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apostila de matematica financeira l12112016

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Academic year: 2021

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IMPRIMINDO

1 (1-2 SO SE ESTIVER TEXTO ATRAS DA CAPA) 3-4

5-6 7-8 9-10 11-12

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Juros Simples e Compostos Juros Simples

Calculadora

Regime de Juros Simples

O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro nacional, mas ele se relaciona à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o período da aplicação. O cálculo para juros simples

é dado pela fórmula: J = PV x i x n

J = Juro

PV = Capital inicial, principal ou valor presente i = taxa de juros

n = número de períodos em que foi aplicado o capital

No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o capital aplicado é diretamente proporcional ao capital e o tempo de aplicação. Através da taxa de juros, irá variar ao longo do período. Assim, utiliza-se o ano comercial, sendo 360 dias no ano e

30 dias no mês. Ex.: Saiba Calcular Juros Simples

1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros simples de 6% ao mês?

Dados encontrados: PV= R$ 200

i = 6 %a.m. n = 6 meses

J = ?

Para melhor entender a.a. - ao ano; a.m. - ao mês; a.d. - ao dia; a.b. - ao bimestre; a.t. - ao trimestre; a.q. - ao quadrimestre;

C = capital ou P = principal – significam o mesmo J = juros

n = número de períodos t = tempo ou período i = taxa de juros M = montante

s = montante de capitalização composta QUADRO RASCUNHO

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Conversão da taxa de juros: 6% → 6/100 → 0,06

Resolução:

J = PV x i x n → J = R$ 200 x 0,06 x 6 → J = R$ 72,00 Explicação do Problema em Juros Simples

1º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 2º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 3º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 4º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 5º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros) 6º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)

Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse exemplo, verifica-se que no cálculo de juros simples, os juros são iguais, pois ele sempre será acrescentado ao capital inicial.

Importante

Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de juros:

Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.) Número de Períodos= 6 meses

Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja: Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.)

Número de Períodos = 3 anos → 6 semestres

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Cálculo de Juros Simples em Períodos Não Inteiros

Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, sendo preciso utilizar frações de períodos para que não hajam erros no valor final. Supondo que o período de aplicação é 5 anos e 9 meses, é sugerido as seguintes soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros:

1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 semestres.

2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo: n = 5 anos e 9 meses → 69 meses

i = 20% a.s → 20/6 → 3,3 % ao mês Juro Exato

O juro exato é utilizado quando o período de tempo da aplicação está expressa em dias ou quando é considerado o ano civil (365 dias ou 366 dias para ano bissexto) para a realização do cálculo. A fórmula a ser utilizada será:

J = Pv i n / 365

Saiba Calcular Juro Exato

1) Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000 aplicado por 40 dias à taxa de 30% ao ano?

Dados encontrados: PV= R$ 20.000

i = 30 %a.a. n = 40 dias J = ?

Conversão da taxa de juros: 30% → 30/100 → 0,3 Resolução: J = Pv i n / 365 → J = R$ 20.000 x 0,3 x 40 / 365 → J = R$ 240.000 / 365 → J = R$ 657,53 QUADRO RASCUNHO QUADRO RASCUNHO

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Juros Compostos

Regime de Capitalização Composta

Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em diversos cálculos econômicos. Os juros são gerados em cada período e acrescentados ao capital principal para o cálculo dos juros no período posterior.

Nesse regime, diz-se que os juros são capitalizados, pois a cada período o juro é adicionado ao capital inicial. Assim, não existe

capitalização no regime de juros simples, pois apenas o capital inicial rende juros.

Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula: M= C (1+i)ᵑ

Saiba Calcular Juros Compostos

1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros composta de 6% ao mês?

Dados encontrados: PV= R$ 200

i = 6 %a.m. N = 6 meses M= ?

Conversão da taxa de juros: 6% → 6/100 → 0,06

Resolução:

M = C (1+i)n → M = R$ 200 (1+ 0,06) → M = R$ 200 (1,06) → M = ⁶ ⁶ R$ 200 x 1,41 → M= R$283,70

A diferença entre o capital inicial e o montante é o Juro Composto. Veja:

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RO que é Juro?

MoedasNo artigo 'Introdução à Matemática Financeira' existem conceitos fundamentais que auxiliam nas operações financeiras. Dentro disso, foram dadas definições sobre o regime de juros simples e o regime de capitalização composta. E, para entender melhor sobre juros simples e compostos é preciso saber o que são juros e como calculá-lo em cada situação imposta pelo mercado.

Geralmente, os juros são determinados pelo Copom (Comitê de Política Monetária), um órgão do Banco Central que estabelece as normas da política monetária e da taxa de juros.

Todos os anos, durante as reuniões feitas pelos membros do Copom são definidos os índices de consumo e produção que afetam o

crescimento do país. Eles publicam relatórios sobre a inflação e informam sobre a situação econômica do país.

De acordo com Samanez (2002), em seu livro 'Matemática Financeira: Aplicações à Análise de Investimentos' a definição de juro é:

“Juro é remuneração do capital empregado”

Segundo essa definição, se aplico ou empresto capital a outrem, existe um valor adicional a ser cobrado pela utilização desse dinheiro. Por exemplo, ao aplicar um capital, em um período de tempo específico, ao final dessa aplicação o capital terá adquirido outro valor, chamado de montante. O montante é o capital aplicado mais os juros que foram acumulados durante o período da aplicação.

O juro, também chamado de remuneração, rendimento ou juros ganhos é dado pela diferença entre o montante (M) e o capital (C). A fórmula utilizada para o cálculo do juros é:

J = C x i Importante:

No mercado financeiro, a taxa de juros sempre é dada na forma

percentual, mas para a realização dos cálculos é preciso transformar a taxa em fracionária. Veja o quadro:

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Rendas em Matemática Financeira Alugando uma Casa

Renda, também conhecida como anuidade, é todo valor utilizado sucessivamente para compor um capital ou pagar uma dívida. As rendas são um dos principais conceitos que baseiam os

financiamentos ou empréstimos. Nessas rendas são realizadas uma série de pagamentos (parcelas ou termos) para arrecadar um fundo de poupança, pagar dívidas, financiar imóveis, etc.

No caso da poupança, para acumularmos determinado valor, realizamos vários pagamentos que geram um montante ao final, chamado de montante equivalente da renda.

Já no pagamento de uma dívida, os débitos são feitos

posteriormente, ou seja, as prestações são pagas ao credor com períodos e parcelas determinadas. Um exemplo, é o pagamento de uma aluguel. Esse pagamento de dívidas é chamado de

amortização. Existem diversos tipos de sistemas de amortização, são eles: Sistema de Amortização Francês, Sistema de Amortização Constante (SAC), Sistema de Amortização Alemão, etc., sendo que cada um têm sua particularidade.

Saiba Mais

Conheça o conceito de amortização no artigo "Sistema de Amortização Constante (SAC) e Análise de Investimentos". Dentro da renda, são trabalhados os seguintes conceitos: Número de prestações ou termos de renda: quantidade de pagamentos ou recebimentos feitos;

Valores dos termos de renda: valor de cada termo da renda; Período de Vencimento: data de vencimento ou pagamento dos termos da renda.

As rendas de acordo com as formas de pagamento podem ser divididas em:

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Rendas Certas

As rendas certas, também chamadas de séries periódicas uniformes, são aquelas em que todos os elementos já estão pré-determinados e podem ser classificados de acordo com o tempo, a variação dos elementos, o valor, o período do vencimento, etc, que por sua vez podem ser divididas em:

Rendas Postecipadas: Rendas em que o pagamento é feito apenas ao final de cada período. Ex.: faturas de cartão de crédito,

empréstimos e financiamentos, etc.

Rendas Antecipadas: Rendas em que há a exigência do pagamento ser feito no início de cada período. Ex.: financiamentos pagos à vista.

Rendas Diferidas: O período de pagamento está num prazo entre o início da compra do período de pagamento da primeira parcela. Ex.: Essas séries são utilizadas em promoções de “Compre hoje e comece a pagar em tal dia.”

Rendas Aleatórias

As rendas aleatórias são utilizadas quando alguns de seus

elementos não podem ser previamente determinados. Ex.: o seguro de vida, com relação ao valor do seguro (de acordo com a causa da morte) e a data do recebimento (data da morte) que não podem ser determinados durante o fechamento do contrato.

Classificação das rendas

Como foi dito, as rendas são uma sucessão de pagamentos ou depósitos em determinado período e tempo. Mas, ainda de acordo com cada tipo de elemento que estiver determinado no contrato, elas podem ser classificadas de formas diferentes. Veja:

Rendas Temporárias: quando os pagamentos possuem um prazo para acabar.

Rendas Perpétuas: quando os pagamentos são infinitos.

Rendas Fixas ou Uniformes: quando os pagamentos são iguais. Rendas Variáveis: quando os pagamentos mudam.

Rendas Constantes: quando os termos são constantes. Ex.: Prestações.

Rendas Variáveis: quando as rendas são variáveis. Ex.: Depósitos crescentes na poupança.

Rendas Imediatas: quando o primeiro pagamento é feito no primeiro período (mês) da série.

Importante: Ao calcular a taxa anual e a taxa diária é preciso saber quando utilizar o ano civil ou comercial. No ano civil deve-se dividir a taxa anual por 365 ou 366 e no ano comercial deve-se dividir por 360.

Taxas Equivalentes

As taxas equivalentes são aquelas produzidas em tempos

diferentes, mas possuem o mesmo capital e no mesmo prazo geram o mesmo montante. Ela é calculada em juros compostos e para isso é preciso utilizar a seguinte fórmula:

1 + ia = (1 + ip)n ia = taxa anual ip = período da taxa n = número de períodos

Veja um exemplo sobre taxa de juros proporcional:

1) Descubra o valor da taxa de juros anual equivalente a 2% ao mês.

2% → 2/100 → 0,02 Taxa de juros anual = 12 equivalente a 1 ano. 1 + ia = (1 + ip)n 1 + ia = (1 + 0,02)12 1 + ia = 1,02 12 1 + ia = 1,2682 ia = 1,2682 – 1 ia = 0,2682 ia = 26,82%

Taxa Over (taxa por um dia)

Também conhecida como taxa over night, é uma taxa que regula as relações econômicas nacionais dentro do mercado financeiro. Esses juros são contabilizados apenas nos dias úteis por período

geralmente, multiplicado por 30. Ela é utilizada por instituições financeiras e instituições autorizadas pelo Banco Central.

Exemplo: Em um capital de R$ 100.00.00 aplicado à taxa over de 27%, qual será o montante durante um período de 21 dias?

1) Primeiro, deve-se procurar a taxa efetiva diária da aplicação: n x i = x

30 (dias/mês) x i = 27% i = 27% / 30 i = 0,9%

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Taxa de Juros Nominal

É usada quando os juros são acrescentados ao capital mais de uma vez no período da taxa de juros. A unidade de tempo é diferente daquela aplicada nos períodos de capitalização. Ela é utilizada em operações com juros simples e sempre apresentadas em períodos semestrais, anuais, mensais, trimestrais ou diários. Como:

36% a.a. capitalizados trimestralmente; 10% a.t. capitalizados mensalmente.

Entende-se por capitalização, o período em que os juros são formados e incorporados ao capital inicial. Como não apresenta uma taxa efetiva, não deve ser utilizada em cálculos com juros compostos.

Mas, toda taxa nominal possui uma taxa efetiva 'escondida' de uma taxa nominal anual, obtida de forma proporcional através dos juros simples, sendo que esse valor será dado pela taxa efetiva.

Taxa de Juros Efetiva

Como a taxa nominal não incorpora capitalizações, é preciso

realizar o cálculo da taxa efetiva quando queremos fazer operações com juros compostos. Apenas uma vez em cada período os juros são acrescidos nessa taxa. É uma taxa em que sua unidade de tempo é equivalente a unidade dos períodos de capitalização. Ex.: 26% ao ano/ano (vinte e seis por cento ao ano com capitalização anual)

4% ao mês/mensal (quatro por cento ao mês com capitalização mensal)

1% ao dia/diária (um por cento ao dia com capitalização diária) Através da taxa nominal é possível encontrar o valor da taxa efetiva através de um cálculo de taxa proporcional. Ex.:

Taxa nominal Taxa efetiva 24% ao ano/mês →Taxa Proporcional → 2% ao mês/mês axa de Juros Proporcional (taxa linear)

Essa taxa é calculada nas operações de multiplicação e divisão dentro dos juros simples. Por exemplo: se deseja saber a taxa de juros anual proporcional a taxa de 2% ao mês, multiplica-se a taxa por 12, a quantidade de meses dentro de uma ano.

2% x 12 (meses) = 24% ao ano

Sistema de Amortização Constante - SAC e Análise de Investimento O que é Sistema de Amortização?

Calculadora Matemática FinanceiraPrimeiramente, é importante compreender que a amortização significa o processo de

encerramento de uma dívida por meio de pagamentos periódicos realizados com base em planejamento. Cada prestação é

correspondente ao total do reembolso do capital, aos juros do saldo devedor, ou de ambos os casos.

O que é Sistema de Amortização Constante (SAC)?

Quando a extinção de um empréstimo estiver associada a

prestações com inclusão de juros, quitando partes iguais do valor total da dívida, estamos falando do Sistema de Amortização Constante (SAC). Para este caso, o reembolso equivale a valores de amortização iguais ao saldo devedor. Como os juros diminuem a cada prestação, no SAC o valor delas é decrescente. O valor da amortização é calculado da seguinte forma: divide-se o valor principal pelo número de parcelas, ou seja, os períodos de pagamento.

Diferença entre o SAC e o SAF

SAF (Sistema de Amortização Francês), ou Tabela Price, é um método utilizado no pagamento de empréstimos com a seguinte e principal característica: apresentar prestações (ou parcelas) iguais. A diferença entre SAF e SAC consiste de que este tem prestações constantes e decrescentes. O SAF é bastante utilizado nos

financiamentos bancários. Entretanto, o SAC é preferência como se trata de financiamentos habitacionais. O Sistema de Amortização Constante substituiu o SAF pelo seguinte motivo: não fazer cobrança de juros sobre jutros.

Características do Sistema de Amortização Constante As principais características de definem o SAC, são: Utilização de parcelas decrescentes;

Amortização constante; Uso de juros decrescentes;

E o saldo devedor também é decrescente. As fórmulas utilizadas por esse sistema são: Fórmula do cálculo da amortização: A= C/t Cálculo da Prestação: P= A + J

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Representações: P: Valor da prestação

C: Valor do Capital (Entrada, aplicação inicial) J: Juros

t: Prazo

i: Taxa de Juros

SD0: Saldo Devedor do período Anterior Análise de Investimento

Semelhante ao Sistema de Amortização Francês, o SAF, a análise de investimento só se diferencia pelo fato de que as prestações não são constantes. Um dos conceitos importantes relacionados a esse assunto e que são muito importantes de serem estudados são: Taxa Interna de Retorno (TIR), Taxa Mínima de Atratividade (TMA) e Valor Presente Líquido (VPL) ou Valor Atual Líquido (VAL).

Taxa Interna de Retorno (TIR)

O TIR é definido como uma taxa de desconto sobre um futuro

investimento, em que o Valor Presente do fluxo de caixa se iguala ao próprio investimento. O seu cálculo se dá por meio de um processo de tentativa e erro. O TIR também é utilizado como taxa de desconto quando os valores presentes do líquido do custo e dos retornos se igualam a zero. Outra característica é que é possível existir mais de uma taxa interna de retorno para determinado conjunto de fluxos de caixa. O investimento neste caso torna-se aceitável quando a taxa excede o retorno exigido, a chamada taxa de atratividade.

Taxa Mínima de Atratividade (TMA)

A TMA é um valor mínimo que o investidor está proposto a ganhar ao fazer um investimento, em se tratando de taxa de juros. Também representa o máximo que alguém se propõe a pagar ao fazer um financiamento.

Valor Presente Líquido (VPL)

O VPL também pode ser denominado como valor atual líquido (VAL), ou método do valor atual, e por meio de uma fórmula matemática, possui a propriedade de determinar o valor presente de desconto dos pagamentos futuros, com uma taxa de juros apropriada. O VPL só não determina o cuso do investimento inicial. Esse método é capaz,

basicamente, de estipular o calculo de quanto os futuros pagamentos estaria valendo atualmente, somados a um custo inicial.

Referências

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