AULA03

Precisão das Medidas

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3.1 Introdução

Na busca de um entendimentos maior a respeito do mundo que nos rodeia, os cientistas procuram obter medidas entre quantidades físicas. Nós podemos perguntar, por exemplo, como a pressão de um gás contido em um recipiente fechado – como um pneu – é afetada quando aumentamos ou diminuímos a temperatura.

Os cientistas normalmente tentam expressar essas relações quantitativamente em termos de equações, cujos símbolos representam as quantidades envolvidas. Para determinar ou confirmar a validade de uma relação entre quantidades físicas, é necessário efetuar medidas cuidadosamente obtidas em experiências.

3.2 Algarismos Significativos

Hoje em dia, a obtenção de medidas é uma parte importante da Física, conhecida como metrologia (INMETRO1). Mas nenhuma medida obtida é absolutamente precisa; sempre existirá uma incerteza associada a cada medida. A incerteza advém de diferentes fontes. A mais importante delas é a limitada precisão de todo instrumento de medida e a incapacidade de leitura de valores fracionários menores que a menor divisão de escala do instrumento (fig.3.1).

Entretanto, a leitura em um instrumento de medida permite muitas vezes a interpolação de um último dígito no valor obtido para a medida. Considere a figura abaixo, em que uma régua comum, calibrada em milímetros (mm), é usada para medir o comprimento de um segmento de reta. (fig. 3.2)

1

http://www.inmetro.gov.br/

Fig. 3.1. A metade da menor divisão da escale de leitura de um instrumento de medida analógico de medida estabelece a incerteza existente na medida efetuada por esse instrumento.

Fig. 3.2.

De acordo com a figura 3.2, a medida exata do comprimento situa-se entre 6,5 cm e 6,6 cm. Mas, podemos estimar, com uma pequena margem de erro, que a medida do comprimento é 6,54 cm.

Observe que o último dígito da medida (o algarismo 4) é incerto e foi estimado a partir de uma interpolação – e, portanto, trata-se de um algarismo duvidoso. Por outro lado, os dois primeiros dígitos da medida (os algarismos 6 e 5) são valores que podemos dar como certos.

Em uma medida, dá-se o nome algarismos significativos a todos os algarismos tidos como certos mais o algarismo duvidoso. No exemplo dado, a medida 6,54 cm possui três algarismos significativos.

Por outro lado, se tivéssemos usado uma régua graduada em centímetros (fig.3.3), a medida de comprimento do segmento de reta seria escrita como 6,5 cm. Tal medida possui apenas dois algarismos significativos, sendo o algarismo 5 o duvidoso.

Portanto o número 24,78, por exemplo, possui quatro algarismos significativos; o número 0,0034 possui apenas dois algarismos significativos (observe que os zeros à esquerda indicam apenas um deslocamento da vírgula, pois esse mesmo número poderia ser escrito como 3,5x10-3); e o número 5,34 x 104 possui apenas três algarismos significativos.

Ao efetuar medidas ou ao realizar cálculos com valores de medida, devemos sempre considerar o número de algarismos significativos apresentados na resposta final.

3.3 Multiplicação e Divisão

Considere o seguinte problema: determinar a área S de um retângulo cujos lados têm por medidas os valores 12,3 cm e 6,7 cm.

A área S é obtida pela multiplicação das medidas dos lados e tal operação nos fornece como resultado o valor S = 12.3 cm . 6,7 cm = 82,41 cm2.

Podemos estabelecer como regra geral que o resultado de uma multiplicação – ou de uma divisão – deve ter um número de algarismos significativos igual ao do fator com o menor número de algarismos significativos mais um algarismo.

Por esse motivo, a resposta final deve sofrer um arredondamento e teremos, então, para a área do retângulo o valor S = 12,3 cm . 6,7 cm = 82,4 cm2. Observe que o resultado final possui três algarismos significativos (mantivemos o menor número de algarismos significativos mais um algarismo).

Observação:

As regras citadas para operar com algarismos significativos não devem ser consideradas absolutamente rigorosas. Elas se destinam, apenas, a evitar que você perca tempo, trabalhando inutilmente com um grande número de algarismos que não tem significado algum.

3.4 Soma e Subtração

No caso da adição ou da subtração, devemos inicialmente verificar qual a parcela que apresenta o menor número de casas decimais. Devemos, então, arredondar todas as outras parcelas de modo a ficarem com o mesmo número de casas decimais que a parcela com o menor número de casas decimais.

Considere, por exemplo, o problema seguinte: obter a soma dos comprimentos 1.545,3 m, 125,346 m, 45,068 m e 3,6592 m.

Observe que a parcela que apresenta o menor número de casas decimais (uma casa decimal apenas) é a igual a 1.545,3, que permanecerá inalterada. Portanto, todas as outras parcelas deverão ser arredondadas, abandonando-se quantos algarismos forem necessários, de modo a ficarem com apenas uma casa decimal.

Então, na parcela 125,346 devemos abandonar os dois últimos algarismos (os algarismos 4 e 6). Como regra geral de arredondamento, o último algarismo mantido deve ser mantido invariável se o algarismo seguinte (o algarismo 4, nesse caso) for menor que 5. Assim, a parcela 125,346 será escrita como 125,3.

Na parcela 45,068 devemos abandonar os algarismos 6 e 8. No arredondamento, o último algarismo mantido deve ser acrescido de uma unidade se o algarismo seguinte (o algarismo 6, nesse caso) for maior que 5. Desse modo, a parcela 45,068 será escrita como 45,1.

Finalmente, na última parcela igual a 3,6592 devemos abandonar os algarismos 5, 9 e 2. Nesse caso, o último algarismo abandonado é exatamente igual a 5 e, nesse caso, é indiferente acrescentar ou não uma unidade ao último algarismo mantido (o algarismo 6). Ou seja, a última parcela pode ser escrita como 3,6 ou 3,7. De qualquer maneira, a soma dessas parcelas irá diferir apenas pelo último algarismo e isso não tem importância nenhuma, pois, como sabemos, o último algarismo é um algarismo duvidoso. Temos, então:

Fazer o cálculo: 1.545,3 125,346 45,068 + 3,6592

Não custa lembrar que: Nesse ponto, é importante ressaltar que as regras descritas anteriormente não são absolutamente rigorosas. Elas visam apenas evitar a perda de tempo ao realizar cálculos usando algarismos sem significado!!!

Atividade em Grupo

Neste experimento simples você fará medições de comprimento e, com elas, obterá o valor da constante matemática (pi).

O número é dado pela relação entre o comprimento C de uma circunferência ( o perímetro) e seu diâmetro D:

. D C

Você precisará de fita métrica ou régua, fio inextensível e objetos circulares (formas cilíndricas). Organize uma tabela em que devem constar os dados apresentados a seguir.

Objeto Diâmetro D Circunferência C Valor de

Comece por qualquer um dos objetos. Utilizando uma trena ou régua milimetrada, obtenha quatro medidas de C e D. Com os valores medidos, e usando a relação acima, obtenha o valor de . Atente para o uso correto dos algarismos significativos. Repita esse procedimento para os outros objetos selecionados e obtenha mais valores para a constante .

Determine , o valor mais provável de , fazendo a média aritmética dos valores obtidos:

,

...

n

para “n” igual a 4 (n = 4 – número de medidas).

Compare com o valor conhecido:

3

,

14159

.

%

100

%

erro

Nas Olimpíadas de 1912, em Estocolmo, a precisão na cronometragem das corridas, usando-se cronômetros mecânicos manuais, era de 0,2 s. Nas Olimpíadas de 1932, em Los Angeles, a precisão já chegava a 0,1 s. Em 1964, em Tóquio, com cronômetros eletrônicos a quartzo, a precisão chegava a 0,01 s. Hoje em dia, com sistemas de cronometragem computadorizados, a precisão chega a 0,001 s, o que é cerca de dez vezes mais preciso que o requerido pelos regulamentos.

Explique por que a presença do ser humano é, hoje em dia, dispensável no controle a cronometragem de uma prova esportiva de corrida.

3.5 Exercícios de fixação

1. Aplicando a “regra de arredondamento”, escreva em seu caderno as medidas seguintes com apenas três algarismos significativos:

a) 422,32 cm2 b) 3,428 g c) 16,15 s

2) Uma pessoa deseja realizar a adição abaixo, de modo que o resultado contenha apenas algarismos significativos:

27,48 cm + 2,5 cm a) Qual das parcelas permanecerá inalterada? b) Como deverá ser escrita a outra parcela? c) Qual é o resultado da adição?

3) Efetue a multiplicação abaixo e responda o que é solicitado. 342,2 x 1,11

a) Qual dos fatores possui o menor número de algarismos significativos? b) Com quantos algarismos devemos apresentar o resultado?

c) Escreva o resultado da multiplicação com algarismos significativos apenas. d) Seria aceitável apresentar 379,8 como resultado desta multiplicação? E 379,84

4) Quantos algarismos significativos há em cada uma das medidas seguintes? a) 702 cm

b) 36,00 kg c) 0,00815 m d) 0,05080 L

5) Ao medir o comprimento de uma estrada, uma pessoa encontrou 56 km. a) Qual o algarismo duvidoso desta medida?

b) Seria aceitável escrever esta medida como 56 000 m?

c) Qual a maneira de expressar esta medida em metros, sem deixar dúvidas quanto aos algarismos significativos?

6) O volume de um cone é dado pela expressão

3 h A V

Em que A é a área de sua base e h, sua altura. Para um dado cone, temos A = 0,302 m2 e h = 1,020 m. Com quantos algarismos você deve expressar o volume deste cone?

Referências Bibliográficas

1. Penteado, P. C. M.; Torres, C. M. A. Física: ciência e tecnologia. Vol. 1, 2 e 3. São Paulo: Moderna. 2005.

2. Ferraro, N. G. e Toledo Soares, P. A. – Física Básica. Vol. Único. São Paulo:Saraiva 2008. 3. Máximo, A. e Alvarenga, B. – Física ensino médio. Vol.1. São Paulo:Scipione 2005. 4. Carron, W. e Guimarães, O. – As Faces da Física. Vol. Único. São Paulo:Moderna 2006. 5. Máximo, A. e Alvarenga, B. – Física de olho no mundo do trabalho. Vol.Único. São