Controle Neural Robusto de Sistemas Não-Lineares Gerais

Proceedings of the V Brazilian Conference on Neural Networks - V Congresso Brasileiro de Redes Neurais pp. 439-444, April 2-5, 2001- Rio de Janeiro - RJ - Brazil

Controle Neural Robusto de Sistemas Não-Lineares Gerais

José Alfredo Ruiz Vargas

¹

, Elder Moreira Hemerly

²

1,2

Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Divisão de Engenharia Eletrônica, ITA-IEE-IEES 12228-900 São José dos Campos, SP, BRASIL

E-mails: jvargas_@excite.com, hemerly@ele.ita.cta.br

Abstract

This paper addresses the output feedback control of general unknown nonlinear systems. The controller is based on the linearity of the neural networks weights and Lyapunov methods are used in order to guarantee that all closed-loop signals are bounded. Only mild assumptions on the unknown system are imposed: the unknown vectorfields are continuous with respect to their arguments and satisfy a local Lipschitz condition.

1. Introdução

Apesar do sucesso de diferentes técnicas para controlar certas classes de sistemas não-lineares (feedback linearization, backstepping, tuning fuctions, neural e fuzzy control systems, etc), o problema de se controlar sistemas dinâmicos gerais permanece não resolvido, inclusive quando a dinâmica do sistema é completamente conhecida.

Assim, objetivando-se a implementação de controladores de alto desempenho para certas classes de sistemas não-lineares desconhecidos, na última década vários pesquisadores têm direcionado sua investigação para a abordagem neural [1-3]. Basicamente, este interesse é motivado pela capacidade de aproximação universal das redes neurais artificiais (RNA) [4,5] o que viabiliza que não-linearidades desconhecidas na planta possam ser substituídas por RNA, simplificando desta forma o problema de parametrização.

Embora inicialmente a maior parte da pesquisa sobre controle neural fosse de natureza empírica, ultimamente, objetivando-se resultados teóricos sobre estabilidade, têm sido desenvolvidos esquemas de controle para determinadas classes de sistemas não-lineares baseados na teoria de estabilidade de Lyapunov (vide por exemplo [3]). Assim, inicialmente em [6] foi proposto um esquema de controle baseado em várias classes de RNA supondo-se acesso total ao estado e sistemas SISO linearizáveis por realimentação. Em [7,8] foram desenvolvidos esquemas de controle neural adaptativo indireto e direto para sistemas não-lineares mais gerais que em [6], porém foram assumidas certas restrições sobre as não-linearidades desconhecidas, acesso total aos estados e que o número de entradas é igual à ordem do sistema. Neste sentido, objetivando-se a aplicação a casos mais gerais, em [9,10] foram propostos esquemas

de controle adaptativo relaxando-se a necessidade de que o número de entradas seja igual à ordem do sistema.

Contudo, a principal deficiência de todos estes trabalhos está em que são consideradas classes de sistemas não-lineares afins (i.e., o sinal de controle aparece linearmente na equação de estados) e é assumido que todos os estados estão disponíveis para medições, assunções restritivas que em geral não se verificam para sistemas não-lineares.

Assim, neste trabalho é proposto um controlador por realimentação de saída (i.e., não é necessário medir todos os componentes do vetor de estado) para sistemas não-lineares gerais desconhecidos. Mais exatamente, empregando-se um observador adaptativo similar ao proposto pelos autores em [11], um controlador é projetado para forçar os estados do sistema a rastrear uma trajetória de referência limitada. Usando-se a teoria de estabilidade de Lyapunov é provado que o erro de rastreamento é limitado, bem como todos os sinais em malha fechada.

As seguintes notações são usadas no artigo.ℜdenota os números reais, ℜⁿdenota os vetores reais de dimensão n, ℜ^nxmdenota as matrizes reais de dimensão nxm, o valor absoluto é denotado por ⋅. A norma euclidiana de um vetor c∈ℜⁿé denotada por c , se

A∈ℜnxm então

AF denota a norma de Frobenius e é definida por ^{A a tr}

{ }

^ATA

ij 2 ij 2

F^:=

∑

= ^{onde tr}

^{}

^{. denota} o traço de uma matriz. A norma x_∞ é definida como

( )

^t

x x

0 t≥

∞:=sup . ^B

( )

^{M :=}

{

^{x: x ≤M}

}

denota uma bola de raio M, λmax

()

^{⋅ e} λmin

()

^⋅ denotam o maior e o menor autovalor de uma matriz. L denota o espaço de_∞ funções Lebesgue integráveis com supremo essencial finito.

2. Formulação do problema

Considere o problema de projeto de um controlador por realimentação da saída para sistemas não-lineares gerais desconhecidos, representados por

( )

^{t f}

(

^χ

( ) ( )

^{t ,ut}

)

χ = (2.1)

( )

^{t h}

( ( ) ( )

^{t ut}

)

y = χ , (2.2)

onde χ∈ℜⁿ é o estado do sistema (não disponível para medições), u∈ℜ^m é a entrada de controle,

∈

y ℜ^q é a saída do sistema e f ,h são campos vetoriais desconhecidos, sendo lineares em seus argumentos e satisfazendo localmente a condição de Lipschitz.

O objetivo do controle consiste em forçar os estados do sistema a rastrear uma trajetória de referência limitada xr

( )

t ∈ℜⁿque pode ser expressa por

( )

r

(

r r

)

r t f x u

x = , (2.3)

onde u_r é uma entrada de referência e f_r é linear com respeito a seus argumentos e satisfaz localmente a condição de Lipschitz.

Objetivando-se parametrizar convenientemente o sistema (2.1)-(2.2) são empregadas redes neurais artificiais lineares nos pesos (RNALP). RNALP foram inicialmente usadas por Polycarpou et alli [6] para identificação e controle estável de sistemas não-lineares, e incluem uma ampla classe de topologias tais como high order neural networks, RBF networks, adaptive fuzzy system, wawelet networks, multilayer neural networks sob algumas assunções, etc (vide por exemplo [6,12]). Em geral tais redes são descritas matematicamente por

( )

^xu

WS

y= , (2.4)

onde x∈ℜⁿe u∈ℜ^m são os vetores de entrada, y∈ℜpé o vetor de saída, W∈ℜ^pxL, L≥n+m é a matriz de pesos, S:ℜ^n+m ℜ^Lé uma função vetorial não-linear das entradas à rede pré-processadas por uma função s(.) sigmoidal. Adicionalmente, se a rede considerada satisfaz a condição de aproximação universal e a condição de regularidade e L é selecionado adequadamente, pode ser provado (vide [6,12] para maiores detalhes), que ela pode aproximar, com qualquer grau de precisão, funções não-lineares e sistemas dinâmicos contínuos. É importante ressaltar que em geral o erro de aproximação diminui conforme L aumenta.

Somando e substraindo-se A e Cy , as equaçõesχ (2.1)-(2.2) pode ser expressas como

( )

^{t A}χ

( )

^{t Du}

( ) ( )

^{t g} χ^,u

χ = + +

( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( )

(

^u

)

^{d y}

( )

⁰

h C

d u u g t y

t

0 t

0

+ +

=

∫

∫

τ τ τ χ

τ τ τ τ χ

, ,

,

(2.5) (2.6)

onde A:=diag

( )

−ai e ^C:=diag

( )

^{−cj com ai,cj >0}

para i=1,2, ...,n e j=1,2, ...,q, D∈ℜ^nxm,

( ) ( )

^{u f u A Du}

g χ^{, :}= χ^, − χ− ^,

( ) ( ) ( ) ( )

^{u Ch}

( )

^u

u u u h

u f u h

u

g , ,

, , : ,

, χ χ χ

χ

χ χ −

∂ +∂

∂

= ∂

. As equações (2.5)-(2.6) podem ser rescritas usando- se RNALP como

( )

^t =^Aχ

( )

^t +^Du

( )

^t +^BW∗S

( ) ( )

χ,^u +^vt

χ

( ) ( ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) )

( ) ( ) (

^{χτ τ}

)

^τ

τ τ τ τ τ χ

d u h C

d v u u S W B t y

t

0 t

0

∫

∫

+

+

= ^∗

, ,

,

(2.7) (2.8)

onde ^g

( )

^{χ,u =BW∗S}

( ) ( )

^{χ,u +vt , g}

(

^χ,u,u

)

⁼

(

^{u u}

) ( )

^vt

S W

B ^∗ χ, , + ^{, v}

( )

^{t e v}

( )

^t são vetores de erros de aproximação limitados, isto é, v

( )

t ≤v0 ^e

( )

t v0

v ≤ para algumas constantes positivas v e ₀ v ,₀

L m

S:ℜn⁺ ℜ e S:ℜ^n+2mℜ^Lconforme definidas em (2.4), B:=diag

( )

bi e ^B:=diag

( )

^{bi com bi,bi≠0}

para i=1,2, ...,n, são matrizes diagonais de projeto necessária para aprimorar as estimativas, W^∗∈ℜ^nxL e

L

W^∗∈ℜqx (requeridas unicamente para fins analíticos) são matrizes constantes “ótimas”, que, similarmente a [6], podem ser definidas como

( )

( ) ( )













−

=

∈∈ℵ

∈

∗ g u BWS u

W

u M B W

ˆ , , sup min arg :

ˆ χ χ

χ u

( )

( ) ( )













−

=

∈∈ℵ

∈

∗ g u WS u u

W

M u B W

, ˆ , , sup min arg :

ˆ χ χ

χ u

onde Wˆ e Wˆ são estimativas das matrizes W e ^∗ W .^∗ Com base em (2.7)-(2.8), podem ser escolhidos os seguintes modelos para identificação

( )

^{t Ax}

( )

^{t Du}

( )

^{t BWS}

( )

^xu

xˆ = ˆ + + ˆ ˆ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{d y}

( )

⁰

y C

d u u x S W B t y

t

0 t

0

ˆ ˆ

, ˆ , ˆ ˆ

+ +

=

∫

∫

τ τ

τ τ τ τ

τ

(2.9) (2.10)

Considerando-se (2.7)-(2.10), a dinâmica das equações de erro é regida por

( )

^{t Ax BWS}

( ) ( ) ( )

^{xu t vt}

x = ~+ ~ ˆ, +ω −

~

( )

^{t Cy BWS}

(

^{xu u}

) ( ) ( )

^{t v t}

y = ~+ ~ ˆ, , +ω −

~

(2.11) (2.12) onde x~:=xˆ−χ, y~:= yˆ−y, W~:=Wˆ −W^∗ ,

− ∗

=W W W~: ˆ

, ^ω

( )

^{t :}=^BW∗

(

^S

( ) ( )

^xˆ,u −^{S χ,u}

)

^e

( )

^{t : BW}

(

^S

(

^xˆ,u,u

) (

^{S χ,u,u}

) )

ω = ^∗ − são termos de

distúrbios limitados (devido às funções sigmoidais).

Mais precisamente, ω

( )

t ≤ω0 ^e ω

( )

t ≤ω0 ^para

algumas constantes ω₀ ^e ω0 positivas.

Definindo-se o erro de rastreamento como xr

x

e= − , decorre

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

^{t Du}

( )

^{t BW S v}

( )

^{t x}

( )

^t

A

t x u g t Du t A

t x t t e

r r r

− + +

+

=

− +

+

=

−

=

χ ∗

χ χ

χ

,

(2.13) Também, a equação (2.3) pode ser rescrita como

( )

^{t Ax}

( )

^{t BW S v}

( )

^t

x_r = _{r r} + _{r r}^∗ _r + _r

(2.14) onde Ar :=diag

(

−ari

)

, Br :=diag

( )

bri , a_ri >0 com i=1,2, ...,n, W_r^∗∈ℜ^nxLr, Sr:ℜ^n+mr ℜ^Lr e

( )

r0

r t v

v ≤ para alguma constante positiva

v

_r0. Com base em (2.14), um observador pode ser escolhido como

( )

r r

( )

r r r

r t A x t BW S

xˆ = ˆ + ˆ

(2.15) e conseqüentemente a equação de erro satisfaz

( )

^{t Ax}

( )

^{t BW S v}

( )

^t

x_r = _r~_r + _r ~_{r r} − _r

~

(2.16) Substituindo-se (2.14) em (2.13), resulta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

^{t Du}

( )

^{t BW S BW S}

( )

^t

Ae

t v t v

x S W B S BW t Du t Ae

t v S W B

t x A t v S BW t Du t x A t e

r r r r

r r r r r

r r r

r r

κ

∆ +

− +

+

=

− +

+

− +

+

=

−

−

− + +

+

=

∗

∗

∗

∗

∗

ˆ ∗

(2.17) onde ∆=A−A_r, κ

( )

t =∆xr −vr e por conseguinte

( )

t κ0

κ ≤ para alguma constante positiva κ₀. Selecione agora o controle como

r r r 1

1BWS D B W S

D

u=− ⁻ ˆ + ⁻ ˆ ^(2.18)

Então, substituindo-se a equação (2.18) em (2.17), obtém-se a equação do erro de rastreamento em malha fechada,

( )

^{t Ae}

( )

^{t BW S}

( )

^t

e = + _r~_{r r}+κ

^(2.19)

ondeκ

( )

^t :=ωr

( ) ( )

^t +κ ^t , ^ωr

( )

^{t :=B}

(

^W∗S

( )

^{χ,u −WˆS}

( )

^xˆ,u

)

^e,

por conseguinte, κ

( )

t ≤κ0 para alguma constante positiva κ₀^.

3. Análise de estabilidade

Nesta seção é provada a estabilidade do sistema de controle proposto. Mais especificamente, empregando- se a teoria de estabilidade de Lyapunov é provado que todos os sinais em malha fechada são limitados. A estrutura do controlador proposto é mostrada na fig. 3.1.

Teorema:

Considere os sistemas dinâmicos gerais descritos por (2.1)-(2.2), os modelos para identificação (2.9)-(2.10), as seguintes leis de adaptação para os pesos das RNALP

( ) ( )

( )

i i

i i

i i

i

w K u x y y

u x y y u x S K w

, ˆ ,ˆ ˆ,

ˆ, , ˆ, ˆ, ˆ

ϕ σ

ϕ

−

− =

, for i=1,2, ...,n

( )

j j j j

j j

j

w K y

y u u x S K w

~ ˆ , ~ ˆ, ˆ

σ

−

−

=

, for j=1,2, ...,q

( )

ri ri ri ri

ri r r ri ri

w K x

x x S K w

~ ˆ ˆ ~

σ

−

− =

, for i=1,2, ...,n

(3.1)

(3.2)

(3.3)

e o controlador por realimentação da saída

( ) ( )

r r r

( )

r

1

1BWS xu D BW S x

D t

u =− ⁻ ˆ ˆ, + ⁻ ˆ ^(3.4)

onde, K_i =K_i^T >0∈ℜ^LxL, Kj =K^Tj >0∈ℜ^LxL,

r rxL L T

ri

ri K 0

K = > ∈ℜ ^, σ_i^,σ_j >0∈ℜ^,

[

1 2 n

]

^Lxn

T w w w

Wˆ = ˆ ˆ ˆ ∈ℜ ^,

[

^{1 2 q}

]

^Lxq

T w w w

Wˆ = ˆ ˆ ˆ ∈ℜ ,

[

r1 r2 rn

]

^Lxn

T

r w w w ^r

Wˆ = ˆ ˆ ˆ ∈ℜ ^{e ϕ}

()

^{. ∈ℜn é uma}

função vetorial possivelmente não-linear selecionada tal que J = ε

( )

τ _∞≤ε0 , onde ^ε

( )

^{t :=Bx~}

( ) ( )

^{t −ϕ t é o erro}

de reconstrução do erro de estado e ε₀ ≥0 é alguma constante pequena.

Então, x x_r e W W W~_r ,

~

~, ,

~,

~ , e y~∈L_∞.

Fig. 3.1- Estrutura do controlador neural proposto.

Prova:

Usando-se as equações de erro (2.9)-(2.10), e um argumento de prova igual àquele empregado em [11], pode-se concluir que x W W~

~,

~ , e ~y∈L_∞.

Objetivando-se provar a estabilidade de x~ e _r W~_r , considere a função positiva definida

( )

_^









 +

=

∑

= n − 1 i

ri 1 ri T ri r

T r r

r x x w K w

2 W 1 x

V ~ ~ ~ ~ ~

~ , (3.5)

Derivando-se (3.5) em relação ao tempo, obtém-se

( )

∑

=

+ −

= ⁿ

1 i

ri 1 ri T ri ri

rix w K w

x

V ~ ~ ~ ~ (3.6)

Avaliando-se (3.6) ao longo das trajetórias (2.16) e (3.3), resulta

( )

[

[ ]

 +

− +

− +

−

≤

−

−

− +

−

=

∗

=

=

∑

∑

ri ri ri ri 2 ri ri ri ri ro n

1 i

ri ri ri 0 r 2 ri ri

ri T ri ri ri ri ri n

1 i

ri r T ri ri 2 ri ri

w w x w

x x

v

x w 1 b S x a

w w x x

v

x S w 1 b x a V

~

~

~

~

~

~

~

~

~ ˆ

~

~

~

~

~

σ σ

σ

(3.7)

onde Sr

(

xr

( ) ( )

t,ur t

)

≤Sr0 para alguma constante positiva S e foi usada a seguinte desigualdade,_ro

+ ∗

−

≤

−w~^Tw~ w~ ² w~ w .

( )

^t

Du

( )

^t

x_r

()

⋅ S

B Wˆ

∫

A

()

⋅

S

∫

Wˆ

C

( )

^t

u

( ) ( )

^{t ut}

u , ^{B y}

( )

^t

()

^⋅

ϕ

( )

^t

y~

( ) ( ) ( )

^{t yt ut}

y ,ˆ ,

( )

^t

xˆ

( )

^t

yˆ

( )

^t

xˆ

( )

^t

xˆ

()

⋅

Sr

∫

Wˆr

A_r

( )

^t

u_r ^xr

( )

^t

Br

( )

^t

x_r

~

( )

^t

xˆ_r

Completando-se o quadrado em (3.7), advém

[

( )







 + +

+ −















 − +

−

−

−

≤

∗

∗

∑

=

0 r ri

2 ri ri ri

0 r

2

ri ri ri ri

0 r ri ri n

1 i

ri ri ri

4 v

w 1

b S

2

w 1 b S w

x a x V

σ σ

σ σ ~ σ

~ ~

(3.8)

A partir de (3.8), obtém-se as condições para V≤0,

( )

∑

=

∗















 − +

+

≥ ⁿ

1

i ri

2 0 r ri ri

0 r ri

ri 0 2 r 1

r 4

w 1 b S a

1 a

v x n

σ σ

min min

~

ou

( )

n 2 1 v i

4

w 1

b S

2

w 1

b S w

2 1

ri 0 r 2

ri

2 ri ri ri

0 r

ri ri ri ri

0 r ri

.., , ,

~

=

















+ + + −

+

≥ −

∗

∗

σ σ σ σ

σ

onde

( )

∑

=

∗















 − +

+

n

1

i ri

2 0 r ri ri

0 r ri

ri 0 2 r 1

4 w 1 b S a

1 a

v n

σ σ

min min

,

( )

²¹

ri 0 r 2

ri

2 ri ri ri

0 r ri

ri ri ri

0

r v

4

w 1 b S 2

w 1 b S

















+ + + −

+

− ^{∗ ∗}

σ σ σ σ

σ

para i=1,2, ..,n, são constantes positivas.

Conseqüentemente, x_r W~_r ∈L_∞

~ , e de (2.19) tem-se que e∈L_∞.

Por outro lado, de (3.4) seque que u,u∈L_∞, onde u pode ser calculado a partir de

( ) ( ) ( )

( ) ( )

_^

 + +



 +

−

=

−

−

r r r r r r r 1 1

x S W x S W B D

u x S W u x S W B D t u

ˆ ˆ

ˆ, , ˆ

ˆ ˆ (3.9)

v

Comentários:

3.1- Para o ajuste dos pesos Wˆ , Wˆ_r e Wˆ poderiam ter sido empregadas diversas leis de adaptação robustas (ou modificações) presentes na literatura [13,14].

Entretanto, conforme mostrado em [15], leis de adaptação com comutação podem ser de difícil aplicação e desempenho inferior quando comparadas com leis de adaptação sem comutação.

Conseqüentemente, objetivando-se garantir estabilidade e desempenho conveniente, são empregadas leis de adaptação tipo e-modification [14] com funções de realimentação apropriadamente definidas (vide função ϕ_i, o erro de saída y~_{j e o} erro ~ nas equações (3.1)-(3.3)).x_ri

3.2- Em muitos casos, as funções de realimentação ϕ_i podem ser definidas usando-se combinações lineares dos erros das saídas para obter estimações satisfatórias (i.e. ^{ϕ =Λ}

(

^yˆ−y

)

^{onde Λ∈ℜqxn e}

[

ϕ1 ϕ2 ϕn

]

^T

ϕ= ) [11]. Contudo, em alguns

casos em que estimações mais precisas sejam requeridas, esforços adicionais terão que ser feitos para se selecionar funções de realimentação que possibilitem melhor desempenho. Assim, se os campos vetoriais do sistema são completamente desconhecidos, então será necessário um procedimento de tentativa e erro para a escolha das funções de realimentação convenientes. Por outro lado, se os campos vetoriais do sistema são conhecidos, então as funções de realimentação

“ótimas” pode ser facilmente selecionadas a partir das equações dinâmicas do sistema. É importante ressaltar que uma escolha inadequada das funções de realimentação unicamente afeta a precisão das estimativas, i.e., a estabilidade é sempre garantida.

3.3- Em [11] foi investigado o impacto do uso das funções de realimentação nas leis de adaptação para os pesos. Basicamente, definido-se um erro de reconstrução do erro de estado foi provado que a magnitude do erro de estado é proporcional à magnitude dos erros de aproximação, distúrbios limitados e erros de reconstrução dos erros de estado. Para maiores detalhes, vide [11].

4. Conclusões

Neste artigo foi proposto um controlador neural por realimentação da saída para o problema de rastreamento de sistemas não-lineares gerais desconhecidos. O observador proposto em [11] foi utilizado para a geração do sinal de controle. Usando-se a teoria de estabilidade de Lyapunov, foi provado que todos os sinais em malha fechada são limitados.

Agradecimentos

Os autores agradecem à FAPESP-Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, processo 98/01449-0, e ao CNPq processo 300158/95-5, pelo suporte financeiro.

Referências

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[5] K. Funahashi & Y. Nakamura “Approximation of Dynamical Systems by Continuous Time Recurrent Neural Networks,” Neural Networks, Vol. 6, pp.

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[8] G. A. Rovithakis & M. A. Christodoulou, “Direct Adaptive Regulation of Unknown Nonlinear Dynamical Systems via Dynamic Neural Networks,” IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Vol. 25, No. 12, pp. 1578-1594, December 1995.

[9] G. A. Rovithakis & M. A. Christodoulou, “Neural Adaptive Regulation of Unknown Nonlinear Dynamical Systems,” IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Vol. 27, No. 5, pp.

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[10] G. A. Rovithakis, “Tracking Control of Multi-Input Affine Nonlinear Dynamical Systems with Unknown Nonlinearities Using Dynamical Neural Networks”, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics- Part B: Cybernetics, Vol. 29, No.

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[11] J.A.R. Vargas & E.M. Hemerly, “Adaptive Observers for Unknown General Nonlinear Systems”, submitted to IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 2000.

[12] E. B. Kosmatopoulos; M. M. Polycarpou; M. A.

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[15] J.A.R. Vargas, “Identification of Dynamical Systems via Artificial Neural Networks (in Portuguese),” M.S. dissertation, ITA, São José dos Campos, São Paulo, Brazil, 1997.