4ª LISTA DE EXERCÍCIOS ELETRICIDADE E ÓPTICA

4ª LISTA DE EXERCÍCIOS – ELETRICIDADE E ÓPTICA

Principais assuntos abordados:

• Resistividade e resistência elétrica. • Lei de Ohm.

Os assuntos tratados na lista dessa semana se encontram na 3ª lista de exercícios que o Prof. Julio passou. Esses exercícios, já resolvidos, cobrem plenamente os tópicos e servem para fixação. Eles são reproduzidos abaixo sem as respostas, para que a resolução não induza o aluno à solução sem antes ter pensado no problema.

Em anexo, estão, além da resolução da lista 3, duas outras listas que servem de exercícios para a primeira avaliação. Qualquer dúvida, em qualquer uma dessas listas, pode ser levada para a aula de quinta.

Não se esqueçam da questão da ED. Nessa lista, está sendo explicada como deve ser resolvido o segundo exercício dos Estudos Disciplinares.

1. Um fio de cobre tem comprimento de 120 m e a área de sua seção transversal é 0,50 mm2. Sabendo-se que a resistividade do cobre a 0 °C é

ρ

2. O filamento de tungstênio de uma lâmpada tem resistência de 20 Ω a 20 °C. Sabendo-se que a área de sua seção transversal mede 1,102 x 10-4 mm2 e que a resistividade do tungstênio a 20 °C é 5,51 x 10-2Ω mm2/m, determine o comprimento do filamento.

3. Um resistor em forma de fio tem resistência elétrica de 100 Ω. Se a ele foi acrescentado um fio idêntico mas com 0,5 m de comprimento, a resistência passa a ser 120 Ω. Determine o comprimento do resistor original.

4. Um fio condutor de certo material tem resistência elétrica R. Qual será a resistência de um outro fio do mesmo material e comprimento, porém de diâmetro igual ao dobro do primeiro?

5. Sabe-se que a resistência elétrica de um fio cilíndrico é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional à área de sua seção reta.

a) O que acontece com a resistência do fio quando triplicamos o seu comprimento? b) O que acontece com a resistência do fio quando duplicamos o seu raio?

6. Assinale a alternativa certa: Um estudante resolveu acampar durante as férias de verão. Em sua bagagem levou uma lâmpada com as especificações: 220 V - 60 W. No camping escolhido, a rede elétrica é de 110 V. Se o estudante utilizar a sua lâmpada na voltagem do camping:

a) não terá luz, pois a lâmpada "queimará".

b) ela brilhará menos, porque a potência dissipada será de 15 W. c) ela brilhará menos, porque a potência dissipada será de 30 W. d) ela brilhará normalmente, dissipando a potência de 60 W. e) ela brilhará mais, porque dissipará uma potência de 120 W.

2ª questão da ED:

Esse exercício envolve 5 afirmações, que seguem:

a. É adequado o uso do disjuntor de 15 A para proteger o circuito desse chuveiro.

b. A resistência do chuveiro na posição inverno é maior que a resistência na posição verão.

c. A quantidade de energia gasta em um banho de 10 minutos independe da posição da chave do chuveiro: inverno ou verão.

d. A potência do chuveiro na posição inverno, se ele fosse instalado em uma residência alimentada em 110 V, seria de 1100 W.

e. A potência independe do valor da resistência, visto que é dada pelo produto da tensão pela corrente.

Comentário: Para responder a essa questão, o aluno deve saber calcular, a partir das informações fornecidas, o valor da resistência, a corrente percorrida e a energia total em 10 minutos. Todas elas devem ser calculadas, tanto na posição inverno quanto na posição verão. Calcule então essas informações e na justificativa, coloque os seus valores (resistência na posição verão e inverno, corrente na posição da verão e inverno, energia total na posição verão e inverno).

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GABARITO Prof. Júlio César Klafke

1. Um fio de cobre tem comprimento de 120 m e a área de sua seção transversal é 0,50 mm2. Sabendo-se que a resistividade do cobre a 0 °C é

ρ

A relação que reúne as quantidades descritas no enunciado é:

A A R=ρ l ≡ ρl

Substituindo os valores do enunciado, tendo cuidado de respeitar as unidades, obtemos: Ω = Ω × = − _4,128 5 , 0 120 10 72 , 1 ₂ 2 2 mm m m mm R

2. O filamento de tungstênio de uma lâmpada tem resistência de 20 Ω a 20 °C. Sabendo-se que a área de sua seção transversal mede 1,102 x 10-4 mm2 e que a resistividade do tungstênio a 20 °C é 5,51 x 10-2Ω mm2/m, determine o comprimento do filamento.

Resolvendo a relação da questão anterior para o comprimento teremos: m m mm mm RA A R 0,04 10 51 , 5 10 102 , 1 20 2 2 2 4 = Ω × × × Ω = = ⇒ = − − ρ ρ l l

3. Um resistor em forma de fio tem resistência elétrica de 100 Ω. Se a ele foi acrescentado um fio idêntico mas com 0,5 m de comprimento, a resistência passa a ser 120 Ω. Determine o comprimento do resistor original.

Aqui precisa pensar um pouco mais... Pela relação da resistência temos: (1)

A R₁ =ρ l

Se acrescentamos mais 0,5 metros de um fio idêntico, a nova resistência será: (2)

A R2 0,5

+ =ρl

Agora podemos resolver o comprimento l que satisfaz (1) e (2) simultaneamente apenas dividindo (2) por (1): (3) l l l l l l 5 , 0 . 5 , 0 5 , 0 1 2 = + = + + = ρ ρ ρ ρ _A A A A R R

(4) m R R 5 , 2 5 , 0 2 , 0 2 , 1 5 , 0 2 , 1 100 120 5 , 0 1 2 = + = = _{⇒ l}+ = _{l ⇒ l}= ∴ _l= l l

4. Um fio condutor de certo material tem resistência elétrica R. Qual será a resistência de um outro fio do mesmo material e comprimento, porém de diâmetro igual ao dobro do primeiro? Novamente usamos: (1) 1 1 A R =ρ l .

A área de um fio cilíndrico é A1 =πR2. Se dobrarmos o seu diâmetro, dobramos, também o seu

raio. Assim, o novo fio terá área 1 2 2

2 (2R) 4 R 4A

A =π = π =

Ou seja, quadruplicamos a área.

Desta forma, um segundo fio com o dobro da área do primeiro terá uma resistência R2 igual a: (2) 1 2 2 4 A A R =ρ l =ρ l

Comparando (dividindo) as relações (2) e (1) teremos:

(3) 1 _{2 1} 1 1 1 1 2 4 1 4 1 4 4 R R A A A A R R _{= = = ∴ =} l l l l ρ ρ ρ ρ

Ou seja, a segunda resistência será um quarto da primeira.

5. Sabe-se que a resistência elétrica de um fio cilíndrico é diretamente proporcional ao seu comprimento e inversamente proporcional à área de sua seção reta.

a) O que acontece com a resistência do fio quando triplicamos o seu comprimento?

Assim como na questão anterior, aqui devemos comparar (dividir) as relações em dois casos, onde as áreas são iguais e os comprimentos se relacionam como l₂ =3l_1:

(1) A R 1 1 l ρ = (2) A A R 2 1 2 3l l ρ ρ = =

Comparando (dividindo) as relações (2) e (1) teremos:

(3) 2 1 1 1 1 1 2 3 3 3 3 R R A A A A R R = ∴ = = = l l l l ρ ρ ρ ρ

Ou seja, a segunda resistência será o triplo da primeira.

Dobrando o raio, dobramos o diâmetro. Logo, a resposta será a mesma da questão anterior, ou seja, a segunda resistência será um quarto da primeira.

6. Assinale a alternativa certa: Um estudante resolveu acampar durante as férias de verão. Em sua bagagem levou uma lâmpada com as especificações: 220 V - 60 W. No camping escolhido, a rede elétrica é de 110 V. Se o estudante utilizar a sua lâmpada na voltagem do camping:

a) não terá luz, pois a lâmpada "queimará".

b) ela brilhará menos, porque a potência dissipada será de 15 W. c) ela brilhará menos, porque a potência dissipada será de 30 W. d) ela brilhará normalmente, dissipando a potência de 60 W. e) ela brilhará mais, porque dissipará uma potência de 120 W.

Pela expressão que relaciona potência, ddp e intensidade de corrente elétrica, obtemos: (1) P=Ui (veja questão 7 da 1a. lista e a questão 2 da 2a. lista)

Uma vez que desejamos comparar potências e ddps, mas mudando-se U a intensidade da corrente mudará proporcionalmente, o que fará com que a potência varie, melhor seria usar uma expressão que relacionasse a potência com a resistência, já que a lâmpada é a mesma, a resistência será a mesma nos dois casos. Usando a lei de Ohm:

(2) R U i i U R= ⇒ =

Substituindo o valor de i em (1) pela relação em (2) obtemos: (3) R U R U U P 2 = =

Agora temos como fazer uma comparação. Como a resistência é a mesma:

(4) 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 ,       = ⇒ = = U U P P R U P R U P

Quando ligada em U1 = 220V, a lâmpada dissipa uma potência de P1 = 60W. Se a mesma lâmpada é ligada em uma tensão de U2 = 110V, sua potência será de:

(5) W V V W U U P P U U P P 15 220 110 60 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 _ =      =       = ⇒       =

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GABARITO Prof. Júlio César Klafke

NOTA: ESTUDE COM MAIS ATENÇÃO AS QUESTÕES ASSINALADAS COM ...

1. Através de uma seção transversal de um condutor, passam, da direita para a esquerda, 6,0 x 1020 elétrons em 1 min. Sendo a carga elementar e = 1,6 x 10-19C, determine a intensidade de corrente que corresponde a esse movimento e indique o seu sentido convencional.

A carga elétrica é um múltiplo inteiro da carga elementar (do elétron). Logo: (1) ∆q=ne

Por outro lado, corrente elétrica, em Ampères, é a quantidade de carga que atravessa uma secção transversal de um condutor elétrico por segundo. Então:

(2) t q i ∆ ∆ =

Assim sendo, substituindo (1) em (2), teremos: (3) t ne t q i ∆ = ∆ ∆ =

Substituindo os valores numéricos, lembrando que a unidade de tempo deve ser convertida para segundos para que o resultado seja fornecido em Ampères:

(4) A s C s C i 1,6 1,6 60 1 10 6 , 1 10 0 , 6 20 19 _{= =} × × × × = −

2. Um condutor é percorrido por uma corrente de intensidade 10 A. Calcule o número de elétrons por segundo que passam por uma seção transversal do condutor (e = 1,6 x 10-19C).

Como no exercício anterior, a corrente elétrica, em Ampères, é a quantidade de carga que atravessa uma secção transversal de um condutor elétrico por segundo. Então:

(1) t q i ∆ ∆ =

Já a carga elétrica é um múltiplo inteiro da carga elementar (do elétron). Logo: (2) ∆q=ne

Assim sendo, substituindo (1) em (2) e isolando o valor de n, teremos: (3) e t i n t ne t q i ∴ = ∆ ∆ = ∆ ∆ =

Substituindo os valores numéricos, sempre atentos às unidades das grandezas: (4) ₁₉ 6,25 1019 6,25 1019 10 6 , 1 1 10 _{= × = ×} × × = ₋ C As C s A n elétrons (é adimensional!)

3. Uma corrente elétrica de intensidade 10 A é mantida em um condutor metálico durante 4 min. Determine, para esse intervalo de tempo:

a) a carga elétrica que atravessa uma seção do condutor; Como anteriormente... q i t A s As C t q i ⇒∆ = ∆ =10 ×4×60 =2400 =2400 ∆ ∆ =

b) o número de elétrons que atravessam a referida seção. A carga elétrica de um elétron tem valor absoluto e = 1,6 x 10-19C. Da mesma forma: ₁₉ 1,5 1022 1,5 1022 10 6 , 1 2400 _{= ×} / / × = × = ∆ = ∴ = ∆ ₋ C C C C e q n ne q elétrons.

4. O gráfico ao lado representa a intensidade da corrente que percorre um condutor em função do tempo. Determine a carga elétrica que atravessa uma seção transversal entre os instantes t = l s e t = 3 s.

Por definição, a carga elétrica é a área sob o gráfico da corrente em função do tempo no intervalo t = [a, b]. À rigor escrevemos:

∫

Por simplificação, podemos dizer que, na presente questão, Q é a área do triângulo assinalado em amarelo. Então:

Q Area basealtura s A 2As 2C 2 2 2 2 . = = × = = =

5. Calcule, em kW, a potência de um aparelho elétrico que consome a energia de 2,5 kWh em 10 minutos.

Potência é ENERGIA POR UNIDADE DE TEMPO. Então:

t E P ∆ ∆ =

Porém, lembre que a energia está data em kWh e o tempo em minutos. Para que a relação seja homogênea (mesmas unidades) devemos converter uma das unidades para hora/minuto. Já que 10 minutos correspondem a 1/6 de hora teremos, então:

kW kW h h kW t E P 2,5 6 15 6 1 5 , 2 = × = / / = ∆ ∆ =

6. Entre dois pontos de um condutor, deslocam-se 1,0 x 1018 elétrons em um segundo, sendo posta em jogo a potência de 48 W. Sendo e = 1,6 x 10-19C, calcule a diferença de potencial U entre os dois pontos.

A carga elétrica envolvida no processo é dada por:

0 1 2 3 0 1 2 3 4 t(s) i(A) Q

(1) ∆q=ne Já a potência é: (2) t E P ∆ ∆ =

Por definição, a ENERGIA ELÉTRICA é o deslocamento de cargas (∆q) sujeitas à uma diferença de potencial (U):

(3) ∆E=∆qU

Logo, substituindo (1) e (3) em (2) e efetuando para obtermos o valor de U, teremos: (4) ne t P U t neU t qU P ⇒ = ∆ ∆ = ∆ ∆ =

Substituindo os valores numéricos em (4), sempre atento às unidades, chegamos a:

V C Ws C s W ne t P U 300 300 10 6 , 1 10 0 , 1 1 48 19 18× × = = × = ∆ = ₋

7. As cargas e os tempos de duração das baterias, de 6 V, para um certo tipo de telefone celular são dados na tabela ao lado:

a) Qual a quantidade de carga (em coulombs) fornecida pela bateria de 0,80 Ah?

Lembrando que a unidade de Coulomb (C) é o mesmo que Ampère.segundo (As), veja pela definição de carga e intensidade de corrente, basta convertermos a quantidade total de carga fornecida pela bateria, dada na tabela em Ah. Assim:

q A s As C h 2880 2880 3600 8 , 0 1 = = × = ∆ 678

b) Calcule a intensidade média da corrente elétrica e a potência média fornecidas pela bateria de 0,80 Ah.

A intensidade é média porque a o fluxo de elétrons apresenta uma certa inércia. Nominalmente, podemos empregar as relações de definição das quantidades envolvidas. Assim:

A s C s C t q i 0,436 0,436 60 110 2880 _{= =} × = ∆ ∆ = Ui V A VA W t qU t E P = =6 ×0,436 =2,62 =2,62 ∆ ∆ = ∆ ∆ =

8. Um kWh é a energia consumida por um aparelho de 1000 W funcionando durante uma hora. Considere uma torneira elétrica com potência 2000 W.

a) Supondo que o preço de 1kWh de energia elétrica seja R$ 0,20, qual o gasto mensal da torneira funcionando meia hora por dia?

Considerando-se um mês de 30 dias, por simplificação, a torneira do exemplo irá consumir uma energia de } kWh h kW E W 60 1 30 2 2000 = × × =

∆ . Se cada kWh de energia consumida custa R$0,20, Carga (Ah) tempo (min) 0,30 40

0,38 50 0,55 70 0,80 110 1,10 150

então o gasto mensal será de GASTO = 60kWh × 0,20 = R$ 12,00. (xiiii, alguém errou em conta durante a aula!!! ☺)

b) Qual a energia, em joules, consumida pela torneira em 1 minuto? Pela definição:

∆E=P∆t=2000W60s=120000Ws=1,2×105 J Note que 1 kWh = 3,6 × 106 J

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GABARITO Prof. Júlio César Klafke

1) A intensidade da corrente elétrica em um condutor metálico varia, com o tempo, conforme mostra o gráfico ao lado.

Dado que a carga elementar é e = 1,6 x 10-19C, determine:

a) a carga elétrica que atravessa uma secção transversal do condutor em 8 s.

Como na primeira lista, vimos que a carga elétrica é a área sob a curva da intensidade de corrente elétrica em função do tempo. Do gráfico vemos que essa área será a soma das áreas de um triângulo de 0 a 2 segundos, um retângulo de 2 a 4 segundos e outro triângulo entre 4 e 8 segundos. Então:

} C mC mAs mA s mA s mA s Área Área Área q C 32 , 0 320 320 2 64 4 64 2 2 64 2 3 2 1 3 10 2 = = = × + × + × / = + + = ∆ −

b) o número de elétrons que atravessa essa secção durante esse mesmo tempo.

18 19 2,0 10 10 6 , 1 32 , 0 _{= ×} × = ∆ = ∴ = ∆ ₋ C C e q n ne q elétrons

c) a intensidade média de corrente entre os instantes zero e 8 s. mA A s C s C t q i 4,0 10 4,0 10 40 8 32 , 0 = × 2 = × 2 = = ∆ ∆ = − −

2) Um aparelho elétrico para ser ligado no acendedor de cigarros de automóveis, comercializado nas ruas de São Paulo, traz a instrução seguinte:

TENSÃO DE ALIMENTAÇÃO: 12 W − POTÊNCIA CONSUMIDA: 180 V.

Essa instrução foi escrita por um fabricante com bons conhecimentos práticos, mas descuidado quanto ao significado e uso corretos das unidades do SI.

a) Reescreva a instrução, usando corretamente as unidades de medida do SI

TENSÃO DE ALIMENTAÇÃO: 12 V − POTÊNCIA CONSUMIDA: 180 W. b) Calcule a intensidade da corrente elétrica utilizada pelo aparelho.

Pelas definições, como visto na primeira lista:

A V W V W U P i Ui t qU t E P 15 15 12 180 _{= =} = = ⇒ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = 0 16 32 48 64 80 0 2 4 6 8 10 t (s) i (m A )

3) No trecho de circuito esquematizado na figura abaixo têm-se três nós, N1, N2 e N3. Sabendo que a

intensidade da corrente que entra pelo trecho, i0, é 3 vezes maior que a corrente que sai, i3,

quanto valem, respectivamente, as intensidades das correntes i0 , i1, i2 e i3 indicadas na figura?

Pela regra dos nós, a soma das intensidades das correntes que entram em um nó tem que ser igual a soma das intensidades das correntes que saem, então:

3 0 3 2 2 1 1 0 3 3 3 4 i i i A i A i i A i i = = + + = + =

Resolvendo o sisteminha, temos: i0 = 6A

i1 = 2A

i2 = -1A (??? que isso significa?)

i3 = 2A

4) Os raios são descargas elétricas naturais que, para serem produzidos, necessitam que haja, entre dois pontos da atmosfera, uma ddp média da ordem de 2,5 x 107 volts. Nessas condições, a intensidade da corrente elétrica é avaliada em torno de 2,0 x 105 ampères. Supondo-se que o intervalo de tempo em que ocorre a descarga é de aproximadamente 1,0 x 10-3 segundos, responda qual o valor da energia elétrica liberada durante a produção de um raio em kWh ? Compare este valor com o consumo médio de energia elétrica nos últimos três meses de sua residência (verifique esse valor na conta de luz da residência de um dos integrantes do grupo). Como a questão pede o valor da ENERGIA, comecemos por ela (relacionando o que temos): (1) ∆E=∆qU , onde U é dado, mas não temos ∆q, então:

(2) q i t t q i ⇒∆ = ∆ ∆ ∆

= , onde i e ∆t são dados. Logos, substituindo (2) em (1) e efetuando: (3) ∆E=iU∆t=2,0×105A×2,5×107V×1,0×10−3s=5,0×109AVs=5,0×109J

Só que a questão pede o valor em kWh. Já que 1kWh = 3,6x106J, é só converter por uma regra de três simples: kWh kWh kWh J J E 1 1388,88 1400 10 6 , 3 10 0 , 5 6 9 ≈ = × × = ∆ ou 1,4 MWh (megaWatts hora)

Supondo que o consumo mensal de uma casa seja de 200kWh, em média, para compará-los devemos dividir um pelo outro...

7 200 1400 ₌ = ∆ ∆ = kWh kWh E E Comparação residência raio N1 N2 i0 i1 4A 3A 3A N3 i2 i3

Ou seja, uma única descarga elétrica da atmosfera, que dura somente 1 milésimo de segundo, produz uma energia 7 vezes maior que toda a energia consumida em um mês por uma residência!

5) Antes de comprar um chuveiro elétrico para instalar em sua residência, um chefe de família levantou os seguintes dados:

− potência do chuveiro = 2400 W = 2,4 kW

− tempo médio de um banho = 10 min = 1/6 horas = 0,167 horas

− número de banhos por dia = 4 × 30 dias

− preço do kWh = R$ 0,27

De quanto será o custo da energia elétrica por mês para a utilização do chuveiro?

Como a energia consumida é a potência vezes o tempo, a resposta é ir multiplicando os valores convenientemente. Lembre-se das unidades.