UFBA - Departamento de Matem´atica Prova 3 - MATA06: C´alculo E
Professor: Henrique Barbosa da Costa Nome:
Matr´ıcula
Data: 31/05/2019
Quest˜ao Nota Valor
1 3,0
2 1,5
3 1,5
4 2,0
5 2,0
6 2,0
Total 12,0
. . . .
• Respostas sem justificativas n˜ao ser˜ao consideradas.
• Leia atentamente todas as quest˜oes antes de come¸car a prova.
Boa prova!
Quest˜ao 1 Responda os seguintes itens.
(a) Definasingularidade esingularidade isolada para uma fun¸c˜ao complexa f. (b) Classifique os poss´ıveis tipos de singularidades isoladas de uma fun¸c˜aof.
(c) Considere f(z) = 1
sen(π/z). Quais s˜ao as singularidades de f? Quais delas s˜ao isoladas?
Quest˜ao 2 Desenvolva a expans˜ao em s´erie de Taylor do ramo do logaritmo principal Log(z) centrada no ponto z0 =i, determinando o raio de convergˆencia da s´erie.
Quest˜ao 3 Considere f(z) = z
(z+ 1)(z−3) e determineuma s´erie de Laurent para f especi- ficando seu dom´ınio de convergˆencia.
Quest˜ao 4 Considere a fun¸c˜aof(z) = sinh(πz) (z2+ 1)2.
(a) Classifique as singularidades de f e calcule seus respectivos res´ıduos.
(b) Calcule Z
|z|=2
f(z)dz.
Quest˜ao 5 Mostre que Z ∞
−∞
1
1 +x2dx= π 2. Quest˜ao 6 Mostre que a fun¸c˜ao dada por f(z) =
( ecz −1
z , z 6= 0
c, z = 0
´
e inteira.
