Jessyka Amorim Padilha Goltara. Analisando a eficiência da Regressão Quantílica em diferentes tipos de dados

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Jessyka Amorim Padilha Goltara

Analisando a eficiˆ

encia da Regress˜

ao

Quant´ılica em diferentes tipos de dados

Niter´oi - RJ, Brasil 03 de julho de 2019

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Universidade Federal Fluminense

Jessyka Amorim Padilha Goltara

Analisando a eficiˆ

encia da Regress˜

ao

Quant´ılica em diferentes tipos de

dados

Trabalho de Conclus˜ao de Curso

Monografia apresentada para obten¸c˜ao do grau de Bacharel em Estat´ıstica pela Universidade Federal Fluminense.

Orientadora: Profa. Dra Patr´ıcia Lusi´e Velozo da Costa Co-orientadora: Profa. Dra Mariana Albi de Oliveira Souza

Niter´oi - RJ, Brasil 03 de julho de 2019

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Ficha catalográfica automática - SDC/BIME Gerada com informações fornecidas pelo autor

Bibliotecário responsável: Ana Nogueira Braga - CRB7/4776

G629a Goltara, Jessyka Amorim Padilha

Analisando a eficiência da Regressão Quantílica em

diferentes tipos de dados / Jessyka Amorim Padilha Goltara ; Patrícia Lusié da Costa Velozo, orientadora ; Mariana Albi de Oliveira Souza, coorientadora. Niterói, 2019.

76 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em

Estatística)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática e Estatística, Niterói, 2019.

1. Regressão Quantílica. 2. Regressão Quantílica

Bayesiana. 3. Distribuição Laplace Assimétrica. 4. Modelos Lineares. 5. Produção intelectual. I. Velozo, Patrícia Lusié da Costa, orientadora. II. Souza, Mariana Albi de Oliveira, coorientadora. III. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Matemática e Estatística. IV. Título.

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-Resumo

Regressão é uma ferramenta que permite explorar e inferir sobre a rela¸cão de uma variável resposta com variáveis explicativas. Essa rela¸cão pode ser expressa através de um modelo matemático. Os modelos de regressão linear são muito utilizados em diversas ´

areas e consistem basicamente em atribuir uma estrutura linear para a média do processo. Apesar de extremamente úteis, por atenderem situa¸cões nas quais a média da variável resposta é explicada por um conjunto de variáveis independentes, estes modelos tornam-se inapropriados quando o interesse não é modelar o comportamento médio da popula¸cão. Como uma alternativa a esta classe de modelos, modelos de regressão quant´ılica mostram-se vantajosos quando o interesmostram-se está na análise de qualquer quantil populacional. Modelos de regressão quant´ılica também servem para analisar quantis em modelos lineares e não lineares, tendo ainda o benef´ıcio de serem menos sens´ıveis a outliers por utilizarem medidas mais robustas a tais observa¸cões e, nesse caso, analisar a mediana da distribui¸cão pode ser mais eficiente do que analisar a média tornando a regressão quant´ılica mais apropriada. Sob o ponto de vista bayesiano, para estimar os parâmetros dessa rela¸cão utiliza-se a distribui¸cão de Laplace assimétrica, onde faz-se necessário utilizar os métodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov para gerar amostras da posteriori. No presente trabalho, serão abordados a compara¸cão entre o modelo linear e modelos quant´ılicos clássico e bayesiano quando alguma suposi¸cão do modelo linear não for atendida. Dados simulados serão utilizados para analisar a eficiência na estima¸cão dos parâmetros, tempo computacional necessário e para comprar modelos diferentes aplicados a um mesmo conjunto de dados. Em seguida, os modelos serão aplicados em um conjuntos e dados reais sobre o Índice de Desenvolvimento Humando.

Palavras-chave: Estat´ıstica. Regressão Linear. Modelos Lineares. Regressão Quant´ılica. Modelos Quant´ılicos. Regressão Quant´ılica Bayesiana. Distribui¸cão Laplace Assimétrica.

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Dedicat´

oria

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Agradecimentos

A Deus. Porque sem Ele, nada seria poss´ıvel.

Aos meus pais que sempre fizeram de tudo por mim. Obrigada pelo suporte, apoio e educa¸cão que vocês me proporcionam. Sem vocês, um grande momento como esse nunca seria poss´ıvel. A minha irm˜` a que mesmo me perturbando diariamente, nunca deixou de me apoiar ou me dar uma palavra amiga quando precisei. Obrigada por sempre me mostrar o lado bom da vida e me fazer sorrir em qualquer momento. Ao meu irmão que sempre me incentivou em qualquer decisão que tomei. À meu primo Bruno, que mesmo longe sempre se fez presente. Amo vocês demais!

`

A todos os amigos que fiz durante o curso. Não sei o que seria de mim sem todos os surtos durante uma matéria de trabalho em que o Latéx não compilava ou quando os resultados das provas não batiam. Mas um obrigada especial à Nalu, que esteve comigo desde o in´ıcio dessa gradua¸cão e que sempre posso contar; ao Juan, que independente do momento, era o momento certo para implicar; à Débora, que sempre esteve disposta a me ajudar; ao Flávio, que esteve junto comigo nesse último perrengue e ao Léo, que sem a paciência dele, o que seria da minha programa¸cão? Obrigada por todo ensinamento compartilhado! E tenho certeza que sem vocês a gradua¸cão não teria sido nem um pouco divertida! hahaha

Agrade¸co também a todos os professores do Departamento de Estat´ıstica - UFF. Obrigada por todo conhecimento transmitido, todos vocês foram uma pe¸ca fundamental no meu aprendizado. Agrade¸co especialmente às professoras Patr´ıcia e Mariana por terem aceitado me orientar nessa última fase da gradua¸cão, obrigada por todo aux´ılio e disponibilidade oferecidos durante o desenvolvimento deste trabalho.

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Sum´

ario

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Lista de Abreviaturas e Siglas p. 13

1 Introdu¸cão p. 14 1.1 Objetivos . . . p. 15 1.2 Organiza¸cão . . . p. 15 2 Materiais e Métodos p. 17 2.1 Regressão Linear . . . p. 17 2.2 Regressão Quant´ılica . . . p. 20

2.2.1 Inferˆencia Cl´assica . . . p. 21

2.2.1.1 Caso com erros i.i.d. . . p. 22

2.2.1.2 Caso com erros i.ni.d.. . . p. 22

2.2.1.3 Caso com erros dependentes . . . p. 22

2.2.2 Inferˆencia Bayesiana . . . p. 23

2.3 M´etodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov . . . p. 24

2.3.1 Algoritmo de Metropolis-Hastings . . . p. 24

2.3.2 Amostrador de Gibbs . . . p. 25

3 An´alise dos Resultados p. 27

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3.1.1 Erro Homogˆeneo Independente Sim´etrico . . . p. 29

3.1.2 Erro Homogˆeneo Independente Assim´etrico . . . p. 38

3.1.3 Erro Heterogˆeneo Independente . . . p. 41

3.1.4 Erro Dependente . . . p. 44

3.2 ´Indice de Desenvolvimento Humano Municipal . . . p. 61

4 Conclus˜oes p. 73

(10)

Lista de Figuras

1 Fun¸c˜ao de densidade dos erros εi gerados atrav´es dos PG estabelecidos

nas Equa¸c˜oes (3.1), (3.2), (3.3) e (3.4). . . p. 29

2 Gr´aficos de dispers˜ao dos PG (3.1), (3.2) e (3.3).. . . p. 30

3 Gr´afico dos res´ıduos do modelo ajustado pela Regress˜ao Linear. . . p. 31

4 Estimativas dos coeficientes do PG 3.1 para diferentes valores de τ . . . p. 32

5 Gráfico com os ajustes da regressão linear simples e da regressão quant´ılica (sob enfoque clássico e bayesiano) para diferentes quantil (τ = 0, 10; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 0, 90) aplicados nos dados do processos geradores

(PG) 3.1. . . p. 33

6 Gr´afico dos res´ıduos do modelo ajustado pela Regress˜ao Linear. . . p. 34

8 Gráfico com os ajustes da regressão linear simples e da regressão quant´ılica (sob enfoque clássico e bayesiano) para diferentes quantil

(τ = 0, 10; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 0, 90) aplicados nos dados do PG 3.2. . . p. 35

9 Gr´afico dos res´ıduos do ajuste da pela Regress˜ao Linear para os dados

do PG 3.3. . . p. 36

11 Gráfico com os ajustes da regressão linear simples e da regressão quant´ılica (sob os enfoques clássico e bayesiano) para diferentes quantis

(τ = 0, 10; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 0, 90) aplicados nos dados PG 3.3. . . p. 38

12 Gr´afico de dispers˜ao dos dados gerados de acordo com o PG (3.4). . . . p. 39

13 Gráfico de dispersão dos res´ıduos do modelo ajustado pela Regressão

Linear para o PG 3.4.. . . p. 40

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16 Gr´afico de dispers˜ao dos dados gerados de acordo com o PG (3.5). . . . p. 42

17 Gr´afico dos res´ıduos do modelo ajustado pela Regress˜ao Linear . . . p. 43

20 Gr´aficos de dispers˜ao dos modelos dependentes. . . p. 45

21 Gr´afico dos res´ıduos do modelo ajustado pela Regress˜ao Linear . . . p. 46

22 Estimativas dos coeficientes dos PG 3.6 e 3.7 para diferentes valores de τ . p. 47

(τ = 0, 10; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 0, 90) aplicados nos dados PG 3.6 e do PG 3.7. p. 48

24 Gr´aficos de dispers˜ao e boxplots dos EQM baseados nos diferentes

m´etodos de estima¸c˜ao: RLS, RQC e RQB do PG 3.1. . . p. 49

(12)

31 Gr´aficos de dispers˜ao e boxplots das estimativas pontuais dos βk do PG

3.1 obtidas via RLS, RQC e RQB.. . . p. 54

38 Histograma da vari´avel modificada do IDHM . . . p. 63

39 Gr´afico de dispers˜ao do modelo 3.8 . . . p. 64

40 Gr´afico com os ajustes dos m´etodos para o modelo 3.8. . . p. 66

41 Gr´afico de dispers˜ao do modelo 3.9 . . . p. 67

42 Gr´afico com os ajustes dos m´etodos para o modelo 3.9. . . p. 69

43 Gr´afico de dispers˜ao do modelo 3.10. . . p. 70

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Lista de Tabelas

1 EQM dos ajustes dos modelos simulados . . . p. 49

2 EQM das estimativas dos coeficientes . . . p. 61

3 Estimativas para os coeficientes do modelo 3.8 . . . p. 65

4 Estimativas para os coeficientes do modelo 3.9.. . . p. 68

5 Estimativas para os coeficientes do modelo 3.10 . . . p. 71

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13

Lista de Abreviaturas e Siglas

EQM Erro Quadr´atico M´edio

IDHM ´Indice de Desenvolvimento Humano Municipal i.i.d. Independentes e identicamente distribu´ıdos i.ni.d. Independente e n˜ao identicamente distribu´ıdos MCMC Monte Carlo via cadeias de Markov

PNUD Programa das Na¸c˜oes Unidas para o Desenvolvimento PG processos geradores

RLS Regressão Linear Simples RQB Regressão Quant´ılica Baysiana RQC Regressão Quant´ılica Clássica

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14

1 Introdu¸

c˜

ao

Em várias áreas como qu´ımica, medicina, biológica, existem diversas situa¸cões onde é interessante investigar se duas ou mais variáveis estão relacionadas e equa¸cões matemáticas podem ser estabelecidas para expressar essa rela¸cão.

A regressão linear é utilizada para fazer uma análise sobre a rela¸cão linear da variável resposta condicionada a uma ou mais variáveis explicativas. Como exemplo, pode ser de interesse do pesquisador saber se a variável salário é influenciada pelas variáveis sexo e anos de experiência no cargo. Quando há apenas uma variável explicativa é dito ter um modelo de regressão linear simples. Quando há mais de uma variável explicativa, é fito ter um modelo de regressão linear múltipla.

O modelo de regressão linear faz suposi¸cões sobre a linearidade da combina¸cão das covariáveis e da variável dependente e sobre a independência, homocedasticidade e normalidade dos res´ıduos. Esse modelo é sens´ıvel a presen¸ca de outliers, que são valores com comportamento diferente da maioria da popula¸cão.

Com o objetivo de tratar uma classe de modelos mais flex´ıvel, para este trabalho, foi proposta a utiliza¸cão da regressão quant´ılica, pelas abordagens clássica e bayesiana, para comparar a regressão linear em diferentes casos, especialmente em situa¸cões em que as suposi¸cões sobre os modelos lineares não são atendidas.

O modelo de regress˜ao quant´ılica foi originalmente proposto por Koenker e Bassett

(1978), onde os autores apresentam a classe de modelos quant´ılicos no contexto linear, apresentando-a como uma alternativa mais robusta ao método de estima¸cão de m´ınimos quadrados. E nota-se a utiliza¸cão da regressão quant´ılica em várias áreas nos últimos anos, como, por exemplo: em finan¸cas (Kudryavtsev (2009), Marioni et al. (2016)), zootecnia (Santos et al.(2018)), biologia molecular (Barroso(2018)) e avalia¸cão de pol´ıticas públicas (Coelho, Soares e Veszteg (2008)).

Os dois métodos utilizados para estimar os parâmetros desconhecidos são diferenciados da seguinte maneira: para o caso clássico, o método de estima¸cão é feito pela minimiza¸cão

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1.1 Objetivos 15

da soma dos desvios absolutos ponderados. Já para o modelo bayesiano, a minimiza¸cão da soma dos desvios absolutos ponderados é equivalente a maximizar uma fun¸cão de verossimilhan¸ca considerando a distribui¸cão Laplace assimétrica para o erro (YU; MOYEED, 2001), independente da distribui¸cão dos dados. Ainda, Yu e Moyeed (2001) utilizam os algoritmos Monte Carlo via cadeias de Markov (MCMC), em particular o método Metropolis-Hastings, para estimar amostras da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros desconhecidos, uma vez que essa distribui¸cão não possui forma anal´ıtica conhecida. MasKozumi e Kobayashi(2011) propuseram um meio para gerar a amostra da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros desconhecidos utilizando o amostrador de Gibbs, onde é utilizado uma mistura da distribui¸cão normal e da distribui¸cão exponencial para representar a fun¸cão de distribui¸cão Laplace Assimétrica. A média posteriori, estimador para o parâmetro desconhecido utilizado no método bayesiano, costuma ser tão eficiente quanto o estimador clássico calculado diretamente pela otimiza¸cão numérica.

Diferente da regressão linear que utiliza a média, a regressão quant´ılica analisa o quantil da variável dependente condicionada a uma ou mais covariáveis, apresentando algumas vantagens tais como robustez, um conhecimento mais amplo sobre a forma em que as variáveis explicativas podem influenciar diferentes quantis da variável dependente e podendo desconsiderar uma especifica¸cão para a distribui¸cão do erro aleatório. Li(2015) mostra os principais benef´ıcios dos modelos de regressão quant´ılica.

1.1 Objetivos

O objetivo deste trabalho consiste em comparar modelos de regressão quant´ılica com o de regressão linear. Dados serão simulados fazendo alguma hipótese do modelo linear não ser satisfeita e analisando o comportamento da regressão quant´ılica e regressão linear nesses caos. Em seguida, uma base de dados reais sobre o Índice de Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM), no ano de 2010, será analisada utilizando a regressão quant´ılica e a regressão linear.

1.2 Organiza¸

c˜

ao

No Cap´ıtulo 2, encontra-se uma breve revisão sobre regressão linear, regressão quant´ılica clássica, regressão quant´ılica bayesiana e sobre os métodos de MCMC que são utilizados nesse trabalho, sob a inferência bayesiana, para gerar amostra da distribui¸cão

(17)

1.2 Organiza¸c˜ao 16

a posteriori. No Cap´ıtulo3 são apresentados os modelos utilizados para a simula¸cão dos dados e toda a análise feita sobre eles, comparando a regressão quant´ılica e a regressão linear. Neste mesmo cap´ıtulo está a análise feita sobre os dados do IDHM 2010. No Cap´ıtulo 4, por fim, foram apresentadas as conclusões obtidas com base nos resultados encontrados.

(18)

17

2 Materiais e M´

etodos

O objetivo desse trabalho é comparar modelos de regressão linear com os de regressão quant´ılica. Por isso, há uma breve revisão sobre modelos de regressão linear na Se¸cão

2.1 e sobre modelos de regressão quant´ılica na Se¸cão 2.2. Os modelos propostos contém parâmetros desconhecidos. Esses parâmetros serão estimados através de inferência clássica e bayesiana. No caso da inferência bayesiana, nesse trabalho, recorre-se aos métodos de

MCMCpara amostrar os parâmetros e por isso na Se¸cão2.3.1há uma breve revisão sobre esses métodos.

2.1 Regress˜

ao Linear

O propósito da análise da regressão é entender o comportamento da variável resposta, também chamada de dependente, com base nos valores das variáveis explicativas, também chamadas de independentes ou covariáveis. A regressão linear é uma técnica que busca associar uma variável resposta como fun¸cão linear dos coeficientes associados às variáveis explicativas.

Sejam Yi a variável dependente da i-ésima unidade populacional e Xli a variável

independente, onde i = 1, 2, . . . , n e l = 1, . . . , k. O modelo de regress˜ao linear ´e definido da seguinte maneira:

Yi = β0+ β1X1i+ β2X2i+ . . . + βk−1X(k−1)i+ βkXki+ εi, (2.1)

onde admite-se que os erros εi sejam variáveis aleatórias independentes com média

zero e variância constante (σ2) — variância constante também é denominada por homocedasticidade. Costuma-se atribuir a essa variável uma distribui¸cão normal, ou seja, εi ∼ N (0, σ2) e então, Yi ∼ N (β0+ β1X1i+ β2X2i+ . . . + βk−1X(k−1)i+ βkXki, σ2).

Quando k = 1, tem-se um modelo de regressão linear simples e quando k > 1, há um modelo de regressão linear múltipla.

(19)

2.1 Regress˜ao Linear 18

Esse modelo tamb´em pode ser representado matricialmente da seguinte forma:

Y = Xβ + ε, (2.2)

onde X ´e matriz das covari´aveis, caso seja de interesse estimar o intercepto (β0)

acrescenta-se um vetor de um no in´ıcio da matriz. β é a matriz coluna de dimensão k + 1 dos parâmetros do modelo, ε é o vetor dos erros aleatórios e Y é o vetor contendo os valores da variável dependente.

Y =        y1 y2 .. . yn        , X =        1 X11 X12 · · · X1p 1 X21 X22 · · · X2p .. . ... . .. ... 1 Xn1 Xn2 · · · Xnp        , β =           β0 β1 β2 .. . βp           , ε =        ε1 ε2 .. . εn       

Antes de ajustar o modelo e analisá-lo, recomenda-se fazer gráficos de dispersão da variável resposta versus cada uma das covariáveis para investigar a hipótese de linearidade. Para estimar os parâmetros β0, β1, β2, . . . , βk, independente da distribui¸cão dos εi,

pode-se utilizar o método dos m´ınimos quadrados ordinários (MQO). Esse método é baseado na minimiza¸cão da soma dos erros quadráticos que é dada da seguinte forma:

n X i=1 ε2_i = n X i=1 (Yi− β0− β1X1i− β2X2i− . . . − βk−1X(k−1)i − βkXki)2 (2.3)

Para achar os valores de bβk, estimativas dos coeficientes βk do modelo definido,

deriva-se a Equa¸cão (2.3) em rela¸cão a cada parâmetro e iguala-se essas equa¸cões a zero. Depois avalia-se a matriz Hessiana para verificar se os valores que anulam as derivadas representam um ponto de m´ınimo.

Supondo que εi ∼ N (0, σ2), tem-se que os estimadores para βkpelo m´etodo da m´axima

verossimilhan¸ca são iguais aos obtidos via método dos m´ınimos quadrados ordinários e por tanto, é dado por bβ = (X0X)−1X0Y . Os estimadores dos coeficientes da regressão linear simples podem serem reescritos da seguinte forma:

b β0 = ¯Y − bβ1X¯ βb₁ = Pn i=1XiYi− n ¯X ¯Y Pn i=1Xi2− n ¯X2 ,

Ap´os ajustar o modelo tem-se:

b

(20)

2.1 Regress˜ao Linear 19

sendo bYi uma estimativa do valor esperado de Yi e costuma ser chamado de valor ajustado

da i-´esima vari´avel resposta.

Com o modelo ajustado, analisam-se os res´ıduos para checar as suposi¸c˜oes de normalidade, homocedasticidade e independˆencia.

Os res´ıduos s˜ao calculados da seguinte maneira:

b

εi = Yi− bYi (2.5)

Pode-se analisar a normalidade dos res´ıduos das seguintes maneiras:

(i) pelo gr´afico qqnorm: esse gr´afico compara os quantis da normal com os quantis dos res´ıduos;

(ii) pelo histograma: fazendo o histograma dos res´ıduos e incluindo a curva da normal; (iii) pelos testes n˜ao param´etricos Shapiro-Wilk e Kolmogorov-Smirnov.

Depois de confirmar se os res´ıduos seguem distribui¸cão normal, deve-se confirmar se são homocedásticos e independentes. Para confirmar se os res´ıduos são homocedásticos, faz-se o gráfico de dispersão dos res´ıduos versus os valores ajustados. Como espera-se que o modelo se ajuste bem, acredita-se que os res´ıduos estejam em torno de zero e bem dispersos. Para verificar a independência, analisa-se o gráfico da correla¸cão dos res´ıduos. Para testar a significância de cada βk, pode-se utilizar o teste t, cujas hipóteses são:

(

H0 : βk = 0

H1 : βk 6= 0

A estat´ıstica do teste utilizada ´e:

t∗ = βbk

pC[k + 1, k + 1]MSE (2.6)

onde C é a matriz (XTX)−1, então C[k + 1, k + 1] é o valor dessa matriz na posi¸cão (k + 1, k + 1) e M SE = Pn i=1εb 2 i n−k . Sob H0, t ∗ _{∼ t}

n−k, levando a seguinte regra de decis˜ao:

Se t∗ > t1−α₂,n−k ou t∗ < tα₂,n−k rejeita-se H0, onde α ´e o n´ıvel de significˆancia,

normalmente ´e considerado α = 0, 05

Tamb´em pode-se testar H0 : βk 6 0 contra H1 : βk > 0 ou H0 : βk > 0 contra

(21)

2.2 Regress˜ao Quant´ılica 20

Dependendo do número de variáveis independentes no modelo, não é viável testar cada parâmetro de uma vez. Dessa forma, usa-se o teste F para testar se um conjunto de coeficientes é significativo para o modelo. Esse teste é baseado na compara¸cão de dois modelos, o modelo não restrito (NR), que seria o modelo com todas as variáveis explicativas e o modelo restrito (R), modelo sem as variáveis que estão sendo testadas. A estat´ıstica do teste é: F∗ = (SSE(R) − SSE(N R))/(k − q) M SE (2.7) onde SSE =Pn i=1(yi−ybi) 2_{. Sob H}

0, F∗ ∼ Fk−q,n−k e q ´e o n´umero de coeficientes sendo

testados, portanto a regra de decis˜ao desse teste ´e: Se F∗ > F1−α,k−q,n−k, rejeita-se H0.

Um modo de avaliar o ajuste do modelo linear ´e pelo coeficiente de determina¸c˜ao (R2): R2 = 1 − Pn i=1(yi−byi) 2 Pn i=1(yi− ¯yi)2 (2.8)

Esse coeficiente assume valores reais entre 0 e 1. Quanto mais as vari´aveis independentes explicarem a vari´avel dependente, R2 _ser´_{a mais pr´}_{oximo de 1. O valor}

desse coeficiente pode ser interpretado como sendo a propor¸cão da dispersão da variável resposta que é explicada pela variável dependente.

Maiores detalhes sobre regress˜ao linear m´ultipla podem ser vistos em Kutner et al.

(2005),Freund, Wilson e Sa (2006) e Montgomery, Peck e Vining (2012).

2.2 Regress˜

ao Quant´ılica

Os modelos de regressão quant´ılica são utilizados para estruturar modelos onde o interesse não necessariamente encontra-se no comportamento médio dos dados, podendo assim associá-los a diversos quantis ou dados nos quais suposi¸cões como normalidade, linearidade, independência ou homocedasticidade são inválidas.

Considerando uma amostra ou popula¸cão, o quantil de ordem τ é o valor c que deixa ao menos 100τ % abaixo dele e 100(1 − τ )% acima dele, com 0 < τ < 1. Dessa forma, define-se a fun¸cão quant´ılica da seguinte forma:

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onde FY(y) = P (Y ≤ y), ou seja, FY(y) é a fun¸cão de distribui¸cão acumulada da variável

Y.

Considere o seguinte modelo:

Qτ(Y |X) = µ(X) + ε

Para a regressão quant´ılica, a fun¸cão µ(.) pode assumir qualquer fun¸cão para relacionar a variável resposta e os coeficientes associados às variáveis explicativas. Para este trabalho, foi assumido que a rela¸cão entre a variável resposta e os coeficientes associados às variáveis explicativas é linear, ou seja,

µ(X) = Xβ(τ )

Sendo assim, o modelo de regress˜ao quant´ılica ´e definido da seguinte maneira:

Yi = β0(τ ) + β1(τ )X1i+ β2(τ )X2i+ . . . + βk−1(τ )X(k−1)i+ βk(τ )Xki+ εi, (2.10)

onde Xli é uma covariável, βl(τ ) é o parâmetro da regressão quant´ılica e εi é o erro

aleatório. No modelo da regressão quant´ılica assume-se que o quantil de ordem τ do ε é igual a zero.

2.2.1 Inferˆ

encia Cl´

assica

Um método utilizado para a estima¸cão dos parâmetros β0(τ ), β1(τ ), . . . , βk(τ ), onde

k é o número de covariáveis utilizadas no modelo, é o método de minimiza¸cão dos erros absolutos ponderados definido como:

n X i=1 w|εi| = n X i=1 w|Yi− β0− β1X1i− β2X2i− . . . − βk−1X(k−1)i − βkXki| (2.11) onde w =        τ, Yi > β0+ β1X1i+ . . . + βkXki 1 − τ, Yi < β0+ β1X1i+ . . . + βkXki

0, caso contr´ario

Davino, Furno e Vistocco(2013) mostra que a distribui¸cão assintótica dos estimadores dos parâmetros βk(τ ) depende de algumas suposi¸cões consideradas para o efeito aleatório

(23)

2.2.1.1 Caso com erros i.i.d.

No modelo de regressão com erros Independentes e identicamente distribu´ıdos (i.i.d.) tendo uma fun¸cão de densidade f estritamente positiva no quantil dado, ou seja, f (Q(τ )) > 0, os estimadores para os coeficientes do modelo, bβ1(τ ), . . . , bβk(τ ), são

assintoticamente distribu´ıdos como: √ n[ bβ(τ ) − β(τ )] → N (0, ω2(τ )D−1), (2.12) onde ω2_{(τ ) =} τ (1−τ ) f (Q(τ ))2 e D = limn−→∞_n1 P iX T

i Xi ´e uma matriz positiva definida, Xi ´e

um vetor composto pelas covariáveis da i-ésima unidade resposta e β(τ ) é o vetor com as estimativas dos parâmetros.

2.2.1.2 Caso com erros i.ni.d..

Erros com distribui¸cão Independente e não identicamente distribu´ıdos (i.ni.d.) são normalmente caracterizados pela heterocedasticidade, ou seja, pela mudan¸ca da variância na amostra. Com isso, o estimador para o coeficiente do modelo, bβk(τ ), é assintoticamente

distribu´ıdo como: √

n[ bβ(τ ) − β(τ )] → N (0, τ (1 − τ )D1(τ )−1DD1(τ )−1), (2.13)

onde D1(τ ) = limn−→∞_n1P_ifi(Q(τ ))XITXi ´e uma matriz positiva definida e β(τ ) ´e o

vetor com as estimativas dos parˆametros.

2.2.1.3 Caso com erros dependentes

Erros dependentes são comuns em séries temporais, onde a dependência é dada pela influência que os erros passados têm sobre os erros atuais, influenciando o valor da variável dependente.

Suponha, por exemplo, que o erro segue um processo autoregressivo, ou seja, εi ∼

AR(1), e ent˜ao, εi = ρεi−1+ ai, onde ai ´e um erro i.i.d..

Com isso, o estimador para o parˆametro β(τ ) satisfaz: √

(24)

onde A = limn→∞D+_n1 P_iψ(ε)ψ(εi−1)(XiTXi−1+Xi−1T Xi) ´e uma matriz positiva definida,

P

iψ(εi)XiT =

P

isgn(εi)XiT é o gradiente da regressão quant´ılica e ψ(.) é a derivada da

fun¸cão objetiva da regressão quant´ılica que é igual a fun¸cão sinal (sgn(.)) (WEISS,1990). Maiores detalhes sobre regressão quant´ılica em Koenker (2005) e Davino, Furno e Vistocco (2013).

2.2.2 Inferˆ

encia Bayesiana

Uma outra abordagem para a estima¸cão dos parâmetros dos modelos definidos com regressão quant´ılica é utilizando inferência bayesiana.

Seja

Yi = β0(τ ) + β1(τ )X1i+ . . . + βk(τ )Xki+ εi,

onde β(τ ) = β0(τ ), β1(τ ), . . . , βk(τ ) ´e o vetor de parˆametros do modelo estudado

dependente do quantil τ .

Assim como na regressão quant´ılica clássica, tem-se um problema de minimiza¸cão, no qual deve-se minimizar a seguinte fun¸cão perda:

min β X i ρτ(Yi− Xi0β), com ρτ(u) = |u| + (2τ − 1)u 2 , u = (Yi− X 0 iβ).

Independente da distribui¸cão dos dados, essa abordagem para regressão quant´ılica é feita assumindo a fun¸cão Laplace assimétrica como a fun¸cão de verossimilhan¸ca e utilizando qualquer distribui¸cão a priori. Yu e Moyeed (2001) mostram que a utiliza¸cão da distribui¸cão uniforme imprópria para o parâmetro β gera uma posteriori própria.

Para essa modelagem, a distribui¸cão a posteriori possui uma forma anal´ıtica complexa e não permite cálculos exatos das quantidades de interesse a posteriori. Logo, é considerado a utiliza¸cão dos métodos de Monte Carlo via cadeias de Markov para gerar amostras da distribui¸cão a posteriori e permitir assim a inferência sobre os parâmetros do modelo.

(25)

2.3 M´etodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov 24

Maiores detalhes sobre regress˜ao quant´ılica bayesiana podem ser visto emYu e Moyeed

(2001) e Kozumi e Kobayashi(2011).

2.3 M´

etodos de Monte Carlo via Cadeias de Markov

No Cap´ıtulo 3, é preciso obter uma amostra de uma distribui¸cão. Como esta distribui¸cão não possui forma anal´ıtica conhecida, recorre-se ao método de MCMC. Por isso, nas subse¸cões abaixo, terá uma breve revisão sobre os algoritmos de Metropolis-Hastings e do amostrador de Gibbs.

Para simular uma amostra de uma distribui¸cão f (.), utilizando algum métodoMCMC, é necessário que o algoritmo produza uma cadeia de Markov homogênea, aperiódica e irredut´ıvel, cuja distribui¸cão estacionárica seja f (.). A cadeia é aperiódica quando não atinge o mesmo ponto com regularidade fixa. E uma cadeia é irredut´ıvel se, com probabilidade positiva, ela se move de um ponto qualquer a partir de qualquer outro ponto em um número finito de itera¸cões.

Na inferência bayesiana é corrente obter uma distribui¸cão a posteriori com forma anal´ıtica desconhecida ou trabalhosa de ser amostrada. Nestes casos, recorre-se aos métodos MCMC para obter amostras da distribui¸cão a posteriori e inferir sobre o parâmetro em estudo.

A convergência das cadeias de Markov é esperada após um per´ıodo chamado de aquecimento (burn-in), esses primeiros valores são descartados. Para diminuir a autocorrela¸cão dos parâmetros pode-se usar o que denomina-se espa¸camento. Então, sejam c − 1 a quantidade de itera¸cões iniciais necessárias para o aquecimento e t o espa¸camento, tem-se que as amostras β(c)_{, β}(c+t)_{, β}(c+2t)_{, . . . s˜}_{ao usadas como sendo a}

amostra de β da distribui¸cão de interesse. Um modo para analisar a convergência da cadeia é baseado em gráficos da trajetória da cadeia, para verificar a partir de qual itera¸cão os dados passam a ter o mesmo comportamento. Também existem pacotes no softwareR Core Team (2019) para checar a convergência das cadeias como, por exemplo, o CODA (PLUMMER et al., 2006). Para maiores detalhes, Gamerman e Lopes (2006).

2.3.1 Algoritmo de Metropolis-Hastings

Este algoritmo foi proposto por Metropolis et al. (1953) e Hastings (1970). Para essa modelagem, a distribui¸c˜ao a posteriori possui uma forma anal´ıtica complexa e n˜ao

(26)

permite cálculos exatos das quantidades de interesse a posteriori. Logo, é considerado a utiliza¸cão dos métodos de MCMC para gerar amostras da distribui¸cão a posteriori e permitir assim a inferência sobre os parâmetros desconhecidos do modelo.

O algoritmo de Metropolis-Hastings é um método para gerar amostras de uma distribui¸cão de interesse desconhecida.

A ideia desse algoritmo é gerar um valor de uma distribui¸cão auxiliar e aceitá-lo conforme uma dada probabilidade que depende da distribui¸cão auxiliar q e da distribui¸cão de interesse p. A convergência da cadeia para a distribui¸cão a posteriori é garantida por esse mecanismo de corre¸cão.

O algoritmo ´e feito da seguinte maneira:

1. inicialize o contador de itera¸c˜oes j = 1, o contador de pontos aceitos a = 0 e especifique um valor inicial para β(τ )(j−1);

2. gere um novo valor β∗(τ ) da distribui¸c˜ao q(.|β(τ )(0)_);

3. calcule a probabilidade de aceita¸c˜ao α(β(τ )(j−1)_{, β}∗_{(τ )) e gere u ∼ U (0, 1)}

α(β(τ )(j−1), β∗(τ )) = min 1, p(β(τ ) ∗_{)q(β(τ )}(j−1)_|β∗_{(τ ))} p(β(τ )(j−1)_)q(β∗_{(τ )|β(τ )}(j−1)₎ ;

4. se u 6 α, fa¸ca β(τ )(j)_{= β}∗_{(τ ) e a = a + 1; caso contr´}_{ario, fa¸ca β(τ )}(j) _{= β(τ )}(j−1)_;

5. incremente o contador j = j + 1 e volte ao passo 2, at´e atingir a convergˆencia.

A eficiência do algoritmo está diretamente ligada a escolha da distribui¸cão proposta, ou seja, a escolha errada da distribui¸cão proposta pode causar em um número de rejei¸cões muito alto, sendo assim, prejudicando a eficiência do algoritmo.

Roberts e Rosenthal (2009) propˆos que a taxa de aceita¸c˜ao fosse em torno de 44%.

2.3.2 Amostrador de Gibbs

O amostrador de Gibbs foi apresentado a comunidade estat´ıstica porGeman e Geman

(1993), mas foi previamente proposto por Gelfand e Smith (1990). Este algoritmo é utilizado quando amostrar de uma distribui¸cão é trabalhoso, complicado ou quando não tem como amostrar diretamente da distribui¸cão. Seja p(β) a distribui¸cão que tem-se o interesse de amostrar onde β = (β1, . . . , βd). Seja β−l composto por todos os elementos

(27)

de β exceto pelo elemento βl, l = 1, . . . , d. Sejam pl(βl) = p(βl|β−l), l = 1, . . . , d as

distribui¸cões condicionais completas. Logo, o amostrador de Gibbs consiste em um esquema de amostragem baseado em sucessivas gera¸cões das distribui¸cões condicionais completas e é definido da seguinte forma:

O amostrador de Gibbs é uma cadeia de Markov onde as transi¸cões de um estado para outro são feitas de acordo com as distribui¸cões condicionais completas.

1. Inicialize o contador de itera¸c˜oes da cadeira j=1.

2. Especifique os valores do vetor dos parˆametros. β(0)_{(τ )}

3. Gere um novo valor de β(j)_{(τ ) a partir de β}(j−1)_{(τ ) atrav´}_{es da gera¸c˜}_{ao sucessiva}

dos valores.

4. Incremente o contador j = j + 1. Caso n˜ao ocorra a convergˆencia, retorne ao passo 2.

Para o amostrador de Gibbs não existe mecanismo de aceita¸cão-rejei¸cão, ou seja, seu valor de aceita¸cão é sempre um.

(28)

27

3 An´

alise dos Resultados

Neste trabalho será comparado os modelos de regressão quant´ılica com os de regressão linear. Para isso, na Se¸cão 3.1, foi simulado seis PG, onde eles se diferenciam pelo erro associado. A ideia do erro associado é não atender as suposi¸cões feitas pelo modelo linear e assim analisar o comportamento dos dois modelos – linear e quant´ılico – nestas situa¸cões. Já na Se¸cão 3.2, analisa-se a base de dados reais doIDHM. Esse ´ındice se encontra entre 0 e 1, então é feita uma transforma¸cão na variável para se adequar ao modelo linear.

3.1 Dados Simulados

Para comparar modelos de regressão quant´ılica com os modelos de regressão linear, dados artificiais foram gerados assumindo diferentes caracter´ısticas para os efeitos aleatórios tais como independência ou dependência, normalidade ou não, homocedasticidade ou heterocedasticidade. Em seguida, ajustou-se os modelos de regressão quant´ılica e de regressão linear para verificar qual modelo melhor se ajustou aos dados gerados. O objetivo é comparar os dois métodos de estima¸cão da regressão quant´ılica e comparar o ajuste do modelo de regressão quant´ılica com o de regressão linear sob viola¸cão das propriedades necessárias para o ajuste da regressão linear.

A gera¸cão dos dados simulados e os ajustes dos dados foram feitos com o aux´ılio do software R (R Core Team, 2019). Para a análise dos dados foram utilizados pacotes do próprio software. Para ajustar um modelo de regressão quant´ılica clássica, foi utilizado o pacote regquant (KOENKER, 2018). Já para o modelo de regressão quant´ılica bayesiana foi utilizado o pacote bayesQR (BENOIT; Van den Poel, 2017).

A fun¸c˜ao do pacote bayesQR considera a distribui¸c˜ao N (0, 100Ik+1) como a

distribui¸cão a priori para β , onde 0 é um vetor k + 1 dimensional com todos os elementos iguais a zero e Ik+1é uma matriz identidade de ordem k+1 e gera amostras da distribui¸cão

(29)

3.1 Dados Simulados 28

Dados foram simulados considerando uma amostra de tamanho n = 1000, onde a covariável foi gerada considerando X ∼ N (µ = 10, σ2 = 1), o efeito aleatório foi fixado em β0 = 1 e o efeito da covariável em β1 = 3. Para a abordagem bayesiana considerada

a seguinte distribui¸c˜ao para β ∼ N (0, 100Ik), onde 0 ´e um vetor k = 2 dimensional com

todos os elementos iguais a zero e Ik ´e uma matriz identidade de ordem k = 2. Para a

aplica¸cão do amostrador de Gibbs, tanto para a simula¸cão quanto a aplica¸cão de dados reais, foram considerados cadeias de 60 mil itera¸cões, considerando um aquecimento de 10 mil itera¸cões e defasagem de 50 itera¸cões, totalizando mil observa¸cões que compõem a amostra a posteriori.

Os dados foram simulados atrav´es dos seguintes processos geradores (PG):

Yi = β0+ β1Xi+ εi, onde εi iid ∼ N (µ = 0, σ2 = 1) (3.1) Yi = β0+ β1Xi+ εi, onde εi iid ∼ t1 (3.2) Yi = β0+ β1Xi+ εi, onde εi iid ∼ t3 (3.3) Yi = β0+ β1Xi+ εi, onde εi = ui− 1 e (3.4) ui iid ∼ LN (µ = 0, σ2 _{= 1, 25}2₎ Yi = β0+ β1Xi+ (1 + Xi)εi, onde εi iid ∼ N (µ = 0, σ2 _{= 1)} _(3.5) Yi = β0+ β1Xi+ εi, onde εi = ρεi−1+ ai e (3.6) ai ∼ N (µ = 0, σ2 = 1) e ρ = 0, 9 Yi = β0+ β1Xi+ εi, onde εi = ρεi−1+ ai e (3.7) ai ∼ N (µ = 0, σ2 = 1) e ρ = 1, 0

Enquanto apenas o primeiro PG satisfaz as propriedades da regressão linear, o segundo, terceiro e quarto PG não satisfazem a propriedade de normalidade para os res´ıduos, o quinto já não atende a hipótese de homogeneidade e nos dois últimosPG, os res´ıduos são dependentes.

Os PG da Equa¸cões (3.1), (3.2) e (3.3) possuem erros independentes e homogêneos. Na Figura 1 pode-se visualizar que a cauda dos erros associados aos PG das Equa¸cões (3.2) e (3.3 são é mais pesadas se comparadas ao PG da Equa¸cão 3.1. Já para o erro associado ao PGda Equa¸cão 3.4 possui assimetria à direita.

(30)

ε

Densidade

−4

−2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

ε ~ N

(

0, 1

)

ε ~ t1 ε ~ t3 ε ~ LN

(

0 ; 1, 252

)

Figura 1: Fun¸c˜ao de densidade dos erros εi gerados atrav´es dos PG estabelecidos nas

Equa¸c˜oes (3.1), (3.2), (3.3) e (3.4).

A seguir, divide-se os PG mencionados acima conforme as caracter´ısticas do erro εi.

3.1.1 Erro Homogˆ

eneo Independente Sim´

etrico

Note que os processos gerados pelas Equa¸cões (3.1), (3.2) e (3.3) possuem erros homogêneos, independentes e simétricos.

Além disso, há uma rela¸cão linear entre as variáveis dependente e independente e essa rela¸cão é ratificada nos gráficos de dispersão apresentados na Figura 2.

(31)

3.1 Dados Simulados 30 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●_● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●_● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● X Y 7 8 9 10 11 12 13 20 25 30 35 40

(a) Gr´afico de dispers˜ao dos dados gerados de acordo com o PG (3.1). ● ● ● ● ●● ●●●● ●●●●● ●●●●●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ●● ●●● ●● ●● ● ● ● ● ●●● ● ●●●●●●●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ●●●●●● ●●●● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●● ●● ●●●●● ● ●● ●●●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●●● ●● ●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●● ● ●●●●●●● ●●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●●● ●● ● ●●● ● ●● ●● ●●●●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●● ●●● ●● ●●●● ●● ●● ● ●● ●●● ●●●●● ●●●● ●●● ● ●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●●●● ●●●●●● ● ●● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ●●● ●●●●●●● ●●● ● ●● ● ● ●● ●● ●● ●●●●● ●●● ● ● ● ●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●_{● ●}●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ● ●● ●●●●● ●●●●●● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●● ● ●● ● ●●●●●●●●_●●●●_●_●●●●●●●●●●●●●● ●●●● ●●●● ●●●●● ● ● ●●● ● ● ● ●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●● ●●●●●●●●● ●●●●● ● ●● ● ● ●●●●●●● ● ● ● ● ● ●●● ●● ● ● ●●●● ●● ●●●●●● ●●● ● ●● ● ●●●●● ●●●●●●●●●●● ●● ● ●●● ●● ● ● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●● ●●● ●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ● ●●●● ●●●●●●● ● ● ● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●● ● ● ● ●● ● ●●●●_●●●● ●● ●●● ●●● ● _● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ●● ● ● ●●● ●● ● _●●● ● ●●●●●●●●●●● ●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●●● ●●● ● ● X Y 7 8 9 10 11 12 13 −800 −600 −400 −200 0 200

(b) Gr´afico de dispers˜ao dos dados gerados de acordo com o PG (3.2). ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●_● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●_● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●_● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● X Y 7 8 9 10 11 12 13 15 20 25 30 35 40 45

(c) Gr´afico de dispers˜ao dos dados gerados de acordo com o PG (3.3).

Figura 2: Gr´aficos de dispers˜ao dos PG (3.1), (3.2) e (3.3).

Então, dado que as informa¸cões para a simula¸cão são desconhecidas, foi ajustada a equa¸cão Yi = β0+ β1Xi + εi para os três métodos apresentados.

Primeiramente, será mostrado os ajustes feitos para os dados da Equa¸cão 3.1. A partir da Figura 3(a), pode-se reparar na aleatoriedade dos res´ıduos em torno do zero, logo a propriedade de homogeneidade dos dados foi satisfeita. Para a propriedade sobre a normalidade dos erros, foi feito o teste de Shapiro - Wilk e o p-valor encontrado foi de 0,567. Sob um n´ıvel de significância (α) de 0,05, não rejeita-se a hipótese nula, ou

(32)

seja, com base nessa amostra, não rejeita-se a hipótese de normalidade para os res´ıduos. Essa afirma¸cão também é confirmada na Figura3(b), onde é mostrada que os quantis dos res´ıduos se ajustam aos quantis teóricos da distribui¸cão normal.

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●_● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Valores estimados Resíduos 25 30 35 40 −3 −2 −1 0 1 2 3

(a) Homogeneidade dos dados doPG 3.1.

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Quantis Teóricos Quantis da Amostr a −3 −2 −1 0 1 2 3 −3 −2 −1 0 1 2 3

(b) QQplot dos res´ıduos doPG 3.1.

Figura 3: Gr´afico dos res´ıduos do modelo ajustado pela Regress˜ao Linear.

Na Figura 4 ´e poss´ıvel comparar as estimativas para os coeficientes da Equa¸c˜ao

3.1 obtidas através dos diferentes métodos: Regressão Linear Simples (RLS), Regressão Quant´ılica Clássica (RQC) e Regressão Quant´ılica Baysiana (RQB) para diferentes valores do quantil de ordem τ . Nota-se que, comparando a medida central, os dois coeficientes estão próximos para os três métodos.

(33)

3.1 Dados Simulados 32 ● ● ● ● ● τ β0 0.1 0.25 0.5 0.75 0.9 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 ● RLS RQC RQB

(a) Estimativas do coeficiente β0 para diferentes

valores de τ para o PG3.1. ● ● ● ● ● τ β1 0.1 0.25 0.5 0.75 0.9 2.94 2.96 2.98 3.00 3.02 ● RLS RQC RQB

(b) Estimativas do coeficiente β1 para diferentes

valores de τ para o PG3.1.

Figura 4: Estimativas dos coeficientes do PG3.1 para diferentes valores de τ .

Focando primeiramente nas estimativas para os valores centrais, pode-se observar pela Figura4que as estimativas da regressão linear são próximas das estimativas obtidas pelas regressões quant´ılicas, tanto pelo método clássico quanto pelo método bayesiano. E que a regressão linear obteve estimativas mais próximas dos valores verdadeiros (β0 = 1 e

β1 = 3). Além disso, note que as estimativas obtidas pela regressão quant´ılica clássica

estão próximas das obtidas pela regressão quant´ılica bayesiana.

Na Figura 5, as retas são os ajustes obtidos nos três métodos presentes no atual trabalho, onde as retas da regressão quant´ılica clássica e da regressão quant´ılica bayesiana são referentes a estimativa obtida para cada quantil τ = 0, 10; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 0, 90. Repara-se que as estimativas dada para a medida central são próximas nos três métodos. Já que os erros satisfazem as propriedades do modelo de regressão linear, pode-se observar que as estimativas dos outros quantis se assemelham às da regressão linear se deslocar-se a reta para cima ou para baixo, dependendo do valor do quantil da normal. E como esses dados são independentes e homogêneos, as retas dos outros quantis são “paralelas”à reta da mediana.

(34)

3.1 Dados Simulados 33 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●_● ● ● ● ● ●_● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● _● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●

X

Y

7

8

9

10

11

12

13

20

25

30

35

40

RLS RQC RQB

Figura 5: Gráfico com os ajustes da regressão linear simples e da regressão quant´ılica (sob enfoque clássico e bayesiano) para diferentes quantil (τ = 0, 10; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 0, 90) aplicados nos dados doPG 3.1.

O PG gerado de acordo com a Equa¸cão 3.2 é um PG que infringe a suposi¸cão de normalidade. Como mostra a Figura 2(b), existem muitos outliers na amostra podendo assim, influenciar a média da estimativa da regressão linear.

Pela Figura 6, pode-se confirmar que os res´ıduos não seguem a distribui¸cão normal e mesmo possuindo outliers no gráfico valores estimados versus res´ıduos para checar a homogeneidade dos dados, os valores estão em torno de zero, confirmando assim, a hipótese de homogeneidade.