Valor Esperado. Situação-problema 24. Variância e Desvio Padrão. Situação-problema 24. Distribuição Normal. Estatística I. Estatística I

(1)

1

Estatística I

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA

CAMPUS DE JI-PARANÁ

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA AMBIENTAL

Prof.a_{Renata Gonçalves Aguiar}

Es tatís tica I -UN IR

Valor Esperado

2 Consideramos a média como o valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem continuar indefinidamente.

np

x

E

(

)







Variância e Desvio Padrão

3 Usamos a variância e o desvio padrão para

sintetizar a variabilidade nos valores da variável aleatória.

)

1 (

)

(

x

2

np

p

Var









2





Situação-problema 24

4 Com base nos dados da atividade 23, faça o que se

pede:

a. Calcule a média, o desvio padrão e comente os resultados. Es tatís tica I -UN IR

Situação-problema 24

5 b. Agora suponha que sejam realizadas 1000

análises. Encontre novamente a média e o desvio padrão.

c. Ao comparar os resultados obtidos nas letras a e b, o que podemos concluir?

(2)

Distribuição Normal

7

É um clássico da Estatística

Distribuição Normal

8

Qual o tipo de distribuição de

probabilidade dos dados?

Quais os parâmetros?

Distribuição Normal

9 Esta é a mais importante distribuição de

probabilidade para descrever uma variável aleatória contínua. Es tatís tica I -UN IR

Distribuição Normal

10 A curva normal tem dois parâmetros,

e , N ( , ). Eles determinam

a posição e a forma da distribuição.





_

Figura 1 - Idade de uma populção.

Suponha que sejam realizadas quatro coletas sobre o CO2absorvido e liberado por uma área de floresta

(t C ha-1_a-1_{) e os resultados se apresentem de}

acordo com a Figura 2.

Quais conclusões podemos chegar?

(3)

Fonte : leg.ufpr.br

Figura 2 - Dióxido de carbono absorvido e liberado em uma floresta.

Situ aç ão-problema 25 Es tatís tica I -UN IR

Função de Densidade Normal

de Probabilidade

14

14159

,

3 



71828

,

2 

e

2 2 2 ) (

2

1 )

(

 





 



x

e

x

f

Características Gerais

15 1. A variável aleatória pode assumir qualquer

valor real.

2. O gráfico da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média.

Características Gerais

16 3. A área total sob a curva é 1.

4. Como a curva é simétrica em torno da média, os valores maiores e menores que a média ocorrem com igual probabilidade.

Características Gerais

17 5. O ponto mais alto na curva está na média, que

também é a mediana e a moda da distribuição.

6. O desvio padrão determina a largura da curva. Es tatís tica I -UN IR

Características Gerais

18 7. As probabilidades para a variável

(4)

19 Figura 3 -Distribuição normal do quociente de inteligência. Fonte: lookfordiagnosis.com

99,72% 95,44%

20

Fonte: Costa et al. (2005).

Curva Normal

Figura 4 - Altura média dos brasileiros.

Fonte: revistaepoca.globo.com

21

Fonte: Costa et al. (2005).

Curva Normal

Figura 5 - Altura média dos brasileiros e de outros países.

Fonte: institutoparacleto.org Es tatís tica I -UN IR

Situação-problema 26

22 A concentração de carbono orgânico total (COT) na água apresenta valor alerta de 10% (valor acima do qual representa possibilidade de causar prejuízos ao ambiente na área de disposição), de acordo com a Resolução Conama n. 344, de 25 de março de 2004.

Situação-problema 26

Suponha que o rio Madeira tenha distribuição N (8; 1,5). Qual a chance, de que em um dado dia, a concentração de COT exceda o valor de alerta?

(5)

25 Es tatís tica I -UN IR Es tatís tica I -UN IR

Distribuição Normal-Padrão

de Probabilidade

Distribuição Normal-Padrão

26 Denomina-se distribuição normal-padrão a

distribuição normal de média zero e desvio padrão 1.

27

Fonte : leg.ufpr.br

Figura 6 - Curva normal padrão.

Dist ri buiç ão norm al -padr ão Es tatís tica I -UN IR

Cálculo das Probabilidades

28 Fórmulas usadas para converter qualquer variável aleatória normal para a distribuição normal:









x

z

s

x

z





Cálculo das Probabilidades

29 Converte qualquer variável aleatória normal para a distribuição normal. Es tatís tica I -UN IR

Retomando a S-P 26

30 Suponha que o rio Madeira tenha distribuição

(6)

Situação-Problema 27

31 Suponha que as notas de um vestibular tenham

distribuição normal com média 60 e desvio padrão de 15 pontos.

a. Se você prestou esse vestibular e obteve 80 pontos, qual é a sua posição relativa, em unidades de desvio padrão, com relação à média de notas?

Situação-Problema 27

32 b. Qual a probabilidade de um candidato ter obtido

nota acima de 55 pontos?

c. Se foram considerados aprovados os candidatos que obtiveram nota mínima correspondente a um desvio padrão acima da média, qual é a nota mínima de aprovação na escala original dos dados? Es tatís tica I -UN IR

Situação-Problema 28

33 Dado que z é uma variável aleatória normal-padrão,

calcule as seguintes probabilidades. a. P(0 ≤ z ≤ 1).

b. P(-1 ≤ z ≤ 1).

c. de ocorrer valor menor do que .z0,50

34 Es tatís tica I -UN IR

Despertando a

Arte e a Cultura

Despertando

Ji-Paraná - 05 a 10 de novembro

Sexto Plantio na

UNIR de Ji-Paraná no

dia 14.11.2018

(7)

Estat ística I -UNIR

Lista 4

37 Disponível para o deleite de todos. Fo nt e: od on to sho pb ut anta 38 Ativar a Análise de Dados

Trazer os dados do trabalho

Trazer notebook

Publicarei o arquivo da aula prática no dia 04.11 até às 16 h

Instalar o BioEstat 5.0 www.mamiraua.org.br

Aula no Laboratório de Estatística 1

Dias 05 e 19.11.2018

39 Es tatís tica I -UN IR Es tatís tica I -UN IR

Correlação e Regressão

Correlação Linear

40 Para se medir o grau de correlação entre duas variáveis usa-se o coeficiente de correlação (r), que varia de -1 a +1.

Importante construir um diagrama de dispersão.

41

Figura 7 - Correlação linear entre as médias em estatura da população da

cidade de Florianópolis e os anos pesquisados. Fonte: Pinheiro, Neiderauer e Vargas (2014).

42 = (0,778 ± 0,008)x + (25,187 ± 1,965)

r2= 0,88

Figura 8 – Correlação linear entre a mortalidade em menores de cinco anos

(8)

Correlação Linear

43

Coeficiente de correlação

de Pearson

Correlação Linear

44

Coeficiente de correlação

O coeficiente de correlação é dado por:

 











































n

y

n

x

n

y

x

xy

r

2 2 2 2 n é o números de pares (x, y) 45

Figura 7 - Correlação linear entre as médias em estatura da população da

cidade de Florianópolis e os anos pesquisados. Fonte: Pinheiro, Neiderauer e Vargas (2014).

r = 0,95

46 = (0,778 ± 0,008)x + (25,187 ± 1,965)

r2= 0,88

Figura 8 – Correlação linear entre a mortalidade em menores de cinco anos

(MC5) e a cobertura por sistemas de esgotamento sanitário (ICE). Fonte: Teixeira e Pungirum (2005).

r = 0,70 Es tatís tica I -UN IR

Correlação Linear

Tabela 1 – Avaliação qualitativa de r quanto à intensidade

(9)

Situação-Problema 29

49 O departamento de saúde de uma grande cidade do Sudeste desenvolveu um índice de poluição do ar que mede o nível de vários poluentes do ar que causam doenças respiratórias nos seres humanos. A Tabela 2 fornece o índice de poluição (em uma escala de 1 a 10, onde 10 corresponde ao nível mais elevado de

Situação-Problema 29

50 poluentes) correspondente a dez dias do mês de agosto, selecionados aleatoriamente, bem como o número de pacientes com problema respiratório agudo que deram entrada na sala de emergência dos hospitais da cidade.

Situação-Problema 29

51 Construa um diagrama de dispersão e encontre o coeficiente de correlação.

Tabela 2 – Índice de poluição do ar e o número de pacientes que deram entrada na emergência com problema respiratório agudo

Poluição do ar 4,5 6,7 8,2 5,0 4,6 6,1 7,7 8,1 5,8 3,0 Atendimentos 53 82 102 60 39 66 90 94 62 27 Es tatís tica I -UN IR

Regressão Linear Simples

52 O estudo da regressão aplica-se àquelas situações em que há razões para supor uma relação de causa-efeito entre duas variáveis quantitativas e se deseja expressar matematicamente essa relação.

Regressão Linear Simples

53 Causa Efeito Expressar por fórmula Es tatís tica I -UN IR

Regressão Linear Simples

(10)

Fator

Figura 8 - Variabilidade da precipitação e da umidade relativa do ar

no ano de 2004 em uma área de pastagem a 15 km de Ouro Preto.

Fonte: Programa LBA

Resposta

Regressão Linear Simples

56 As expressões a seguir têm todas

basicamente o mesmo significado: a) y depende de x (linguagem coloquial); b) y é função de x (linguagem matemática); c) existe regressão de y sobre x (linguagem

estatística). Es tatís tica I -UN IR

Regressão Linear Simples

57

Equação da reta

Regressão Linear Simples

58

Equação da reta

A equação da reta é dada por Y = A + Bx.

Assim, a reta estimada de regressão é:

bx

a

y

ˆ





Regressão Linear Simples

Equação da reta

 

n

x

n

y

x

xy

b

₂ 2













a



y



b

x

n é o números de pares (x, y) Es tatís tica I -UN IR

Utilidades da Reta de Regressão

(11)

Utilidades da Reta de Regressão

61 2. Permite prever valores para a variável

dependente de acordo com valores determinados (inclusive não-observados) da variável

independente.

Cuidado com a extrapolação!

Coeficiente de Determinação

62 Informa que fração da variabilidade de uma

característica é explicada estatisticamente pela outra variável.

É expresso pelo quadrado do coeficiente de correlação, r2_.

63

Figura 9 - Regressão linear simples entre as médias em estatura da população

da cidade de Florianópolis e os anos pesquisados. Fonte: Pinheiro, Neiderauer e Vargas (2014).

Regressão Linear Simples

64 = (0,778 ± 0,008)x + (25,187 ± 1,965)

r2= 0,88

Figura 10 – Regressão linear simples entre a mortalidade em menores de cinco

anos (MC5) e a cobertura por sistemas de esgotamento sanitário (ICE). Fonte: Teixeira e Pungirum (2005).

Regressão Linear Simples

Situação-Problema 30

65 Com base nos dados da atividade 29, faça o que se pede.

a. Desenvolva uma equação de regressão estimada para esses dados.

b. Encontre o coeficiente de determinação.

Situação-Problema 30

66 c. Ache a melhor predição para o número de

(12)

Situação-Problema 30

67 d. Qual é a vantagem de ser capaz de determinar o número de pacientes a dar entrada no hospital com problema respiratório agudo a partir do índice de poluição do ar? Es tatís tica I -UN IR

Importantíssimo

68 Para realizar uma correlação e/ou uma regressão precisam ser atendidos alguns pressupostos que serão estudados em Estatística II.

Referências

69

AGUIAR, R. G. Balanço de Energia em Ecossistema Amazônico

por Modelo de Regressão Robusta com Bootstrap e Validação Cruzada. 85 f. Tese (Doutorado em Física Ambiental) – Instituto

de Física, Universidade Federal de Mato Grosso, Cuiabá, 2013. ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística

aplicada à Administração e Economia. 2. ed. São Paulo:

Pioneira Thomson Learning, 2003.

BARBETTA, P. A. Estatística aplicada às Ciências Sociais. 5. ed. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2002.

Referências

70

BUSSAB, W. O.; MORRETIN, P. A. Estatística Básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2003.

COSTA, S. F. Introdução ilustrada à Estatística. 4. ed. São Paulo: Harbra, 2005.

CRESPO, A. A. Estatística fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 1999. FREUND, J. E.; SIMON, G. A. Estatística aplicada: Economia, Administração e Contabilidade. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. Es tatís tica I -UN IR

Referências

MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e

Probabilidade para Engenheiros. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC,

2009.

PINHEIRO, A. C. C.; J. M. N.; VARGAS, D. M. Tendência secular de crescimento em estatura no município de Florianópolis (SC), Brasil, e sua associação com o índice de

desenvolvimento humano (IDH). Ciência & Saúde Coletiva, v. 19, n. 1, p. 227-233, 2014.

Programa de Grande Escala da Biosfera-Atmosfera na Amazônia – LBA. Es tatís tica I -UN IR

Referências

SPIEGEL, M. R. Estatística: resumo da teoria, 975 problemas resolvidos, 619 problemas propostos. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1975.

TEIXEIRA, J. C.; PUNGIRUM, M. E. M. C. Análise da associação entre saneamento e saúde nos países da América Latina e do Caribe, empregando dados secundários do banco de dados da Organização Pan-Americana de Saúde – OPAS. Revista

Brasileira de Epidemiologia, v. 8, n. 4, p. 365-376, 2005.