Simulação computacional de deposição aleatória e deposição balística

Universidade Federal Fluminense

Instituto de F´ısica

Simula¸c˜

ao computacional de deposi¸c˜

ao

aleat´

oria e deposi¸c˜

ao bal´ıstica

Autor: Adolfo Fernandes Coimbra

Orientador: Prof. Dr. Fabio David Alves Aar˜

ao Reis

Niter´

oi-RJ

Fevereiro / 2019

ADOLFO FERNANDES COIMBRA

SIMULAC¸ ˜AO COMPUTACIONAL DE DEPOSIC¸ ˜AO ALEAT ´ORIA E DEPOSIC¸ ˜AO BAL´ISTICA

Monografia apresentada

ao Curso de Gradua¸c˜ao

em F´ısica da

Universidade

Fede-ral Fluminense, como

requisito parcial para obten¸c˜ao do Grau de Licenciado.

Orientador: Prof. Dr. FABIO DAVID ALVES AAR ˜AO REIS

Niter´oi-RJ 2019

Ficha catalográfica automática - SDC/BIF Gerada com informações fornecidas pelo autor

C652s Coimbra, Adolfo Fernandes

Simulação computacional de Deposição aleatória e Deposição Balística / Adolfo Fernandes Coimbra ; Fábio David Alves Aarão Reis, orientador. Niterói, 2019. 35 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2019.

1. Ciência de superfície. 2. Modelo de Deposição aleatória. 3. Modelo de Deposição Balística. 4. Produção intelectual. I. Reis, Fábio David Alves Aarão, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física. III. Título.

-Conte´

udo

1 Resumo 5

2 Abstract 5

3 Introdu¸c˜ao 6

4 Deposi¸c˜ao aleat´oria 9

4.1 Equa¸c˜ao de crescimento . . . 9

4.2 Simula¸c˜ao da DA . . . 12

5 Deposi¸c˜ao bal´ıstica (DB) em uma dimens˜ao 16 5.1 Simula¸c˜ao da DB em dimens˜ao d=1 . . . 17

5.2 Correla¸c˜oes e Regime de Satura¸c˜ao . . . 19

5.3 An´alise Num´erica . . . 21

5.3.1 Expoente de Crescimento . . . 21

5.3.2 Expoente de Rugosidade . . . 24

6 Deposi¸c˜ao bal´ıstica (DB) em duas dimens˜oes 28 6.1 Simula¸c˜ao da DB em d=2 . . . 28

6.2 Expoente de rugosidade . . . 30

5

1

Resumo

Apresento o trabalho desenvolvido neste ´ultimo ano, com modelos es-tat´ısticos de crescimento de superf´ıcie. Foram estudados os modelos de de-posi¸c˜ao bal´ıstica e deposi¸c˜ao aleat´oria, para isso, realizamos simula¸c˜oes com-putacionais. Utilizamos tratamento num´erico a partir dos dados recolhidos nas simula¸c˜oes. Analisamos grandezas importante para o entendimento da f´ısica envolvida, como: rugosidade, expoentes de efetivos. Obtivemos valores para os parˆametros estudados e comparamo-os com os valores encontrados na literatura.

Palavras-chave: Crescimento de superf´ıcie. Deposi¸c˜ao aleat´oria. De-posi¸c˜ao bal´ıstica.

2

Abstract

I present the work developed in the last year, with statistical models of surface growth. We studied the ballistic deposition and random deposition models, for which we performed computational simulations. We used the numerical treatment of the data collected in the simulations. We analyzed important quantities for the understanding of the integrity of the surroun-dings, such as: roughness, exponent of herds. Objectives of values for the studied parameters and are compared with the results found in the literature.

3

Introdu¸

c˜

ao

O estudo dos processos f´ısicos que governam o crescimento de su-perf´ıcies de diversos materiais constitui uma ´area importante com diver-sas aplica¸c˜oes. Propriedades eletrˆonicas, magn´eticas, mecˆanicas, ´opticas e qu´ımicas s˜ao melhores esclarecidas a partir do entendimento do crescimento e suas intera¸c˜oes com os sistemas vizinhos. Problemas como esses s˜ao de dif´ıcil ou mesmo imposs´ıvel solu¸c˜ao se encarados em toda sua complexidade. A ´area da F´ısica denominada Mecˆanica Estat´ıstica, que se baseia em sim-plificar a dinˆamica microsc´opica para explicar o comportamento de sistemas com grande n´umero de ´atomos ou mol´eculas, nos possibilita criar modelos simplificados que preservem as caracter´ısticas principais dos sistemas estu-dados. Essa estrat´egia est´a presente em muitos trabalhos cient´ıficos. Assim, trocamos o problema real por um problema aproximado com a vantagem que agora podemos ter a solu¸c˜ao exata desse problema aproximado. A pri-meira pergunta importante ´e at´e que ponto a solu¸c˜ao exata do problema aproximado pode ser tratada como uma solu¸c˜ao aproximada do problema real? Em muito casos isso acontece; um exemplo muito bem sucedido ´e a teoria da gravita¸c˜ao de Newton: a queda de um objeto na atmosfera da terra depende de muitos parˆametros, mas se simplificarmos o problema podemos aplicar as equa¸c˜oes de Newton e as solu¸c˜ao encontradas s˜ao muito pr´oximas dos resultados experimentais.

A dinˆamica de crescimento de muitos sistemas f´ısicos ´e um problema de dif´ıcil solu¸c˜ao. Para enfrent´a-lo, lan¸camos m˜ao de simplifica¸c˜oes do pro-blema real de modo a preservar um m´ınimo de caracter´ısticas importantes que remontem ao problema original.

Neste trabalho estudarei dois modelos atom´ısticos de crescimento de superf´ıcies: Deposi¸c˜ao Aleat´oria (DA) e Deposi¸c˜ao Bal´ıstica (DB) em duas

dimens˜oes (d=1) e em trˆes dimens˜oes (d=2). Nos modelos atom´ısticos s˜ao definidas regras onde a dinˆamica de crescimento ´e governada por processos aleat´orios[10]. Uma classe de modelos ainda mais simplificados ´e a dos mo-delos de mobilidade limitada. Neste caso, a posi¸c˜ao final de agrega¸c˜ao de uma part´ıcula incidente ´e determinada antes que uma nova part´ıcula incida no dep´osito. Aqui e no resto do texto, o termo part´ıcula pode ser usado para indicar um ´atomo uma mol´ecula ou um agregado de v´arios ´atomos ou mol´eculas [10].

Um exemplo de modelo com mobilidade limitada ´e a deposi¸c˜ao bal´ıstica (BD de ballistic deposition) [5, 2], cujas regras s˜ao ilustradas na Fig. 7. Existem v´arias raz˜oes para se estudar esta classe de modelos. Por exemplo, quando um agregado de ´atomos ou mol´eculas ´e depositado, sua mobilidade na superf´ıcie ´e muito reduzida, de modo que sua posi¸c˜ao final ser´a deter-minada no curto intervalo de tempo em que ele ´e adsorvido [10]. Alguns sistemas que se enquadram neste perfil s˜ao rochas sedimentares [12, 6] e filmes nanoparticulados [3].

Duas raz˜oes adicionais para se explorarem modelos com mobilidade limitada ser˜ao vistas nas pr´oximas se¸c˜oes. A primeira ´e a investiga¸c˜ao de propriedades fundamentais de classes de universalidade de crescimento, como expoentes de escala. Para isso, procuramos usar os modelos mais simples de serem simulados naquela classe. A segunda raz˜ao ´e que muitas vezes queremos representar apenas as propriedades f´ısicas em grandes escalas de comprimento (acess´ıveis aos microsc´opios dispon´ıveis), podendo-se substituir uma dinˆamica atom´ıstica complexa por algumas regras estoc´astica simples para agregar a part´ıcula logo ap´os a sua adsor¸c˜ao [10].

Independentemente da raz˜ao para se estudar um modelo de mobi-lidade limitada, o fato ´e que ele s˜ao muito mais amenos para o trabalho

computacional, bem como para solu¸c˜oes anal´ıticas, exatas (em raros casos) ou aproximadas [10].

Os dois modelos atom´ısticos que apresentarei nesse trabalho s˜ao de mobilidade limitada para o primeiro obteremos uma solu¸c˜ao anal´ıtica exata, o mesmo n˜ao ocorrer´a para o segundo.

4

Deposi¸

c˜

ao aleat´

oria

A Deposi¸c˜ao aleat´oria (DA) consiste no modelo mais simples de cres-cimento de superf´ıcies fora do equil´ıbrio. Inicialmente, temos um substrato plano estendido ao longo do eixo x. A deposi¸c˜ao de cada part´ıcula ´e realizada escolhendo um s´ıtio x do substrato discretizado aleatoriamente e incremen-tando a sua altura h(x,t) em uma unidade, como mostra a Fig. 1. A Fig. 2 mostra um agregado t´ıpico resultante da deposi¸c˜ao de part´ıculas no modelo DA.

Figura 1: A figura mostra duas possibilidades t´ıpicas de agrega¸c˜ao se-gundo a regra de deposi¸c˜ao do modelo DA. Duas part´ıculas A e B ”caem”verticalmente at´e atingir o topo da coluna x escolhida, onde se agrega irreversivelmente representada por A’ e B’. A agrega¸c˜ao ´e exibida incremen-tando a altura h(x,t) da coluna. Adaptada de [2]

4.1

Equa¸

c˜

ao de crescimento

Para a DA podemos calcular a probabilidade P(h, N) de que uma coluna tenha altura h ap´os a deposi¸c˜ao de N part´ıculas.

Supomos que cada part´ıcula tenha tamanho lateral unit´ario. Conside-rando um substrato de tamanho L, definimos uma unidade de tempo como

Figura 2: Agregado DA obtido pela deposi¸c˜ao de 15872 part´ıculas, um subs-trato tem tamanho L=128 (em unidades de rede). Cada camada identificada pelos tons claro e escuro contem 3968 part´ıculas.

o tempo necess´ario para depositar L part´ıculas, ou seja, uma camada de part´ıculas. O tempo t em que N part´ıculas s˜ao depositadas ´e dado por:

t = N

L ⇔ N = t · L (1)

A probabilidade que uma coluna seja escolhida ao acaso (chamada coluna de referˆencia), ´e:

p = 1

L (2)

part´ıculas “caem” na coluna de referˆencia, N – h part´ıculas caem nas demais colunas, ent˜ao:

P (h, N ) = N h

!

ph(1 − p)N −h (3)

A Eq. 3 ´e a probabilidade de que h dentre N part´ıculas sejam depositadas em um mesmo s´ıtio, em qualquer ordem, e as N - h part´ıculas restantes sejam depositadas em outros s´ıtios. Como as posi¸c˜oes do substrato s˜ao completa-mente descorrelacionadas e todas s˜ao equivalentes, a altura m´edia ´e

hhi =X

[h · P (h, N )] = N · p = t (4)

e a altura quadr´atica m´edia ´e

hh2_{i =}X

[h2· P (h, N )] = N · p(1 − p) + N2_{· p}2 _{= t(1 −} 1

L) + t

2_{. (5)}

Quando se estudam propriedades de superf´ıcies, a quantidade princi-pal de interesse ´e a largura da interface do dep´osito, tamb´em chamada de rugosidade. A rugosidade da superf´ıcie do dep´osito ´e o desvio padr˜ao (rms) da distribui¸c˜ao de alturas:

W =qhh2_{i − hhi}2 ₍₆₎

Portanto, para a DA, temos:

W = s t(1 − 1 L) + t 2_{− t}2 ₌ s t(1 − 1 L) (7)

Para valores de L grandes, _L1 ≈ 0, ent˜ao:

4.2

Simula¸

c˜

ao da DA

Simulamos a deposi¸c˜ao em tamanhos de substrato desde L=16 at´e L=128. O tempo total de deposi¸c˜ao foi desde 50 at´e 1000. Calculamos a rugosidade a cada unidade de tempo. Na Fig. 3 apresentamos a evolu¸c˜ao da rugosidade para substratos de tamanho L=16 e L=32 e tempo de deposi¸c˜ao t=1000. 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 1 , 2 1 , 4 1 , 6 lo g W l o g t 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 1 , 2 1 , 4 1 , 6

Figura 3: Gr´afico log w vs log t para DA em substratos com L=16 (pontos em azul) e L=32 (pontos em vermelho), a reta superior (em preto) representa o ajuste linear para os pontos de L=32 e a reta inferior (em preto) representa o ajuste linear para os pontos de L=32.

Os coeficientes angulares nos ajustes lineares dos dados da Fig. 3 no intervalo (1, 1000) foram 0,482 (L=16) e 0,482 (L=32). A simula¸c˜ao realizada atendeu bastante as expectativas, pois o coeficiente angular esperado era 0,5 [[2]].

Para evidenciar a rela¸c˜ao dada pela Eq. 7, usamos os resultados em tamanhos de substratos L=16 at´e L=128 com um tempo total de deposi¸c˜ao 1000. Calculamos a rugosidade m´edia W e comparamos com a curva dada pela Eq. 7 e com o valor limite (L tendendo ao infinito) dado pela Eq. 8.

Podemos perceber visualmente na Fig.4 que para L=16 os pontos dis-persam da reta correspondente a Eq. 8 (linha azul). Para o tamanho de substrato L=32, a influencia do fator _L1 ´e menor como mostra a Fig. 5. Acima disso, para L=64 podemos ver (Fig. 6) que n˜ao s´o os pontos est˜ao muitos pr´oximos da reta dada pela Eq. 8 como a pr´opria reta correspondente a Eq. 7 (linha vermelha) se aproxima da reta correspondente a Eq. 8.

0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 lo g W l o g t 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0

Figura 4: Gr´afigo log W vs log t obtidos em L=16 (pontos em preto). A linha azul corresponde `a Eq. 8, log√t vs log t e a linha vermelha corresponde `

a Eq. 7, logqt(1 − _L1) vs log t.

0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 lo g W l o g t 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0

Figura 5: Gr´afigo log W vs log t obtidos em L=32 (pontos em preto). A linha azul corresponde `a Eq. 8, log√t vs log t e a linha vermelha corresponde `

0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 lo g W l o g t 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0

Figura 6: Gr´afigo log W vs log t obtidos em L=64 (pontos em preto). A linha azul corresponde `a Eq. 8, log√t vs log t e a linha vermelha corresponde `

5

Deposi¸

c˜

ao bal´ıstica (DB) em uma dimens˜

ao

Nesta se¸c˜ao apresentamos outro modelo bastante simples para o cresci-mento de filmes finos, mas com grande riqueza fenomenol´ogica [2, 11]. Na de-posi¸c˜ao bal´ıstica em um substrato unidimensional (dimens˜ao d=1), a posi¸c˜ao x de deposi¸c˜ao ´e escolhida aleatoriamente e a part´ıcula incidente se agrega no primeiro contato com o dep´osito ou substrato [2]. A Fig. 7 ilustra o processo. As alturas em x e nos primeiros vizinhos x‘

i e x‘j(vizinhos imediatamente

an-terior e posan-terior a x) s˜ao computadas. Se h(x,t) < (h(x‘

i,t) ou h(x‘j,t)) a

altura h(x, t +δt) em x ´e igualada `a altura h(x‘

i,t) em x‘i se h(x‘i,t)≥ h(x‘j,t)

ou, sen˜ao, igualada `a altura h(x‘

j,t) em x‘j. Se h(x,t)≥ (h(x‘i,t) e h(x‘j,t)),

ent˜ao h (x, t + δt) recebe h(x,t) + 1.

Diferentemente do modelo de crescimento DA, a deposi¸c˜ao bal´ıstica n˜ao tem uma solu¸c˜ao exata, porque existem correla¸c˜oes entre as alturas das colunas vizinhas e esta correla¸c˜ao ´e n˜ao linear. A n˜ao linearidade se deve a agrega¸c˜ao lateral, que faz com que a altura de uma coluna aumente de um valor igual a diferen¸ca entre sua altura e a altura do sitio vizinho.

Figura 7: DB em d=1. Uma posi¸c˜ao ´e escolhida aleatoriamente acima do substrato e uma part´ıcula “cai” verticalmente se agregando ao primeiro s´ıtio com um primeiro vizinho ocupado. A figura ilustra as posi¸c˜oes de agrega¸c˜ao A’, B’ das part´ıculas incidentes A, B. Extra´ıda de [2].

5.1

Simula¸

c˜

ao da DB em dimens˜

ao d=1

Foi criado o algoritmo que simula o crescimento DB em substratos desde L=16 at´e L=2048, para deposi¸c˜ao de 100 at´e 10000 configura¸c˜oes e tempos de 1000 at´e 25000. Calculamos a rugosidade para cada unidade de tempo e apresentamos esses resultados na forma de gr´afico: log W vs log t.

Iniciamos a investiga¸c˜ao sobre o modelo de crescimento DB simulando deposi¸c˜oes de 100 configura¸c˜oes at´e o tempo 1000 para dois substratos (L=16 e L=32). Apresentamos na Fig. 5 o gr´afico log W vs log t obtido.

0 1 2 3 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 lo g W l o g t 0 1 2 3 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6

Figura 8: Gr´afico log w vs log t para a DB em d=1 e em substratos com L=16 (Vermelho) e L= 32 (Azul).

A satura¸c˜ao da rugosidade ´e esperada uma vez que temos as alturas correlacionadas pela agrega¸c˜ao lateral.

O passo seguinte foi aprimorar as simula¸c˜oes. Para isso foram simula-dos deposi¸c˜oes bal´ısticas em substratos de uma dimens˜ao (d=1), para largura desde L=16 at´e L=2048, tamb´em aumentamos o n´umero de dep´ositos para 104 _{diferentes dep´osito e atingimos tempos de at´e 25000 para L=2048. Pela}

compara¸c˜ao das Fig. 8 e Fig. 9 (focando a aten¸c˜ao em L=16 e L=32) vemos o efeito do aumento no n´umero de dep´ositos na dispers˜ao dos pontos de log de W. A Fig. 9 apresenta os dados obtidos:

5.2

Correla¸

c˜

oes e Regime de Satura¸

c˜

ao

Numa superf´ıcie de comprimento L em d dimens˜oes (Ld _{colunas) no}

tempo t,a rugosidade definida pela Eq. 6 tamb´em pode ser escrita da seguinte forma: W (L, t) = h[ 1 Ld X i (hi− h)2] 1 2i (9)

Na Eq. 9 hi ´e a altura da coluna i, a barra acima de h (h) denota uma

m´edia espacial e os s´ımbolos hi denotam um m´edia configuracional, ou seja, uma m´edia ao longo de muitas realiza¸c˜oes. Alternativamente, outros autores definem a rugosidade como:

ξ(L, t) = h[ 1 Ld X i (hi − h)2]i 1 2 (10)

Apesar de W e ξ terem diferentes valores, eles obedecem a mesma rela¸c˜ao de escala dinˆamica:

0 1 2 3 4 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 1 , 2 1 , 4 2 0 4 8 1 0 2 4 5 1 2 2 5 6 1 2 8 6 4 3 2 1 6 lo g W l o g t 0 1 2 3 4 0 , 0 0 , 2 0 , 4 0 , 6 0 , 8 1 , 0 1 , 2 1 , 4

Figura 9: Gr´afico log W vs log t para a DB em d=1 e tamanhos de substrato indicados.

O expoente α ´e chamado de expoente de rugosidade e na Eq. 12 descreve o comportamento de longo prazo do problema, quando t >> tx (definiremos

tx mais adiante, por hora podemos pensar no tempo suficientemente grande

onde cada curva da Fig. 9 passe do regime de crescimento da rugosidade para a satura¸c˜ao). A rugosidade satura em:

Ws(L) ≡ W (L, t → ∞) ∼ Lα. (12)

Tamb´em ´e poss´ıvel ver pelas curvas da Fig. 9 que t >> tx depende do

tamanho do sistema como:

tx ∼ Lz, (13)

onde z ´e chamado expoente dinˆamico e aparece tamb´em na Eq. 11.

Por outro lado, para pequenos tempos os efeitos de tamanho finito s˜ao fracos, e a rugosidade aumenta conforme:

W ≈ tβ, β = α

z. (14)

Na Eq. 14, β ´e o expoente de crescimento e caracteriza a dinˆamica dependente do tempo.

5.3

An´

alise Num´

erica

Partiremos agora para analisar a regi˜ao de crescimento. A Fig. 1 su-gere uma regi˜ao de crescimento para cada largura de substrato L. O primeiro passo foi definir com precis˜ao o intervalo de crescimento. Para isso lan¸camos m˜ao do coeficiente de correla¸c˜ao linear, denotado por r que mede o grau de

relacionamento linear entre valores emparelhados x e y em uma amostra; ele tamb´em ´e chamado de coeficiente de correla¸c˜ao de Pearson [1]:

r = qSxy SxxSyy (15) Onde Sxy = n X i=1 (xi− x)(yi− y), (16) Sxx = n X i=1 (xi− x)2 (17) e Syy = n X i=1 (yi− y)2. (18)

Sempre teremos ‘r’no intervalo −1 ≤ r ≤ 1. Quanto mais pr´oximo de -1, maior ser´a a correla¸c˜ao linear negativa (y decrescendo com x); quanto mais pr´oximo de 1, maior ser´a a correla¸c˜ao linear positiva (y aumentando com x); e quanto mais pr´oximo de 0, menor ser´a a correla¸c˜ao linear. O valor de r n˜ao varia se todos os valores de qualquer uma das vari´aveis s˜ao convertidos para uma escala diferente. O valor de r tamb´em n˜ao ´e afetado pela permuta¸c˜ao de x e y. Ele s´o mede a intensidade ou grau de relacionamentos lineares, n˜ao servindo para medir intensidade de relacionamentos n˜ao lineares [1].

Tendo dito isso, examinaremos as regi˜oes de crescimento para subs-tratos de cada largura. Fixamos um tempo t0 = 50 e um tempo tx de tal

maneira que o coeficiente de correla¸c˜ao linear seja no intervalo [t0; tm´ax]:

rmin=0,9999. Neste intervalo, medimos a inclina¸c˜ao do gr´afico log W vs log

t, que ´e denotada βL, pois representa uma aproxima¸c˜ao do expoente β da

Seguindo a linha da Ref. [8], esperamos que βL dependa de L, mas

convirja para β quando L → ∞. Assim, propomos que

βL≈ β + AL−λ, (19)

Onde o expoente λ e a constante A est˜ao relacionados a correla¸c˜oes de escala na Eq. 14.

Tabela 1:

Expoentes efetivos βL em d=1, obtidos do gr´afico log-log das vari´aveis W(t).

L rmin= 0.9999 Grandeza: W 256 0.2450 512 0.2600 1024 0.2766 2048 0.2880

Na Fig. 10 mostramos βL vs L−λ, com λ=0,3. Este valor de λ

pro-porciou o melhor ajuste linear dos cinco pontos (para 128 ≤L ≤2048). A estimativa assint´otica obtida da regress˜ao linear dos pontos da Fig. 10 ´e β= 0,338, pr´oximas do valor KPZ esperado de β = 1₃ [4].

Para obter o melhor λ, procuramos o valor que fornecesse o melhor ajuste linear do gr´afico βL vs L−λ. Para isso, calculamos o coeficiente de

correla¸c˜ao linear (r) para diversos valores de λ entre 0 e 1. O melhor ajuste foi obtido com λ = 0,3 (r= -0,9984).

0 , 0 0 0 , 0 4 0 , 0 8 0 , 1 2 0 , 1 6 0 , 2 0 0 , 2 4 0 , 2 6 0 , 2 8 0 , 3 0 0 , 3 2 0 , 3 4 β L L -l Equation y = a + b*x Adj. R-S 0,99408

Value Standard Error B Intercept 0,33802 0,00323 B Slope -0,49565 0,02206 0 , 0 0 0 , 0 4 0 , 0 8 0 , 1 2 0 , 1 6 0 , 2 0 0 , 2 4 0 , 2 6 0 , 2 8 0 , 3 0 0 , 3 2 0 , 3 4

Figura 10: Expoentes efetivos βL em d=1, obtidos a partir do gr´afico log-log

para W (λ=0,3) e (rmin=0.9999)

5.3.2 Expoente de Rugosidade

Para determinar os expoentes efetivos αL, procedemos da seguinte

forma. Primeiro, escolhemos um intervalo de tempo t que garantisse estar numa regi˜ao de rugosidade saturada. Para isso analisamos visual e anali-ticamente alguns candidatos para o tempo inicial t0 e dividimos a regi˜ao

saturada em 5 partes: W1, W2, W3, W4 e W5, para obter a melhor

apro-xima¸c˜ao para o valor exato da rugosidade de satura¸c˜ao que denotamos por Ws, calculando a m´edia de Wi em cada um desses intervalos, por fim

valores encontrados: Tabela 2:

Tabela que compara as rugosidades m´edias de satura¸c˜ao com seus respectivos tamanhos de substrato.

L Ws(L) 16 2.630 ±0.009 32 3.401 ±0.009 64 4.413 ±0.012 128 5.830 ±0.018 256 7.850 ±0.017 512 10.786 ±0.028 1024 14.942 ±0.037 2048 20.969 ±0.026

O gr´afico de log Ws vs log t na Fig. 11 mostra uma inclina¸c˜ao

depen-dente de L, portanto um ajuste linear n˜ao ´e adequado para obter o expoente α usando a Eq. 12 diretamente.

Espera-se ent˜ao que a rugosidade de satura¸c˜ao obedece a seguinte rela¸c˜ao:

Ws ≈ ALα+ corre¸c˜oes (20)

Nosso objetivo ´e encontrar o expoente α que satisfa¸ca a rela¸c˜ao acima incluindo as devidas corre¸c˜oes.

O expoente efetivo αL´e definido ent˜ao por

αL=

logWs(L) − logWs(L₂)

log(L) − log(L 2)

1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 lo g W S l o g L 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

Figura 11: Rugosidade de satura¸c˜ao em fun¸c˜ao do tamanho do substrato

αL =

log(Ws(L)

Ws(L₂))

log(2) (22)

Assim temos αL→ α quando L→ ∞

Usaremos o seguinte m´etodo num´erico para extrapolar os valores de αL e alcan¸car um valor assint´otico para α.

0 , 0 0 0 , 0 2 0 , 0 4 0 , 0 6 0 , 0 8 0 , 4 2 0 , 4 5 0 , 4 8 0 , 5 1 α L L -∆ 0 , 0 0 0 , 0 2 0 , 0 4 0 , 0 6 0 , 0 8 0 , 4 2 0 , 4 5 0 , 4 8 0 , 5 1 Figura 12: Gr´afico αL vs L−∆

Primeiro, supomos que

αL≈ α + BL−∆, (23)

onde ∆ ´e mais um expoente de correla¸c˜ao de escala e B ´e uma constante. O m´etodo utilizado para se obter o valor de ∆ se baseou em buscar candidatos que melhor ajustassem os quatro ´ultimos pontos de αL em uma

reta. Para isso calculamos o coeficiente de correla¸c˜ao (r) para distintos valores de poss´ıveis ∆. O maior valor (em m´odulo) de r foi 0,99319 para ∆ = 0,45.

as-sint´otica obtida da regress˜ao linear dos pontos da Fig.13 ´e α= 0,52, que ´e pr´oximas do valor KPZ esperado de 0,5.

6

Deposi¸

c˜

ao bal´ıstica (DB) em duas dimens˜

oes

Nesta se¸c˜ao analisamos o modelo de Deposi¸c˜ao Bal´ıstica em duas di-mens˜oes de substrato (d=2). Em duas dimens˜oes a simula¸c˜ao adquiri um car´ater mais realista, pois na natureza na maioria dos casos os espa¸cos ge-ogr´aficos de deposi¸c˜ao se assemelham a uma geometria de duas dimens˜oes. Em d=2 Espera-se que novamente haver´a uma correla¸c˜ao entre as alturas de uma coluna em xi,j e seus vizinhos imediatos, essa correla¸c˜ao deve ser ainda

mais forte pois cada coluna em xi,j tem duas vezes mais vizinhos que DB em

d=1. Os trabalhos de F. D. A. Aar˜ao Reis [9] e outros discutem se o modelo DB est´a na classe de universalidade KPZ[4].

6.1

Simula¸

c˜

ao da DB em d=2

Elaboramos o algoritmo que simula o crescimento DB em d=2, em substrato desde L = 16 at´e L=256, para deposi¸c˜ao de 100 at´e 10000 confi-gura¸c˜oes, de 1000 at´e 15000 unidades de tempo. Calculamos a rugosidade para cada unidade de tempo e apresentamos esses resultados na forma de gr´afico: log W vs log t. Destaco que a massa de dados da simula¸c˜ao cres-ceu muito em rela¸c˜ao a DB em d=1 o que tornou deposi¸c˜oes com substratos acima de L=256 invi´aveis para o prop´osito deste trabalho. Os dados obtidos podem ser vistos na Fig. 13

Uma inspe¸c˜ao visual da Fig. 13 comparada com a Fig. 9 mostra que para DB em d=2 dimens˜oes a regi˜ao de crescimento diminuiu e consequen-temente o valor da Ws ´e menor e ´e alcan¸cado para um tm´ax mais curto em

0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 3 , 5 4 , 0 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9 2 5 6 1 2 8 1 6 6 4 3 2 lo g W l o g t 0 , 0 0 , 5 1 , 0 1 , 5 2 , 0 2 , 5 3 , 0 3 , 5 4 , 0 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9

Figura 13: Gr´afico log W vs log t para a DB em d=2 e tamanhos de substrato indicados.

6.2

Expoente de rugosidade

Procedemos da mesma forma que na se¸c˜ao 3.3.2 para determinar os ex-poentes efetivos αLpara cada tamanho de L. Visualmente dividimos a regi˜ao

saturada em 5 partes e calculamos a m´edia aritm´etica de W que chamamos de W , listamos os valores encontrados na tabela

Tabela 3:

Tabela que compara as rugosidades m´edias de satura¸c˜ao com seus respectivos tamanhos de substrato.

L Ws(L) 16 3.742 ±0.004 32 4.142 ±0.004 64 4.625 ±0.004 128 5.300 ±0.050 256 6.253 ±0.070

Em [9] F. D. A. Aar˜ao Reis utiliza a Eq. 24 para determinar o quadrado da rugosidade, calculada sobre diferentes configura¸c˜oes, seu escalonamento em tempo e comprimento ´e usado para caracterizar o processo de crescimento.

W2 ≡ h2 − h 2

(24) Por curtos per´ıodos, no chamado regime de crescimento, a rugosidade m´edia aumenta conforme

hW2i ∼ t2β (25)

atin-gido, onde a rugosidade m´edia ´e dimensionada com o tamanho linear L como hW2i ∼ L2α (26) . Consequentemente αL≡ 1 2 log[hW2i(L) hW2i(L₂)] log 2 (27) e novamente αL→ α quando L→ ∞.

A fig. 15 mostra os valores obtidos para αL

0 , 0 0 0 0 , 0 0 5 0 , 0 1 0 0 , 0 1 5 0 , 0 2 0 0 , 0 2 5 0 , 0 3 0 0 , 0 3 5 0 , 1 4 0 , 1 6 0 , 1 8 0 , 2 0 0 , 2 2 0 , 2 4 0 , 2 6 0 , 2 8 α L 1 / L Model Polynomial Adj. R-Square 1

Value Standard Error Polynomial Fit of B Intercept 0,27459 1,02744E-16 Polynomial Fit of B B1 -10,99899 1,30985E-14 Polynomial Fit of B B2 221,17682 3,65146E-13 0 , 0 0 0 0 , 0 0 5 0 , 0 1 0 0 , 0 1 5 0 , 0 2 0 0 , 0 2 5 0 , 0 3 0 0 , 0 3 5 0 , 1 4 0 , 1 6 0 , 1 8 0 , 2 0 0 , 2 2 0 , 2 4 0 , 2 6 0 , 2 8 Figura 14: Gr´afico αL vs 1/L

7

Conclus˜

ao

A maior parte da nossa vida ocorre na superf´ıcie de algo. Sentado em uma rocha significa contato com sua superf´ıcie. Todos n´os andamos na superf´ıcie da Terra e a maioria de n´os n˜ao se importa que o centro da Terra esteja derretido. Mesmo quando nos preocupamos com o interior, n˜ao pode-mos alcan¸c´a-lo sem antes cruzar uma superf´ıcie. Para uma c´elula biol´ogica, a membrana n˜ao s´o funciona como uma barreira altamente seletiva, mas mui-tos processos importantes ocorrem diretamente na pr´opria superf´ıcie. N´os nos acostumamos com as formas das interfaces que encontramos, ent˜ao pode ser surpreendente que suas morfologias possam parecer bem diferentes de-pendendo da escala com a qual as observamos. Por exemplo, um astronauta no espa¸co vˆe a Terra como uma bola suave. No entanto na Terra parece ser nada f´acil subir uma montanha, por exemplo quando nos deparamos com uma hierarquia aparentemente intermin´avel de altos e baixos ao longo da nosso trajeto em uma autoestrada [2].

Neste trabalho foi poss´ıvel analisar com bastante rigor a dinˆamica de crescimento de superf´ıcie para os modelos estudados, bem como entender os desafios que se seguem para os demais modelos. J´a podemos tirar uma conclus˜ao: as superf´ıcies podem ser lisas, como as Himalayas vistas do espa¸co, mas a mesma superf´ıcie tamb´em pode ser ´aspera, como as mesmas montanhas vistas da Terra. Em geral, a morfologia depende da escala de comprimento da observa¸c˜ao! Como podemos descrever morfologicamente algo que ´e suave para os olhos, mas ´aspera sob um microsc´opio? Esta ´e uma quest˜ao que tentamos discutir neste trabalho. Desenvolvemos m´etodos para caracterizar quantitativamente a morfologia de uma interface arbitr´aria. Na verdade, vimos que conceitos como rugosidade s˜ao substitu´ıdos por expoentes que n˜ao se referem `a pr´opria aspereza, mas com a forma em que os rugosidades

mudam quando a escala de observa¸c˜ao em si muda.

Este trabalho tamb´em nos mostrou a importˆancia do tratamento com-putacional aliado a Mecˆanica Estat´ıstica em processos estoc´asticos e ao m´etodo de Monte Carlo1_{, bem como a for¸ca do tratamento num´erico para solucionar}

divergˆencias anal´ıticas.

1_{A simula¸c˜ao de Monte Carlo ou M´etodo de Monte Carlo (MMC) ´e uma metodologia}

estat´ıstica que se baseia em uma grande quantidade de amostragens aleat´orias para se chegar em resultados pr´oximos de resultados reais. Ela permite que vocˆe fa¸ca testes com vari´aveis um n´umero suficientemente grande de vezes para ter com mais precis˜ao a chance de algum resultado acontecer.

Referˆ

encias

[1] Curso de probabilidade e estat´ıstica, dispon´ıvel em https://www.eecis.udel.edu/ portnoi/classroom/ acessado em: 10/2018. [2] A-L Barab´asi and Harry Eugene Stanley. Fractal concepts in surface

growth. Cambridge university press, 1995.

[3] M Giannouli e P. Yianoulis G. Syrrokostas. Renewable Energy, 34(1759), 2009.

[4] G. Parisi M. Kardar and Y.-C. Zhang. Phys. Rev. Lett, 56(889), 1986. [5] J.Coll. M.J.Vold. Sci. 14, 168 (1959). J.Phys.Chem., 63(1608), 1959. [6] N. Lebovka R. Karmakar, T. Dutta and S. Tarafdar. Physica A,

348(236).

[7] F. D. A. Aar˜ao Reis. Universality in two-dimensional kardar-parisi-zhang growth. Phys.Rev.E, 69(021610).

[8] F. D. A. Aar˜ao Reis. Universality and corrections to scaling in the ballistic deposition model. PHYSICAL REVIEW E, 63(056116), 2001. [9] F. D. A. Aar˜ao Reis. Roughness fluctuations, roughness exponents

and the universality class of ballistic deposition. PHYSICAL A, 364(190–196), 2006.

[10] F. D. A. Aar˜ao Reis. Modelos estat´ısticos para crescimento de filmes finos. Tese apresentada no concurso p´ublico para professor titular do departamento de f´ısica da UFF, 2009.

[11] F. – A. Silveira. Caracteriza¸c˜ao da Deposi¸c˜ao Bal´ıstica Bidispersa em 2 e 3 Dimens˜oes. Disserta¸c˜ao de mestrado UFF, 2007.