Cap15 Sec8 2x4

(1)

Capítulo 15

Integrais Múltiplas

15.8 Integrais Triplas em

Coordenadas Esféricas

Nesta seção, nós aprenderemos como: Converter coordenadas retângulares em esféricas e

usá-las para calcular integrais triplas. INTEGRAIS MÚLTIPLAS

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

Outro sistema de coordenadas 3 - D útil é o

sistema de coordenadas esféricas.

Ele simplifica o cálculo de integrais triplas em regiões limitadas por esferas ou cones.

COORDENADAS ESFÉRICAS

As coordenadas esféricas (, , ) de um ponto P no espaço são mostradas.

 = |OP|é a distância da origem a P.

é o mesmo ângulo que nas coordenadas cilíndricas.  é o ângulo entre o eixo z

positivo e o segmento de reta OP.

Observe que:

 0 0 S

COORDENADAS ESFÉRICAS

O sistema de coordenadas esféricas é especialmente útil em problemas nos quais exista simetria em torno de um ponto e a origem esteja colocada neste ponto.

SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS

ESFERA

Por exemplo, a esfera com centro na origem e raio c tem a equação simples = c.

Essa é a razão do nome “coordenadas esféricas”..

SEMIPLANO

O gráfico da equação

= c

é um semiplano vertical.

(2)

SEMICONE

A equação = crepresenta um semicone com o eixo z como seu eixo.

A relação entre coordenadas esféricas e retangulares pode ser vista nesta figura.

COORDENADAS ESFÉRICAS & RETANGULARES

Dos triângulos OPQ e OPP’, temos

z = cos r = sen  Mas,

x = r cos y = r sen

COORDENADAS ESFÉRICAS & RETANGULARES

De modo que, para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as equações

x = sen cos y = sen sen

z = cos

COORDENADAS ESFÉRICAS & RETANGULARES Eq.1

Além disso, a fórmula da distância mostra que

:

2

_{= x}

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

Usamos essa equação para converter de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas.

COORDENADAS ESFÉRICAS & RETANGULARES Eq.2

O ponto (2, S/4, S/3) é dado em coordenadas esféricas.

Marque o ponto e encontre suas coordenadas retangulares.

COORD. ESFÉRICAS & RETANGULARES EXEMPLO 1

Marcamos o ponto como mostrado

.

Das Equações 1, temos:

(3)

Logo, o ponto (2, S/4, S/3) é

em coordenadas retangulares

.

3/ 2, 3/ 2,1

O ponto está dado em

coordenadas retangulares.

Encontre coordenadas esféricas para este ponto. Da Equação 2, temos:

0,2 3, 2

2 2 2 0 12 4 4 x y z

U

Assim, as Equações 1 fornecem:

`

Observe que 3S/2 porque y 2 3 0! .

Portanto, as coordenadas esféricas do ponto dado são

:

(4, S/2 , 2 S/3)

CÁLCULO DE INT. TRIPLAS EM COORD. ESFÉRICAS Nesse sistema de coordenadas, o

correspondente à caixa retangular é uma

cunha esférica

onde a 0, – 2S, d – c S

^

, ,

,

`

E

U T I

a

d d

U

b

D T E

d d

c

d d

I

d

Apesar de termos definido as integrais triplas dividindo sólidos em pequenas caixas, podemos mostrar que, dividindo o sólido em pequenas cunhas esféricas, obtemos sempre o mesmo resultado.

CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS

Assim, dividiremos E em pequenas cunhas esféricas E_ijkpor meio de esferas igualmente espaçadas = _i, semiplanos = _je

semicones = _k.

A figura mostra que E_ijké aproximadamente uma caixa retangular com dimensões:

 , i (arco de circunferência de raio _i, e ângulo )  i senk (arco de circunferência de raio sen , e ângulo )

(4)

Logo, uma aproximação do volume de E_ijk é dada por:

De fato, pode ser mostrado, com a ajuda do Teorema do Valor Médio (Exercício 45), que o valor exato do volume de E_ijké dado por:

onde é algum ponto do interior de

E_ijk.

Sejam

as coordenadas retangulares desse ponto. Então,

*

_,

*

_,

*

ijk ijk ijk

x

y

z

Mas essa soma é uma soma de Riemann para a função

 Consequentemente, chegamos à seguinte fórmula

para a integração tripla em coordenadas esféricas:

onde E é uma cunha esférica dada por:

^

, ,

,

`

E

U T I

a

d d

U

b

D T E

d d

c

d d

I

d

INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS F. 3

A Fórmula 3 nos diz que, para converter uma integral tripla de coordenadas retangulares para coordenadas esféricas, escrevemos:

x = sen cos y = sen sen

z = cos

INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS

O que é feito:

utilizando os limites de integração apropriados; SubstituindodV por

2 _{sen d d d.}

Essa fórmula pode ser estendida para incluir regiões esféricas mais gerais, como:

Nesse caso, a fórmula é a mesma que (3), exceto que os limites de integração para são g1(, ) e

g2(, ).

^

, , , , 1 , 2 ,

`

E c d g g U T I D T Ed d d dI T I d dU T I INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS

(5)

Em geral, as coordenadas esféricas são utilizadas nas integrais triplas quando

superfícies como cones e esferas formam a fronteira da região de integração.

Calcule

onde B é a bola unitária:

₂ ₂ ₂

3 / 2 x y z B

e

dV

³³³

^

_{, ,}

2 2 2

₁

`

B

x y z

x

y

d

z

INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS EX. 3

Como a fronteira de B é uma esfera, utilizaremos coordenadas esféricas:

Além disso, as coordenadas esféricas são convenientes, pois:

x2_{+ y}2_{+ z}2₌2

^

, ,

0 1,0

2 ,0

`

B

U T I

d d

U

d d

T

S

d d

I S

Então, de (3) temos:

Seria extremamente complicado calcular a integral do Exemplo 3 sem coordenadas esféricas.

Com coordenadas retangulares, a integral iterada seria

3 / 2 2 2 2 ₂ ₂ ₂ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 x x y x y z x x y

e

dz dy dx

³ ³

³

INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS Obs.

Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado:

pelo cone

pela esfera

x2_{+ y}2_{+ z}2_{= z}

2 2

z x y

Observe que a esfera passa pela origem e tem centro em (0, 0, ½). Escrevemos a equação da esfera em coordenadas esféricas como: 2_{= cos} ou = cos

A equação do cone pode ser escrita como:

 Isto dá: sen = cos ou = S /4

(6)

Portanto, a descrição do sólido E em coordenadas esféricas é

^

, , 0 2 ,0 / 4,0 cos

`

E

U T I

d d

T

S

d d

I S

d d

U

I

A figura mostra como E é varrido se

integramos primeiro em relação a , depois em relação a , e então em relação a . INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS EX. 4

O volume de E é:

Essa figura mostra uma visão (desta vez, utilizando o MAPLE) do sólido do Exemplo 4. INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORD. ESFÉRICAS

Cap15 Sec8 2x4

Integrais Múltiplas

15.8

Integrais Triplas em

Coordenadas Esféricas

= c

:

= x

+ y

+ z

.

.

3/ 2, 3/ 2,1

U

:

^

, ,

,

,

`

E

U T I

a

d d

U

b

D T E

d d

c

d d

I

d

,

,

x

y

z

^

, ,

,

,

`

E

U T I

a

d d

U

b

D T E

d d

c

d d

I

d

^

`

e

dV

³³³

^

, ,

1

`

B

x y z

x



y

 d

z

^

, ,

0

1,0

2 ,0

`

B

U T I

d d

U

_{= x}

_{+ y}

_{+ z}

_,

_,

_{, ,}

₁

d