Lista de exercícios
I. Curvas parametrizadas
1. Dado a>0, considere a circunferência x2+ (y− a
2)2 = (a2)2. Parametrize a curvaC do R2 formada pelos vértices que correspondem aos ângulos retos dos triângulos retângulos obtidos pela interseção de uma reta r com a circunferência e a reta y= a (ver figura abaixo).
x y O A B r
2. Dado um real a>0. Encontre uma parametrização da curva obtida pela intersecção
da esfera x2+y2+z2= a2 e do cilindro(x−a2)2+y2 = (2a)2.
3. Obtenha uma reparamerização pelo comprimento de arco das seguintes curvas i) α(t) = (etcos(t), etsen(t), et), com t∈ R
ii) β(t) = (2 cosh(2t), 2senh(2t), 4t), com t∈R
x y z x y z
4. Suponha que β1 e β2 são reparametrizações pelo comprimento de arco de uma mesma curva α. Mostre que existe uma constante c0 tal que β2(s) = β1(±s+c0) para todo s no domínio de β2.
5. Considere a curva parametrizada β :] −1, 1[−→R3dada pela seguinte expressão
β(s) = 1 3(1+s) 3/2,1 3(1−s) 3/2,√s 2
Mostre que β está parametrizada pelo comprimento de arco, determine então o seu referencial de Frenet, sua curvatura e sua torção.
6. Considere a seguinte curva parametrizada β : R −→R3 dada por
β(s) = 4
5cos(s), 1−sen(s),− 3 5cos(s)
Mostre que β está parametrizada pelo comprimento de arco e verifique ainda que a imagem de β é uma circunferência.
7. Dada uma curva parametrizada α : I ⊂R −→R3, considere o segmento[a, b] ⊂ I
e a restrição β = α|[a,b]. Faça então p = β(a), q = β(b) e defina o vetor unitário
~u= (q−p)/kq−pk.
i) Se σ :[0, 1] −→R3 é o segmento de reta σ(t) = (1−t)p+tq, mostre que L(σ) = kq−pk
ii) Use o fato de que kβ′(t)k ≥ |β′(t) · ~u|(∀t∈ [a, b]) e mostre que L(β) ≥ L(σ)
iii) Mostre que seL(β) = L(σ), então β é uma reparametrização de σ.
8. Seja γ : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco com
κ(s) >0 e τ(s) 6=0 para todo s no intervalo aberto I. Mostre que:
i) Se a imagem de γ está contida em uma esfera de centro c e raio r, então γ−c= −ρN−ρ′σB
onde N e B são o normal e o binormal de γ e, por definição, ρ = 1/κ e σ=1/τ.
ii) Recíprocamente, mostre que se ρ2+ (ρ′σ)2 possui um valor constante r2 e ρ′ 6=0 em I, então a imagem de γ está contida em uma esfera de raio r. 9. Seja β : I ⊂ R −→ R3 uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Se
toda reta tangente a β passa por um ponto fixo p∈ R3, mostre que a imagem de β
10. Uma parametrização pelo comprimento de arco de uma circunferência de centro c e raio r>0 pode ser dada pela seguinte expressão
γ(s) =c+r coss r e1+r sen s r e2, (onde ei·ej =δij)
Mostre que se β é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e com κ(0) >0, então existe uma, e só uma, circunferência γ com a seguinte propriedade
γ(0) =β(0), γ′(0) =β′(0) e γ′′(0) =β′′(0)
Mostre que γ está no plano osculador de β, determine o seu centro c e o seu raio r. 11. Suponha que β : I ⊂ R −→R3 é uma curva parametrizada pelo comprimento de
arco. Definimos a imagem esférica de β como sendo a curva σ : I⊂ R −→R3 dada
por σ(s) = Ts, onde Ts é a tangente de β. Mostre que a curvatura e a torção de σ são dadas pelas seguintes expressões
κσ = r 1+ (τ κ)2, τσ= d ds(τκ) κ1+ τ κ 2
onde κ e τ representam a curvatura e a torção de β.
12. Mostre que toda curva regular do R3, cujas funções coordenadas são dadas por polinômios de grau menor ou igual a 2, é uma curva plana.
13. Mostre que é plana a seguinte curva α :]0,+∞[−→R3 dada por α(t) = t,1+t t , 1−t2 t
14. Calcule a curvatura e a torção das seguintes curvas definidas em R i) α(t) = (t, t2, t3)
ii) β(t) = (cos(t), sen(t), et)
iii) γ(t) = (t, cosh(t), senh(t))
x y z x y z x y z
15. Sejam f , g : I ⊂ R −→ R3 funções diferenciáveis com f(t) > 0 para todo t ∈ I.
Fixe a∈ I e considere então a seguinte curva α : I ⊂R−→R3dada por
α(t) = Z t a f(u)sen(u)du, Z t a f(u)cos(u)du, Z t a f(u)g(u)du
Mostre que a curvatura κα e a torção τα de α são dadas por κα = 1 f s 1+g2+ (g′)2 (1+g2)3 , τα = − g+g′′ f(1+g2+ (g′)2)
16. Considere a cúbica geral α : R−→R3dada por α(t) = (at, bt2, ct3), onde a, b, c∈R
são tais que abc6=0.
i) Mostre que o quociente τ/κ é dado por τ κ = 3ac 2b2 9c2t4+4b2t2+a2 9c2t4+9(a2c2/b2)t2+a2 3/2
Deduza então que α é uma hélice cilíndrica se, e só se, 3ac= ±2b2. ii) No caso em que 3ac =2b2, encontre o vetor~u e o ângulo ϑ da hélice.
17. Seja β :] −ǫ, ǫ[−→ R3 uma hélice cilíndrica parametrizada pelo comprimento de
arco. Seja~u o correspondente vetor do R3 tal que Ts· ~u =cos(ϑ)para s ∈] −ǫ, ǫ[.
A curva β é dita uma hélice circular se a sua imagem está contida em um cilindro circular reto.
i) Defina h(s) = (β(s) −β(0)) · ~u, com s∈] −ǫ, ǫ[. Mostre que h(s) =s cos(ϑ). ii) Seja γ :] −ǫ, ǫ[−→R3dada por γ(s) =β(s) −h(s)~u. Mostre que
κγ = κβ sen2(ϑ) onde κβ >0 é a curvatura de β.
iii) Deduza que β é uma hélice circular se, e só se, κβ é constante e τβ é constante. 18. Seja α : I ⊂R−→R3 uma curva regular com κ(t) >0 para todo t∈ I. Mostre que
i) Um ponto p∈R3 está no plano osculador de α em α(t0)se, e só se, (p−α(t0)) ·Bt0 =0
onde Bt é o binormal de α.
ii) Se todos os planos osculadores de α possuem um ponto em comum, então α é uma curva plana.
19. Sejam f e g funções reais diferenciáveis definidas em um intervalo aberto I que contém 0. Suponha que f2+g2=1 em I e que θ
0é um número com f(0) =cos(θ0) e g(0) =sen(θ0). Definimos então a função
θ(t) =θ0+ Z t
0 (f(u)g
′(u) −g(u)f′(u))du, t ∈ I
Mostre que f(t) = cos(θ(t))e g(t) = sen(θ(t))para todo t ∈ I. Sugestão: mostre que a seguinte função é identicamente nula
F(t) = [f(t) −cos(θ(t))]2+ [g(t) −sen(θ(t))]2
20. Seja α : I ⊂R −→R2 dada por α(s) = (x(s), y(s))uma curva parametrizada pelo
comprimento de arco. O referencial de Frenet de α é então definido por
Ts= (x′(s), y′(s)) Ns= (−y′(s), x′(s))
Mostre que Ts′ = κ(s)Ns onde κ(s) = Ts′·Ns. Mostre ainda que Ns′ = −κ(s)Ts. A função κ(s)é chamada de curvatura de α. Mostre também que κ(s) = θ′(s), onde θ(s)é o ângulo que a tangente Tsfaz com o eixo das abscissas. Suponha agora que β : I ⊂R −→R2, dada por β(t) = (x(t), y(t)), é uma curva regular. Denotamos o
referencial de Frenet de β por{Tt, Nt}e o definimos por
Tt =Ts(t)
Nt = Ns(t)
ondeTs, Ns é o referencial de Frenet da reparametrização de β pelo comprimento de arco feita através da função s(t). A curvatura de β é definida por κ(t) =κ(s(t)). Mostre que Tt′ = κ(t)s′(t)Nt e que Nt′ = −κ(t)s′(t)Tt. Determine as expressões de Tt e de Nt (em função de x(t)e y(t)) e mostre ainda que
κ(t) = −x′′(t)y′(t) +x′(t)y′′(t) (x′(t)2+y′(t)2)3/2
21. Mostre que o comprimento de uma curva dada em coordenadas polares r=r(θ)é
L =
Z θ1 θ0
q
r2+ (r′)2dθ Mostre ainda que a curvatura dessa curva é dada por
κ = 2(r′)
2−rr′′+r2
22. Suponha que β : I ⊂ R−→R2 é uma curva regular com κ(t) 6=0 para todo t∈ I.
A evoluta de β é a curva (cujas tangentes são ortogonais à curva β) dada por c(t) =β(t) + 1
κ(t)Nt
Determine as evolutas de: β1(t) = (2 cos(t), sen(t))e de β2(t) = (t, t2).
x y
x y
23. Dada uma função diferenciável κ : I −→ R, definida no intervalo aberto I ⊂ R,
mostre que existe uma curva parametrizada pelo comprimento de arco α : I −→R2
tal que κα =κ. Esboce uma curva com κ(s) =2s (espiral de Euler1). Sugestão: i) Defina θ(s) = Z s 0 κ(t)dt, onde supomos 0∈ I. ii) Defina α(s) = Z s 0 cos(θ(t))dt, Z s 0 sen(θ(t))dt
24. Mostre que são congruentes as curvas α, β : R−→R3 abaixo
α(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), 2t)
β(t) = (t+√3 sen(t), 2 cos(t),√3t−sen(t))
II. Superfícies parametrizadas
1. Mostre que as seguintes aplicações são superfícies parametrizadas regulares i) (Cilindro) ϕ : R2−→R3dada por ϕ(u, v) = (cos(u), 2 sen(u), v)
ii) (Catenóide) ϕ : R2−→R3dada por ϕ(u, v) = (cosh(v)cos(u), cosh(v)sen(u), v)
iii) (Helicóide) ϕ : R2−→R3dada por ϕ(u, v) = (u cos(v), u sen(v), v)
2. Verifique que as seguintes aplicações são superfícies parametrizadas e determine os pontos singulares daquelas que não são regulares
i) ϕ : R2− {(0, 0)} −→R3 dada por ϕ(u, v) = (u3, v3,(u6+v6)1/3)
ii) ϕ : R2 −→R3 dada por ϕ(u, v) = (u2−v2, 2uv, u5)
iii) ϕ : R2 −→R3 dada por ϕ(u, v) = (u, v3, v2)
iv) ϕ : R2 −→R3 dada por ϕ(u, v) = (u, v, v3)
3. Em cada caso, mostre que o conjunto f−1(0)define uma subvariedade mergulhada: i) f(x, y, z) =x2+y2+z2−1, com(x, y, z) ∈R3
ii) f(x, y, z) =x2/a2+y2/b2+z2/c2−1, com(x, y, z) ∈R3, a>0, b>0 e c>0
iii) f(x, y, z) =x2+y2−z2−1, com(x, y, z) ∈R3
iv) f(x, y, z) = −x2−y2+z2−1, com(x, y, z) ∈R3
4. Mostre que a esfera x2+y2+z2 = 1 e o elipsóide x2/a2+y2/b2+z2/c2 = 1 são difeomorfos utilizando a aplicação F : R3−→R3dada por
F(x, y, z) = (ax, by, cz)
5. Mostre que se ϕ : U ⊂ R2 −→ R3 é uma superfície parametrizada regular e se (u0, v0) ∈ U, então existe uma vizinhança V de(u0, v0)em U tal que ϕ(V) ⊂R3é uma subvariedade mergulhada. Sugestão: escreva ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
e defina a aplicação F : U×R−→R3 por
F(u, v, t) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v) +t)
e use o teorema da função inversa.
6. Para cada uma das seguintes subvariedades mergulhadas do R3, descreva então a imagem da respectiva aplicação normal de Gauss
i) x2+y2= a2 (cilindro) iv) z= x2+y2(parabolóide) ii) z=px2+y2 (cone sem o vértice) v) x2+y2−z2=1 (hiperbolóide) iii) x+y+z =0 (plano) vi) x2+y2= (cosh(z))2(catenóide) 7. Sejam α, β : I ⊂ R −→ R3 curvas parametrizadas e suponha que β(t) 6= 0 para
todo t∈ I. Defina ϕ : I×R−→R3por
ϕ(t, v) =α(t) +vβ(t)
Mostre que ϕ é uma superfície parametrizada (que é chamada de superfície regrada). Mostre também que o hiperbolóide x2+y2−z2 = 1, a sela z = xy, o helicóide e um cilindro construído sobre uma curva plana, são todos exemplos de superfícies regradas. Mostre ainda que a curvatura gaussiana dessa superfície (nos pontos não singulares) é dada por
K(t, v) = − (α′(t) ·β(t) ×β′(t))
2
kα′(t) ×β(t) +vβ′(t) ×β(t)k4
No caso particular em que α é uma curva regular, com κ(t) 6=0 para todo t∈ I e a curva β é dada por β= α′, então a superfície regrada correspondente é regular e é chamada de superfície tangente. Mostre que, nesse caso, K=0.
8. Considere uma circunferência com centro(R, 0, 0) ∈R3, de raio r>0 (com r< R)
e situada num plano ortogonal ao plano xy. A rotação dessa circunferência ao redor do eixo z forma uma superfície parametrizada conhecida como Toro.
y z x z v u
Verifique que a aplicação diferenciável ϕ : R2 −→R3 dada por
ϕ(u, v) = ((R+r cos(u))cos(v),(R+r cos(u))sen(v), r sen(u))
parametriza o Toro. Mostre que o Toro é uma superfície parametrizada regular.
Mostre então que os coeficientes da primeira forma fundamental do Toro são E=r2, F=0 e G= (R+r cos(u))2
Mostre ainda que os coeficientes da segunda forma fundamental do Toro são e=r, f =0 e g= (R+r cos(u))cos(u)
e que suas curvaturas principais são dadas por κ1=1/r e κ2 = cos
(u)
R+r cos(u)
Conclua que a curvatura gaussiana do Toro é dada por K = cos(u)
9. Seja α(u) = (h(u), 0, l(u))uma curva parametrizada do R3, definida num intervalo aberto I ⊂ R e cuja imagem está contida no plano xz. A rotação dessa curva
ao redor do eixo dos z forma uma superfície S chamada de superfície de revolução. Mostre que a aplicação ϕ : I×R−→R3 dada por (assuma h>0)
ϕ(u, v) = (h(u)cos(v), h(u)sin(v), l(u))
parametriza a superfície de revoluçãoS. Mostre ainda que se α é uma curva regular, entãoS é uma superfície parametrizada regular.
Mostre também que os coeficientes da primeira e da segunda forma deS são E= (h′)2+ (l′)2, F = f =0, G= h2, e= −l′h′′+h′l′′ p (h′)2+ (l′)2, g= l′h p (h′)2+ (l′)2 Conclua que a curvatura gaussiana deS é dada por
K= −l′(l′h′′−l′′h′)
h((h′)2+ (l′)2)2
10. Considere a superfície de revolução dada pelas seguintes relações x=r cos(θ) y= r sen(θ) z = f(r)
onde r = px2+y2 > 0 e f(r)é uma função diferenciável. Mostre que as curvas dessa superfície que formam um ângulo constante α com cada paralelo admitem uma parametrização dada por
β(r) = (r cos(θ(r)), r sen(θ(r)), f(r))
onde θ é dada pela seguinte expressão θ =
Z 1
r cot(α) q
11. Prove que se uma subvariedade mergulhada S ⊂ R3 é tangente a um plano ao
longo de uma curva, então os pontos dessa curva são parabólicos ou planares. 12. SejaS ⊂R3uma superfície de revolução. Mostre que os meridianos e os paralelos
são linhas de curvatura deS.
13. Mostre que não existem pontos umbílicos sobre uma dada superfície parametrizada regular que possui K < 0. Mostre ainda que se K ≤ 0, então os pontos umbílicos
são pontos planares.
14. Dada uma superfície parametrizada regular ϕ : U ⊂ R2 −→ R3 e também um
vetor tangente~v = v1ϕu+v2ϕv. Mostre que~v é um vetor principal se, e sómente
se, a seguinte matriz tem determinante zero v22 −v1v2 v21 E F G e f g
Mostre ainda que um ponto ϕ(u, v) é umbílico se, e só se, e = κE, f = κF e g = κG no ponto (u, v). Mostre também que, nesse último caso, κ = κ1 = κ2 são as curvaturas principais. Finalmente, mostre que o vetor~v é assintótico (ou seja,~v
anula a segunda forma fundamental) se, e só se, ev21+2 f v1v2+gv22=0
15. Mostre que uma subvariedade mergulhada e compacta do R3tem, pelo menos, um ponto elíptico.
16. Prove que não existem subvariedades mergulhadas do R3 que, além de mínimas (i.e. com H =0 em todos os pontos), são também compactas.
17. Seja f : U⊂R2 −→Rdiferenciável e defina a seguinte subvariedade mergulhada S =
(u, v, f(u, v)) ∈R3; (u, v) ∈U
Mostre que valem as seguintes igualdades E = 1+ fu2, F = fufv, G=1+ fv2 e = fuu p1+ f2 u+ fv2 , f = fuv p1+ f2 u+ fv2 , g= fvv p1+ f2 u+ fv2 Mostre também que temos as seguintes equivalências
K =0⇔ fuufvv− fuv2 =0
18. (Superfície de Scherk) Com as notações e definições do exercício anterior, faça f(x, y) =ln cos(y)
cos(x)
com domínio igual a U =] −π/2, π/2[×] −π/2, π/2[. Determine as curvaturas gaussiana e média da respectiva subvariedade mergulhada.
19. (Superfície de Enneper) Seja a superfície parametrizada ϕ : R2−→R3dada por
ϕ(u, v) = u−u 3 3 +uv 2, v− v3 3 +vu 2, u2−v2
Verifique que ϕ é uma superfície parametrizada regular e mostre que: i) E=G= (1+u2+v2)2 e F=0
ii) e=2, f =0 e g= −2
iii) As curvaturas principais são κ1=2(1+u2+v2)−2e κ2 = −2(1+u2+v2)−2 iv) As linhas de curvatura são as curvas coordenadas
v) As linhas assintóticas são dadas por u+v=cte. e u−v=cte.
20. Seja S ⊂R3 uma subvariedade mergulhada e α :] −ǫ, ǫ[−→ S uma curva regular.
Se α(0) =p e Kp >0, mostre que a curvatura κ(0)de α em p satisfaz κ(0) ≥min{|κ1(p)|,|κ2(p)|}
21. Mostre que sobre uma superfície parametrizada regular sempre temos i) H2−K≥0
ii) Hp= 1 π
Z π
0 κn(θ)dθ, onde κn(θ)é a curvatura normal numa direção θ de TpS. 22. (Pseudoesfera) Considere a superfície de rotação ϕ :] −∞, 0[×R−→R3dada por
ϕ(u, v) = eucos(v), eusen(v), Z u 0 p 1−e2sds
i) Mostre que ϕ possui curvatura gaussiana constante K= −1 ii) Determine as linhas de curvatura de ϕ
iii) Determine as linhas assintóticas de ϕ
23. Mostre que se uma superfície de revolução é mínima, então ela está contida em um plano ou em um catenóide.
24. Mostre as seguintes afirmações relativas a uma subvariedade mergulhadaS ⊂R3:
i) Se uma curva regular deS é uma linha de curvatura e uma geodésica, então essa curva é plana.
ii) Se uma geodésica (não retilínea) é uma curva plana de S, então ela é uma linha de curvatura.
iii) Uma curva regular deS é uma curva assintótica e uma geodésica se, e só se, ela é uma reta.
25. Mostre que se todas as geodésicas de uma subvariedade mergulhada conexa S do
III. Formas diferenciais
1. Considere as seguintes 1-formas definidas no R3 i) ω=y2dx
ii) η =zdy−ydz
iii) σ= (z2−1)dx−dy+x2dz
Calcule ωp(~v), ηp(~v)e σp(~v)onde~v = (1, 2,−3) ∈TpR3com p= (0,−2, 1). 2. Dadas funções f , g : R3−→Re campos de vetores V, W∈X(R3), mostre que
i) ω(f V+gW) = f ω(V) +gω(W)
ii) (f ω+gη)(V) = f ω(V) +gη(V)
para todas 1-formas ω, η definidas no R3.
3. Dadas funções diferenciáveis f , g : R3 −→R, verifique que
i) d(f+g) =d f +dg ii) d(f g) =gd f+ f dg
utilizando a definição d f = ∂ f∂xdx+ ∂ f∂ydy+∂ f∂zdz.
4. Sejam ω, σ 1-formas definidas no R3 e dadas pelas seguintes expressões: ω= xdx−ydy, σ =ydx−xyzdy+x2dz
Calcule ω∧σ.
5. Considere a 1-forma ω definida em R2− {(0, 0)}e dada pela seguinte expressão ω= −x2+y y2dx+ x x2+y2dy Seja agora f : U := (r, θ) ∈R2 : r>0 e 0< θ<2π −−−−−−→R2dada por f(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) Calcule f∗(ω).
Solução: Dado p∈U e~v= (v1, v2) ∈TpR2, temos
f∗(ω)p(~v) = ωf(p)(d fp(~v))
= −r sin(θ)
r2 (v1cos(θ) −r sin(θ)v2) +
r cos(θ)
r2 (v1sin(θ) +r cos(θ)v2)
= −v1sin(θr)cos(θ)+sin2(θ)v2+ v1sin
(θ)cos(θ) r +cos 2(θ)v 2 = v2 =dθ(~v) Assim f∗(ω) =dθ
6. Sejam p = (2, 1, 0) ∈ R3, ~v = (−1, 0, 2) ∈ TpR3 e ainda o campo de vetores
X= x2e
1+yze3 ∈X(R3). Calcule∇~vX.
7. Sejam X, Y∈X(R3)campos de vetores dados pelas seguintes expressões:
X = (y−x)e1+ (xy)e3 Y = (x2)e1+ (yz)e3 Calcule∇XY.
8. Seja{E1, E2, E3}o referencial ortonormal cilíndrico definido em R3− {eixo z} E1(r, θ, z) = (cos(θ), sin(θ), 0) E2(r, θ, z) = (−sin(θ), cos(θ), 0) E3(r, θ, z) = (0, 0, 1)
onde x=r cos(θ), y= r sin(θ)e z=z. Mostre que as 1-formas de conexão são ω12=dθ, ω21= −dθ e ωij =0 (nos outros casos)
Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas expressões ω1= dr ω2=rdθ ω3= dz
Mostre que E1[r] =1, E2[θ] =1/r, E3[z] =1 e que todas as outras alternativas dão zero. Verifique a validade das equações de estrutura.
9. Seja{E1, E2, E3}o referencial ortonormal esférico definido em R3− {eixo z}
E1(r, θ, ϕ) = (cos(ϕ)cos(θ), cos(ϕ)sin(θ), sin(ϕ)) E2(r, θ, ϕ) = (−sin(θ), cos(θ), 0)
E3(r, θ, ϕ) = (−sin(ϕ)cos(θ),−sin(ϕ)sin(θ), cos(ϕ)) onde x=r cos(ϕ)cos(θ), y=r cos(ϕ)sin(θ)e z=r sin(ϕ). Mostre que
ω12 =cos(ϕ)dθ, ω13 =dϕ, ω23=sin(ϕ)dθ
Mostre também que as 1-formas duais são dadas pelas seguintes expressões ω1 =dr ω2 =r cos(ϕ)dθ ω3 =rdϕ
10. Seja S uma subvariedade mergulhada no R3 e ainda {E1, E2, E3} um referencial ortonormal adaptado sobreS. Denote por(ωij)as 1-formas de conexão e (ωi)as 1-formas duais associadas. Mostre que valem as seguintes igualdades
ω13∧ω23 = Kω1∧ω2 dω12 = −Kω1∧ω2
2Hω1∧ω2 = ω13∧ω2+ω1∧ω23
K = E2[ω12(E1)] −E1[ω12(E2)] −ω12(E1)2−ω12(E2)2
onde K e H representam, respectivamente, as curvaturas Gaussiana e Média deS. 11. Com as mesmas notações do exercício anterior, suponha ainda que o referencial
{E1, E2, E3}é principal, ou seja, E1e E2são direções principais em cada ponto deS. Mostre que valem as seguintes igualdades
E2[κ1] = (κ1−κ2)ω12(E1) E1[κ2] = (κ1−κ2)ω12(E2) onde κ1e κ2 são as curvaturas principais deS.
12. SejaS ⊂R3uma subvariedade mergulhada umbílica. Mostre queS tem curvatura
Gaussiana constante não negativa. Mostre ainda que se K=0, entãoS está contida em um plano e se K>0, entãoS está contida em uma esfera de raio 1/√K.
13. Mostre que se F :S −→ S é uma isometria entre duas subvariedades mergulhadas, dS(p, q) =dS(F(p), F(q))
14. Seja F : S −→ S uma isometria entre duas subvariedades mergulhadas. Tome agora um referencial ortonormal{E1, E2}deS e o referencial correspondente deS
E1, E2 , Ei =dF(Ei), i =1, 2
Mostre que se ω1, ω2e ω12indicam os duais e a 1-forma de conexão deS, então ω1 =F∗(ω1), ω2= F∗(ω2), ω12= F∗(ω12)
15. Seja F :S −→ S uma isometria entre duas subvariedades mergulhadas. Mostre: K(p) =K(F(p))
para todo p ∈ S, onde K e K representam as curvaturas gaussianas de S e S, respectivamente.
16. Seja S uma subvariedade mergulhada do R3. Sejam X e Y campos de vetores tangentes a S. Denotando por ∇ a derivada usual do R3 e por ∇ a derivada covariante deS, mostre que vale a relação
∇XY= ∇XY+ (A(X) ·Y)N
onde A é o operador de Weingarten segundo uma normal unitária N deS.
17. Seja S uma subvariedade mergulhada do R3 e ϕ : U ⊂ R2 −→ S uma carta deS.
Suponha que ϕ é ortogonal, isto é, F= ϕu·ϕv=0. Mostre que i) Os campos abaixo formam um referencial ortonormal em ϕ(U)
E1 = √ϕu
E E2=
ϕv
√
G ii) As 1-formas duais correspondentes são dadas por
ω1 =
√
Edu ω2 =
√
Gdv
iii) A 1-forma de conexão correspondente é dada pela expressão ω12 = − (√E)v √ G du+ (√G)u √ E dv
18. Seja S uma subvariedade mergulhada do R3. Mostre que se p ∈ S e ~v ∈ T pS, existe uma (única) geodésica maximal γ : I⊂R−→ S tal que
γ(0) = p γ′(0) = ~v
Denote ainda por γ~v essa geodésica maximal definida em] −ǫ, ǫ[. Mostre que
γa~v(t) =γ~v(at), ∀t ∈] −ǫ/a, ǫ/a[
onde a>0 é uma constante.
19. Sejam S uma subvariedade mergulhada do R3 e p ∈ S. Seja (e
1, e2) uma base ortonormal de TpS e denote por γ~v a (única) geodésica de S com γ~v(0) = p e
γ~′v(0) = ~v∈ TpS. Seja ainda Sǫ=]0, ǫ[×] −π, π[. Defina a aplicação ϕ : Sǫ−→ S
ϕ(u, v) =γcos(v)e1+sin(v)e2(u)
Mostre que, para um certo ǫ>0, ϕ é uma carta deS com E=1, F=0, G>0 e:
i) γ(u) =ϕ(u, v0)minimiza o comprimento de arco entre p e q= ϕ(u0, v0). ii) Se α é uma curva em S unindo p e q e aindaL(γ) = L(α), então
20. SejaS uma subvariedade mergulhada do R3e d a distância intrínseca deS. Mostre que(S, d)é um espaço métrico.
21. Seja S ⊂ R3 uma subvariedade mergulhada conexa. Tome p ∈ S e {e1, e2} um
referencial ortonormal de TpS. Considere ainda duas isometrias F, G : S −→ S tais que F(p) =G(p)e dFp(ei) =dGp(ei)para todo i=1, 2. Mostre que F=G. 22. Se S é uma subvariedade mergulhada do R3 compacta, conexa, orientável e com
K>0, mostre queS é homeomorfa à esfera.
23. Se S é uma subvariedade mergulhada do R3 compacta, conexa, orientável e de gênero g=1, mostre que existe p∈ S tal que Kp =0. Se, por outro lado, o gênero deS satisfaz g≥2, mostre que existe p∈ S tal que Kp <0.
24. SejaS uma subvariedade mergulhada do R3compacta, conexa, orientável. Mostre que são equivalentes:
i) Existe X∈X(S)unitário; ii) χ(S) =0;
iii) S é difeomorfa ao toro.
25. Se uma subvariedade mergulhada S é compacta, conexa e orientável com K = 0, mostre queS é difeomorfa ao toro.
· · ·
g= 2−χ(S)
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