Regras básicas. ( [valor central] ± [erro] ) [factor exponencial] [unidade],

Regras básicas

1) Os alunos devem chegar ao laboratório com cópia impressa do relatório, já tendo lido o guia e o relatório e percebido o objectivo e o conceito da medição. No início da aula terá lugar uma breve demonstração da parte mais prática da experiência (utilização da aparelhagem e do material).

2) Caso seja patente que os alunos não prepararam o trabalho de acordo com os requisitos, o docente decidirá se os alunos poderão ou não realizar as tarefas.

3) A falta de indicação da unidade de medida numa quantidade física mencionada no relatório será considerada como erro grave na avaliação.

4) O nível de clareza, ordem e síntese na apresentação de resultados, comentários e conclusões será também um critério usado na avaliação.

5) Quando no relatório for pedida a apresentação dum resultado com “erro” experimental (a incerteza), é importante que a representação numérica do valor central e do erro seja consistente. O resultado final deve ser escrito na forma

( [valor central] ± [erro] ) [factor exponencial] [unidade], aplicando as seguintes três regras:

A) Calcula-se o erro primeiro. O erro deve ser indicado com um ou no máximo dois algarismos significativos (1_{). De facto, mais algarismos significariam que} temos grande confiança na precisão com quem o erro foi determinado, enquanto o erro é sempre uma estima aproximada e indicativa da nossa incerteza no valor numérico do resultado da medição.

B) A seguir calcula-se o valor central, que deve ser escrito mantendo o mesmo número de algarismos decimais (não mais, nem menos) que o erro.

C) Valor central e erro devem ter em comum o mesmo factor exponencial (quando existir), escrito fora de parênteses.

Exemplos:

(121.3 3.3) m/ s

v





(121 3) m/ s

v





(1.21 0.03) 10 m/ s

v







(121.3 3) m/ s

v





(121.32 3.34) m/ s

v





2

1.21 10 m/ s 3 m/ s

v







121.32 m/ s

2248.32 10 m/ s

v







Estes últimos dois exemplos violam as três regras. O resultado é de difícil leitura. Em particular, não se percebe imediatamente quanto é grande o erro em relação ao valor central (ou seja qual é a precisão relativa da medição).

Mecânica e ondas

Trabalho de laboratório

Movimentos oscilatórios num sistema massa-mola

Estudo dos movimentos dum sistema massa-mola. Determinação da constante elástica da mola. Determinação da frequência de ressonância do sistema em regime forçado.

1. Introdução

O sistema a estudar está ilustrado na foto da Figura 1 e consiste numa mola suspensa num fio que, por sua vez, suporta uma barrinha roscada acoplada a um cilindro metálico. O fio que suspende o conjunto encontra-se ligado, com o auxílio de uma roldana, a um pequeno pino montado fora do eixo de um disco motorizado controlado por uma fonte eléctrica.

Figure 1: Fotos da montagem a utilizar

Controlando a velocidade de rotação do disco podemos controlar a força de oscilação que se aplica ao sistema massa-mola. A montagem pode ser esquematizada de acordo com a figura 2.

A mola que se utiliza neste trabalho consiste numa espiral metálica cujo comprimento depende da massa que nela se encontra suspensa. De acordo com a lei de Hooke, a força que a mola exerce é directamente proporcional à variação do seu alongamento. Se l0 for o comprimento natural da mola então podemos escrever

0

( )

el z z

0

z z d l

    , (2)

onde K é constante elástica.

Figura 2: Esquema da montagem

1.1 Situação de equilíbrio

Numa situação de equilíbrio tem-se que o peso da massa iguala a força elástica da mola e portanto

el

P  F . (3)

De acordo com (2) temos zeq zeq   . Como Pd l₀ mg, obtém-se a posição de

equilíbrio 0 ( ) eq m z g d l K    , (4) m l g K   , (4a)

onde m é a massa suspensa na mola e g a aceleração da gravidade.

1.2 Regime oscilante livre amortecido

Quando o sistema está em movimento a força total exercida no sistema tem uma resultante que depende do tempo e que se pode escrever da forma

total el

F P F A, (5)

onde para além do peso temos que contar com a força de atrito A. Ou seja 2 total 2 z z d z dz F m e mg K z b e dt dt     _    _    _{ } , (6) 0 l z d a

onde b é o coeficiente de atrito que depende do meio (por exemplo agua) em que a massa se move e da forma do objecto. A força de atrito A tem apenas um termo linear na velocidade porque as velocidades são pequenas2. Em física utiliza-se muitas vezes uma outra notação mais compacta para as derivadas de uma função em ordem ao tempo 2 2 ( ) ( ) dz z t dt d z z t dt     , (7)

o que permite, reordenando os termos, escrever a equação (6) da forma

( ) ( ) ( ) 0

mz t_ bz t_ mg K z t  . (8) Como com o auxílio de (4) podemos escrever

( ) ( ) _eq m z t z t z g K     . (9) Então





e, fazendo a mudança de variável ( )= ( )-Z t z t z (que corresponde a medir a amplitude _eq das oscilações em relação ao ponto de equilíbrio), temos

( ) b ( ) K ( ) 0

Z t Z t Z t

m m

  

  . (11)

A equação que se obtém tem a designação de equação diferencial homogénea do 2º grau e relaciona na mesma equação a função Z(t) com as suas 1ª e 2ª derivadas o que em geral torna um pouco mais difícil a sua resolução. Para a resolvermos podemos começar por escreve-la na seguinte forma

2 0 ( ) 2 ( ) ( ) 0 Z t  Z t  Z t  , (12) em que 2 b m   (13)

tem a designação coeficiente de amortecimento. A quantidade

0 0 1 2 2 K f m      (14)

2_{Para velocidades mais elevadas (ex: avião, foguetão…) ter-se-iam de considerar termos de}

ordem superior na velocidade, i.e. termos dependentes do quadrado, cubo,…etc. da velocidade.

tem a designação de frequência própria do sistema, sendo ₀ a correspondente velocidade angular. Um pouco à semelhança do processo do cálculo da primitiva de funções a resposta à pergunta “Qual é a função Z(t) que satisfaz a equação (12)?” passa por encontar uma função cuja 1ª e 2ª derivadas seja idêntica a ela própria. Facilmente se verifica que uma função do tipo t

e satisfaz essa condição. Vejamos: se

0

( ) st

Z t Z e , (15)

em que Z0 e s são constantes, então e 2 ( ) ( ) ( ) ( ) Z t sZ t Z t s Z t     , (16)

donde substituindo (15) e (16) em (12) obtém-se

2 2

0

( ) 2 ( ) ( ) 0

s Z t  sZ t  Z t  . (17)

Para (17) poder ser válida para qualquer instante de tempo temos de ter

2 2 0 2 0 s  s   , (18) ou seja 2 2 0 s      . (19)

Para que a equação (15) possa ser solução da equação (12) o parâmetro s tem de ser uma raiz do polinómio de 2º grau (18). Existem 3 casos possíveis: i)

ii e iii) Os casos (i) e (ii) correspondem a valores de s reais e

conduzem a funções Z(t) que são combinações lineares de exponenciais decrescentes no tempo. Nestes dois casos não são observadas oscilações no sistema. Esta situação podem encontrar-se em sistemas com atrito muito elevado. O caso (iii) é o mais interessante para este trabalho. Os valores de s são números complexos que conduzem a funções oscilantes amortecidas. De facto (19) pode ser escrita na forma

2 2 1,2 0 s    j      j, (20) com 2 2 0     (21)

e a solução de (12) escreve-se então da forma

1 2

( ) t j t t j t

Z t A ee A ee . (22) Se considerearmos que A1 e A2 se podem escrever da forma ₁ 0

2 j A A  e, A₂ A0 2 e  j

e que a partir das expressões de Euler cos( )

2 j j e e      e sin()e j _{ e} j 2 j se tem j cos( ) sin( )

e    j  podemos após algumas manipulações algébricas escrever

a equação (22) na forma equivalente





0

( )= t cos

Lembramos aqui a relação entre o período T de oscilação do sistema (que vamos medir directamente), a frequência e a velocidade angular:

1 2 , f T T     . (23a)

As constantes A0 e só são definidas conhecendo a posição e a velocidade da massa

num determinado instante do tempo (usualmente o instante inicial). Na figura 4 ilustra-se a evolução da amplitude máxima de oscilação da massa em torna da posição de equilíbrio.

Figura 4: A curva a cheio ilustra a evolução da amplitude máxima de oscilação em torno da posição de equilíbrio, _M( )= ₀ t

A t A e . A curva a tracejado representa a equação (23).

1.3 Regime forçado

Quando o disco roda com uma certa velocidade angular a, o fio que suporta a mola

oscila com a frequência

2 a a f    (24)

e força a massa a oscilar com essa frequência (ver figura 2). Acontece que a amplitude de oscilação depende da frequência da rotação do disco. Para compreender de que forma a amplitude varia com a frequência convém começar por reescrever a equação de equilíbrio de forças aplicadas à massa tendo em conta a força excitadora

0cos( )

ext a

F F t . A equação (6) modifica-se e toma a seguinte forma 2 0 2 z cos( a ) z d z dz m e mg K z b F t e dt dt    _     _     _{, (25)} donde se obtém 2 0 0 ( ) 2 ( ) ( ) F cos( _a ) Z t Z t Z t t m         , (26)

com e dados pelas expressões (13) e (14). A solução mais geral desta equação

corresponde à situação em que não há força exterior (regime livre). Z_forçado( )t corresponde à solução particular da equação (26) e que se pode escrever da forma

forçado( ) M cos( a )

Z t A t  (30)

A amplitude AM pode ser obtida substituindo (30) na equação (26) e simplificando com o auxílio da identidade ja cos( ) sin( )

e  a  j a . Obtém-se a seguinte expressão





verifica-se que a amplitude AM é máxima e tem-se uma situação que se designa por

ressonância. A frequência 2 R R f    (33)

designa-se por frequência de ressonância. Quando o coeficiente de amortecimento  é pequeno (o que pode corresponder a pequenos atritos e/ou grandes massas) tem-se que na ressonância a amplitude de oscilação do sistema pode atingir valores que destruam o sistema. Situações deste género podem ocorrer em pontes e viadutos, asas dos aviões, quando as forças exteriores induzem oscilações com frequências próximas das frequências próprias desses sistemas.

2. Trabalho experimental Lista de material:

1. Uma mola metálica vermelha

2. Um ou mais cilindros metálicos de massas e diâmetros diferentes 3. Uma armação de suporte com roldana

4. Um motor com disco, pino excêntrico e marcação de cor 5. Um tubo acrílico (para encher com água)

6. Um cronómetro

7. Uma balança (na sala, para partilhar com os outros grupos de alunos)

2.1 Medição da frequência própria de oscilação e da constante elástica da mola Estude o movimento de oscilação do sistema massa-mola em regime livre no ar, desprezando o atrito do ar ( 0). Nesta situação a frequência própria f é igual à ₀ frequência de oscilação do sistema (Eq. 21, com   0) e pode ser determinada com uma medição do período de oscilação (Eq. 23a). Medindo também a massa suspensa m é possível determinar a constante elástica K da mola (Eq. 14).

1) Escolha um dos cilindros metálicos. Os resultados da medição dependerão da massa e da forma do cilindro escolhido.

2) A mola deve ser suspensa pela argola da extremidade do fio que passa pela roldana e está ligado ao motor. Nesta medição o motor deve ficar parado. A massa deve ser suspensa na argola da outra extremidade da mola usando o orifício na barrinha roscada.

3) Para pôr o sistema massa-mola a oscilar deve certificar-se que este se encontra perfeitamente parado e na vertical e depois puxar levemente a massa de maneira que o sistema comece a oscilar com o mínimo de movimento lateral. 4) Efectue um conjunto de N medições (por exemplo N = 50) do período de

oscilação T0 do sistema, usando o cronómetro. Em cada medição accione o

cronómetro quando o sistema se encontrar numa posição de máximo da oscilação (a mais alta ou a mais baixa) e pare o cronómetro quando o sistema voltar à mesma posição, depois de um número conveniente de oscilações, por exemplo nosc = 10. O resultado de cada medição individual do períodoserá

então T0 = t*/nosc, onde t* é a leitura do tempo no cronómetro. Registe o valor

obtido num ficheiro de texto no computador. Ponha um valor por linha. Pare a oscilação e repita o procedimento da alinha 3 antes de efectuar a medição sucessiva.

5) Represente graficamente os dados obtidos em forma de histograma, usando (por exemplo) o programa interactivo

http://www.shodor.com/interactivate/activities/Histogram/

No menu "Select a data set" seleccione "My Data". Seleccione "Clear Data", copie e cole a lista dos dados do ficheiro de texto para a janela do programa. Escolha uma etiqueta apropriada para o eixo horizontal. Experimente diferentes valores dos parâmetros "minimum value of X-axis" e "Interval size", até obter uma distribuição regular (ver Figura 5 como exemplo). A distribuição esperada tem aproximadamente a forma (quase um sino) da distribuição "normal" (o "Gaussiana"), a típica distribuição dos resultados de medições repetidas duma mesma quantidade em presença de erros casuais,

causados por pequenas, imprevisíveis e não exactamente quantificáveis alterações nas condições da medição. Neste caso, estas alterações são devidas, entre outras causas, ao tempo de reacção humana no uso do cronómetro. 6) Imprima a página web, corte e cole o gráfico no relatório. Formate o ficheiro

de texto com os dados em forma de tabela (com título e unidades), imprima-o e anexe-o ao relatório.

7) O programa fornece os valores da média () e do desvio padrão ( ) da distribuição. A melhor estima do período T0 obtida como resultado final das

50 medições tem  como valor central e

0 /

T  N

  (34)

(desvio padrão da média) como incerteza. Repare que a incerteza no valor do período podia ser reduzida aumentando o número N de medições. Por outro lado, a "largura" ( ) da distribuição não depende, na média, do número N de medições e representa, para dizer assim, a "resolução" do método experimental usado, que pode ser melhorada melhorando o método. Por exemplo, seria possível diminuir o valor de sigma aumentando o número nosc

de oscilações consecutivas contadas, melhorando nesta maneira a precisão na medição do período individual.

Figura 5: exemplo de distribuição dos valores experimentais na medição do período de oscilação.

8) Determine a frequência própria da oscilação, usando a equação (23a) para o valor central e a correspondente formula (obtida com a propagação dos erros) para a incerteza: 0 0 0 0 0 0 1 , T f f f T T     . (35)

9) Meça, usando a balança, a massa m do conjunto cilindro + barrinha. Determine também a incerteza experimental ( m ) da medição.

10) Determine a constante elástica da mola, usando a equação (14) para o valor central e a correspondente formula (obtida com a propagação dos erros) para a incerteza: 2 2 2 0 2 0 0 4 m , m 4 T K K K T m T         _{ }  _{ }   _{ } . (36)

11) Opcional: verifique como varia o valor da largura da distribuição,  , quando incluir no gráfico só uma parte das medições (por exemplo só as primeiras 10, 20, 30 e 40).

12) Opcional: verifique como varia o valor de  se repetir as N medições usando um número menor de oscilações consecutivas (por exemplo nosc = 5 em vez de

10).

13) Opcional: repita a medição com uma diferente escolha da massa suspensa.

2.2 Medição da frequência de ressonância do sistema em regime forçado

Estude o movimento de oscilação do sistema massa-mola em regime forçado dentro do sitema do tubo acrílico com água. Meça a frequência de ressonância do sistema.

1) Use o mesmo cilindro metálico da parte anterior. Coloque o sitema massa-mola dentro do tubo acrílico com água. A quantidade de água deve ser tal que a massa esteja sempre imersa durante o seu movimento.

2) Verifique que o controle de velocidade do motor na fonte de alimentação está no mínimo. Ligue a fonte e varie a tensão até obter a frequência de rotação para o qual a amplitude de oscilação é máxima (ressonância).

3) Meça o período de oscilação na ressonância (TR) como anteriormente, usando

o cronómetro para medir a duração de nosc oscilações. Antes de repetir a

medição varie drasticamente a tensão para sair da condição de ressonância e volte novemente a procurar a frequência de rotação que realiza a ressonância. Nesta maneira, a largura da distribuição dos N valores obidos será representativa não só da resolução na medição do tempo, mas também da precisão com que se consegue determinar a condição de máxima amplitude. Repare que este último tipo de incerteza não pode ser reduzida contando um maior número (nosc) de oscilações.

4) Determine a distribuição dos dados e os resultados para a medições do período TR e da frequência fR (com incerteza), como nas alinhas 5, 6 e 7 da parte

anterior.

5) Opcional: o que acontece se tentar repitir a medição usando o ar como meio em vez que no tubo cheio de água?

6) Opcional: repita a medição com uma diferente escolha da massa suspensa.

2.3 Determinação do coeficiente de amortecimento da oscilação no sitema do tubo acrílico com água

Comparando as duas medições da frequência própria do sistema, f0, e da frequência de

ressonância na água, fR, é possível determinar o coeficiente de amortecimento  ,

através das equações (32) e (33):

2 2

0

2 f fR

    . (37)

A correspondente incerteza pode ser calculada com a propagação dos erros:



 



Bibliografia

 An introduction to error analysis: the study of uncertainties in physical measurements, J. R. Taylor, Second Edition, University Science Books, 1997.

Mecânica e ondas Relatório

(destaque para entregar no fim da aula ao docente) Movimentos oscilatórios num sistema massa-mola

Nº Nome Curso

Data Turno Grupo

1. Objectivo deste trabalho:

2. Medição da frequência própria de oscilação e da constante elástica da mola Número de medições do período T0: N = _______

Número de oscilações consecutivas contadas: nosc = _______

Lista de dados experimentais em anexo.

Colar aqui (ou anexar)

o gráfico da distribuição dos valores do período

T0 = ( _________ ± ________ ) ________

f0 = ( _________ ± ________ ) ________

m = ( _________ ± ________ ) ________ K = ( _________ ± ________ ) ________

3. Medição da frequência de ressonância do sistema em regime forçado Número de medições do período TR: N = _______

Número de oscilações consecutivas contadas: nosc = _______

Lista de dados experimentais em anexo.

Colar aqui (ou anexar)

o gráfico da distribuição dos valores do período

Notas/observações:

TR = ( _________ ± ________ ) ________

4. Determinação do coeficiente de amortecimento da oscilação no tubo acrílico com agua

 = ( _________ ± ________ ) ________

5. Comparações

Comparar os resultados obtidos com os que foram obtidos pelos outros grupos (encher uma ou mais colunas).

Grupo m [ ] K [ ] f0 [ ] fR [ ]  [ ] 1) 2) 3) 4) 5) 6) 6. Conclusões 7. Provas opcionais