Séries de Fourier. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão. Cálculo Diferencial e Integral 4A

S´

eries de Fourier

Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a Cˆampus Francisco Beltr˜ao

Disciplina: C´alculo Diferencial e Integral 4A Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke

As s´eries de Fourier s˜ao a ferramente b´asica para se representar as fun¸c˜oes peri´odicas, as quais desempenham um importante papel nas aplica¸c˜oes.

Defini¸c˜ao

Uma fun¸c˜ao f (x ) ´e chamada de fun¸c˜ao peri´odica se f (x ) for definida para todo x real (talvez exceto em alguns pontos, como x = ±π/2, ±3π/2, ... para tg x ) e se existir algum n´umero p positivo, denominado per´ıodo de f (x ), tal que

Se f (x ) e g (x ) tˆem per´ıodo p, ent˜ao af (x ) + bg (x ) com quaisquer constantes a e b tamb´em tem o per´ıodo p.

Inicialmente, nosso problema ser´a representar v´arias fun¸c˜oes f(x) de per´ıodo 2π em termos das fun¸c˜oes simples

1, cos x , sen x , cos 2x , sen 2x , . . . , cos nx , sen nx , . . . Elas constituem o chamado sistema trigonom´etrico.

A s´erie a ser obtida ser´a uma s´erie trigonom´etrica, ou seja, uma s´erie da forma

a0+ a1cos x + b1sen x + a2cos 2x + b2sen 2x + . . . = a0+

∞ X

n=1

(ancos nx + bnsen nx ) (2)

a0, a1, b1, a2, b2, . . . s˜ao constantes, chamadas de coeficientes da s´erie. Observamos que cada termo tem per´ıodo 2π. Logo, se os coeficientes s˜ao tais que a s´erie convirja, sua soma ser´a uma s´erie de per´ıodo 2π.

Suponha que f (x ) seja uma dada fun¸c˜ao de per´ıodo 2π e seja tal que possa ser representada por uma s´erie (2), ou seja, (2) converge e, al´em disso, possui a soma f (x ). Ent˜ao, usando o sinal de igualdade,

escrevemos f (x ) = a0+ ∞ X n=1 (ancos nx + bnsen nx ) (3)

e dizemos que (3) ´e a s´erie de Fourier de f (x ). Neste caso, os coeficientes de (3) s˜ao chamados coeficientes de Fourier de f (x ), dados pelas f´ormulas de Fourier

a0 = 1 2π Z π −π f (x ) dx (4) an = 1 π Z π −π f (x ) cos nx dx n = 1, 2, . . . (5) bn = 1 π Z π −π f (x ) sen nx dx n = 1, 2, . . . (6)

Exemplo

Encontre os coeficientes de Fourier da fun¸c˜ao peri´odica f (x ) da figura abaixo. A f´ormula ´e

f (x ) = 

−k se −π < x < 0

k se 0 < x < π e f (x + 2π) = f (x ) As fun¸c˜oes desse tipo ocorrem como for¸cas externas agindo em sistemas mecˆanicos, for¸cas eletromotrizes em circuitos el´etricos etc.

S1 = 4k

π sen x

S2 = 4k π sen x + 1 3sen 3x !

S3 = 4k π sen x + 1 3sen 3x + 1 5sen 5x !

Ortogonalidade do Sistema Trigonom´

etrico

Ortogonalidade do Sistema Trigonom´etrico

O sistema trigonom´etrico ´e ortogonal no intervalo −π ≤ x ≤ π (logo, tamb´em no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π ou em qualquer outro intervalo de comprimento 2π devido a periodicidade); ou seja, a integral do produto de duas fun¸c˜oes quaisquer do sistema trigonom´etrico sobre esse intervalo vale 0, de modo que, para quaisquer m e n inteiros, Z π −π cos nx cos mx dx = 0 (n 6= m) (7) Z π −π sen nx sen mx dx = 0 (n 6= m) (8)

Convergˆ

encia e Soma de uma S´

erie de Fourier

A classe de fun¸c˜oes que podem ser representadas por s´eries de Fourier ´e surpreendentemente grande e geral.

Teorema

Consideremos que f (x ) seja peri´odica, tenha o per´ıodo 2π e seja cont´ınua por intervalos no intervalo −π ≤ x ≤ π. Al´em disso, consideremos que f (x ) possua derivadas tanto `a esquerda quanto `a direita de cada ponto desse intervalo. Ent˜ao, a s´erie de Fourier de f (x ) converge. Sua soma ´e f (x ), excetuando-se nos pontos x0, onde f (x ) ´e descont´ınua. Nesses pontos, a soma da s´erie ´e a m´edia dos limites de f (x ) `a esquerda e `a direita de x0.

Exerc´ıcio

Per´ıodo fundamental ´e o menor per´ıodo positivo. Encontre-o para

2. cos x , sen x , cos 2x , sen 2x , cos πx , sen πx , cos 2πx , sen 2πx

3. cos nx , sen nx , cos2πx_k , sen2πx_k , cos2nπx_k , sen2nπx_k

Exerc´ıcio

Esboce ou fa¸ca o gr´afico de f (x ), que tem per´ıodo 2π e, para −π < x < π, ´e dada como segue.

7. f (x ) = x 8. f (x ) = e−|x| 9. f (x ) = π − |x | 10. f (x ) = | sen 2x | 11. f (x ) =  −x3 se −π < x < 0 x3 _{se 0 < x < π}

Exerc´ıcio

Encontre a s´erie de Fourier da f (x ) dada, que se sup˜oe ter o per´ıodo 2π. Esboce ou represente graficamente as somas parciais at´e a parte contendo cos 5x e sen 5x .

13.

14.

15.

17.

21. f (x ) = x2 _{(−π < x < π)} 22. f (x ) = x2 (0 < x < 2π) 23. f (x ) =  x2 _{se −π/2 < x < π/2} π2/4 se π/2 < x < 3π/2 24. f (x ) =  −4x se −π < x < 0 4x se 0 < x < π Exerc´ıcio

26.Escreva um programa para representar graficamente as somas parciais das s´eries a seguir. Com base no gr´afico, tente adivinhar qual fun¸c˜ao f (x ) a s´erie em quest˜ao pode representar. Ent˜ao, confirme ou n˜ao sua suposi¸c˜ao utilizando as f´ormulas de Euler. (a) 2( sen x −1 2sen 2x + 1 3sen 3x − 1 4sen 4x + 1 5sen 5x − . . .) (b) 1 2+ 4 π2(cos x + 1 9cos 3x + 1 25cos 5x + . . .) (c) 2 3π 2 + 4(cos x −1 4cos 2x + 1 9cos 3x − 1 16cos 4x + . . .)

Respostas: 2. 2π/n, 3. 13. f (x ) = 1 2+ ∞ X n=1 2(−1)n+1 (2n − 1)πcos[(2n − 1)x ] 15. f (x ) = π 2 + 4 π ∞ X n=1 1 (2n − 1)2cos[(2n − 1)x ] 17. f (x ) = π 4 − ∞ X n=1 2 π(2n − 1)2cos[(2n − 1)x ] + ∞ X n=1 (−1)n+1 n sin nx 19. f (x ) = − ∞ X n=1 4 π(2n − 1)2cos[(2n − 1)x ] + ∞ X n=1 2 2n − 1sin[(2n − 1)x ] 21. f (x ) = π 2 − ∞ X4(−1)n+1 cos nx