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Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo
Matemática Zero 2.0 - Aula 8 - Notação Matemática e Glossário Básico - (parte 2 de 2)
Endereço: https://www.youtube.com/watch?v=TNbV2EwA3q8
Gabarito e Resolução nas últimas páginas.
É bastante complicado numa única aula ou mesmo numa única lista de exercícios, apresentar todas as representações que você necessitará conhecer ao longo do curso. É um processo gradual. Se o seu aproveitamento nesta aula não for satisfatório, não desanime. Vários outros conceitos e notações serão melhor fixados ao longo do curso.
Nota: Pular as aulas do curso, vê-las fora da ordem ou ir direto para as atividades sem ver os vídeos de teoria apenas irá prejudicar seu aprendizado. Não faça isso, você só tem a perder, estude com responsabilidade. Só avance para a aula seguinte quando dominar a
anterior! RESPONDA OS EXERCÍCIOS ABAIXO SEM
CONSULTAR!!!
E1: Escreva, resumidamente, o que cada item significa.
a) b) c) d) e) f)
g) h) i) ∨ j) ∧
E2: Sabemos que a multiplicação pode ser representada pelo sinal de vezes ( × ) pelo ponto mediano ( ⋅ ) ou até mesmo a ausência de sinal, como em xy. Justifique o motivo pelo qual, no Ensino Médio, evitamos a representação ( × ) para a multiplicação e em que casos é vantajosa a omissão do sinal.
E3: Por qual motivo não podemos confundir o ponto mediano ( ⋅ ) com o ponto final?
E4: A divisão pode ser representada pelo símbolo ou mesmo por dois pontos ( : ) além da representação em fração. Justifique o fato de evitarmos as duas primeiras representações.
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E5: Qual a utilidade dos parênteses em expressões simples? Justifique. E6: Escreva as letras gregas minúsculas alfa, beta, gama e delta. E7: Diferencie de .
E8: O que significa o símbolo na equação √
?
E9: Um professor deu ao aluno a seguinte questão:
Resolva – . Considere ℕ .
Ao resolvê-la, ele obteve o resultado e a colocou como resposta final da questão, errando-a. Explique qual foi o erro cometido pelo aluno.
E10: Em relação à representação a) Explique sucintamente o que ela quer dizer.
b) Represente todos os elementos nela citados.
E11: Em ! " # ⇔ , o que representa o símbolo ⇔ e qual a sua função?
E12: Represente os símbolos: Existe, Não Existe, Qualquer que Seja e Portanto.
E13: Escreva utilizando notação matemática: O número 2,99 é aproximadamente igual a 3.
E14: Represente, através de símbolos matemáticos, os conjuntos: Reais, Naturais e Racionais. Represente também os Reais não negativos.
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E15: Calcule o seguinte Somatório: 6
i 3
2i
=
∑
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Gabarito e Resolução
Nota: Novamente enfatizamos: “não se apavore” caso o seu desempenho nesta aula não tenha sido satisfatório. Ela é realmente complexa. Recomendamos que você reveja a aula para aprofundar um pouco mais seu conhecimento acerca das notações. No entanto, se o seu desempenho (SEM CONSULTAR a aula ou livros) foi acima de 70%, parabéns! De qualquer forma, você notará que este tipo de aprendizado será ampliado ao longo do curso.
E1:
a) a é igual a b b) a é maior que b
c) a é maior ou igual a b d) a é menor que b
e) a é menor ou igual a b f) a é diferente de b
g) a é maior que b, que é maior que c h) c é menor que b, que é menor que a i) ∨ x ou y j) ∧ x e y
E2: No Ensino Fundamental (nas séries iniciais) os problemas aritméticos são mais frequentes e a álgebra é bem simples. Assim sendo, o operador (×) é mais simples de ser escrito e visto e não causa grandes problemas. No Ensino Fundamental II ou Médio, surge o x (xis) como incógnita e variável em diversas situações e o uso do operador × (vezes) causaria confusão. Assim sendo, passa a ser preferível a utilização do ponto mediano ( ⋅ ) para representar produtos, como em 2 ⋅ 3. Nos casos impossibilitados de haver confusão, podemos omitir o sinal de multiplicação (por exemplo, xy representa x vezes y). Note que o mesmo não pode ser feito com produtos numéricos como 2 ⋅ 3 (se escrevêssemos 23 isso representaria o número vinte e três e não 2 vezes 3).
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E3: Simples: pelo fato de representarem coisas diferentes. O ponto no Brasil é utilizado para separação de milhares, como em 3.200 (três mil e duzentos) e, incorretamente, como separador de casas decimais como 3.2 (essa notação é incorreta no Brasil, devemos utilizar vírgula, ou seja, a forma correta do caso apresentado é 3,2). Nos EUA e em diversos produtos de tecnologia americana (como a maioria das calculadoras de bolso) os separadores de casas decimais são pontos, daí a confusão. Se quisermos representar uma multiplicação com um ponto, este deverá ser o ponto mediano (como em 2 ⋅ 3) Assim, 2 ⋅ 3 representa “dois vezes 3” cujo resultado é 6, enquanto 2,3 representa o número 2 seguido de uma casa decimal, o 3.
E4: Imagine a seguinte representação: 16 ∶ 2 ⋅ 4, ou mesmo 16 2 ⋅ 4 Podemos interpretar de duas formas:
a) 16 ∶ 2⋅ 4 8⋅ 4 32 b) 16 ∶2 ⋅ 4 16 ∶8 2
Como você deve imaginar, isso é péssimo, pois quando apresentamos uma expressão matemática, queremos que ela seja interpretada de uma única forma, sem possibilidade de dupla interpretação. É como na frase “Ele a
matou em seu quarto”. Ué, ele a matou no quarto DELE ou no quarto
DELA? Ou no MEU?
Para evitar conflitos como esse, frações são muito melhores. Poderíamos escrever:
,-⋅ 4
(equivalente à solução apresentada no item a)
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E5: Ao contrário do caso mostrado em E4, a expressão ! " ⋅ . possui uma única interpretação: devemos fazer primeiro a multiplicação e depois a soma ou subtração. Fica então 2 + 15 = 17. No entanto, há casos em que a adição ou subtração necessitam ser feitos antes da multiplicação. Para garantirmos isso (tomando o exemplo anterior) escrevemos / ! "0 ⋅ .. Pronto! Como os parênteses devem ser resolvidos primeiro (quando possível) podemos escrever 1 ⋅ . 2. A própria expressão mostrada no exemplo 4 perderia a dupla interpretação com o uso de parênteses. Poderíamos escrever /3 ∶ 0 ⋅ para garantir a mesma resposta do item a, ou ainda 3 ∶ / ⋅ 0 para garantir a mesma resposta do item b do exercício anterior. Assim, parênteses evitam as duplas interpretações e definem a ordem das operações.
E6: As letras são 4 / 56 0, 8 / 9: 0, ; /< = 0 9 >/?95: 0. Nota: não confunda o delta minúsculo (>) com o maiúsculo (A) (esse último mais conhecido devido às variações na Física e ao próprio símbolo bastante utilizado na fórmula de Bhaskara).
E7: Em B temos um índice 2, já em B , temos um expoente 2. Índices são úteis na representação de termos de alguma forma relacionados (por exemplo, as quatro árvores de um mesmo pomar podem ser chamadas de
,, , C 9 . São muito usados em sequências, notadamente em
progressões aritméticas e geométricas. Já os expoentes representam uma operação de Potenciação (por exemplo, 3 3 ⋅ 3 9) que será melhor vista em uma aula específica de Potenciação. Claro que em outras ciências (como, por exemplo, na Química) tais representações podem ganhar novos significados.
E8: Na fórmula de Bhaskara, o símbolo citado resume as duas
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E9: O erro foi que a solução encontrada é incompatível com o conjunto universo determinado pelo professor ( ℕ ). Explicitamente, apenas as
soluções naturais deveriam ser aceitas. Logo, pelo fato de a solução encontrada (-2) não ser um natural, o problema não tem solução para as limitações apresentadas.
E10:
a) O conjunto Verdade é definido por: conjunto dos números naturais maiores ou iguais a 4 e também menores que 11, porém diferentes de 7 (numa interpretação mais livre).
b) Devemos então representar todos os naturais entre 4 e 11 (incluindo o 4, mas excluindo o 11) sem incluir o 7: V = { 4, 5, 6, 8, 9, 10}
E11: O símbolo ⇔ significa equivale e nos mostra que existe uma equivalência lógica entre as passagens. No exemplo citado, temos que a equação x + 3 = 7 é equivalente à nova forma x = 4. O símbolo citado garante também uma exibição mais consistente do raciocínio ao mostrar a equivalência dos passos intermediários até a conclusão.
E12: ∃ (existe), (não existe),∃ ∀ (qualquer que seja), ∴ (portanto). E13: 2,99 ≅ 3
.
E14: ℝ (Reais), (Naturais),ℕ ℚ (Racionais) e ℝ+ (Reais não negativos)
E15: 6 i 3
