Resolução do Capítulo 5 - Exercícios de vestibulares. 1)(UFRJ/2007)
Nove pessoas serão distribuídas em três equipes de três para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar as três equipes é menor do que 300?
Resolução:
Obviamente, se soubéssemos o número de maneiras diferentes de formar as três equipes poderíamos dizer se este número é ou não maior do que 300. Vamos então calculá-lo de duas formas diferentes.
Primeira maneira:
Podemos primeiramente pensar de quantas formas é possível ordenar 9 pessoas em fila, no caso, 9! formas diferentes. Mas, se considerarmos as três primeiras pessoas como uma equipe A, as três pessoas centrais como uma equipe B, e as três últimas pessoas da fila como uma equipe C, estaríamos contando nessas 9! filas, inúmeras filas repetidas. A saber, aquelas em que trocamos a ordem das pessoas dentro de uma equipe, e aquelas em que apenas trocamos a ordem das equipes.
Daí, temos que dividr 9! por 3!, para cada uma das ordem dos elementos de uma das três equipes, e novamente por 3! para cada uma das ordens das três equipes, pois a ordem das equipes também não importa. Ficando então:
9!/(3!x3!x3!)x3! = 280 Segunda maneira;
Podemos utilizar a combinação simples, dividindo o problema em três casos: A escolha da primeira equipe, a escolha da segunda equipe e a escolha da terceira equipe.
Para a primeira equipe temos que escolher 3 pessoas dentre nove, escolha esta em que a ordem não importa, portanto fazemos:
C(9,3) = 9!/[(9-3)!x3!] = 9!/[6!x3!] = (9x8x7x6!)/[6!x3!] = (9x8x7)/3! = 84
Para a segunda equipe, temos que escolher 3 pessoas dentre 6 pessoas, pois na etapa anterior já escolhemos 3 pessoas dentre nove, sobrando então apenas 6 para escolher. Como a ordem também não importa, podemos fazer:
C(6,3) = 6!/[(6-3)!x3!] = 6!/[3!x3!] = (6x5x4x3!)/[3!x3!] = (6x5x4)/3! = 20
Para a terceira equipe, temos que escolher 3 pessoas dentre as 3 pessoas que sobraram após as duas equipes anteriores terem sido
escolhidas. De fato, só há uma forma de assim fazê-lo. Mas de qualquer jeito, se usarmos a formula da quantidade de combinações simples teremmos:
C(3,3) = 3!/(3-3)!x3! = 3!/3! = 1 Pelo princípio multiplicativo temos: 84x20x1 = 1680.
Mas, como a ordem das equipes não importa, devemos dividir este resultado por 3! Ficando então:
1680/3! = 1680/3x2 = 1680/6 = 280
Resposta)Como podemos formar 280 equipes, o número de maneiras diferentes é menor do que 300.
2)(UEZO/2006)
Dentre 8 pessoas, deverão ser formadas equipes de 3 pessoas para auxiliar nos derviços de ajuda aos desabrigados. O número de equipes diferentes que poderão ser formadas é:
Resolução:
OBS: Este exercício é bastante similar ao exercício anterior sendo inclusive mais simples, indico bastante aos tutores do 0800 que ao resolver o exercício anterior indiquem que o aluno tente fazer este exercício, e vice-versa.
Primeira maneira:
Como queremos escolher três pessoas para poder formar a equipe,
podemos dividir o problema em 3 etapas: A escolha da primeira pessoa, a escolha da segunda pessoa e a escolha da terceira pessoa.
As possibilidades vão decrescendo pois quando fazemos a escolha da segunda pessoa, a priemira já foi escolhida, portanto restam 7
pessoas. Na escolha da terceira pessoa, temos 6 possibilidades pois já escolhemos a primeira e segunda pessoas.
Escolha da primeira pessoa: 8 possibilidades. Escolha da segunda pessoa: 7 possibilidades. Escolha da terceira pessoa: 6 possibilidades. Pelo princípio multiplicativo temos: 8x7x6 = 336.
Como a ordem das pessoas dentro desta equipe não importa, estamos contando repetidos os casos em que os elementos da equipe são os mesmos mas a ordem não faz diferença. Daí, temos que dividir este resultado [336] por 3!. Ficando então com:
336/3! = 56 Segunda maneira:
Podemos perceber que temos que escolher três pessoas dentre oito, caso este em que a ordem dos elementos escolhidos não importa. Podemos então utilizar a fórmula da combinação simples para tanto.
C(8,3) = 8!/(8-3)!X3! = 8!/5!X3! = (8X7X6X5!)/5!X3! = (8X7X6)/3! = 8X7 = 56
Resposta) Podemos formar 56 equipes diferentes, o que corresponde à resposta D.
3)(UEZO/2006)
O conjunto dos 11 jogadores titulares de uma seleção prepara-se para entrar em campo. Essa entrada não obedecerá nenhuma ordem
preestabelecida. Tanto poderá entrar primeiramente o camisa 7, como o goleiro, o camisa 10, como o camisa 5...O número de maneiras distintas deste conjunto de jogadores entrar em campo é representado pela
seguinte expressão: Resolução:
OBS: Essa questão envolve apenas o princípio múltiplicativo e a sua natureza de levar em consideração que ao passar para a próxima etapa, temos que imaginar que a etapa anterior JÁ FOI CUMPRIDA. Indico que seja feito este exercício como exemplo caso percebamos dificuldades da parte do aluno em entender o princípio multiplicativo.
Queremos saber de quantas formas pode ser a entrada de 11 jogadores. Podemos então dividir esse problema em 11 etapas:
O primeiro jogador a entrar: 11 possibilidades. O segundo jogador a entrar: 10 possibilidades. O tercediro jogador a entrar: 9 possibilidades. .
. .
O déciimo jogador a entrar: 2 possibilidades.
O décimo primeiro jogador a entrar: 1 possibilidade. Pelo princípio multiplicativo, temos:
11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 11! Resposta)Letra A.
4)(UFRRJ/2003)
Caroline vai todos os dias à sorveteria para saborear um "sorvetão" (um sorvete formado por duas bolas de sabores diferentes). Sabe-se que há um total de 15 tipos de sabores diferentes de sorvetes. Se Caroline saborear apenas um "sorvetão" por dia, e se considerarmos que a ordem das bolas não importa, ele terá experimentado todos os possiveis "sorvetões" em:
Resolução:
OBS: Novamente um exercício simples em que apenas utilizamos o
princípio múltiplicativo e o importante raciocínio de que se a ordem não importa estamos contando coisas a mais ao começarmos a contar de forma ordenada.
Primeira maneira:
Como dispomos de 15 sabores diferentes e queremos formar um "sorvetão" com dois sabores. Podemos dividir o problema em duas etapas: A escolha do primeiro sabor e a escolha do segundo sabor.
Escolha do primeiro sabor: 15 possibilidades.
Escolha do segundo sabor: 14 possibilidades, já que já utilizamos uma dentre as 15 possibilidades.
Pelo princípio multiplicativo temos: 15x14 = 210
Como dito no enunciado, a ordem dos sabores não importa, temos então que dividir o resultado anterior por 2. Ficamos então com:
210/2 = 105 Segunda maneira:
Podemos obervar que o fato de termos que escolher 2 sabores dentre 15, sem importar a ordem, nos torna aptos a utilizar a fórmula da
combinação simples.
C(15,2) = 15!/(15-2)!x2! = 15!/13!x2! = 15x14x13!/13!x2! = 15x14/2 = 210/2 = 105
Resposta: Como temos 105 maneiras diferentes de formar um "sorvetão", Caroline demoraria 105 dias para experimentar todos os possíveis "sorvetões", ou seja, letra D.
5)(CEDERJ/2001)
Para disputar a final do campeonato de futebol, um técnico formará seu time de onze jogadores com um goleiro, dois laterais, dois zagueiros, dois atacantes e quatro no meio-campo. Sabe-se que o técnico conta com um grupo de vinte e dois jogadores especializados em suas respectivas posições, sendo: dois goleiros, quatro laterais, quatro zagueiros, quatro atacantes e oito para o meio-campo. O número de maneiras distintas que esse técnico, respeitando a especialidade de cada jogador, poderá formar seu time é:
Resolução:
OBS; Este exercício é demasiadamente extenso para não se utilizar a fórmula da combinação simples, portanto, recomendo que utilizemos ele justamente para o exercício desta fórmula.
Vamos utilizar a fórmula da combinação simples. Podemos dividir o problema nas seguintes etapas:
Escolha de um goleiro: C(2,1) = 2
Escolha de dois laterais: C(4,2) = 4!/(4-2)!x2! = 6 Escolha de dois zagueiros: C(4,2) = 6
Escolha de quatro meio-campistas: C(8,4) = 8!/(8-4)!x4! = 8!/4!x4! = 70 Escolha de dois atacantes:
Pelo princípio multiplicativo temos: 2x6x6x70x6 = 30240
Resposta: Letra D. Podemos formar 30240 times.
6)(CEDERJ/2002)
Em uma cidade, o número de cada linha telefônica é formado por oito algarismos, sendo que os algarismos zero e nove não figuram dentre os quatro primeiras posições. O primeiro algarismo do número é dois, quando o seguundo algarismo é três ou oito, e o primeiro algarismo é três nos demais casos. A maior quantidade possível de linhas
telefônicas para essa cidade é: Resolução:
OBS: Esta questão, em síntese é uma questão simples de se solucionar, desde que se tenha em mente a INTERPRETAÇÃO correta do enunciado. Ou seja, para os tutores do 0800, recomendo que mantenham o foco no entendimento do enunciado e que tentem induzir o aluno a perceber o seguinte: Temos apenas dois casos para trabalhar com o primeiro algarismo sendo 2 ou com o primeiro algarismo sendo 3.
Para resolver este problema vamos dividí-lo em duas etapas. Primeiro caso) O primeiro algarismo sendo 2.
Se o primeiro algarismo é 2 [1 possibilidade], então para o segundo temos duas possibilidades, o 3 ou o 8. Além disso, como nenhum dos quatro primeiros dígitos pode ser zero nem nove, então para o terceiro e quarto dígitos temos 8 possibilidades. então ficamos com:
1x2x8x8x10x10x10x10 = 2x8²x(10^4)
Segundo caso) O primeiro algarismo sendo 3.
Se o primeiro algarismo é três, então o segundo, terceiro e quarto algarismo, podem ser escolhidos de 6 formas [tire o 9 e o zero, assim como o 3 e o 8 do segundo caso]. Os outros quatro algarismos podem ser escolhidos de 10 formas diferentes. Temos então:
1x6x8x8x10x10x10x10 = 8³x(10^4)
Como pode ocorrer um caso OU o outro, temos que SOMAR os resultados. 2x8²x(10^4) + 6x8²x(10^4) = (10^4)x8²x(2+6) = 8³x(10^4)
Resposta: Letra A.
7)(CEDERJ/2002)
Determine quantos números de quatro algarismos distintos, escolhidos de 1 a 9, podem ser formados, respeitando-se, para cada número, a seguinte condição: se o algarismo 1 pertencer ao número, então o algarismo 9 não pode pertencer a esse número.
OBS: É importante lembrar que neste exercício estamos escolhendo algarismos de 1 até 9, e que por isso no máximo para um algarismo temos 9 possibilidaes, como não ocorreria se fossem de 0 até 9, caso em que teríamos no máximo 10 possibildades de escolha para um
algarismo. E, neste exercício, o foco está também na interpretação do enunciado, que pode não ser tão simples para o aluno, portanto devemos trabalhar bem esta parte. Basicamente se conseguirmos fazer o aluno entender que nesta contagem não podem haver números com o algarismo 1 e o 9 simultaneamente, podendo haver SÓ com 1 e SÓ com 9, já ajuda bastante.
Primeira maneira:
Poderíamos pensar em começar da seguinte forma: Oras, vamos calcular a quantidade de números em que o 1 figura e que o 9 não figura. Isso, neste caso específico, pode ocorrer de poucas formas, a saber: O 1 na primeira posição, na segunda posição, na terceira posição ou na quarta posição, ficamos então com:
O 1 na primeira posição:
[Primeiro algarismo: 1 possibilidade [Só pode ser o 1]. Segundo algarismo: 7 possibilidades [Nem o 1 e nem o 9]
Terceiro algarismo: 6 possibilidades [Nem o 1, nem o 9 e nem o algarismo escolhido anteriormente].
Quarto algarismo: 5 possibilidades [Nem o 1, nem o 9 e nem os algarismos escolhidos anteriormente].
Totalizando: 1x7x6x5 = 210] Pelos mesmos motivos...
O 1 na segunda posição: 7x1x6x5 = 210 O 1 na terceira posição: 210
O 1 na quarta posição 210
Portanto, a quantidade de números em que o 1 figura e o 9 não figura é: 210 + 210 + 210 + 210 = 840
Agora, analogamente, a quantidade de números que o 9 figura e o 1 não figura é: 840
Faltam apenas os casos em que nem o 1 e nem o 9 figuram: 7x6x5x4 = 840 Como pode ocorrer de o 1 pertencer (e o 9 não), ou o 9 pertencer (e o 1 não), ou nem o 1 e nem o 9 pertencerem, temos que somar o resultado. 840 + 840 + 840 = 2520
Segunda maneira:
Se o 1 não pertence, o 9 pode pertencer ou não, potanto temos: Primeiro caso)A quantidade de números que NÃO tem o algarismo 1: Primeiro algarismo: 8 possibilidades [Não pode ser o 1(não estamos contando com o zero)].
Segundo algarismo: 7 possibilidades [Nem o 1 nem o algarismo utilizado anteriormente(não estamos contando com o zero)].
Tercdeiro algarismo: 6 possibilidades [Nem o 1, nem os algarismos utilizados ateriormente(não estamos contando com o zero)].
Quarto algarismo: 5 possibilidades [Nem o 1, nem os algarismos utilizados anteriormente(não estamos contando com o zero)]. Totalizando: 8x7x6x5 = 1680
Se o 9 não pertence, o 1 pode pertencer ou não, portanto temos analogamente;
Segundo caso)A quantidade de números que NÃO tem o algarismo 9, analogamente ao primeiro caso é 1680.
Porém, em ambos os casos, contamos os números que não tem 1 e nem 9. Daí, se somarmos os dois casos temos que tirar essa contagem dupla. Números que não tem 1 e não tem 9: 7x6x5x4 = 840.
Então temos um total de: 1680 + 1680 - 840 = 2520. Resposta: Podemos formar 2520 números nestas condições.
8)(FAETEC/2005)
Numa comunidade, foram recrutados 25 pessoas para o combate à dengue. Essas pessoas vão trabalhar em duplas, para visitar as residências. O número máximo de duplas diferentes é:
Resolução:
Queremos escolher 2 pessoas dentre 25, não importando a ordem da escolha das pessoas, portanto temos:
C(25,2) = 25!/[(25-2)!x2!] = 25!/[23!x2!] =(25x24)/2 = 600/2 = 300 Resposta: Letra C.
9)(UERJ/2007)
Sete diferentes figuras foram criadas para ilustrar, em grupos de quatro, o Manual do Candidato do Vestibular 2007. Um desses grupos está representado a seguir. Considere que cada grupo de quatro figuuras que poderia ser foramdo é distinto de outro somente quando pelo menos uma de suas figuras for diferente. Nesse caso, o número total de grupos distintos entre si que poderiam ser formados para ilustrar o Manual é igual a:
Resolução:
Novamente, temos que escolher 4 figuras dentre 7, não importando a ordem das figuras. Portanto temos:
C(7,4) = 7!/[(7-4)!X4!] = 7!/[3!X4!] = (7X6X5X4!)/[3!X4!] = (7X6X5)/ (3X2) = 7X5 = 35
