Os capítulos 11e 111 são demonstrações da primeira

(1)

( o ! / ( ) ~ I

Superfícies Míni~as - primeira ~ Segunda Variação da Área

por Sebastião Cnn1eiro de A1meida

Forta1eza,junho de 1975

CI ~"onografia realizada como reauerimento. para obten

-çao do GRAUDE MESTREEM MATE~TICA na U.F~C.

Realizado com o suporte financeiro do mPq e do Convênio UFC/FINEP 17l/CT

..

(2)

(ISRQPONMLKJIHGFEDCBA

)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PREF1\CIO

Com estas notas ternos o propósito de estudar

a

primei ra e a Segunda Fórmulas ·daVariação em urna variedade Riemanni! na bem corno dar urna aplicação concreta ao caso de urna superfí

cie do R3• O problema de determinar se uma certa superfíciezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

I

com dada' fronteira tem área a menor possível

é

tratado •

.O trabalho consiste de quatro capítulos. O primeiro capítulo

é

uma exposição básica de variedades i~rsas em uma variedade Riemanniana. Os conceitos e resultados de Geometria

I I

Riemanniana que seriam utilizados posteriorment~ foram aqui suficientemente tratados.

I_,

Os capítulos 11 e 111 são demonstrações da primeira

!

e da Segunda Fórmulas da Variação. I,

I,

~

.•.

,-

~

O cap1tulo IV e urna ap11caçao desta~ formulas. Uma

. - . . . f . ,!:

-1mersao m1n1ma representa, localmente, um ~n1rno para area. Utilizaremos a Segunda Fórmula da Variação !para determinar

até

onde esta propriedade de minimização subsiste no caso da su-perfície mínima de Enneper em R3• A superfície de Enneper

é

aqui definida através da imersão mínima

x{u,v) u

3 ₂

= (u - -

+

uv ,v 3

v

3 2 2 2

- + vu l U - V ) 3

.

(3)

interior •.

entãozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAexistem

_{auperfícies com a}

mesma

_fronteiraque

D}

e

área menor que a desta. Mostraremos, no entanto que

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

.••. 2 2 -

I

3

se

D

esta cont~do em

u

+ v _< ₁

entao

x

_:0 + R

de

O

-.f.in.a

uma

superfície que repres,enta um mínimo para

a área.

Desejo expressar meus agradecimentos

ao

Professor

João Lucas Marques Barbosa, cuja orientação segura e incenti

vo

constant~ possibilitaram

a realização deste trabalho.

De-vo também uma palavra de agradecimento

ao Professor

Plínio

Amarante Quirino Simões, pelo interesse

e

apoio

dedic~::1os

• Agradeço sinceramente

a Maria Clélia Lustosa Coste

que

nos

intervalos de aula datilografou pacientemente este trabalho.

SEBASTIÃO CARNEIRO DE ALMEIOA

(4)

J

f

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAN D I C E

Clt.PtTULO I

Prelimi.nares ...•.•...•... -... 01

CAPfTULO 11

A'Primeira Fórmula da variação... 10

CAPíTULO 111

1

A Segunda Fórmula da variação •••••••••••• ~\.• •• • 16

\~ .

CAPfTULO IV

;, I,

Uma~p1icação a Superfície de Enneper •••••

I~....

25

(~

34SRQPONMLKJIHGFEDCBA '1 ',

~FERfNCIAS

•...•.•...•

...

~

...•....•

(5)

PrElIMINARES

- Conexões

CIO

C

o

Seja M uma variedade de classe Represen taremos por

CIO _

o espaço dos campos de vetores C em Mo Uma conexao em

ê

uma aplicação V:"!M x )('M ~

IM

que a cada par (X,Y) as

ia VxY e satisfaz as seguintes propriedades:

1) V é linear em X e Y

2) _Vx(fY) ₌ _fVxY ₊ _(Xf)Y

3) _VfXY ₌ _fVxY

CIO

x,i

:8 fMo ara f G C (M) e

Uma estrutura Riemanniana (ou métrica Riemanniana) em uma

M

é

uma aplicação <, > que associa a cada . p 'S M

produto interno no espaço T (M)._.p Exigimos que <,> seja

,-~ferenciãvel no sentido de que se .X,YYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe _*M _{s âo .}

diferenciã-. s, então <X,Y>:II + R

ê

diferenciáve'l. Esta suposição visa

lacionar os produtos internos nos diversos espaços tangentes.

__finic.ão: Uma variedade Riemanniana

ê

um par (M,<,»

< » > é uma estrutura Riemanniana em M.

onde

P.EMA: Em uma variedade Riemanniana existe uma única conexão

-satisfazendo as seguintes duas condí.çêes e

i) VxY - vyX = [X,Y)

(6)

-2-_{zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

?ROVA: Sejam

X, Y, Z

€_{zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

]E

MO

Se

'V

é

uma conexão em

M

satis

fazendo as condições

(i)

e

(ii)

segue-se que:

Z<X,Y>

=

<'VxZ,Y> + <X,'VzY> +

<

(z~xJ ,Y>

e

analogamente

( 2)

Y<X,Z>

=

<'VyX,Z> + <x,'VZY> + <LY,Z);X>

( 3)

X<~ ,Z>

₌

<'VyX,z> + <Y,'VXZ> + < (x,Y] ,Z>

:>e (1), (2)

e

(3)

tem-se:

'*)

2<X.,'V

z

Y>

=

Z<X,Y> + Y<X,Z> -<X<Y,Z>

"+

+< (x,Y] ,~> + <(x,z] ,Y> - < [y,z] ,X>

Como

<,>

é

não degenerada,

a unicidade

fica provada

o

Por outro lado a aplicação

v

definida por

(*)

satisfaz as

propriedades

de uma conexão e também as condições

(i) e (ii)

o Teorema.

Jefinição:

A

única conexão em

M

que satisfaz as condições

(i) e (ii) do Teorema

é

chamada conexao

Rieman-nd

ana ,

~:

Seja. 'V uma

conexão

em

M, A

um aberto

em

M e

X,Y

€

X

lo10

Se em

A,

X ::O

ou

Y ::O,

então

- Y)

=

OYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA'S I _P _€ _A. X P

_ •.

OVA:

Seja

p

€ A.

Considere

f

€

C

CO(M)

tal que

f(p)

'= O

~

e

f ::1

em

loi - A

(Veja

[4]) o

Se em

]I., Y :: O,

_en-

k

I

o

fY

=

Y

e

('VXY)

=

(X f)Y

+ f(p) (vxY)

= O.

Se a hi-

l a

p

r

-tese

é

feita em

X. temos qt1e -:

(9~Y)p'= .

f.(p)

('VxY)

P = O o ~

(7)

...

.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ara o s

_o

_{campo. VYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

x ~ 1

_em

_{~ ~e}

X e

Y

e~ uma

v~z~-Sejam

X,Y €

X

1'1

e

p € M.

pende somente dos valores de

~~--ça

de

p

em

M. ,SRQPONMLKJIHGFEDCBA

I

Basta observar

n u a

Vi

Y -

VxY

=

Vx(Y - Y)

_+i

Vx~xY

para

I

x,

Y

€ Ã_M•

Seja

U

uma subvariedade aberta de

M e

1:.

U

o

espa-s campoespa-s de vetoreespa-s

Cao

em

U.

Sejam

X,

Y

€

_~u

e

p e U.

Definimos \ (VxY)p

=

!

=

(v-y) - - -v'

.

onde

X,

Y

e x _M

coincidem ~espectiva

X p'

com

X

e

Y

em uma vizinhança de

p.

~RVAÇÃO:l:

Segue-se do corolãrio que a definição dada

ê

in-dependente dos campos

X,

Y

escolhidos. ~

ime-verificação de que a aplicação

_V: _Xux

_~u

+:\"*

_U

\~

defini

....

-aC1ma e uma conexao em

U.

1

ERVAÇÃO

2: .

Sej am

X,

Y

e . ~M

e

_p e M.; cons.í.de re {xl I · • •

IXm}

_.. ~:

um sistema de coordenadas em uma viz~nhaça

aber-t; U

de

p.

Em

U-

temes que

· l

J

'/.,

m

= L

f

X

a.e.

_{~ 1}

e

Y

=

L

b.e.

J J

1 1

~

Então,

e_k·= ~.

a~

(VXY) =[V

_x(;

b.e.)]

p'-- J J P =

= ~

[(X b.) (ej)p

- p J

j

+ b. (p) [ a. (p)'(V e .) -,

J 1 e_i J p

~ /., .

(8)

-4-Segue-se que o campo _VxY emzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp depende somente do

ve-€zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAT (M) e dos valores de Y ao longo de alguma curva

? p

~:'.l que y (O)

=

_p e dy (O)

₌

_{X •}

dt _P

- Segunda Forma Fundamental

Seja M uma variedade de dimensão m e f:M ~

M

urna

~rsão, onde

M

ê

urna variedade Riemannian. Considerendo M

a métrica induzida ternos ~

f.(T (M» = T (rol) $ N (M)

p p p

,

p

e

YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAM

....-- :

são respectivamente os espaços T

p (U) - ....rmal a...M

N (1-1) p

em p.

--tangente e

Denote por

I.

o conjunto dos campos de vetores

tangen-p

=es a M definidos em alguma vizinhança de p em M.

finic~o:_iI.

-

V a conexão Riemanniana de

M.

Se X,Y

€!'

P onde por abuso de notação in-Seja

tificarnos

-

T

defina VxY

=

(VxY)

Z €

*

_p com f.Z.

Vérifica-se facilmente que V é à conexão piemanniana de

Seja H(M) = Hom(N(I-1),SeM»~ onde

=

conjunto dos endomorfismos simétricos de

(M) denotaremos por LW:T (M) ~ T (M) a

p p p

simétrica associada a w.

T (M). Se

p

transformação

-5,ao: W ~ N_p(M). Estenda w a um arbitrário

carn-normal a M e definido localmente.

Defini-Seja

po 1'1

•• : T (M) ~ T (M)

(9)

A"" está bem definida e

ê

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAuma

simétrica.

trans formaçãoSRQPONMLKJIHGFEDCBA

J I

linear

Seja Y € T (H)

e

Y campo ta~gente a M tal.- que

p

-

I

Y_p

=

Y. Então,

"

-

-<Vx(W' - W),Y>

=

<vx(W' - W),i>

= v<w· -

W,Y> -

<w· -

W,VxY>

X

~-a campos

w, w'

que es tendamYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAw e se j am nonnais a f\i uma

Como Y € T (M)

p

- ·T

( VXll) , Y>

=

O.

2 vizinhança de p. cem-se que

!

.

<

(VxW') T

mostra que

A

W está bem definida.

Obviamente AW

é

linear. Para mostrar que ~w

é

simétri

-, considere X, Y

e

T (M) e X, Y

P

= X e

Y

= Y. Então

::; p

campos tangentes a 11 cem

,I

.

\

\t <AW(X) ,Y> - <Aw(y) ,X>

-

-

+ <vYw,X>

--r •

I. =

-

!!

<W, VyX>(': c ,j... , f

I

-

-= -

'vx<w ,Y> + vy<\-l,x> + <w, VxY>

= <WI

[x, y

J

> = O ,.

I

-e usamos o fato de

[x,YJ

ser tangente a

M.

Segue-se que

(X) ,Y>

=

<X,A w ( Y) >, logo AW e s~metr~ca.•• ..- •

Seja _p € r.~ _e A :N (M) -+- S (M) definida por _Ap _{( w )}

_=A.

w

p P P

•..

amente A

é

linear. Segue-se então pela PROPOSIÇÃO que

p

H ( l . í ) . A

ê

chamada a segunda forma fundamental .. da

imer-p 1

(10)

-6-finição: Se

e

S (M) definimos <r,s>zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

~

<r(e.) ,s(e.p

p .11

1

urna base ortonormal de T (M). Verifi-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

p

r,

s

.:> _e

...

e 1'· . •,em

=e facilmente que <,> é um produto interno.

está definido um produto interno podeMos

Como em S (M)

p I' - t

ar na ap a caçao A.

P Observe que se sYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe S (M)p SRQPONMLKJIHGFEDCBAe · w € N (M)p .

t

< A (s) , w >

=

p p

~Ã

':N (M) -+

p p por

=inição: Se p

e

M

definimos

- t

A

=

A A •

P P P

~ fâci 1 ver que 1.,

N (M)

p

em cada ponto é um operador simétrico.

efeito,

... t v v w

<A(v),w>

=

< ~(A ) ,w>

=

<A ,A >

As vezes é mais conveniente considerar a segunda ~. forma

damental como uma forma bilinear simétrica em T (M)

toman-p

valores em N (M). Para isso considere X, Y e T (r.1) e

de-p p

a B (X,Y) € N (M) por

p p

p

POSICÃO: Sejam X, Y € T (M). Estendam Y

p

M

que seja tangente a 101. Então

, J :

-a um c-ampo Y em

- - N

Bp(X,Y) = (VxY) •

OVA:

-<VX~i,Y> <B (X;Y) ,w>

=

<Aw(X) ,Y>

=

-p =

-

~

-

-= - < VxW ,Y> = - V X<W,Y > + <!i,V xY > ='

= <VxY,w>

.__=inição:

t ; B : T

(r-H

p p

Definimos

-.. N (M) é uma forma bi

p

H

=

traço{B ).

Obser-p p

Para cada p € M,

(11)

que fi é um campo normal a lI, e se

e

_{1,· .·}

,em'

_Ãp sao

-=ampos ortonormais, então

mzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA mSRQPONMLKJIHGFEDCBA

L

i=1

B( e . ,e.)

1. 1.

=L

i=l

(9 e.) N

e. 1. 1.

H

=

em uma vizinhança de p. H

é

chamada a curvatura média da

-.:nersao.

~.3 - Operador de Lcp1ace. Transformação Curvatura.

Seja como acima N (l1) C ;( M

res normais a M.

o espaço dos campos de veto

I I

(

Considere V X '= (V-x)N e se y € N (M) denote

VX,yY = Vx(VyY) - V'iJxyY' , X,Y € T (M)p

2

V :N (M) ~ N (M) definido por

r

~2

y{p) = traço

N

I

(M) dada por

p .

Definição: Seja

da ap1icacão bi1in~ar de T (M) em

p

(X,Y) ~ VX,yY.

~ f~ci1 ver que se _{E1, ••• ,Em}G

:t

_p

(VEE.)_{i )} _P =0 e <E.,E.>=6 .. então

1.) 1.)

s.ãd· II

"

r,

tais que

(7

IYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

'r 1

m

= L

i=1

V2

é

chamado

La-~ly{p) _{VE• (VE•} y) (p) •

1. 1.

o

operador

(12)

· · !ostraremos que:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ?ROVA:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-8-Seja:n

El'· • • ;Em g

Então

em

J.

p p

tais queYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

I

(~ E

_{. ) P}E.) = O 1

tem-se:

~ M e

e <E. ,E .>

=

ô .••

1 J 1)

[

iSRQPONMLKJIHGFEDCBA

I

L,<vEí• ""V

Ei

,>

• 1.

1.

E,<V

E 1jI,$>

1 _1..

=

L

<V

E. VE.1jI,$> +

.11

1

= <v21j1,4l> + <V1jI,V4l>

Conoidere em I<! a l-forma e(X) = <V xljl

.e>.

*e\

_8M = O

r

= ~

_L E:<V_1. _E.

"','>

. 1

1

as l-formas duais correspondentes a

d(

_*e)

(e_l, ••• ,em)

Sejam

a

_l

_{, ••• ,9m}

, Então Assim 9(X)

_{= L}

<V_E 1jI,4l>

e .•

i 1

El'· · · ,Em·

Como

i

m

*e

=

L

)=1

'+1 ,.

I

(-l}) <V

E

.

1jI,$>

e

l h ••• A

e.

)

A ••• h

I

em·

J I.

r

4l\

=

O

aM

*91

=

O.

aM ,r •

segue-se que Por outro lado,

d(*9) (e_l, .•. ,em)

m

= L

K=l

It

Ek*rEl'~· •• ,Ê_{k,· •• ,Em)}+

I (_l)k+l

+

L

(-l)i+j*9([Ei,E

j

l

,El,··· ,ÊiJ· · ·

,Êj.' •••

,Em>

i<j

[E. ,E.]

=

O

1 ) *E;(E 1' . ••,Êk ' • • • ,Em)

k+l n ti. "'>

= (-1) <vr .",."

""k e

I

(13)

se que:

mzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=7

I---k=l

d{*9) (el, ••• ,em) Ek<VT;' 1jI,~>

.•..k

o,

YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

J

d(*9)

M

-

r

<V1jI,v~>

J:

M

J

<v2\j1 ,~>

M

=

: o resultado segue-se pelo teorema de Stokes.

.::1

definimos a transformação curvatura

Se X. Y, Z

e

T (M)

P

~

y:T

(M) ~

T (M)

por

R_

yZ

, P P .

--x,

=

<ViVyZ -

;yVi

Z - Vex,iJZ)p

de X, Y,

Z

e:;E

são campos locais que estendem X, Y,

z.

P

finição: v e N (M)

p el,· · · ,em base ortonormal de

Seja e

Definimos R:N (M) ~ N (M)

p p

T

p (M) • por

mSRQPONMLKJIHGFEDCBA

L

i=l

(R

e.)N

e

i, v 1.

R(v) ~

SERVAÇÃO:A definição dada acima independe da base ortono:crnal.

considerada. Tem-se também que

<fi{v) ~ w > = <i{w) ,v>

v

v,w € N

(14)

C A PYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAt TzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAü L O II

À PRn:8Il'.AzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAFO~!·:ULA D1'.VARIAÇi\O

Seja

M

~~a variedade Riemanniana e

f:M ~ M

-

uma imer

são onde

M é

uma m-variedade

compacta com ou sem bordo.

-f:M ~

SRQPONMLKJIHGFEDCBAl - 1 ,

com curvatura média

Veremos que uma imersão

H

=

O,

representa um ponto crítico para a função ã~a

no

espa-ço de todas as imers~s

de M

em

M. Definicáo:

-

Seja

I

=

(-l,U.

Urna família

_{ft}teI

de

imer-sêes d a

M~M

-

ê

_{dita uma variação a}

1-parâmetro

de

f

se:

a)

de finida por

F(m,t) = ft

(m)

.•

CIO

F:f.1xI

~

M

_e

_{C •}

b)

_f

_.=

_f

o

c)

_{ftl aM}

=

_fi

_3M

para todo

t e I.

chamaremos

_{E = F* ~}

I

de campo de vetores variação

at

t=O

ao longo de

ft

( M ) •

Seja

A(t)

=

J

dA

_t

onde

dA

_t

é

a forma

M

de área na métrica induzida por

_ft·

TEOREMA:

(primeira Fórmula da Variação)

dI\

I

=

- J

<H,E>dA_o

dt

t=O

M

PROVA:

como

di-:t {

dAt

= f

d

-

=

-

dA ,

(15)

-11-mostzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr aremos que

d

- _dAt 'I = - <H,E > + an

dt t=O

onde O e

...

uma (m-1)-forma tal que _O

_IaM

₌ _O_{zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}e então o teore-~a estará pr~vado.

Fixe p ~ M e considere {e1' ••• ,em}

c:r-

_p tal que

i) _'"

e1'· . •"ra s2).o ortonormais na métrica induzida por f.

ii)

_(V

_f _e.)T

f*ci * J f(p)

(v_c ej)p =

i

=

O

Defina g .. (t) _{= <ft ei ,ft e .}>

l.J

*

J

respectivas l-formas duais de e

1, ••• ,e •

- m

e considere

Al, •••

,e

_{m as}

Assim a métrica indu

ft

é

dada por zida em M por

..2

c:s t

m

~

/-i-;)=l

gij (t) 9

1 & 9j

=

Tem-se então que dA

t =· /g(t) 91

A ••• A

em

= Ig(t) dA o, on ôe 9 ( t)

=

det (g. .(t) ). Logo,

l.J

d D J · ·~*

I

SRQPONMLKJIHGFEDCBA

dt · t t=O

1 2/

g(0) g'(O)dAo '

em p.

=

Como g .. (O) = _{<f*ei ,f*e}_j> = ô .. então

l.J l.J

9 (O)

=

1 e

_-~

_d

I

₌

1 g'{O)dA

dt -t t=O 2 o

i:.3HA: _Seja _{G = (gij).} _{Se como acima} g{t) = det(G{t» ent;io

(16)

PROVA:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Se

Portanto

de.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

[~t

,ek]

das em

-12-g(t) ~

- I

- L

-. C'!

ctt:õ.:J m

E ( a ) g1a (1) (t) ••• gma (m) (t) , ehtão

I

g' (O)YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= L

aES m

:

/

9 Lc (1) (O) ••• gka (k) (O) ••• '1ma

(ml

Ql..

E ( a )

L

k

g .. (O) =6 ..

1) 1)

g;la(l) ( O ) • • • g k a ( k ) ( O ) • • • gma(m) ( O ) = O

a

#

id segue-se do fato de que

m

9 , (O)

=

L

9kk (O)

k=I

.

r

Assim em p ternos:

m

~ _dAt

I

=

.!

l

9kk (O)dA .

dt t=O 2 k=l

,

I \':

\.' . \'

.

Considere agora e

1(q,t),•••,e (q,t)_m exten~ões usuais_\

e

1, ••• ,em a {viz. de p} x I C ~1x I. o~serveI~ . que

I

=

O, com efeito, seja

x

1, •••

,x

m,t sistema de coordena

{viz. de p} x I e aj(X 1 '•••,X_{m) .} tal que ;_. _!:

m _li

L

·a Entiio

ek

=

_aj

--o

. 1 ax,

!

J ••

J=

)

. ' .,'_!

a (

f)

a m af Jn. a2

f

at ~ =-(Laat

.->

_{. 1} .) ~_{ax .}

=

k

.

a.-

J

atax.

J=

J J=

!

J

=

L

c.

h

= (~ c .

.2...\ 2.!

) )'

. 1 ax .at \. ax, ) at

)=

)J=

)

= ek

l:t

f]

(17)

Denotemos por _e

-

-1,· · ·,em F

dos campos e_{1, •••},em.

as imagens pela ap,icação

EntãozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAgkk(t)

=

_{<ft ek,ft ek}>

=

_<ek,ek

-

>

*

em F(p,t).

As-sim.

dg

= ~ <~ (F(p

,t»

,e

k (F(p,t» >

~ (t)

dt at

-= E _<ek,ék>

=

_2<vE

e

_k

,e

_k>

= 2 <v- E + _{[E ,ek]}

,e

_k>

e

k

= 2<v-

E,é

_k>

e_k

-=

_2[ek<E,ek> - <E'V~kék>J Logo,

1_<:::-m_{YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

2SRQPONMLKJIHGFEDCBA

L

gkk(O}

k=1

<E,V-

e

_k

>

e k

?:

m

~

-

-= L ~~'ek<E,ek>

-k=1 m

- -L

k=l

m <E,L k=L

e

_k<E

,e

k>

-,

~- e

_k

>\

Gk \

\,I

m _ _

- L ~ -

e_k•

H - 'e

. k

k=l ;,

- ) T _ O

(v-

_e e_k f(p)

-k

segue-se que

Corno

Ent~.oI

1 ~ g' (O)

- L - kk

2 k=l

Ir m

= -

<H,E> + ~

e

_k<E,8k

>1

(~

k=l

t=O

f J '~! +~

a

ek<-,e_k>

at

= - <H ,E>

m

Q

= L

<

j=l

a

-,e.>

e

at

J j

Considere em M a l-forma e s(:!ja

m j+1

a

-n = *9 = ~ (-1) < -,e.> 91 _{h ••• h} e. _{h ••• h} e •

at

)

]

m

J=

(18)

-14-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Assim,

do(e1,··· ,em}zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA mYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

- >

k=l

+

k+l A )

(-1) _{ekn(el, •• • ,ek'~ •• ,em}

m '.

~ 1.+)

[1

....

)

+

L

(-1) _{n( ei,ej_ ,e1,···,ei,···,ej,} _{••• ,em} i<j

Como

[e.

, e . 1 = O

1. J

k+l ô > - (-1) <--,e_k

- at

e _{n(el,· · · ,~,· · · ,em}}

segue-se que,

m ô

dQ(e1,·· .,em}

=;-

ek<-,e_k>

k=l

at

Observe agora que E

I

'Vo = O, com efeito, seja p a1'-1 e

(lu

g· e Coo(M) então E[gJ =

!..-

(goF) (p,t)

I

=

O, pois

at

t=O

F(p,t) = f Ip) _{Ass1.m < --,e}• Ô E - O

k>

=

< ,ek> = em

at

aMo

'S I t e I.

Segue-se que,

nl

3M = O. Então,

dA

I

= -SRQPONMLKJIHGFEDCBA

f

<H,E>dJ\ + [ _{dO (e1, ••• ,em) 91} A. • • A _9m

=

dt t=O !-~ o c.. M

= -

J

<H,E>dA +

1

dn

foi o M

Usando o ~~c~ema de Stokes e observando que

01

_aM

₌

O

se

gue-se que dA

I

dt 't=O = - ~ <H,E>dAo

.

e o '!'EOREMAFICA PROVADO.

OBSERVAÇÃO:Como H

ê

norma1,A'(t) depende de fato de H e da componente normal de E.

(19)

-ST-

,

I

"

!SRQPONMLKJIHGFEDCBA

I

o

• 'ilP< ...,1H>

(20)

C A PzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

r

T U L

o

III

A SEGUNDA FaRMULA DA VARIAÇÃO

Considere f:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAM -+ l-i como nó cap~tul0~ lI.

~finição: :<1

ê

dita uma variedade mínima em M se H:: O, is

.•.

to e, _Hp = O pa~a todo p

e

M.

Estamos interessados em estudar pontos críticos de A(t).

Por isso consideraremos f:l-1-+ M uma imersão mínima. Em tais

pontos críticos

é

natur~l perguntar-se se f representa wn

mí-nimo local para a função área. Isto

ê,

se para toda variação

f! .u

-+M--t.LT.I. , tenhamos Área(f) < $rea(f

t) V t em uma vizinhança de O. Por isso determinaremos a derivada segunda - da função

área • Obteremos uma fórmula que relaciona essa derivada com os

invariantes geométricos fundamentais da imersão.

Seja {fÀ}À€I2 uma variação a 2-parâmetros de f.

Assim f_À satisfaz:

i) ~:MxI2 -+

M

_{de finida por} _{~ (m,s,}_t) _{= f} _(s, _{t) (~)} e

.-

_uma

aplicação C •Q) ii) _f(O,O) = f

f

ts

,t.)

13M =

f

iii)

onde

Considere E, F

E

=

(t.

k

)N

s=O

A{s,t)YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= J

úl

S t

M '

F(s,t)(M)

campos de vetores ao longo de

e

F

=

(t.

k

I

)N -.

t=O·

onde

~s,t

é

a forma de área na

métri-Seja

(21)

ôSRQPONMLKJIHGFEDCBA2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

asat

A I

( 0 , 0 ) =

SM

< -~2E

+

R(E) - Ã(E) ,F> dA

c

PROVA:

Para

s

fixo,

ft

=

f(s,t)

é

uma variação a

l-parâme-tro de

fs,O:M ~

M. Logo pela primeira fórmula da

va-riação

d

J

dA

I

-dt

M

t

t=O-

- JM <H

,F>dP·o•

Como

ft

=

f(s t)

segue-se que

*

, *

Ws,t

=

dA.t e portanto

ô A

I

õt (s ,0)

Assim.

ô2

-~AI

_ôsõt _(0,0) =

:5 (-

_J

M

-

~.

=

Observe que:

L«Hr

F> IÍls

IJ)

õS

=

-J

M

<H

,F>ws,O.

<H ,F> ••

s ,o) Is-o

~(

<H,F>Ws,O),s=o

as

(a·- < H ,F > ' w

o

+ < H ,F>L w

o

cs

)

5,

as

s,

Consideranco

M

c~~

a

métrica induzida por

f, tem-se

li :

o.

Portanto

.L (

as

< H , F >W_{s ,}

o)

15

=0

Conclui-se ent?o que:

=

.a,

< H ,F >

I

W o , 0

as

s=O

L

A

I

ôSõt (0,0)

- -1..1..

<H ,F >

I

W o ,

°

(22)

.•.

Fixe !? € ~ e considere {e 1'... ,em}C ~p tal que ~

i) el,o. o'~m 's~o ortogonais na métrica induzida por f

T

(v f*eif*ej) f(p)

(ve.e)· )ozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1. .•.

ii)

=

°

=

Denote po:;:,<, >SYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs ,

,

-

a métrica induzida em ~:! por fs,t e

Para si~npli ficar a notação denotia

seja gij(s,t)

ft e.

* )

e .•J

= <e.,e.>_1. ₎ _s,tO

sLmp Lesmente por

remes

OBSEFV.r.r.ÃO; Como g .. (O ,0) = ô.. ent~o (0' .. (O ,0» = Ido

1.) 1.) . "'1.)

Portanto (g .. )-1

=

(gij) existe em uma

vizinhan-1.)

ça de (O ,0) em 12.

LEMA: Seja H a curvatura ~éeia de M cem a métrica

Lnõu-s,t

H =

r

('fij

(V

e. ) ~1

zida por _f _tO Então

s,

s t_, _~ ." e._1. J o

1.,)=1

PROVl'~: Sejam El" oo,Em E

JE

_p ortonormais na métrica i.nduzida

Dor fs,tO Então se p._ = (aj~-".:)

é

tal que

e:j

=?

_{ajk e}_k tem-se

k

Hs,tSRQPONMLKJIHGFEDCBA

L

-N

= (V-E.) E. )

)

,

-

E .

) = f

E.

(s , t)

* )

= ~

rz.

ajka_jl)

,e

J

(V

e

é.)N

kfl~ Logo

= L

k

-b.t-Ek·

lr •

-A-l ₌ _(b. J)

)~ então e.

-

)

Se

=

<.>

bikEk'

= L

k

b ._1..•.1,D._Jf <Ek '

E •

>

t'

= L

k

L

~

bikbjk

b_jf"E;-

_f

""

gij(s, t) = <e.,e.> t

1. J s,

(23)

Segue-se que

Portanto

l\ssim,

Como

quezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

]~e

T '

9

=

-

_je

-1 -1 t

-(g..)

_~J zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

A (~)

e

entao

_' (gij)

=

AtA.

ajka

_je e o

Lema fica ?rovano.

Onserve que pelo

Lema acima

temos:

<H,F>

=

L

i,jYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= L

i,j

a

<li ,F>

I

as (O ,0)

- T

('V_e.e.)_l. f(n)_. = O l.

3 <H,F>

r

as ( 0 , 0 )

ij( ) (- )N

q_.

s,t

<

'V

_e. e.₎

,F>

l.

.

..

gl.) (3,t) <'il .-~.

,F>

e ~ , )

.Ao

pois

F

ij

~ ag (O O ) < ' i l

e eJ.,F>

/

-

,

.

=

_- _as

'~

i,j

então

m

L

i=l

'V_e.

e.

l. l.

=

H

=

o.

= ₅₁ ₊ _{52 '} onde'

é

normal.

+ ') 'E<V e.

,F>

L .

_.

e . ~

~,

1.

Segue-se

í

gij (s,t) g'k(s,t) =

_

]

j

Ôki

então

~L - (E ij). .g _gjk .+ ~_{L _} ₉ij ..,_r·g O

jk

=

j j

SI

ij

L

ag (O O) <'il e . ,

F>

=

_.

,

p . )

-l. . . as

l.,)

S2

= L

i

<VE'V_e. e._l.

,F>

l.

(24)

r'ias g ..zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(0,0)

=

6 ..•

1.) 1.) Logo Eg

ik

+ B9ik

-20-=

O.YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA_J

como Eg~.1.)

=

E<e.,e.>1.)

=

<vEe.,e.>1.) + <e.,Vt:'~'>1. -/J ~ntão tem-ozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

se:

S

= -

r-1 ..

1.,)

-«v,.,e.,e.><V e.,F> + <v,..,e.,a.><V e .• F»

~ 1. ) e.)_1. ~) 1. e·_1.'J

=

--

_L--

"_.. <Ve_1.

_.

E,e.><VJ e.)_1.

e.,F>-1.,::

~ <V 'S ,e .><V e., F>

/_ e. 1. e.1.

~ J J

1.,)

Onde usou-se o fato de [e.1.

.s]

-

=

['3.,~.l

1.).

=

o.

_.

~

~-OBSERVACAO: . Corno F e no rmaL entao

e._1.<e . ,F>₎

=

O e oortanto_~

< " J c. ,F> =

e._1. J - <e., VJ e·_1.F>

Logo.:.

51

= L .

i,j

-<V E,c.><e.,V F> +

e._1. J ) e._1.

1

i,j-""' - T - TSRQPONMLKJIHGFEDCBA =

L

<(V E) ,e. > <e . , (V F) >

e . J) e.

.. 1. 1.

1.,)

= _{_}

1

< (

V

_e.E) T , (

V

_e. F) T> +

L

. 1. 1. .

1. )

T

-

T - T

= 2 <(V E) , (V F) >

e. e.

~ 1. 1.

~

= 2<p.E

,r...

F>

-= 2<A(E) ,F>

=

O. 5egue~'sc oue

J

1\

.r

..

<V E,e.><e.,V F> e. 1. .1. e.

J :.)

I'

+

2

<.(J~.~)T,ei><ei,(Ve.F.)~

. . f ) J

1.,)

I

(;; 'C')T .; F)T

e.. e.

J' J

(25)

CálculozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAc1e S2:

/

82

=

L

«Q e.QEe.,F>-<F1. e.,L-.~.,F>1. - <v

[e. ,E]e

l

,;»

i

i 1. 1.

1. I

=;

"

-

[e i,E]

«Q _e.

V

_a. E,F> - <R_c., Ee._1.,F» pois = ô

i 1. 1. 1.YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= L

(v

e. <ve.E ,F> - <ve. E,V e. F> - <Re . , EC'1.,F» i 1. 1.

1. 1. 1.

013SEPVl'CÕES;

a)

L

i

<V

E,V

F>

e._1. e._1.

= ') < (V E) N , (V :P)N> +) <

(v

E) T , (V F) T>

I e. c. L--, ~. e.

_._ 1. 1. • 1.. 1.

1. 1.

-=

eV2,VF> + <~(E) ,F>

-•..• <F(E) ,F> b) F

ê

normal segue-se que

L

-i

-<R r:;-e.,F

ei'~ 1. Como

Logo,

S2

=

L

i

_ _ _.- ,t

V <v E,F> - <VE,VF> - cA(E) ,F> -<R(E) ,F>

e.

_1. 0._.•••_1.

(

J

'/" I

Segue-se que

a

as

= _

<VE, VE> - <R(E) ,F> + <A(E),F> <H,.F>

(O ,0)

+ L

V

e.

_1.<V

e.

_1.E,F>

i

(26)

ca

derconszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAtr

-

ao a esme J.'roi?osiç~ozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

teMoS

aU8

~ ~ <V E,r> =YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAc ~ ( * w ) (e]I ••• ,e

m)

1--

e. e. "

i 1.. 1.

onde

li)

ê

urna l-forma àefinida

em M

por

w (X) =

<v

Y!' ,F> e

*wl

3M

=

o.

Portanto,

2 J

3 A

-3s3t

1<0,01-

M

2

<-'iJ E + R(E) -.. Ã(E) ,F>dA_o +SRQPONMLKJIHGFEDCBA

+

J

d(*w)

(e

l

,· · · ,C

m)9l A ••• A

em

M

':.:..

-'-"

Usande

o

teorema

de .j t.oxe

s

e

obse

rvendo

que

temos que

f

d{*w)

= O.

M

*wl

3M = O

J""

2 - -

J

=

<-'iJ

E

+

P(E) -

'Jl

(E)

,F>clP o +

d(*w)

M M

Segue-se então que:

3

2

I

-3s3t P. (O ,0)

f

2

-<-'iJ E + R(E) - A(E) _,F>dAo

M

e o Teorema fica provado.

BSEPVAÇÃO:

Seja

f~M .•.

M

uma imers;o de

M

cornouma

varie-dade ~!nima eM

t~.

Se~ue-se facilmente da fórmula

segunda variacão que se

ft

é

uma variacão a l-~~rârnetro de

então

J

2 -

-r ." (O) = <_p. E + P(E) - l i .(E) ,E> dAo

M

(27)

Definicão: _{Co (N (!-!»}00 = - _O}SRQPONMLKJIHGFEDCBAJ

I

Seja {v € r (M) :

viaM

IX)

Se V. T'1 € C_o(NO~) ) definimos

J

2 - ./

I (v,W) =YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAc - » V + R(V) - Ã(V},W>dA

o

Pf

OBSERVAÇÃO:Vê-se facilmente que I

ê

uma forma bilinear simé

trica em CIX)(N eM) ) • o

.;.~xemplo: Seja

M

= R3 e M C

M

uma subvariedade núnima com

r

fronteira M. Seja N = campo unitário. normal a M ezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

aN

€ CIX)(N(M». Nestas condições

o I CaN,é1N)

=

J

M

C-' aea + 2a2k)dAo

Onde K = curvatura Gaussiana de M,

Com efeito, consid~re p € M fixo e esco+ha e

1,e2

e

~p

ortonormais e tais que ('iJ e.)

=

O.

Corno

e. 1 p

)

( V

e. (aN» N

=

1

( e . [alN + a'iJ N)N = e. [aJN

1 e. 1

1

Ir

entiio i

2 - I.

'iJ2(aN) =

'!

(v

(a..~» N)N _i!

L..

e. e .

I

. 1 1 1 s

1=

I "I

( f

=

t

(v

e. [aJlllN f

-e. 1

. 1 1 '

1=

2

= [ _{el[ei ~aJJN} = (6 c'l)N

i=l

2

Segue-se que

<-v

(aN) ,aN> = - ada.

(28)

Por outro lado,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2SRQPONMLKJIHGFEDCBA

-

L

-

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAT - T <A( aN) , aN>

=

< (V (aH» , (V aN) >

e. e.

i:-l a ~

Por outro lado

2YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= L

i=l

e. e.

~ ~

= 2a2K

Desde que

F

=: O, então

I(aN,eNl =

S (-

aea + 2a2KJc!A M

(29)

-24-J

Ur.'lP<.APLICAÇÃO À SUPERFÍCIE DEENNEPERzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

I

• • - - .,.. i .,. •

va mos que uma a.mers ao f:~· 1~ 1-1 e um ponto cru tico paxa a

função ã~ea se e

cc

se para toda variação {ft}

(f .•..(M» satis faz A' (O) = O. Esta condição é

de f a

fun--

<;;>0 A(t)

=

..

are a

~

pela primeira fórmula da variaç~o equivalente ao fato de

isto

é,

f ser umaLmors âo mínima. O termo 11variedade

11 :: O,

i

:t

.•.

.

Inl.n:L-ma"

é

impróprio porquanto a ;rea de uma variedade :'mínima, li~

.

tada por uma curvn de Jo~dõn, não é em ge~al um mínimo. Para d~ monstrar tal fato :Zaren05 uno da aeçunda fórr:mla da variação.Lo

ca~ente ~ma irners50 mínima rep~senta ta~bém um mínimo para a

área. Determinarer.1os corno exemplo até onde esta p r-opz.i.edade de

;

mí.nLmí.eaç âo subsiste no ceco da superfície de Enneper. ,\

1\presentnrern03 al.qunn excrzp Lcs

ce

inersões ~nimas. Por

I'

I

este motivo pr~curaremos de lnício caracte rd aar tais imersões.

Definiçêo:

,

• • _. •. r , c:o (I)

uma vaxí.e dade R~e:]Ç.nn~anae 6:C (M) .• C (~·1)

. !I Seja M

definido por _6f

=

_t~aco (y ~ íJ_y(grr d

{»

que s n+::LC faz

I

v

e

T. O-i) •

p

Laplace-Beltrami~

onde

grad f é o campoem ~-1

6

<grad f (p) ,v> = dfp (v) ,

é o chamado operador de

p

e

M,

LEMA: Seja p € M e E1" •• ,Em G ~.A •

D.,; :,ont.~nJ.r1.enteor-t.onormaí s •

Então

m

- r :

{EkEkf- (íJE1,Ek)f}q

~

-para toda fjf (q)

CX>

(30)

-26-_{zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

b 'I d dzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAf' , - "

PROVA:

O tem-se fac~ mente

a

e ~n~çao

SRQPONMLKJIHGFEDCBAq ~ e

I

m

grad f

=

?

i=1

E '_1.(f) E '_1.

Logo,

Af

mYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= L

k=1

m

< L

i=1

VE,. ( Ei (f) Ei) ,Ek:'

>

k

m

= ~ <EkE, (f) E, + E, (f) V E, ,Ek>

,_/_ 1. 1. 1. ~ l.

1.,k=1

m

= '/

EkEkf

k=1

+

L

Ei (f)

k,1.

<'V' . E, ,El->

E:_k 1. :

Como

< V_E E ' , E_1.

k

_~>

k

-

<E.,V1. EkEk>

tem-se que

Af

m

=;

k=l

EkE'kf

m m

- k ~

<VEk Ek,E.>e,(f>1.: 1.

m

~=l {EkEkf- (VEkEk)f}

:\

II

}

.OBSERVAÇJ.'

O

1:

Seja

M

uma variedade de dimensão

:2I, e {xl ,x2}

p

tal que

um sistema de coordenadas locais

em

3 3

<-_{ax. ax .},- >

1. J

2

= À ô

ir

Segue-se

'facilmente do

Lerpa

l

I

I,

anteiror que

Af

=

2

~ L ·

À i=l

32f

-::--z •

_ax:

1.

nROPOSlç~O:

Seja

H

a curvatura média da imersão

f:M ~ R

n

• Então

Af

=

H

onde

Af

=

_{(l1fl,•••tAfn>}

se

f = (fI'· '.• ,_{fn) •}

(31)

mais e

c . )

°

€. :L o

J

-=

m

6f

=

L

k=l

m

=)

k=l

(€k€kfl,•••'€k€kfn)

'V

€k

onde

V

denota a conexão euclidiana do

R

n• Observe Que do fa

to de

€.

ser tanaente a

M

em

p

e

J ~ (V

_€k

€k)

p =

O

tem-se que

-<'iJ €k ,€ . > =

€k"

J <'iJ €kt ( .

,€.

J> = O.

Portanto

m N

6f=YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAL ( V €

€k)

= H

k=l

k

OBSERVP.ÇÃO:

2 :

Segue-seda

observação

1

e da Proposição

. 2 .• 3

ruor que se

U c P

e aberto e

f:

U -+

R

e

.-

uma

ante-imersão tal que a métrica induzida satisfaz

_gll

=

₉₂₂

=

).2 e

g12 = g21 = 0,

então

f

é

mínima se e somente se

ô2f

-:-z

ôX

l

ô2f

-=-z

ôX

2

°

+

Usaremos a observação

2

par~ concluir que as imersões se

guintes são exemplos de imersões mínimas.

a) CATENÓIDE - Obtido pela revolução da catenãria

c Iu) =

(u,acos

h ã'O)

u

em

tomo

do

eí

xo

cx

Uma parametrização que podemos usar para o catenóide

é

a defini

da por

x(u,v)

=

a(u,coshucosv,coshusenv).

Verifica-se

facil-mente que

x

é

uma imersão e que

<x ,x

> = 0,

U v

<x ,x

u u> =

2 2

<x ,x

>

=

a cOsh v.

v v

2 2

a

x +

a

x

~

av

2

...

.

-

.,..

e uma ame

zs

ao

nu

na

«

O,

Como

segue-se que

x

(32)

~

b) HELICÓIDE -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

I1e1icóice é de finido por

x(u,v)

=

a(senhvcosu,senhvsenu,u).

Desde que g12

=

OSRQPONMLKJIHGFEDCBAI gll

=

g22

=

a

2

cosh2v e xuu + Xvv :-O, en tão x ê uma imersão mínima.

c) SUPERF!CIE l~NIMA DE ENNEPER

-Dada pela imersão X:R2 + R3 definida por

u3 2

:du, v) = (u - - + uv ,v

3

3 2 2

v + vu ,u v2) 3

2 2

x (u,v)

=

(l - u + v ,2uv,2u)

u

2 2

xv(u,v)

=

(2uv,1 - v + u ,-2v)

x_uu (u,v) = (-2u,2v,2) = - x (u,v) vv

Segue-se que _{gll"= g22}

=

_{(1 + u}2 _{+ v}2_)2, _g12

=

_O

e

x

+

x

uu vv

Seja

x:D + R3

O. Logo

2

D c:: R

~

.

-

~.

x e urnaame rs ao nu.narna ,

uma região lirnitada por uma curva Q. Se

define urna superfície que representa um mínimo para a

área então pela Segunda Fnrrnula da Variação I(à~,aN) ~ O para

todo a € C(X) (x ín) com aI

=

O.

Qemonstraremos para o

ca-dx(D)

so da superfície de Enneper a existência de domínios D c R2

nos quais a condição acima não se verifica.

superfície de Ennp.per é então dada por

2 2

on de ).(u, v)

=

1+ U + v •

Procederemos como se segue: A curvatura Gaussiana K

1

2

K = - :-:-zfl(log).)

2>.

da 4

= -

-4

x

Então

2

- aza + 2a K

= - h~

+~]

onde h = à(x) e fl

ê

o lap1aciano usual do II •2

(33)

Segue-seSRQPONMLKJIHGFEDCBAq u e I (al~,aN)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=

l

S -

YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh['>h + ~~

J

dUfV.

222

u + v - r

=

u

2

+ v

2

+ r

2

Considere h (u, v) e defina,

j

S S

222

u +v <r

h~h + ~h 2 2J dudv

L

(1 + u + v )

J

J(r)

=

a

2h 4 2 2

~

=

-3 (v - 3u + 1)

au

>..

e

Pa~a r

=

1, temos que

a2h 4 2 2

~ = -3 (u - 3v + 1).

av

>..

Portanto

z

h + 8e; "' "' :: O.

Segue-se que J(1) = O. - u_{- r} e

a

= -v trans r

Fzendo-se a

formamos J(r) em uma nova integral agora sobre

a

região fixa

2 2

o; +

8

<

1.

Tem-se que J(r)

=

J

S

[

(o;22+6

1

+ 1) 2-

(,Ir

r22o;

F

r2

a

2+ 1

)

2]d d

aa B (0;2+ 82_ 1) 2

(0;2+ 82+ 1) 2 a2

+a

2<1

I,

I.

Por um cálculo simples, obtemos

j!

223

{a + B - 1) dada.

225

(a + 8 + 1)

I

'{

,,-i

J' (1) =

1 6 S

S

a2

+a

2<1

Como a integral

é

obviamente negativa, segue-se que J' (J.) < O. Pelo fato de J(l) = O e J'(l) < O tem-se que existe

a > 1, tal que J(r) _< O para 1 < r < G.

L

.I

i

II

I ~

!.

I~

I'

,

(34)

2~ - ~

u -:- vzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA..i- ~

2:

I -.)r=' r.' U

222

u +v =rzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-30-'. 2 2 2 2

SeJ~ Dr == {(u,v) S R ; u + V < r } V

?ar e cada r, 1 < r < (J

c.e

fina

3.: X(D_r) -+ .•..•h3 pOi:

a (x (u , v) ==

2 2

u + V 2

En· ::ã.o clJ G1ul.a-ae na fron

tEüra

ce

X(DrJ e maí.s ainda

ISRQPONMLKJIHGFEDCBA( ~ 1 , a.~)

= -

5

h

r

6h + 8h ]

u

2+v2<r2

L

(1 + u

2 ₊

v2) 2' dudv

= .:f(y-) -( O.

e 3 ... . .,.. .,..

Is-co mos:t:cn<Ju'~ ~{:D.__.•... -+ R c..ef~ne uma Gup2:o:f1c1e mi.nz.ma que não rer?rGG'.::rd:~ura mInimo com relaç~o a 2i:ea.

E ts Uc:.a.!..,-".•'l-"--'~' :0.;:>~...c.:.gO.,.2.-- a ~_.."'-.:..,;:,.•••n--",;',..•0

XID~D

V~:::~8!nOSq:19 a segunda fórmula

-+ R3 onde

D c { (u,v ),..,...2C h •: U2..J.. ••2. v <..!...., }

da variação ê poait.Lva , isto

é,

I (v.v) > O para todo V = aN, a:x(D) -+ R, co~ a ~ O em ax(D).

"'?àra Lss o ccns Lde ze N(x (u , v» = _u2 ₊ _v1 (-2; 2

2

+ 1 u,-2v,l-u _v2)

~m campo unit&rio nO~ín~l u. s,~erfície de Enneper M. Segue-se

. . - d 2 - .

-f acd.Lmen t.e qt.•.~ a é4i.,1~c2_çao e Gauss Cf!M -+ S, e uma a.mere aoYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

. J ~

injeti va.

lonsidere M c~~ a ~êtric~ _<'>5 induzida pela aplica-çao Le Ga'J.'3s.

T2r1~: Denote por 6

5 o lapl~ciano de M cem a métrica <'>s·

(35)

PROVA: Desde que K

é

o determinante da diferencial da aplica

çao normal de Gauss,temos <U , V> = - K -::U , V>, U, VzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA€ T (M) •

s

Seja x(u,v) uma parametrização de M por parâmetros iso térmicos, então

2

dS"1 = Ã (du2 + dv2)

Usando a observaç;o acima obtem-se ds2 2 2 S = - KÃ(du + dv ).

2 2 2 2

Lo0.O tlf=l(êf+êf) e tl f=_..!.(ê f+ê f) _{I .}

M À ~ êv2 s ÃK ~ ~

e o lema fica provado.

OBSERVl\~C$O1:

..

Segue-se do lema anterior aue se

D

= x(D) e

-

um

dom!niona seperfície de Enneper então

I (aN ,?N) = -SRQPONMLKJIHGFEDCBA

J

(atlsa+ 2a2) dS

D

para toda QO

-a € C (D) tal que

al

êÕ

=

O.

Definição: Em uma variedade Riema1'lniana (M,<,» representar~ mos por àM o laplaciano de M e denotaremos por

VÃ' À €YXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAR , o espaço das soluções da equação tlMf= Àf,;

f e

d

D

(M) •

I

OBSERVAÇÃO 2: Os seguintes fatos saõ bastantes conhecidos:

a) Se u € VÃ ent~o u

ê

analttica. b) Os autovalores {À.} de tl

) satisfazem

À1 < À₂ < •••< Àj < ••• .• CIO e cada

finita.

tem dimensão VÃ.

(36)

-32-c) Se:; H

=

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBASl1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

_,

_{com a rnét=ica induzida} _de _Rn₊1 _então

À,

=

k ('-1 + k -1), k > O e V = espaço vetorial dosYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

h - Àk

I' ,., h - k 1- -, n+ 1

po 2no~os omoçeneos de grau uarrnon1COS em R .

::~OPOSI ç;;O:

_o

_pri~eiro _autova1or _{não nulo de}

6]1.1 ê dado por

À₁

=

inf

J

-ab.adH

H

----;

. 1

a

8

C por partes e aI :: O

aN

S

M

a2d!1

- a igualdadê va Le se e a omentie se a

e

V

À "

1

'ROV!,: _Seja _éi:M _-+ _R _C1 _por _p_{ar+ea e tal} _que _aj _:= _O.

. 3M

rifica-se Íé:cilmente (Veja [1], página 186) que

7eSRQPONMLKJIHGFEDCBA

S

_-ab.aà;:'1 >

).., f

L _2..::!~ci. uH

r-1

1-1

que a igualdade se verifica se e só se _a _€ _{VÃ .}

1

.;ROLrFIO: Sejam

.

D

*

C D domi.n.í.os

~ .

em .H e _Àl'

*

À1 os primei ros autovalores do LapLací ano , b.r.1 restri~o a D e

respectivamente. Então

*

Sê D = D.

*

Àl ~ Àl·

A igualdade so se verifi

1 - ... , I

OVA: Sejn H (D) = {a:D -+ R í a e C · ~or partes e a D= O .•

1 i : *

Sej a a 8 H (D ) ft Est':mda a cor:t:tnuã~~nte a 9 - D

finido _ai _';':: _O. _Segue-se _{da proposição} _anterior _que

D-!) 1 1

*

~ À1' já que H (D)~ C H (D). Por outro lado se Ã

1

=

À1"

a:D -+ R

*

.sí de re ta: qae

aI

'*

e

VÃ e a := O em D - D •

(37)

f -

~ t .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAadr1

O

-

J

2

- À₁ a &1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

. O

.egue-se que a 6 H"(D) e como

.em-seque

*

O

=

O •

a € PÀ •

1

Observaç2o 2, a é analítica e en

:sclvido como se segue:

-Seja O

=

x (O) e

CI) •••

então

€ C (D), o

S

2 .

aN,2N) _{= -} _(Ma ₊ _{2a )}dl-1 D

~ 2 2

> ..• (À

1a - 2a )d~

O

ao

Pela

n nosso problema pode ent~o ser

2 2

u +v

=1

i

~O

= ( À1 - 2)SRQPONMLKJIHGFEDCBA

S

a 2c'h'1

Õ

I

Pelo corolãrio anterior e pela observação 2-c tem-se que

> 2 e portanto

(38)

REFER~NCIASzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Li]

J. L. BAPBOSA,M. DO CARHO- On the Size of a Stab1e minima1

Surface in R3•

[2J

M. BEFGER,P. GJ'.UOUCHON,E. ~AZET- Le Spectre d 'une Variétê

Riemanniene, Lecture Notes nQ 194, Springer,1971

[3J

~1. DO CA&~O- Notas de Geometria Piemanniana, IMPA, 1971.

[4]

S. HELG1\SON- Differential Geometry and Symetric

Academic Press, 1963.

Space,

[5JzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAN.

HTcr.S -

Notes on Oifferentia1 Geometry, Van Nostrand,1963

[6] H. B. LAW5CN,JR. - Lectures on Minima1 Submanifo1ds,

Vo1n-me 1.

[7] T. RADÔ- Cl'l the prob1em of P1ateau, Springer verlag, New

York, Heidelberg, Berlin, 1971.

[8] J. SIMONS- Minima1 Varieties in Riemannian ~anifo1ds, Annals