KLEBER DAUM MACHADO. 13 de setembro de 2021

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KLEBER DAUM MACHADO 13 de setembro de 2021

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Lista de Figuras 5

Lista de Tabelas 7

1 Introdu¸c˜ao ao Formalismo Lagrangeano 9

1.1 Conceitos Iniciais . . . . 9

1.2 Princ´ıpio de D’Alembert . . . . 15

1.3 Equa¸c˜oes de Lagrange . . . . 31

1.4 Extens˜ao das Equa¸c˜oes de Lagrange . . . . 38

1.4.1 Energia Potencial Generalizada . . . . 38

1.4.2 Fun¸c˜ao Dissipa¸c˜ao de Rayleigh . . . . 42

1.5 Exemplos de Aplica¸c˜ao das Equa¸c˜oes de Lagrange . . . . 44

1.6 Momento Canˆonico e Coordenadas C´ıclicas . . . . 66

1.7 Fun¸c˜ao Energia . . . . 71

1.8 Exerc´ıcios . . . . 81

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1.1 Uma esfera que se move seguindo a curva descrita por um arame liso de

formato parab´olico . . . . 10

1.2 Um objeto situado no topo da lateral de um cilindro com eixo horizontal 12 1.3 Disco rolando sem deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal . . . . 13

1.4 Um pˆendulo simples . . . . 14

1.5 Part´ıcula sobre uma mesa horizontal sem atrito movendo-se sob a a¸c˜ao de uma mola . . . . 27

1.6 Um oscilador harmˆonico simples . . . . 44

1.7 Um pˆendulo esf´erico . . . . 47

1.8 Uma m´aquina de Atwood elementar . . . . 49

1.9 Um arame de formato parab´olico que serve de guia para um anel que desliza sem atrito preso a ele . . . . 54

1.10 Um sistema formado por um disco girante e um objeto fixado `a borda do disco . . . . 56

1.11 Grandezas relevantes da figura 1.10 no planoxy . . . . 57

1.12 Um objeto de massamcaindo em queda livre . . . . 64

1.13 Ilustra¸cão de uma varia¸cão infinitesimal da coordenadaq_k que representa uma transla¸cão r´ıgida do sistema . . . . 69

1.14 Um objeto movendo-se vinculado a seguir uma certa curva num plano vertical. . . . 78

1.15 Rota¸c˜ao r´ıgida infinitesimal feita em torno de um eixo fixo num dado sistema. . . . 82

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(9)

1

Introduc ¸˜ ao ao Formalismo Lagrangeano

N

este cap´ıtulo iniciamos o estudo do formalismo lagrangeano, apresentando conceitos e defini¸c˜oes iniciais necess´arias ao desenvolvimento deste formalismo.

1.1 Conceitos Iniciais

Até agora, todos os problemas que investigamos foram abordados por meio do formalismo newtoniano, que parte do princ´ıpio de que as três leis de Newton são válidas e, particularmente, considerando uma part´ıcula i, de massa mi, velocidade~vi e momento linear~pi=mi~vi, que é observada por um referencial inercial (RI), a for¸ca resultanteF~isobre essa part´ıcula está ligada à taxa de varia¸cão do momento linear por

F~_i= d~pi

dt (1.1)

A equa¸cão (1.1) é uma equa¸cão diferencial e, em princ´ıpio, ao escrever as for¸cas que compõem a for¸ca resultante sobre a part´ıculai, ou seja, o lado esquerdo da equa¸cão, obtemos uma equa¸cão diferencial que poderia ser resolvida por algum método de resolu¸cão, ainda que não necessariamente anal´ıtico. No caso de um sistema de part´ıculas, conforme vimos no cap´ıtulo ??, podemos escrever

F~_i^ext+X

j6=i

F~_ij^int= d~p_i

dt (1.2)

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onde F~_iêxt é a for¸ca resultante agindo sobre a part´ıculai causada por agentes externos ao sistema, e F~_ijînté a for¸ca resultante produzida pela part´ıculaj sobre ai, de modo que está ligada aos agentes internos ao sistema de part´ıculas. Na equa¸cão (1.2), a somatória se estende sobre todas as part´ıculas do sistema, exceto sobre a própria part´ıcula i. No caso bastante comum em que as part´ıculas tem massasmi constantes, a equa¸cão (1.2) torna-se

mi

d²~r_i

dt² =F~_i^ext+X

j6=i

F~_ij^int (1.3)

onde~r_ié a posi¸cão da part´ıculai. Supondo que hajaNpart´ıculas no sistema, as equa¸cões (1.3) formam um conjunto deN equa¸cões diferenciais acopladas, cuja complexidade matemática pode ser grande e que, à primeira vista, poderiam ser resolvidas de algum modo anal´ıtico exato ou aproximado ou, ainda, de forma numérica. Assim, aparentemente, exceto por uma questão puramente operacional, envolvendo métodos de resolu¸cão de equa¸cões diferenciais, todos os problemas mecânicos poderiam ser investigados por meio do formalismo newtoniano. Entretanto, isso não é realmente verdade. Para ilustrar isso, considere um problema que parece ser relativamente simples. A figura 1.1 apresenta um arame disposto de forma que segue uma forma parabólica, dada pela equa¸cão

y=ax² (1.4)

ondeaé uma constante. O arame está num plano vertical, estático, e uma pequena esfera de massamconstante está sujeita a se mover seguindo a curva descrita pelo arame, e há um campo gravitacional no local produzido pela Terra. Por hipótese, o arame é bem lubrificado, então não há atrito entre o arame e a esfera.

x m

y=ax² y

Figura 1.1: Uma esfera que se move seguindo a curva descrita por um arame liso de formato parab´olico.

Como não há atrito neste problema, sobre a esfera agem duas for¸cas, a for¸ca gravitaci- onalF~_gproduzida pela Terra, responsável pelo peso da esfera, e que age na dire¸cão vertical, e uma for¸ca F~arame produzida pelo arame sobre a esfera, e que age na dire¸cão normal ao arame, no plano (xy). Com isso, da equa¸cão (1.1), temos

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md²~r

dt² =F~_g+F~_arame (1.5)

onde~r´e a posi¸c˜ao da esfera, e, neste caso, temos, em coordenadas retangulares,

~

r=xˆı+yˆj (1.6)

A for¸ca gravitacional ´e conhecida e pode ser escrita como

F~g=−mgˆj (1.7)

ondegrepresenta o módulo da acelera¸cão gravitacional no local. A for¸ca exercida pelo arame, por outro lado, não é conhecida. Poder´ıamos tentar escrevê-la como

F~arame=Farame,xˆı+Farame,yˆj (1.8) de modo que, inserindo as equa¸cões (1.6)–(1.8) em (1.5), e separando as componentes esca- lares, ter´ıamos duas equa¸cões diferenciais. Estas equa¸cões diferenciais não podem ser resolvidas pois não conhecemos a for¸ca exercida pelo arame. Além disso, outro problema é que as coordenadasxey não são independentes entre si, visto que estão conectadas durante o movimento pela equa¸cão (1.4), que descreve a curva definida pelo arame. Este problema, aparentemente simples, não pode ser resolvido no formalismo newtoniano e ilustra dois pontos importantes que devem ser levados em conta na análise de um problema. Primeiro, a existência de for¸cas não conhecidasa priori, como é o caso da for¸ca exercida pelo arame, e que são conhecidas como for¸cas de v´ınculo. Segundo, a existência de rela¸cões entre coordenadas supostamente independentes, e que de fato não são, ou seja, de v´ınculos entre coordenadas.

Podemos dar outros exemplos de v´ınculos que aparecem em problemas mecˆanicos. No caso de um corpo r´ıgido, o v´ınculo de corpo r´ıgido implica que as distˆancias relativas entre dois pontos do corpo devem se manter constantes durante o movimento do corpo r´ıgido, o que pode ser representado matematicamente por

|~r_i−~r_j|²=a_ij (1.9)

ondeaij são constantes e~rie~rjrepresentam as posi¸cões dos pontosiejdo corpo r´ıgido em rela¸cão a um dado sistema de coordenadas. Note que nem~ri, nem~rj, e nem o vetor~ri−~rj

são grandezas necessariamente constantes num movimento genérico de um corpo r´ıgido, mas o módulo de~ri−~rj, que dá a distância entre os pontos iej pertencentes ao corpo r´ıgido, não varia durante o movimento.

Outro exemplo interessante envolvendo v´ınculos consiste no seguinte problema. Um cilindro de raioR e alturahestá disposto de forma que seu eixo está na dire¸cão horizontal, sendo paralelo ao chão. Um objeto de massam constante está situado no topo da lateral do cilindro, conforme ilustra a figura 1.2. Por hipótese não há atrito entre o cilindro e o objeto, que pode ser considerado como pontual para o estudo do movimento que se segue.

Num dado instante, o objeto é ligeiramente perturbado de sua posi¸cão inicial, e come¸ca a descer pela superf´ıcie lateral do cilindro até chegar a um dado ponto em que perde contato com ele, movendo-se, a partir desse ponto, sem estar em contato com o cilindro.

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R m

Figura 1.2: Um objeto situado no topo da lateral de um cilindro com eixo horizontal.

Enquanto o objeto está em contato com o cilindro há uma for¸ca exercida pelo cilindro sobre ele, que usualmente é chamada de rea¸cão normal. Essa for¸ca é sempre perpendicular

`

a superf´ıcie lateral do cilindro, já que não há atrito, e é uma for¸ca de v´ınculo, de valor desconhecidoa priori. Se definirmos comoρa distância entre o objeto e o eixo do cilindro, então o movimento tem uma equa¸cão de v´ınculo dada por

ρ²>R² (1.10)

onde o sinal de igualdade vale enquanto houver contato entre os dois objetos, e, a partir da´ı, vale o sinal de desigualdade.

V´ınculos podem ser classificados de acordo com algumas de suas propriedades. Con- sidere que um dado v´ınculo possa ser escrito na forma de uma equa¸c˜ao envolvendo as coordenadas~r_i das part´ıculas e, eventualmente, do tempo, ou seja, algo como

f(~r1, ~r2, . . . , ~rN;t) = 0 (1.11) Note que, na expressão (1.11), temos uma equa¸cão, e não uma inequa¸cão, que envolve apenas as coordenadas das part´ıculas, e eventualmente o tempo, e não envolve velocidades.

V´ınculos desse tipo são chamados holonômicos, e são bastante importantes do ponto de vista de formalismo fundamental. Os v´ınculos apresentados na equa¸cões (1.4) e (1.9) são v´ınculos holonômicos.

V´ınculos que não podem ser colocados na forma (1.11) são ditos não-holonômicos.

Assim, v´ınculos que envolvem desigualdades, ou que envolvem as velocidades das part´ıculas, são v´ınculos não-holonômicos. Um exemplo é o v´ınculo descrito em (1.10), que envolve uma desigualdade. Outro exemplo de v´ınculo não-holonômico é o que aparece no seguinte problema. Considere um disco homogêneo de raio R que se move sobre uma superf´ıcie horizontal de forma que o plano do disco é sempre vertical. O disco rola sobre a superf´ıcie sem deslizar. Definindo eixos x ey sobre a superf´ıcie horizontal, de modo que o eixo z é vertical, o disco tem um versor normal à sua superf´ıcie que está sempre no plano (xy), e que faz um ânguloθ com o sentido positivo do eixox, medido no sentido anti-horário, de modo que, quandoθ= 0, o versor normal ao disco corresponde ao versorˆı. A velocidade do centro de massa do disco também está sempre no plano (xy) e é perpendicular ao versor normal à superf´ıcie do disco. Além disso, o disco gira em torno de seu eixo, de modo que o ângulo com que ele gira com rela¸cão a alguma posi¸cão inicial pré-definida valeα. A figura (1.3) ilustra

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as grandezas relevantes para esse problema.

a

q x y

z

v R

Figura 1.3: Disco rolando sem deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal.

Da figura (1.3), podemos escrever

˙

x=vsenθ (1.12a)

˙

y=−vcosθ (1.12b)

Além disso, temos uma rela¸cão entre a velocidade angular do disco e o módulo da velocidade linear, dada por

v=Rα˙ (1.13)

Usando (1.13) em (1.12), achamos

˙

x=Rsenθα˙ (1.14a)

˙

y=−Rcosθα˙ (1.14b)

Note que as equa¸cões (1.14) envolvem as velocidades do objeto, e não estão na forma dada pela equa¸cão (1.11). Note ainda que não é poss´ıvel resolver estas equa¸cões porque não há uma rela¸cão funcional expl´ıcita entreαe as outras coordenadasxey.

Os v´ınculos também podem ser classificados quanto à dependência temporal expl´ıcita.

V´ınculos em que não há dependência temporal expl´ıcita são ditos escleronômicos, e os v´ınculos dados em (1.4), (1.9), (1.10) e (1.14) são todos escleronômicos. Quando há de- pendência temporal expl´ıcita na equa¸cão de v´ınculo, ele é chamado reonômico. Um exemplo desse tipo de v´ınculo consiste em considerar que o arame apresentado na figura (1.1), ao invés de estar estático, poderia girar em torno do eixoy, enquanto a esfera continua tendo seu movimento sujeito à restri¸cão de estar em contato com o arame. O giro do arame pode ser descrito por alguma fun¸cão do tempo, e a curva que descreve o arame apresenta, então,

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dependência temporal expl´ıcita, e o v´ınculo passa a ser reonômico. Note que, neste caso, ele ainda continua sendo um v´ınculo holonômico.

Conforme dissemos, a existência de v´ınculos gera duas complica¸cões. Temos coordenadas ~ri que não são todas independentes entre si, e a for¸cas de v´ınculo não são, em geral, conhecidas antes da resolu¸cão do problema, sendo, na verdade, parte da solu¸cão. A primeira questão pode ser resolvida introduzindo novas coordenadas que são, por hipótese, independentes entre si. Tais coordenadas são chamadas coordenadas generalizadas e serão representadas porqj, ondej= 1, . . . , n, en=DN−k, sendoN o número de part´ıculas do sistema,Da dimensionalidade do problema eko número de v´ınculos holonômicos existentes.

O parâmetroné o número de graus de liberdade do sistema, e, para v´ınculos holonômicos, as ncoordenadas generalizadasqj de fato são independentes entre si. Quando há v´ınculos não- holonômicos, ainda é poss´ıvel introduzir coordenadas generalizadasqj, mas nem todas serão independentes entre si, e o problema necessitará da ideia de multiplicadores de Lagrange para ser resolvido, o que veremos na se¸cão (??). Em termos das coordenadas generalizadas q_j, as coordenadas~r_i,i= 1, . . . , N, podem ser escritas como

~r₁=~r₁(q₁, q₂, . . . , q_n;t) (1.15a)

~r2=~r2(q1, q2, . . . , qn;t) (1.15b) ... =...

~

rN =~rN(q1, q2, . . . , qn;t) (1.15c) As equa¸cões (1.15) são equa¸cões de transforma¸cão de coordenadas e, por hipótese, podem ser invers´ıveis. Além disso, as coordenadas generalizadasqj não necessariamente são componentes de vetores ou formam vetores, nem têm necessariamente dimensão de comprimento, ao contrário das coordenadas ~ri. Por exemplo, considere um pêndulo simples, como o da figura (1.4), formado por uma barra de comprimento l constante que tem, em uma extremidade, um objeto de massa m constante e que pode ser considerado como pontual tendo em conta as dimensões envolvidas. A outra extremidade da barra é fixada num ponto de sustenta¸cão.

m x q l

y

Figura 1.4: Um pˆendulo simples.

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As coordenadasxey, que formam o vetor posi¸cão do objeto de massam em coordenadas retangulares bidimensionais, não são independentes entre si pois há um v´ınculo entre elas, que pode ser escrito na forma

x²+y²=l² (1.16)

Note que (1.16) é um v´ınculo do tipo holonômico, pois está na forma dada pela equa-

¸cão (1.11). Neste caso, temosD= 2,N = 1,k= 1 e n= 2×1−1 = 1. Assim, precisamos de uma coordenada generalizada, que é a representada pelo ângulo θ que a barra faz com o eixo vertical, de modo que q1 =q=θ. Em termos deθ, as coordenadasxey podem ser escritas como

x=lsenθ (1.17a)

y=lcosθ (1.17b)

que s˜ao as equa¸c˜oes (1.15) para esse caso. Note que nesse exemplo em particular as equa-

¸c˜oes (1.17) n˜ao envolvem o tempo explicitamente.

A introdu¸cão de coordenadas generalizadasqj resolve, em princ´ıpio, a questão de termos coordenadas independentes e não relacionadas entre si por v´ınculos. Como já dissemos, para v´ınculos holonômicos isso é sempre poss´ıvel, e para não-holonômicos veremos posteriormente como isso pode ser resolvido. A segunda questão levantada anteriormente foi a existência de for¸cas de v´ınculo não conhecidasa priori. Gostar´ıamos, então, de desenvolver uma formula¸cão em que essas for¸cas não apare¸cam, de modo que apenas as for¸cas conhecidas e que podem ser expressas por alguma equa¸cão entrem no desenvolvimento das equa¸cões de movimento. Vamos estabelecer essa formula¸cão de duas formas distintas. A primeira forma usa a ideia de trabalho virtual, e é um princ´ıpio diferencial. A segunda forma usa a ideia do princ´ıpio de Hamilton, ou princ´ıpio de m´ınima a¸cão, e é um princ´ıpio integral. Neste cap´ıtulo desenvolvemos a primeira forma, e no próximo discutimos a segunda. O próximo passo agora é introduzir a ideia de trabalho virtual e desenvolver o princ´ıpio de D’Alembert, o que faremos em seguida.

1.2 Princ´ıpio de D’Alembert

Para continuar, devemos definir o que se entende por trabalho virtual. Em F´ısica, um trabalho infinitesimal (real) ´e realizado por uma for¸caF~ que age sobre algum objeto ao longo de um deslocamento infinitesimald~r, e ´e dado por (??),

dW =F~ ·d~r (1.18)

Note que a existência de um deslocamento reald~rimplica em uma varia¸cão temporaldt, de modo que um trabalho real envolve varia¸cão no tempo. Um trabalho virtual é feito quando se supõe que as coordenadas apresentam varia¸cões infinitesimais em seus valores, mas com o tempo estando fixado. Por isso, tem-se um deslocamento infinitesimal que não ocorre de fato, e, sendo assim, ele é virtual. É importante notar que as varia¸cões infinitesimais das

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coordenadas devem ocorrer respeitando os v´ınculos que eventualmente existam no problema.

Para representar varia¸cões virtuais, usaremos o s´ımboloδjunto à grandeza que sofreu essa varia¸cão. Então, um deslocamento virtual infinitesimal será representado porδ~r, e, com isso, o trabalho virtual associado a essa varia¸cão fica

δW =F~ ·δ~r (1.19)

Considere agora que temos um sistema de part´ıculas que esteja em equil´ıbrio est´atico.

Logo, a for¸ca resultante em cada part´ıcula ´e nula, ou seja,F~i= 0 para cada part´ıculai do sistema. Com isso, vale a express˜ao

N

X

i=1

F~i·δ~ri=X

i

F~i·δ~ri= 0 (1.20)

onde δ~r_i é a varia¸cão infinitesimal virtual, não envolvendo varia¸cão no tempo. Podemos decompor F~_i como sendo a soma de duas for¸cas resultantes, uma envolvendo a resultante das for¸cas de v´ınculo (f~_i^v) e outra envolvendo a resultante das for¸cas não ligadas aos v´ınculos (F~_i^nv), ou seja,

F~i=F~_i^nv+f~_i^v (1.21)

Note que as for¸cas que formam F~_i^nv s˜ao conhecidas, e as for¸cas que formam f~_i^v s˜ao desco- nhecidasa priori. Substituindo (1.21) em (1.20), obtemos

X

i

F~_i^nv·δ~ri+X

i

f~_i^v·δ~ri= 0 (1.22)

O primeiro termo no lado esquerdo de (1.22) é o trabalho virtual total das for¸cas não ligadas aos v´ınculos, enquanto o segundo termo é o trabalho virtual total das for¸cas de v´ınculo.

Fazemos agora uma hipótese a respeito desse termo. Vamos supor que o trabalho virtual total das for¸cas de v´ınculo se anula, o que é uma considera¸cão bastante razoável na maioria dos casos, e que será justificado posteriormente. Assim,

X

i

f~_i^v·δ~ri = 0 (1.23)

e, ent˜ao, usando (1.23) em (1.22), achamos X

i

F~_i^nv·δ~ri= 0 (1.24)

A equa¸cão (1.24) é chamada de princ´ıpio de trabalho virtual. Note que não é poss´ıvel deduzir dela que F~_i^nv = 0, pois as varia¸cões virtuaisδ~ri não são todas independentes entre si, já que, em geral, há v´ınculos entre as coordenadas~ri. Nosso objetivo é estabelecer algo similar a esta equa¸cão para uma situa¸cão em que as coordenadas sejam independentes e para um sistema dinâmico, e não estático. Para isso, vamos considerar a equa¸cão (1.1),

F~i= d~pi

dt

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e vamos reescrevˆe-la na forma

F~i−~p˙i= 0 (1.25)

Na forma (1.25), podemos imaginar uma for¸ca “efetiva” −~p˙i que contrabalan¸ca a for¸ca resultante F~_i de forma que um sistema dinâmico pode ser “transformado” num sistema em equil´ıbrio estático. Assim, a equa¸cão (1.20) fica, nesse caso, usando (1.25),

X

i

(F~_i−~p˙_i)·δ~r_i= 0 (1.26) Fazendo em (1.26) a mesma separa¸cão dada pela equa¸cão (1.21) em for¸cas de v´ınculo e for¸cas não ligadas aos v´ınculos, temos

X

i

(F~_i^nv−~p˙_i)·δ~r_i+X

i

f~_i^v·δ~r_i= 0 (1.27) Fazendo novamente a hipótese de que as for¸cas de v´ınculo não realizam trabalho virtual, a equa¸cão (1.27) torna-se

X

i

(F~_i^nv−~p˙i)·δ~ri= 0 (1.28) A equa¸cão (1.28) é o princ´ıpio de D’Alembert, expresso em termos das for¸cas que não estão ligadas aos v´ınculos e que são, por hipótese, conhecidas para o sistema em questão. Essa é a vantagem desse princ´ıpio, mas há uma desvantagem. Ele está estabelecido em termos das varia¸cõesδ~ri, as quais, por causa dos v´ınculos, não são independentes entre si. Já vimos que, pelo menos para v´ınculos holonômicos, é poss´ıvel introduzir novas coordenadas generalizadas qj que, por hipótese, são independentes entre si. Assim, vamos estabelecer esse princ´ıpio em termos de coordenadasqj. De (1.15), temos

~r_i =~r_i(q₁, q₂, . . . , q_n;t) (1.29) Assim, para expressarδ~ri, temos que usar uma regra da cadeia, ou seja,

δ~ri=

n

X

j=1

∂~ri

∂qj

δqj+∂~ri

∂t δt

ou, comoδt= 0, já que as varia¸cões são virtuais, e são feitas em tempo fixo, δ~ri=X

j

∂~r_i

∂qj

δqj (1.30)

Agora, usamos (1.30) para calcular o trabalho virtual total das for¸cas n˜ao ligadas aos v´ınculos, ou seja,

X

i

F~_i^nv·δ~ri=X

i

F~_i^nv·X

j

∂~ri

∂q_j δqj

=X

i

X

j

F~_i^nv·∂~ri

∂q_j δqj

ou, simplificando a nota¸c˜ao,

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X

i

F~_i^nv·δ~ri =X

i,j

F~_i^nv·∂~ri

∂q_j δqj (1.31)

A ordem em que as somat´orias s˜ao feitas pode ser alterada, de modo que podemos reescrever (1.31) como

X

i

F~_i^nv·δ~r_i=X

j

X

i

F~_i^nv· ∂~r_i

∂qj

δq_j (1.32)

O termo entre parênteses em (1.32) é obtido mediante uma somatória sobre todas as part´ıculas, e vamos introduzir a grandeza for¸ca generalizada, por meio de

Qj =X

i

F~_i^nv· ∂~ri

∂qj

(1.33) onde Q_j é a for¸ca generalizada associada à coordenada q_j. Note que Q_j não precisa ter dimensão de for¸ca, assim comoqj não precisa ter dimensão de comprimento, mas o produto Qjδqj deve ter dimensão de energia. Assim, usando (1.33), a equa¸cão (1.32) fica

X

i

F~_i^nv·δ~ri=X

j

Qjδqj (1.34)

Agora, usamos novamente (1.30) para calcular X

i

~˙

pi·δ~ri=X

i

~˙ pi·X

j

∂~ri

∂q_jδqj

=X

i,j

~˙ pi· ∂~ri

∂q_j δqj

ou

X

i

~˙

pi·δ~ri=X

j

X

i

~˙ pi· ∂~ri

∂qj

δqj (1.35)

Agora, note que

X

i

d dt

~ pi·∂~ri

∂q_j

=X

i

~˙ pi·∂~ri

∂q_j +X

i

~ pi· d

dt ∂~ri

∂q_j

(1.36) Lembrando a equa¸c˜ao (1.29), devemos ter em mente que _∂q^∂~^rⁱ

j é fun¸cão das mesmas variáveis que~ri, de modo que temos

d dt

∂~ri

∂q_j

=X

k

∂

∂q_k ∂~ri

∂q_j dqk

dt + ∂

∂t ∂~ri

∂q_j

ou, trocando a ordem em que as derivadas s˜ao feitas, introduzindo as velocidades generalizadas ˙qk mediante

˙ qk= dqk

dt (1.37)

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e reescrevendo, temos

d dt

∂~ri

∂q_j

= ∂

∂q_j X

k

∂~ri

∂q_kq˙_k+∂~ri

∂t

(1.38) Agora, note que a velocidade~vi ´e dada por

~

vi= ˙~ri= d~ri

dt (1.39)

Novamente usando regras da cadeia, e sendo~ri=~ri(q1, . . . , qn;t), temos

~vi= d~ri

dt =X

k

∂~ri

∂qk

˙ qk+∂~ri

∂t (1.40)

Ent˜ao, podemos reescrever (1.38), usando (1.40), como d

dt ∂~ri

∂q_j

= ∂

∂q_j d~ri

dt

= ∂~vi

∂q_j (1.41)

Agora, da equa¸c˜ao (1.40), temos

∂~vi

∂q˙_j = ∂

∂q˙_j X

k

∂~ri

∂q_kq˙k+∂~ri

∂t

=X

k

∂

∂q˙_j ∂~ri

∂q_k

˙ qk+ ∂~ri

∂q_k

∂q˙k

∂q˙_j

+ ∂

∂q˙_j ∂~ri

∂t

(1.42)

Como as equa¸cões de transforma¸cão (1.29) não são fun¸cões das velocidades ˙qj, temos que

∂

∂q˙_j ∂~ri

∂q_k

= 0 ∂

∂q˙_j ∂~ri

∂t

= 0 (1.43)

Al´em disso, temos que

∂q˙_k

∂q˙j

=δ_jk (1.44)

ondeδjk´e a delta de Kronecker, definida por δ_jk=

(1, j =k

0, j 6=k (1.45)

Portanto, usando (1.43) e (1.44) em (1.42), obtemos

∂~vi

∂q˙j

=X

k

∂~ri

∂qk

δjk= ∂~ri

∂qj

(1.46) Continuando, substitu´ımos as equa¸c˜oes (1.41) e (1.46) em (1.36), obtendo

X

i

d dt

~ pi·∂~vi

∂q˙j

=X

i

~˙ pi· ∂~ri

∂qj

+X

i

~ pi·∂~vi

∂qj

(20)

ou, como~pi=mi~ri, temos, reescrevendo, X

i

~˙ p_i·∂~r_i

∂qj

=X

i

d dt

m_i~v_i· ∂~v_i

∂q˙j

−X

i

m_i~v_i·∂~v_i

∂qj

(1.47) Substituindo (1.47) em (1.35), achamos

X

i

~˙

pi·δ~ri=X

j

X

i

d dt

mi~vi·∂~vi

∂q˙_j

−X

i

mi~vi· ∂~vi

∂q_j

δqj (1.48)

Em seguida, utilizamos (1.34) e (1.48) em (1.28), ou seja, X

j

Qjδqj−X

j

X

i

d dt

mi~vi·∂~vi

∂q˙j

−X

i

mi~vi·∂~vi

∂qj

δqj = 0 ou

X

j

Qj− d

dt X

i

mi~vi· ∂~vi

∂q˙j

+X

i

mi~vi·∂~vi

∂qj

δqj= 0 (1.49)

Agora, considere as derivadas

∂

∂q_j miv_i²

2

= mi

2

~v_i· ∂~vi

∂q_j +∂~vi

∂q_j ·~v_i

=m_i~v_i· ∂~vi

∂q_j (1.50)

e

∂

∂q˙_j miv_i²

2

= mi

2

~vi· ∂~vi

∂q˙_j +∂~vi

∂q˙_j ·~vi

=mi~vi· ∂~vi

∂q˙_j (1.51)

Note que as part´ıculas têm massas mi que não dependem das coordenadas qj nem das velocidades ˙qj. Recordando que a energia cinética da part´ıculaié dada por

Ti=miv²_i

2 (1.52)

temos que podemos reescrever (1.50) e (1.51) como

∂Ti

∂qj

=mi~vi·∂~vi

∂qj

(1.53a)

∂Ti

∂q˙_j =mi~vi·∂~vi

∂q˙_j (1.53b)

O pr´oximo passo consiste em substituir as equa¸c˜oes (1.53) em (1.49), obtendo X

j

Qj− d

dt X

i

∂T_i

∂q˙j

+X

i

∂T_i

∂qj

δq_j= 0

ou, trocando a ordem em que a somat´oria ´e feita com as derivadas _∂q^∂

j e _∂^∂_q_˙

j, temos