A Mandado pelo Prof Segunda Lista de Exercicios MD 2013

(1)

Segunda Lista de Exercícios de Matemática Discreta

I) 1.- Converta os números para a base indicada. Complete a tabela

Base 10 Base 2

Base 3

Base 5

Base 7

Base 8

Base 16

0 1 2 3 . . 49 50 60 70 80 90 100 200

2.- Converta os números para a base indicada. Complete a tabela

n Base 2

Base 10

Base 8

Base 16

100012

-3B7 2518

(2)

3217658

56208

110101011012

-4F5H

3.- Efetuar as seguintes operações na base 2. Conferir os resultados

100101

1001

11110

1010.11

101101 101101

11101

1111

100110

1010

11111

1001.01

-1111

-11101

-11111

* 101

+100111 +1011 +101101 +1100.00

II)

Matrizes: 1.- Dadas as matrizes A, B, 3x3 a seguir

2

3

1

5

2

1

3

1 A



�



_�



_�

�

_

�

;

2

11

1

3

2

1

7

5 B



�

 

_�



_�

�

_

�

; Calcule

i)

A+ B, ii) 2A - 3B, iii) AB e BA, iv) (AB)t _{, B}t _At_{, v) ½ ( A + A}t_{), vi) ½ ( A - A}t₎

ii) Dada a matriz A=

7

4

9

5 �

�

_

�

. Mostre por indução que A

n ₌

1 6

4

9 1 6

n



�

_

�

2.- Sendo

1

2

1

2

2 A



�



�



�

. Calcule A2 _{, A}3 _{, o que deve ser A}n_?.

c) Sendo

1

1 A



�

_�



�

_�



�

e

1 1

B



� �

_{� �}

� �

calcule A

2 _{. Se A fosse simétrica ainda valeria o resultado.}

Calcule ainda, B2 _{, B}3_{, em gera que pode-se concluir.}

III) 1.- Usando algoritmo de Euclides calcule o MDC(a,b) = d , e expressar na forma de Bezout, ie, d= λa + ηb, se:

i) a= 420, b= 66; ii) a= 89, b= 55; iii) a= 750, b = 105, iv) a =116, b= 84. v) a=100, b=36.

2.- Prove a fórmula de Pascal, para 1

_

k

_

n-1,

nCk = n-1Ck-1 + n-1Ck

3.- Use o teorema binomial e expanda a expressão a seguir

i) ( 2x – 3)4 _{, ii) ( 2 – x/3)}4 _,_{iii) ( 2x –}

x

2 1

)4 _{, iv) ( x +}

x

1

)4

(3)

ii) o termo constante de ( x + x

1

)6 _{e de ( x –}

x

1

)8 _{, iii) desenvolver ( 1 +}

x

1

)4

5.- Considere o conjunto A={ 1, 2, 3, ....400}.

i) Quantos números não são quadrados perfeitos, ii) quantos não são múltipos de 4. iii) quantos não são quadrados perfeitos nem múltiplos de 4.

7.- Encontre o número de permutações simples da palavra LOVE. nas quais L esta em 1º lugar ou O está em 2º lugar .

Sugestão faça A1 ={ permutações em que L esta em 1º lugar}, A2 = etc, usar o principio de inclusão e exclusão.

12.- Encontrar o numero de soluções, em inteiros positivos de X1 + X2 + X3 = 25, com X1



4 , X2



6, X3



5.

13.- Encontrar o numero de soluções de X1 + X2 + X3 = 1, em inteiros entre -2 e 2 inclusive.

14.- Encontrar o numero de soluções de X1 + X2 + X3 = 1, em inteiros entre -3 e 3 inclusive.

[A]

é relacionado ao principio da casa dos pombos.

1.- a.- dados 3 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 2.

b.- dados 4 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 3.

2.- Mostre que num quadrado de lado 2, ao considerar 5 pontos quaisquer existem pelo menos dois pontos que cuja distancia é menor ou igual a

₂

.

3.- Numa festa de aniversario com 61 crianças pelo menos 6 nasceram o mesmo mês 4.- Mostre que em qualquer grupo de

a.- 30 pessoas pelo menos 5 nasceram no mesmo dia da semana b.- 50 pessoas pelo menos 8 nasceram no mesmo dia da semana a.- 20 pessoas pelo menos 3 nasceram no mesmo dia da semana.

5.- a.- dados 3 ou mais números inteiros existirão necessariamente, pelo menos 2 cuja diferença é divisível por 2.