SEMINÁRIO DO GRUPO DE PESQUISA MATEMÁTICA APLICADA E COMPUTACIONAL DO PÓLO UNIVERSITÁRIO DO SUL FLUMINENSE

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SEMINÁRIO DO GRUPO DE PESQUISA

“MATEMÁTICA APLICADA E

COMPUTACIONAL DO PÓLO

UNIVERSITÁRIO DO SUL FLUMINENSE”

Um problema de um milhão de dólares

Luiz Leduíno de Salles Neto

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“Grupo consultivo de especialistas alerta para erosão da

vantagem competitiva dos Estados Unidos na ciência”, The

New York Times, 13 de outubro de 2005

• “Os especialistas disseram que o principal objetivo da estratégia traçada no documento é o de usar as "idéias brilhantes" de cientistas e engenheiros para desenvolver novas indústrias e novas fontes de energia, e com isso criar empregos de alto nível”

• “Uma delas é a criação de 10 mil bolsas de estudo por ano para a formação de professores de ciência e matemática, destinadas aos melhores estudantes do país”.

• “O grupo também pediu 30 mil bolsas para estudo universitário em ciência, matemática e engenharia, assim como o acesso à Internet de banda larga em todo o território a baixo custo”.

• “... e a expansão do investimento nacional em pesquisa básica a uma taxa de 10% ao ano, durante sete anos.”

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Roteiro do seminário

1. Problemas do Milênio

2. P vs NP

3. Problema do Caixeiro Viajante

4. Surgimento da Pesquisa Operacional

5. Problemas de Otimização Combinatória Pesquisados

6. Evolução histórica da métodos de resolução

7. Minha aposta

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Problemas do Milênio

(http://www.claymath.org)

• A Conjectura de Birch e

Swinnerton-Dyer

• A Conjectura de Hodge

• As equações de Navier-Stokes

• P versus NP

• A Conjectura de Poincaré

• Hipótese de Riemann

• Teoria de Yang-Mills

Demonstrada?

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Matemática e Computadores

Década de 30

Kurt Godel:

Teorema da Incompletude (1931) – na demonstração relacionou perguntas sobre demonstralidade em perguntas sobre computabilidade

Alan

Turing:

Teoremas mostrando a possibilidade téorica de construção de computadores programáveis – Máquinas de Turing (1934).

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O Conceito de Completude: NP

Stephen Cook

“The Complexity of Theorem

Proving Procedures”

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P vs NP

• Definição: NP é a classe de problemas de decisão com a seguinte propriedade: para qualquer exemplo para o qual a resposta é SIM existe uma “curta” (polinomial) prova do SIM. • Definição: P é a classe de problemas de decisão em NP para

o qual existe um algoritmo polinomial.

• Um problema pertence à classe dos Problemas

NP-Completo se a descoberta de um procedimento em tempo

polinomial para sua solução implicar que todos os outros problemas NP podem ser resolvidos por um programa em tempo polinomial.

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Campo Minado é NP-Completo

Kaye, Richard 'Minesweeper is NP-complete', Mathematical Intelligencer volume 22, number 4, 2000, pages 9-15

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Problema do Caixeiro Viajante

Suponha que Bentinho é um vendedor, sediado em Macondo, que deve passar de carro por três cidades, Antares, Santana do Agreste e Dogville, até voltar à Macondo. Qual roteiro ele deve fazer para ter o menor custo, de acordo com a tabela (em km) abaixo?

0 91 109 79 Dogville 91 0 49 17 Santana do Agreste 104 49 0 54 Antares 79 17 54 0 Macondo Dogville Santana do Agreste Antares Macondo

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3! Rotas possíveis

• MASDM: 273 km

• MADSM: 266 km

• MDASM: 271 km

• MDSAM: 249 km

• MDASM: 245 km

• MDSAM: 273 km

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PCV aplicado à região Sul

Fluminense

13! maneiras de percorrer todas as cidades do Sul Fluminense saindo de VR.

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Tabela: Tempo computacional, num computador com um

milhão de operações por segundo, em função da

Complexidade/Quantidade de Dados

3855 séculos 58min 0,059s 3n 0,064s 0,008s 0,001s n3 0,000004s 0,000002s 0,000001s n 40 20 10 Quantidade de Dados/ Complexidade

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Pesquisa Operacional

Kantorovich desenvolve em 1939 o trabalho

“Mathematical Methods of Organizing and Planning Production”, publicado em 1960 na Management Science

George Dantzig publica em 1947 o Método Simplex

1975, Koopmans e Kantorovich recebem o Prêmio Nobel de Economia por suas contribuições “à alocação ótima de recursos”

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Problemas NP-Completos pesquisados:

Problemas de Corte e Empacotamento;

Problemas de Localização de Facilidades;

Problema das p medianas

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Evolução Histórica dos Métodos de

Resolução

50’s – PL(Simplex); Kuhn-Tucker, Heurísticas (Polya publica “How do it?” (“A Arte de resolver problemas” – Ed. Interciência)

60’s – Métodos Exatos - Programação Não-Linear e Programação Inteira

70’s – Teoria da Complexidade – divisor de águas ⇒⇒⇒⇒

Heurísticas ganham interesse 80 e 90’s – Metaheurísticas

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• Algoritmo:

procedimento (iterativo) para

resolver um problema formalizado em termos

matemáticos – capaz de encontrar a solução

ótima (a melhor de todas).

• Heurística:

Procedimento

para

resolver

problemas através de um enfoque “intuitivo”

-não tem prova de convergência e -não garante

achar a solução ótima.

Heurística: do grego “Heuriskein” –

descobrir

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Caraterísticas de boas Heurísticas

• Boa performance

– solução próxima da ótima

• Robustez

– baixa probabilidade de haver problemas

com performance pobre

• Rapidez

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Metaheurísticas

• “Estratégia mestre que guia uma heurística subordinada para explorar o espaço de soluções”

Algoritmo Genético Colônia de Formigas Scatter Search Simulated Annealing Busca Tabu Nuvens de Partículas Redes Neurais

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Minha aposta

Métodos exatos +

Metaheurísticas

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Referências Básicas

• Para “Os Problemas do Milênio”

Devlin, K. “Os Problemas do Milênio – sete grandes

enigmas matemáticos do nosso tempo”, Editora

Record, 2004.

• Para Otimização Combinatória

Goldbarg, M. C. e Luna, H. P.

“Otimização

Combinatória

e

Programação

Linear”,

Editora

Campus, 2000.

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O Problema de Corte Unidimensional

Itens Demandados

Matéria-Prima (Objetos)

Determinar a melhor forma de produzir itens menores a partir de objetos maiores!

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Aplicações no planejamento da produção

em indústrias:

• têxteis

• de papel

• metalúrgica

• química

• de vidros

• de móveis

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Dados do Problema:

m: número de itens demandados;

w

_i

: comprimento do item i, i=1,...,m;

d

_i

: demanda do item i, i=1,...,m;

W: Largura do Objeto (Matéria-Prima).

Hipóteses:

w

_i

<W para todo i;

Há uma quantidade ilimitada de

objetos de largura W em estoque.

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Padrão de Corte

Existem várias maneiras de dispor os itens para efetuar os

cortes. Chamamos de padrão de corte cada uma destas

maneiras.

Exemplo:

w1=20cm , d1=240 w2=25cm, d2=190 w3=35cm, d3=300 a1=(2,1,1)t a2=(1,3,0)t a3=(1,0,2)t

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O objetivo pode ser:

Minimizar o desperdício;

Minimizar o desperdício relativo;

Minimizar o número de objetos processados;

Minimizar o número de padrões distintos (setup).

Sujeito a:

Atender a demanda exatamente;

Atender a demanda com uma certa tolerância;

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Kantorovick – 1939 (publicado em 1960). Paull e Walter – 1954 Metzger – 1958 Eilon – 1960 Problemas Pequenos

Primeiros Trabalhos sobre Problema de Corte Unidimensional

Em 1961 e 1963 Gilmore e Gomory publicam o método de geração de colunas.

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Problema de Corte para minimizar o número de Objetos Processados e o Setup (PCOPS)

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Problema de Localização de Facilidades

• I = (1,2,...,n) locais potenciais p/ instalar uma facilidade

• J = (1,2,...,m) conjunto de clientes

• f_i = custo fixo de instalação da facilidade i

• b_j = demanda do cliente j

• c_ij = custo por unidade de produto entregue em j vindo de i

• x_ij = fração da demanda do cliente j atendida pela facilidade i

• a_i = capacidade da facilidade i

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Galvão, R. D., Nobre, F. F. e Vasconcellos, M. M. publicaram em 1999 o trabalho “Modelos matemáticos de localização aplicados à

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Bezerra, O. B. e Mayerle, S. F publicaram em 2002 o trabalho “LOCALIZAÇÃO DE POSTOS DE COLETA PARA APOIO AO

ESCOAMENTO DE PRODUTOS EXTRATIVISTAS - UM ESTUDO DE CASO APLICADO AO BABAÇU”