Lógica de Predicados

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Lógica de Predicados

Slides da disciplina Lógica para Computação

ministrada pelo Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng.

(kaestner@dainf.ct.utfpr.edu.br) entre 2007 e 2008. Alterações feitas em 2009 pelo Prof. Adolfo Neto

(adolfo@utfpr.edu.br)

Versão original disponível em

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16/09/09 Prof. Celso A A Kaestner 2

Lógica de Predicados

• A Lógica de Predicados (ou lógica de 1ª ordem) é uma extensão da lógica proposicional que aumenta sua expressividade, permitindo que se façam

afirmações sobre propriedades – ou predicados – inerentes a conjuntos de elementos individuais;

• Tipicamente as fórmulas envolvem os

quantificadores “para todo” (∀) e “existe” (∃);

• Uma fórmula típica é: ∀x(homem(x)→mortal(x)).

• Obs.: para representar o mesmo em Lógica Proposicional seria necessário utilizar uma fórmula para cada indivíduo, por exemplo: (homem_joão → mortal_joão), (homem_josé → mortal_josé), etc.

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Mais exemplos de Fórmulas com Predicados

●

Predicados unários:

–

brasileiro(João)

●

Predicados binários:

–

maior(3,4)

–

matou(João,Maria)

●

Predicados ternários:

–

deu(Maria,livro,João)

(4)

(5)

Lógica Predicativa

• A linguagem (sintaxe) da Lógica Predicativa

L

_PRED é mais complexa que a da Lógica Proposicional;

• Para a definição de

L

_PRED necessita-se de:

– Conjuntos de predicados: Ri = { ri

1, ri2,... rin,...} onde

o sobrescrito i indica a aridade do predicado (o seu nº de argumentos);

– Um conjunto de constantes: C = {c₁,c₂, ...}; – Conjuntos de funções: Fi = { fi

1, fi2,... fin,...} onde o

sobrescrito i também indica a aridade da função;

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Exemplos

●

Predicados:

–

R

1

={homem

1

,mortal

1

,brasileiro

1

,...}

–

R

2

={maior

2

,matou

2

, ...}

–

R

3

={deu

3

,...}

–

...

●

Constantes:

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Funções

●

+(3,4)

●

pai_de(João)

●

divisao(5.5,3.2)

(8)

Lógica de Predicados

●

Para definir o que são fórmulas

bem-formadas na Lógica de Predicados

precisaremos definir dois conceitos:

–

Assinatura e

–

Termos

●

O conjunto de fórmulas bem-formadas

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Lógica Predicativa

• Uma assinatura de

L

_PRED é a uma tupla do tipo

Σ = [R1,R2, ..., RM,C,V,F1,F2,...,FN] onde M e N são

números naturais conhecidos.

• O conjunto dos termos de

L

_PRED é T(Σ) definido recursivamente por:

– Se x∈V então x ∈ T(Σ);

– Se c∈C então c ∈ T(Σ);

– Se f∈Fj e se t

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Lógica Predicativa

• O conjunto das fórmulas bem formadas (fbf) de

L

_PRED é Fbf(Σ) definido recursivamente como sendo o menor conjunto que atenda ao seguinte:

– Se t₁,...t_j ∈ T(Σ) e se rj ∈ Rj então rj(t

1,...tj) ∈ Fbf(Σ);

– Se t₁, t₂ ∈ T(Σ) então t₁= t₂ ∈ Fbf(Σ);

Estas fbf são chamadas de fórmulas atômicas; – Se ϕ, ψ ∈ Fbf(Σ) então ¬ϕ, ϕ∧ψ, ϕ∨ψ, ϕ→ψ

∈Fbf(Σ);

– Se ϕ ∈ Fbf(Σ) e se x∈V então ∀x(ϕ) e ∃x(ϕ) ∈ Fbf(Σ).

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Exemplos

●

Assinaturas

–

Termos

–

Fórmulas bem-formadas

● Σ=[R1={filho_unico},R2={pai},C={joao,jose,1,...,120},V=

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Representação de

Conhecimento

●

Representar frases em língua natural

como fórmulas em lógica de predicados

●

Há um conjunto de regras que podem ser

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Exercícios Resolvidos

● Escreva fórmulas para representar as frases abaixo:

– A média de a e b é igual a c

● Igual(media(a,b),c) - para lógicas sem igualdade ● media(a,b)=c

– Todo professor é funcionário

● ∀x.(Professor(x)→Funcionario(x))

– Alguns alunos são funcionários

● ∃x.(Aluno(x)∧Funcionario(x))

– Se alguém matou Maria, este alguém também matou João

● ∀x.(Matou(x,Maria)→Matou(x,João))

– Todo número primo maior do que 2 é ímpar

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Exercícios Resolvidos

– A média de quaisquer dois números é maior ou igual do que um dos dois

● ∀x∀y. ( Maior_igual(media(x,y),x) ∨

Maior_igual(media(x,y),y) )

– Não é verdade que a soma de dois números pares seja um número ímpar

● !(∀x∀y.[ (Par(x)∧Par(y))Impar(soma(x,y)) ])

– Se um número é par, ele não é ímpar

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Exercícios

– O resultado da multiplicação de a por b é c – Alguns políticos são ladrões

– Todo múltiplo de 4 é múltiplo de 2

– A média de quaisquer três números é maior ou igual do que um dos três

– Se um número é divisível por outro, não igual a zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro

– Se uma pessoa é pai de outra que tem um filho, então aquela pessoa é avô deste último

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LP Monádicos vs. LP Poliádicos

●

Lógica de Predicados Monádicos: apenas

predicados unários.

–

Limitada

–

A satisfazibilidade é decidível

●

Lógica de Predicados Poliádicos

–

Sem limite na aridade dos predicados

–

A satisfazibilidade é indecidível

(17)

Fim da Primeira Parte

●

Ver exercícios resolvidos de

(18)

Lógica Predicativa

• O conjunto das variáveis livres V_LIVRES(ϕ) em uma

fórmula ϕ é definido por: – Se ϕ = rj_(t

1,...tj) com rj ∈ Rj e os ti ∈ T(Σ) então todas as

variáveis em ϕ pertencem a V_LIVRES(ϕ);

– Se ϕ = (t₁=t₂) com os t_i ∈ T(Σ) então todas as variáveis em ϕ pertencem a V_LIVRES(ϕ);

– Se ϕ=¬ψ então V_LIVRES(ϕ)= V_LIVRES(ψ);

– Se ϕ= ξ∧ψ, ξ∨ψ, ou ξ→ψ então

V_LIVRES(ϕ)= V_LIVRES(ξ) ∪ V_LIVRES(ψ);

– Se ϕ= ∀x(ψ) ou ∃x(ψ) então V_LIVRES(ϕ)= V_LIVRES(ψ) – {x}.

• Exemplo: Se ϕ = ∀x (r(x) ∧ q(y) → ∃z (s(z,y))) então V_LIVRES(ϕ) = { y }.

(19)

(20)

Lógica Predicativa

• Uma fórmula ϕ tal que V_LIVRES(ϕ) = φ (sem variáveis

livres) é denominada uma sentença.

• Uma subfórmula de uma fórmula ϕ é uma

subseqüência dos símbolos de ϕ que também pertence a Fbf(Σ).

• Exemplo: se ϕ = ∀x (r(x) ∧ q(y) → ∃z (s(z,y))) então r(x) ∧ q(y) → ∃z (s(z,y)) , r(x) ∧ q(y), ∃z (s(z,y)) , r(x) e q(y) são subfórmulas de ϕ.

(21)

Lógica Predicativa

(22)

Lógica Predicativa

• A semântica da Lógica Predicativa é definida sobre um par A(Σ)=[A, vA(Σ)] denominado sistema algébrico da

assinatura Σ, tal que:

• A é um conjunto denominado domínio (ou portador) do sistema algébrico;

• vA(Σ) é uma interpretação, que mapeia os elementos

dos conjuntos em Σ em relações sobre A (para os

predicados), em funções sobre A (para as funções) e em elementos de A (para as constantes).

(23)

Lógica Predicativa

• Desta forma para uma interpretação vA(Σ) tem-se:

• Se rj ∈ Rj então vA(Σ) (rj) ⊆ Aj = A × A × ... A (j

vezes);

• Se f∈Fj então existe uma função vA(Σ) (fj): Aj →A;

• Se c ∈ C então vA(Σ) (c) ∈ A;

• Para um conjunto de variáveis X ⊆ V existe ainda uma função γ : X → A denominada interpretação

(24)

Lógica Predicativa

• O valor de um termo t ∈ T (Σ) em um sistema

algébrico A(Σ) e para uma interpretação de variáveis γ é definido indutivamente por:

• Se t = x ∈ X então tA(Σ) [γ ] = γ (x);

• Se t = c ∈ C então tA(Σ) [γ ] = vA(Σ) (c);

• Se f∈Fj , t

1,..., tj são termos e t=f(t1,..., tj) então

tA(Σ) [γ ]= vA(Σ) (fj)(t

(25)

Lógica Predicativa

• Finalmente é possível se definir quando uma fórmula

ϕ é verdadeira para um sistema algébrico A(Σ) e uma interpretação de variáveis γ ;

• Denota-se por A(Σ) |= ϕ[γ ]; • Se ϕ = rj_(t

1,...tj) ∈ Fbf(Σ) então A(Σ) |= ϕ[γ ] é equivalente a [t1A(Σ)

[γ ],..., t_jA(Σ)_[γ _]]∈ vA(Σ)_(rj_);

• Se ϕ = (t₁=t₂) com t₁, t₂ ∈ T(Σ) então A(Σ) |= ϕ[γ ] é equivalente a t₁A(Σ)[γ ] = t

2A(Σ)[γ ];

• Se ϕ= ¬ψ e ψ∈Fbf(Σ) então A(Σ) |= ϕ[γ ] se e somente se não for verdade que A(Σ) |= ψ [γ ];

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Lógica Predicativa

• Se ϕ = ξ∧ψ, com ξ, ψ ∈ Fbf(Σ) então A(Σ) |= ϕ[γ ] se e somente se A(Σ) |= ξ[γ ] e A(Σ) |= ψ[γ ];

• Se ϕ = ξ∨ψ, com ξ, ψ ∈ Fbf(Σ) então A(Σ) |= ϕ[γ ] se e somente se A(Σ) |= ξ[γ ] ou A(Σ) |= ψ[γ ];

• Se ϕ = ξ→ψ, com ξ, ψ ∈ Fbf(Σ) então A(Σ) |= ϕ[γ] se e somente se quando A(Σ) |= ψ[γ ] necessariamente também ocorre A(Σ) |=

ξ[γ ];

• Se ϕ = ∃x(ψ) com ψ ∈ Fbf(Σ) então A(Σ) |= ϕ[γ ] se e somente se existir pelo menos uma interpretação de variáveis γ : X → A que, restrita às variáveis de ϕ, seja tal que A(Σ) |= ϕ[γ ];

• Se ϕ = ∀x(ψ) com ψ ∈ Fbf(Σ) então A(Σ) |= ϕ[γ ] se e somente se para todas as interpretações de variáveis γ: X → A , quando

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Lógica Predicativa

(28)

Lógica Predicativa

• Uma teoria Γ em L_PRED é um conjunto de sentenças;

• Um sistema algébrico A(Σ) é um modelo para uma teoria Γ se A(Σ) |= ϕ para toda ϕ ∈ Γ;

• Se Γ tiver ao menos um modelo diz-se que Γ é

satisfazível;

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Lógica Predicativa

Substituição de variáveis:

• Seja ϕ uma fórmula, x ∈ V_LIVRES (ϕ) uma variável livre

em ϕ e t ∈ T(Σ) um termo;

• Neste caso a variável x pode ser substituída pelo termo t em ϕ, gerando uma nova fórmula ϕ[x:=t];

• Exemplo: se ϕ = ∀x(r(x) →s(x,y)),

y∈V_LIVRES(ϕ) e t=f(a,z) então

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Lógica Predicativa

• Intuitivamente uma substituição gera um “caso particular” de uma fórmula;

• As substituições só podem ser feitas sobre as variáveis livres de

ϕ, e de forma a não introduzir restrições na fórmula gerada que já não estivessem presentes na fórmula original;

• Várias substituições podem ser feitas simultaneamente, desde que não introduzam restrições.

• Exemplo:

Se ϕ = ∀x(r(x) →s(x,y) ∧ r(z))

y, z∈V_LIVRES(ϕ) e t₁=f(a,w), t₂=b então

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Lógica Predicativa

Sistemas Dedutivos em Lógica Predicativa:

1. Método axiomático: ver item 4.5 pg. 128;

2. Dedução natural: ver item 4.4 pg. 122, e

também a ferramenta JAPE;

3. Método dos tableaux analíticos: ver item 5.6

pg. 147.

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Lógica Predicativa

Exemplo do método dos tableaux analíticos:

1 . ∀x(r(x) → s(x)) |- ∀x r(x) → ∀x s(x) 2. T ∀x(r(x) → s(x)) de 1 3. F ∀x r(x) → ∀x s(x) de 1 4. T ∀x r(x) de 3 5. F ∀x s(x) de 3 6. F s(a) de 5 7. T r(a) de 4 8. T r(a) → s(a) de 2 1. F r(a) T s(a) de 8 X (7,9) X (6,9)