de Krull é finita. Se I é um ideal de A então:

(i) dim(RA(I)) =

    

dim A + 1, se I 6⊂ P para algum ideal primo P com dim(A/P ) = dim A.

dim A, caso contr´ario. (ii) dim(R0_A(I)) = dim A + 1.

(iii) Se m é o único ideal maximal de A e I ⊂ m então mR0_A(I) + ItR0_A(I) + (t−1)R0_A(I) é um ideal maximal em R0_A(I) de altura dim A + 1.

Prova. (i) Pelo que vimos anteriormente, para calcular dim RA(I) podemos supor

que A ´e um dom´ınio. Assim, ´e suficiente provar que dim RA(I) = dim A se I = (0),

e dim RA(I) = dim A + 1 caso contr´ario.

Para cada Q ideal primo de RA(I), considere P = A ∩ Q. Pelo Teorema 2.2.3,

temos

alt(Q) + gr.tr_{κ(P )}(κ(Q)) ≤ alt(P ) + gr.tr_A(RA(I)) (2.11)

Notemos que A P ⊂ RA(I) Q ⊂ A[t] QA[t];

(28)

logo, gr.tr_{κ(P )}(κ(Q)) ≤ gr.tr_{κ(P )}(κ(QA[t])) = 0, ou seja, gr.tr_{κ(P )}(κ(Q)) = 0. (2.12) Como gr.tr_A(RA(I)) = 1 (2.13) segue de (2.11), (2.12) e (2.13) que

alt(Q) ≤ alt(P ) + 1 ≤ dim A + 1; logo,

dim RA(I) ≤ dim A + 1.

Para mostrar a desigualdade contr´aria, suponha P0 = ItRA(I). Temos as seguintes

informa¸c˜oes:

(1) P0∩ A = (0) e It ⊂ P0 (em particular, alt(P0) > 0).

(2) RA(I)/P0 ' A (em particular, P0 ´e ideal primo).

Portanto,

dim RA(I) ≥ dim(RA(I)/P0) + alt(P0) = dim A + alt(P0) ≥ dim A + 1

como quer´ıamos.

(ii) Para calcular dim R0_A(I), usando (2.6), tamb´em podemos supor que A ´e dom´ınio de integridade. Assim, usando o Teorema 2.2.3 temos a desigualdade

dim R0_A(I) ≤ dim A + 1. A desigualdade contr´aria segue de

dim R0_A(I) ≥ dim R0_A(I)t−1 = dim A[t, t−1] = dim A + 1.

onde R0_A(I)t−1 ´e a localiza¸c˜ao do anel R0_A(I) em t−1.

(iii) Considere

(29)

uma cadeia saturada de ideais primos de A tal que alt(m) = h. Suponha Qi =

PiA[t, t−1] ∩ A[It, t−1]. Como Qi ∩ A = Pi, Q0 ⊂ Q1 ⊂ . . . ⊂ Qh ´e uma cadeia de

ideais primos distintos em A. O maior destes ideais ´e Qh = mA[t, t−1] ∩ R0A(I) = mR

0

A(I) + ItR 0 A(I),

o qual est´a propriamente contido no ideal maximal Qh + (t−1)R0A(I). Isso prova o

desejado. `

A luz desses resultados podemos dizer as seguintes informa¸c˜oes a respeito das dimens˜oes da fibra especial e do anel graduado associado a I.

Proposi¸c˜ao 2.2.5. Seja (A, m) um anel local e I ⊂ m ideal de A. Ent˜ao

dim(FA(I)) ≤ dim(grI(A)) = dim(A).

Prova. A desigualdade dim(FA(I)) ≤ dim(grI(A)) ´e imediata em virtude de FA(I)

ser um quociente de gr_I(A) e da Proposi¸c˜ao 2.1.5. Usando a Proposi¸c˜ao 2.1.5 jun-tamente com o fato de grI(A) ser um quociente de R0A(I) pelo elemento regular t−1

e o Teorema 2.2.4(ii), temos dim(gr_I(A)) ≤ dim(A). Agora, consideremos o ideal Q = mR0_A(I) + ItR0_A(I) + (t−1)R0_A(I). Uma propriedade facilmente verificada sobre a dimensão de um anel é que ela não aumenta por localiza¸cão, assim dim(gr_I(A)) ≥ dim(gr_I(A)Q). Mas pelo Teorema 2.2.4(iii), dim(grI(A)Q) = alt(Q) − 1 = dim(A).

Observa¸cão 2.2.6. A dimensão da fibra especial FA(I) é também conhecida como

spread anal´ıtico de I.

2.3 A dimens˜

ao da ´

algebra sim´

etrica

Lema 2.3.1. Seja A um dom´ınio e M um A-módulo finitamente gerado. Então a A-tor¸cão da álgebra simétrica SA(M ) é um ideal primo de SA(M ).

Prova. Denotemos por τ a A-tor¸cão de SA(M ). Por defini¸cão, como A é um dom´ınio,

τ = {x ∈ SA(M ) | rx = 0 para algum r ∈ A − {0}}.

A verifica¸cão de que τ é ideal de SA(M ) é trivial. Assim, resta-nos demonstrar que τ

´

(30)

SA(M ) ⊗AK ' SK(M ⊗AK).

Como M é A-módulo finitamente gerado, então M ⊗AK é um K-espa¸co vetorial de

dimensão finita. Digamos que esta dimensão seja n. Assim, pela Proposi¸cão 1.6.4, segue que

SK(M ⊗AK) ' K[X1, . . . , Xn].

Consideremos agora a aplica¸c˜ao SA(M ) η → SK(M ⊗AK) x 7→ x 1 . Temos ker (η) = x ∈ SA(M ) | x 1 = 0 1

= {x ∈ SA(M ) | rx = 0 para algum r ∈ A−{0}} = τ.

Logo,

SA(M )/τ ' Im(η).

Como Im(η) é dom´ınio, pois é subanel do dom´ınio K[X1, . . . , Xn], temos que τ é ideal

primo.

Lema 2.3.2. Sejam A um anel, P um ideal primo de A e M um A-m´odulo finita-mente gerado. Ent˜ao,

T (P ) = {x ∈ SA(M ) | rx ∈ P SA(M ) para algum r ∈ A − P }

´

e ideal primo de SA(M ).

Prova. Denotemos por T (P ) a A/P -tor¸c˜ao do A/P -m´odulo

SA(M ) ⊗AA/P ' SA/P(M/P M ) ' SA(M )/P SA(M ).

Como A/P é um dom´ınio, segue pelo lema anterior que T (P ) é ideal primo de SA/P(M/P M ). Por outro lado, T (P ) = T (P )/P SA(M ). Portanto, T (P ) é de fato

ideal primo de SA(M ).

(31)

dimensão da álgebra simétrica SA(M ) é

dim SA(M ) = sup{dim A/P + µ(MP) | P ´e ideal primo de A}

Prova. Seja P um ideal primo de A, SA(M ) T (P ) ⊗ AP = SA(M ) T (P ) P = SA(M )P T (P )P = SA(M )P P SA(M )P = SA(M )P ⊗ AP P AP = = SAP(MP) ⊗ AP P AP = S AP P AP (MP/P MP) = AP P AP [T1, . . . , Tn]

onde a ´ultima igualdade decorre do fato de MP/P MP ser um _{P A}AP

P-espa¸co vetorial,

logo ´e um m´odulo finitamente gerado e portanto n = dim AP

P AP

(MP/P MP) = µ(MP)

Por outro lado,

κ SA(M ) T (P ) ⊗ AP = κ SA(M ) T (P ) P = κ SA(M ) T (P ) ,

onde κ(−) significa o corpo de fra¸c˜oes do dom´ınio. Dessa forma,

µ(MP) = n (2.14) = gr.tr AP P AP AP P AP [T1, . . . , Tn] (2.15) = gr.tr AP P AP SA(M ) T (P ) ⊗ AP (2.16) = gr.tr AP P AP SA(M ) T (P ) . (2.17)

Agora, pela Proposi¸c˜ao 4.0.4 , temos

dim SA(M ) T (P ) = dim(A/P ) + gr.tr_A/P SA(M ) T (P ) = dim(A/P ) + µ(MP)

(32)

donde segue que dim(SA(M )) ≥ dim SA(M ) T (P ) = dim(A/P ) + µ(MP).

Reciprocamente, seja P um ideal primo de SA(M ) e considere Q = P ∩A. ´E obivio

que T (Q) ⊂ P, visto que P ´e ideal primo e

x ∈ T (Q) ⇒ x ∈ SA/Q(M/QM ) e ∃r /∈ Q tal que rx = 0 ⇒ rx ∈ Q ⊂ P ⇒ x ∈ P.

Portanto, escolhendo P minimal tal que dim (SA(M )/P ) = dim(SA(M )), temos a

outra desigualdade, dim(SA(M )/P ) ≤ dim SA(M ) T (Q) = dim(A/Q) + µ(MQ).

(33)

Cap´ıtulo 3

As equa¸

c˜

oes de defini¸

c˜

ao da

´

algebra de Rees

Como vimos no cap´ıtulo 1, mais precisamente na Proposi¸cão 1.1.5, cada A-álgebra finitamente gerada pode ser vista como o quociente de um anel de polinômios. O ideal do anel de polinômios que aparece nesse quociente denominamos de ideal de apresenta¸cão da A-álgebra. No cap´ıtulo presente nosso interesse é discutir sobre esse ideal no caso da álgebra de Rees.

3.1 Apresenta¸

c˜

ao polinomial da ´

algebra de Rees

Se A é um anel Noetheriano e I = (f1, . . . , fm) é um ideal de A, então, pela

Proposi¸c˜ao 1.1.5, a ´algebra de Rees RA(I) = A[f1t, . . . , fmt] admite o seguinte

homo-morfismo de apresenta¸c˜ao:

π : A[Y1, . . . , Ym] RA(I)

Yi 7→ fit

(3.1)

Denotemos o ideal de apresenta¸cão de π por J . Os geradores de J são chamados de equa¸cões de defini¸cão da álgebra de Rees R(I).

Pensando os an´eis A[Y1, . . . , Ym] e A[t] com a gradua¸c˜ao usual temos que π

(34)

homogˆeneo e podemos escrevˆe-lo na forma J =M

u∈N

Ju

3.2 Ideais de tipo linear

Seja I = (f1, . . . , fm) ideal de um anel A e

Ar → Aϕ m ψ_{→ I → 0}

uma apresenta¸c˜ao de I. Temos que as entradas da matriz (f1. . . fm) · ϕ s˜ao todas

nulas. Esse fato combinado com a substitui¸c˜ao π : Yi 7→ fit em (3.1) nos diz que as

entradas da matriz (Y1. . . Yn) · ϕ estão contidas no ideal J de apresenta¸cão da álgebra

de Ress RA(I), ou seja, a parte homogênea J1 do ideal homogêneo J contém tais

elementos. Reciprocamente, dado um elemento de J1 este certamente definir´a uma

siz´ıgia de I. Sendo assim, temos:

Proposi¸cão 3.2.1. A parte homogênea J1 do ideal J é gerada pelas entradas da

matriz (Y1. . . Yn) · ϕ.

Observa¸cão 3.2.2. Pelo Teorema 1.6.6 temos que o ideal (J1) corresponde às equa¸cões

de defini¸cão da álgebra simétrica de I.

Em geral, a inclusão (J1) ⊂ J é própria como nos mostra o seguinte exemplo.

Exemplo 3.2.3. Seja k um corpo. Consideremos A = k[X1, X2, X3, X4] e I o ideal

gerado pelos polinˆomios f1 = X1X2, f2 = X2X3, f3 = X3X4 e f4 = X1X4. Notemos

que o polinˆomio Y1Y3− Y2Y4 ∈ J − (J1).

Apesar da inclusão (J1) ⊂ J ser própria em geral, conhecer o ideal (J1) é útil

para obter o ideal J no seguinte sentido:

Proposi¸cão 3.2.4. Nas nota¸cões acima, considere f ∈ I um elemento regular de A. Então:

(35)

Prova. Considere a sequˆencia exata

0 → B = J /(J1) → SA(I) → RA(I) → 0

Passando essa sequeência exata para o anel de fra¸cões Af obtemos a nova sequência

exata

0 → Bf → SAf(If) → RAf(If) → 0.

Em virtude da escolha de f, temos RAf(If) = Af[t]. Por outro lado, tamb´em da

escolha feita para f , temos que SAf(If) é a álgebra simétrica do ideal If = Af,

ou seja, SAf = Af[u] com u sendo enviado em t. Logo, Bf = (0). Sendo assim,

J ⊂ (J1) : f∞.

Finalmente, considere h um gerador homogˆeneo de (J1) : f∞. Existe r ∈ N

suficientemente grande tal que fr_{h ∈ (J}

1). Avaliando frh em f1t, . . . , fnt obtemos

frh(f1t, . . . , fmt) = 0.

Como f ´e regular em A devemos ter h(f1t, . . . , fmt) = 0. Portanto, h ∈ J e assim

conclu´ımos o desejado.

A principal no¸cão dessa se¸cão é dada pela defini¸cão a seguir

Defini¸c˜ao 3.2.5. Dizemos que um ideal I ´e de tipo linear quando J = (J1).

Notemos que um ideal I em um anel A ser de tipo linear significa dizer que as equa¸cões da álgebra de Rees de I são o mais simples poss´ıvel. Além disso, temos o seguinte mapa I // RA(I) SA(I) ::

Donde segue pela Observa¸cão 3.2.2 que, um ideal ser de tipo linear acarreta no isomorfismo RA(I) ' SA(I). Em particular, uma condi¸cão necessária para I ser de

tipo linear ´e dim(RA(I)) = dim(SA(I)).

Passaremos agora a discutir condi¸c˜oes necess´arias ou suficientes para um ideal ser de tipo linear.

(36)

3.2.1 d-Sequˆ

encias

Nesta subse¸cão discutiremos uma classe importante de ideais de tipo linear. Defini¸cão–Proposi¸cão 3.2.6. Seja A um anel. Suponhamos f0 = 0. Uma seqência

f1, . . . , fm de elementos de A ´e dita uma d-sequˆencia se satisfaz uma (portanto todas)

as seguintes condi¸c˜oes equivalentes:

(a) (f0, . . . , fi) : fi+1fj = (f0, . . . , fi) : fj para cada 0 ≤ i ≤ m − 1. e para cada

j ≥ i + 1.

(b) (f0, . . . , fi) : fi+1∩ (f1, . . . , fm) = (f1, . . . , fi) para cada 0 ≤ i ≤ m − 1.

Prova. Se (a) vale, suponhamos que fmh ∈ (f0, . . . , fi) : fi+1∩ (f1, . . . , fm) para

cada m ≥ i + 1. Em particular, tomando j = m temos

fjh ∈ (f0, . . . , fi) : fi+1∩ (f1, . . . , fm)

para todo j ≥ i + 1. Assim,

fjh ∈ (f0, . . . , fi) : fi+1

e por defini¸c˜ao

h ∈ (f0, . . . , fi) : fi+1fj

donde segue por (a) que h ∈ (f0, . . . , fi) : fj, e aplicando a defini¸c˜ao novamente

hfj ∈ (f0, . . . , fi). Como f0 = 0 resulta que hfj ∈ (f1, . . . , fi), e portanto temos a

igualdade desejada.

Por outro lado, suponhamos que a condi¸c˜ao (b) ´e verdadeira, e considere h ∈ (f0, . . . , fi) : fi+1fj

para todo i ≤ m − 1 e j ≥ i + 1.

Assim, por defini¸c˜ao fi+1fjh ∈ (f0, . . . , fi), e pelo fato de f0 = 0 segue que

fi+1fjh ∈ (f1, . . . , fi).

Desse modo, por (b) temos que fi+1fjh ∈ (f0, . . . , fi) : fi+1 ∩ (f1, . . . , fm), e

portanto fi+1fjh ∈ (f0, . . . , fi) : fi+1 o que implica em fjh ∈ (f0, . . . , fi), donde

(37)

Exemplo 3.2.7. Toda sequˆencia regular1 _´_{e uma d-sequˆ}_encia

Dado um F (Y1, . . . , Ym) ∈ A[Y1, . . . , Ym] dizemos que F tem peso i se F ∈

(Y1, . . . , Yi) mas F /∈ (Y1, . . . , Yi−1). Diremos que F tem peso 0 se F = 0.

Lema 3.2.8. Seja A um anel e f1, . . . , fm uma d-sequˆencia de A e I = (f1, . . . , fm).

Suponhamos J ⊂ A[Y1, . . . , Ym] o ideal de defini¸c˜ao da ´algebra de Rees do ideal I e

(J1) o ideal gerado pelos polinômios homogêneos de grau 1 de J . Se G(Y1, . . . , Ym) é

um polinômio homogêneo de grau d tal que G(f1, . . . , fm) ∈ (f1, . . . , fj) então existe

um polinômio homogêneo H(Y1, . . . , Ym) de grau d como peso no máximo j tal que

G − H ∈ (J1).

Prova. Usaremos indu¸c˜ao sobre d. Suponhamos que d = 1. Como G(f1, . . . , fm) ∈

(f1, . . . , fj), podemos escrever G(f1, . . . , fm) = j X i=1 rifi. Suponhamos H = Pj i riYi.

Claramente o peso de H ´e no m´aximo j. Como (G − H)(f1, . . . , fm) = 0 e o grau de

G ´e 1 temos G − H ∈ (J1).

Suponhamos d > 1 e o resultado verdadeiro para valores menores que d. Usaremos agora indu¸cão sobre o peso de G. Se o peso de G é no máximo j fazemos H = G. Se não, escrevemos G = YkG1+ G2, onde o peso de G é k, o peso de G2 é no máximo

k − 1, e ambos G1 e G2 s˜ao homogˆeneos. Notemos que gr(G1) = d − 1. Temos que

G(f1, . . . , fm) = fkG1(f1, . . . , fm) + G2(f1, . . . , fm) ∈ (f1, . . . , fj) e G2(f1, . . . , fm) ∈

(f1, . . . , fk−1). Logo,

G1(f1, . . . , fm) ∈ ((f1, . . . , fk−1) : fk) ∩ I = (f1, . . . , fk−1).

Aplicando indu¸c˜ao sobre G1 obtemos que existe um polinˆomio H1 de grau d − 1 tal

que o peso de H1 ´e no m´aximo k − 1 e tal que G1− H1 ∈ (J1).

Suponhamos H0 = YkH1+ G2. O peso de H0 é no máximo k − 1. Além disso, G −

H0 = Yk(G1−H1) ∈ (J1). Aplicamos a indu¸c˜ao em H0. Notemos que H0(f1, . . . , fm) =

G(f1, . . . , fm) ∈ (f1, . . . , fj) e H0 tem peso no m´aximo k − 1 e grau d. Por indu¸c˜ao

existe um polinômios homogêneo H de grau d e peso no máximo j tal que H − H0 ∈ (J1). Segue que G − H = (G − H0) + (H0 − H) ∈ (J1) e finalizamos a prova.

Finalmente, temos o principal resultado desta subse¸c˜ao.

Teorema 3.2.9. Seja A um anel Noetheriano. Se f1, . . . , fm ´e uma d-sequˆencia de

A ent˜ao o ideal I = (f1, . . . , fm) ´e de tipo linear.

(38)

Prova. Suponhamos J e (J1) como no enunciado do Lema 3.2.8. Seja G(Y1, . . . , Ym) ∈

J homogˆeneo de grau d. Como G(f1, . . . , fm) = 0 podemos aplicar o Lema 3.2.8 com

j = 0 para concluir que G ∈ (J1).

3.2.2 Ideias de tipo linear versus condi¸

c˜

ao G

∞

de Nagata

Dado um A-m´odulo finitamente gerado M, dizemos que um subconjunto {x1, . . . , xn}

de M ´e um conjunto m´ınimo de geradores de M se: (a) {x1, . . . , xn} ´e um conjunto gerador de M.

(b) Se S ( {x1, . . . , xn}, ent˜ao M 6= (S).

Em geral, dois conjuntos m´ınimos de geradores de um A-módulo M podem ter cardinalidades distintas. Por exemplo, se A = R[X] é um anel de polinômios em uma variável com entradas em um anel R e M = A, então {X, X + 1} e {1} são conjuntos m´ınimos de geradores de M com cardinalidades distintas. Contudo, se (A, m) é anel local a situa¸cão é bem mais comportada como nos mostra o seguinte resultado: Proposi¸cão 3.2.10. Sejam (A, m) um anel local e M um A-módulo finitamente gerado. Então:

(a) Quaisquer conjunto m´ınimos de geradores de M tem a mesma cardinalidade. (b) A cardinalidade de qualquer conjunto m´ınimo de geradores de M ´e dada pela

dimens˜ao do A/m-espa¸co vetorial M/mM.

A demonstra¸cão desse resultado pode ser encontrada em [5]. Em situa¸cões como a da proposi¸cão acima, em que a cardinalidade dos conjuntos m´ınimos de geradores ´

e a mesma para todos, dizemos que este valor de número m´ınimo de geradores de M. Nota¸cão: µ(M ) = número m´ınimo de geradores de M.

Observa¸c˜ao 3.2.11. Seja k um corpo. Consideremos A = k[X1, . . . , Xn] e I um

ideal homogˆeneo de A. Denotemos m = (X1, . . . , Xn). Para esses dados temos um

resultado análogo à Proposi¸cão 3.2.10. Portanto, o número m´ınimo de geradores de um ideal homogêneo também está bem definido.

No caso particular em que M ´e um ideal de um anel A temos uma cota inferior para µ(M ) dada pelo seguinte teorema:

(39)

Teorema 3.2.12 (Teorema do Ideal Principal de Krull). Seja I um ideal do anel A. Ent˜ao alt(I) ≤ µ(I).

Uma demonstra¸c˜ao desse teorema pode ser vista em [2, Section 10].

Defini¸cão 3.2.13. Seja I um ideal de um anel A. Dizemos que I satisfaz a condi¸cão (G∞) de Nagata (ou simplesmente, condi¸cão (G∞)) se

µ(Ip) ≤ alt(P )

para qualquer ideal primo P de A.

Vejamos a seguir como a condi¸cão (G∞) de Nagata pode ser útil na investiga¸cão

de ideais de tipo linear.

Teorema 3.2.14. Seja I um ideal em um anel A. Se I é de tipo linear então I satisfaz a condi¸cão (G∞).

Prova. Como SA(I) e RA(I) comutam com localiza¸c˜ao podemos supor que (A, P ) ´e

anel local. Da´ı,

µA(I) = µA/P(I/P I) = dim(SA(I)/P SA(I)) ≤ dim(SA(I)/ISA(I)) = dim grI(A),

onde a última igualdade ocorre pois I é de tipo linear. Porém, no caso local temos dim gr_I(A) = dim A.

O próximo exemplo nos diz que a condi¸cão (G∞) não é, em geral, suficiente para

um ideal ser de tipo linear.

Exemplo 3.2.15. Seja k um corpo. Consideremos A = k[X1, X2, X3, X4] e I o ideal

gerado pelos polinˆomios f1 = X1X2, f2 = X2X3, f3 = X3X4 e f4 = X1X4. Como j´a

observado no Exemplo 3.2.3, este ideal n˜ao ´e de tipo linear. Notemos que

I = (X1, X3) ∩ (X2, X4).

Seja P um ideal primo de A que cont´em I. Ent˜ao (X1, X3) ⊂ P ou (X2, X4) ⊂ P.

Temos que alt(P ) = 2, 3 ou 4. Se alt(P ) = 2 ent˜ao P = (X1, X3) ou P = (X2, X4).

Assim, IP = PP; logo, µ(IP) ≤ 2 = alt(P ). Se alt(P ) = 3, ent˜ao existe uma vari´avel

(40)

anel AP e da´ı teremos IP = (X2, X4); logo, µ(IP) ≤ 2 < 3 = alt(P ). Finalmente,

se alt(P ) = 4 ´e imediato que µ(IP) ≤ 4 = alt(P ). Portanto, em todo caso temos

µ(IP) ≤ alt(P ) para qualquer ideal primo P contendo I, ou seja, I satisfaz a condi¸c˜ao

(G∞).

Para ideias perfeitos de altura 2, temos a seguinte caracteriza¸c˜ao

Proposi¸c˜ao 3.2.16. ( cf. [3]) Seja k um corpo e R = k[X1, . . . , Xn]. Se I ´e um ideal

perfeito de altura 2 de R então as seguintes afirma¸cões são equivalentes: (i) I é de tipo linear.

(ii) I satisfaz a condi¸c˜ao (G∞).

3.3 Ideais de tipo fibra

Em toda esta se¸cão iremos supor que A = k[X1, . . . , Xn] é anel de polinômios com

coeficientes sobre um corpo k e que I ´e um ideal gerado por formas f1, . . . , fm de

mesmo grau d. Tamb´em fixaremos a nota¸c˜ao m = (X1, . . . , Xn).

Observamos os seguintes fatos:

• A ´algebra de Rees RA(I) = A[f1t, . . . , fmt] = k[X1, . . . , Xn, f1t, . . . , fmt] ´e

na-turalmente uma k-´algebra bigraduada com bigrau de Xi igual a (1, 0), para cada

1 ≤ i ≤ n, e bigrau de (fjt) igual a (0, 1), para cada 1 ≤ j ≤ m.

• A k-sub´algebra graduada RA(I)(0,∗) :=

M

j∈N

RA(I)(0,j) de RA(I) ´e isomorfa a

k-´algebra k[f1t, . . . , fmt] ' k[f1, . . . , fm]

• A composi¸c˜ao dos homomorfismos RA(I)(0,∗) → RA(I) → RA(I)/mRA(I) ´e um

isomorfismo.

Mediante estas afirma¸c˜oes segue que o homomorfismo de apresenta¸c˜ao π : k[X1, . . . , Xn, Y1, . . . , Ym] → RA(I)

induz o homomorfismo sobrejetor:

e

(41)

Os elementos de ker (_eπ) são chamados de equa¸cões de defini¸cão da fibra especial. Notemos que

e

π = π|k[Y1,...,Ym]→ RA(I)(0,∗)= k[f1, . . . , fm].

Desse modo, ker (_eπ) ⊂ ker (π). Fixemos as seguintes nota¸c˜oes:

F := ker (_eπ) = equa¸cões de defini¸cão da fibra especial de I, L = (ker (π)(∗,1)) = equa¸cões de defini¸cão da álgebra simétrica de I

e

J = equa¸cões de defini¸cão da álgebra de Rees de I Pelas considera¸cões acima temos

(F , L) ⊂ J .

Defini¸c˜ao 3.3.1. O ideal I ´e chamado de tipo fibra se J = (F , L)

Agora exibiremos uma classe de ideais que são de tipo fibrado. Para isso faremos algumas considera¸cões prévias. Dado um ideal I de k[X1, . . . , Xn] gerado por formas

f1, . . . , fm de mesmo grau d. Diremos que I ´e linearmente apresentado se existir uma

apresenta¸c˜ao livre

Ar → Aϕ m ψ_{→ I → 0}

tal que as entradas de ϕ s˜ao formas lineares de k[X1, . . . , Xn].

Digamos que I = (f1, . . . , fm) ´e linearmente apresentado e que ϕ = (`ij)m×r.

Considere agora a matriz B = (`0_ts)n×r tal que

`0_ts = m X h=1 ∂`hs ∂Xt Yh.

Notemos que as entradas de B s˜ao formas lineares em k[Y1, . . . , Ym]. Fazendo c´alculos

diretos podemos observar a seguinte igualdade matricial

(42)

Dessa igualdade e do que já observamos acima segue que as entradas da matriz (X1. . . Xn) · B pertencem ao ideal bi-homogêneo J das equa¸cões de defini¸cão da

´

algebra de Rees de I. Em particular, para cada n × n submatriz eB de B teremos que os elementos de (X1. . . Xn) · eB pertencem a J . Logo, os elementos da matriz abaixo

tamb´em pertencem a J

(X1. . . Xn) · eB · adj( eB) = (det( eB)X1. . . det( eB)Xn) (3.3)

Como J é, nesse caso, ideal primo e o ideal (X1, . . . , Xn) não está contido em J

segue por (3.3) que det( eB) ∈ J . Portanto,

(J1, In(B)) ⊂ J (3.4)

onde In(B) significa o ideal gerado por todos os n-menores da matriz B. Como

po-demos ver facilmente, os elementos de In(B) s˜ao formas de grau n em k[Y1, . . . , Yn],

ou seja, s˜ao equa¸c˜oes da fibra especial.

Notemos que caso (3.4) seja igualdade temos que I é ideal de tipo fibra. Condi¸cões suficientes para que isso ocorra foram dadas por B. Ulrich e S. Morey através do seguinte teorema:

Teorema 3.3.2. ([6, Theorem 1.3]) Sejam A = k[X1, . . . , Xn] anel de polinˆomios

sobre um corpo infinito e I um ideal de A satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes: (i) I ´e perfeito de altura 2.

(ii) I linearmente apresentado por uma matriz ϕ.

(iii) µ(IP) ≤ alt(P ) para cada ideal primo P de A contendo I e de altura ≤ n − 1.

Então I tem spread anal´ıtico igual a n e o ideal de defini¸cão da álgebra de Rees RA(I)

´

e (J1, In(B)).

3.4 Equa¸

c˜

oes da ´

algebra de Rees estendida

Veremos no teorema a seguir que as equa¸cões da álgebra de Rees produzem as equa¸cões de defini¸cão da álgebra de Rees extendida

Teorema 3.4.1. Seja A um anel e f1, . . . , fm ∈ A. Escrevamos R = A[Y1, . . . , Ym] e

(43)

Considere o homomorfismo sobrejetor ϕ : A[Y1, . . . , Ym, Z] → R0A(I) que envia Yi em

fit e Z em t−1. Então o núcleo de ϕ é igual a J R[Z] + (ZYi− fi | 1 ≤ i ≤ m).

Prova. Graduando os Yi’s com grau 1 e Z com grau −1, temos que ϕ ´e um

homo-morfismo graduado. Definamos

S := R[Z]/(J R[Z] + (ZYi− fi | 1 ≤ i ≤ m)).

Claramente, S sobrejeta-se sobre R0_A(I). Notemos que S/ZS ' R/(J + (f1, . . . , fm)R) ' R0A(I)/(t

−1

)R0_A(I).

Seja L o núcleo do homomorfismo de S sobre R0_A(I). Tensorizemos a sequência exata de S-módulos

0 → L → S → R0_A(I) → 0

por S/ZS. Como a imagem de Z em R0_A(I) ´e um elemento regular (precisamente, t−1) segue que a sequˆencia

0 → L/ZL → S/ZS → R0_A(I)/(t−1)R0_A(I) → 0 ´

e exata. Mas os termos do lado direito são isomorfos, o que nos dá L = ZL. Afirmamos que L = 0. Para isso, é suficiente provar que Lm = 0 para cada ideal maximal m de

S. Se Z ∈ m ent˜ao pelo Lema de Nakayama2 _{segue L}

m = 0. Se Z /∈ m ´e suficiente

provar que Sm ' R0A(I)m. Provaremos a senten¸ca mais forte que

S[Z−1] ' R0_A(I)[t] = A[t, t−1] via o homomorfismo definido por ϕ. Primeiro afirmamos que

J R[Z, Z−1] ⊂ (ZYi− fi | 1 ≤ i ≤ m)R[Z, Z−1]

Isso segue pois se G(Y1, . . . , Ym) é homogêneo de grau d e G ∈ J , então módulo o

ideal

(ZYi− fi | 1 ≤ i ≤ m)R[Z, Z−1] = (Yi− Z−1fi | 1 ≤ i ≤ m)R[Z, Z−1],

(44)

G ´e congruente a G(Z−1f1, . . . , Z−1fm) = Z−dG(f1, . . . , fm) = 0. Assim,

S[Z−1] ' R[Z, Z−1]/(Yi− Z−1fi | 1 ≤ i ≤ m)R[Z, Z−1] ' A[Z, Z−1] ' A[t, t−1].

(45)

Cap´ıtulo 4

Apˆ

endice

Neste apêndice listamos vários resultados conhecidos em álgebra comutativa que utilizamos na disserta¸cão. Sendo que, faremos demonstra¸cões apenas para alguns resultados.

Defini¸cão 4.0.2. Seja A um anel e M um A-módulo. Um elemento a ∈ A é dito regular sobre M se ele não é divisor de zero sobre M, ou seja, a · x = 0, com x ∈ M, implica que x = 0.

Defini¸cão 4.0.3. Seja A um anel e M um A-módulo. Dizemos que uma sequência a1, . . . , an∈ A é uma M -sequência regular se as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

(i) ai ´e M/(a1, . . . , an) M -regular para cada i = 1, . . . , n.

(ii) (a1, . . . , an)M 6= M.

Proposi¸cão 4.0.4. Seja B um dom´ınio Noetheriano que é finitamente gerado sobre um subanel A. Suponhamos que existe um ideal primo P de B tal que B = A + P e A ∩ P = 0. Então

dim(B) = dim(A) + alt(P ) = dim(A) + gr.tr_A(B).

Lema 4.0.5. (Lema de Nakayama) Seja M um A-módulo finitamente gerado. Se I ⊂ A é um ideal contido no radical de Jacobson de A e IM = M então M = 0. Proposi¸cão 4.0.6. Seja

(46)

uma sequência exata de A-módulos e homomorfismos, e seja N qualquer A-módulo. Então, a sequência

M0⊗ N −−−→ M ⊗ Nf ⊗1N −−−→ Mg⊗1N 00⊗ N −−−→ 0 (onde 1N denota a aplica¸c˜ao identidade em N ) ´e exata.

Corolário 4.0.7. Sejam E, E0, E00, F, F0, F00 A-módulos e as sequências exatas E0 −→u E −→ Ev 00 _{−→ 0 e F}0 _{−→ F}s _{−→ F}t 00 _{−→ 0. Ent˜}_{ao, v ⊗ t : E ⊗ F → E}00 _{⊗ F}00 _´_e

(47)

Referˆ

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