GREICE KELI SILVA LACERDA
O ESTUDO DE SEQUÊNCIAS E LIMITES COM
OAUXÍLIO DO GEOGEBRA EM ANÁLISE
REAL NA FORMAÇÃO DOCENTE
UNIVERSIDADE DO GRANDE RIOEscola de Ciências, Educação, Letras, Artes e Humanidades Programa de Pós-graduação em Ensino das Ciências
O ESTUDO DE SEQUÊNCIAS E LIMITES COM O AUXÍLIO DO
GEOGEBRA EM ANÁLISE REAL NA FORMAÇÃO DOCENTE
Dissertação a ser apresentada ao Curso de Mestrado Profissional do Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências da Universidade do Grande Rio, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre.
Área de Concentração: Matemática
Orientador
Profº. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano
Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências na Educação Básica
Ficha Catalográfica – Pedir à Biblioteca
Procedimento: Ir até a Biblioteca e falar com a Profa. Vera Pataco
GREICE KELI SILVA LACERDA
O ESTUDO DE SEQUÊNCIAS E LIMITES COM O AUXÍLIO DO GEOGEBRA EM ANÁLISE REAL NA FORMAÇÃO DOCENTE
Dissertação submetida ao corpo docente do Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências na Educação Básica (PPGEC) da Universidade do Grande Rio como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre.
Aprovada em 19 de dezembro de 2018, por:
___________________________________________ Prof. Dr. Abel Rodolfo Garcia Lozano (Orientador)
Universidade do Grande Rio (UNIGRANRIO)
______________________________________ Prof.ª Dr.ª Clícia Valladares Peixoto Friedmann Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ)
______________________________________ Prof.ª Dr.ª Chang Kuo Rodrigues
Universidade do Grande Rio (UNIGRANRIO)
______________________________________ Prof. Dr. Ângelo Santos Siqueira
Dedico este trabalho à minha família: mãe, marido e filhos e ao professor Abel, pessoas especiais que com muita compreensão e paciência motivaram e colaboram para o seu desenvolvimento.
“... não se lê um livro de Matemática como se fosse uma novela. Você deve ter lápis e papel na mão para reescrever, com suas próprias palavras, cada definição...” Elon Lages Lima
AGRADECIMENTOS
Aos professores componentes da banca: professora Clícia Valladares Peixoto Friedmann, professora Chang Kuo Rodrigues e professor Ângelo Santos Siqueira por dedicarem um momento do seu tempo para apreciar este trabalho e por todas as sugestões oferecidas.
À professora Cybele Vinagre, coordenadora do curso de Elementos de Análise Real do Consórcio CEDERJ e professora de Análise I da UFF, pela disponibilidade e ajuda na adaptação do material para a Educação a Distância e por disponibilizá-lo na plataforma das duas universidades.
Ao meu orientador, professor Abel Rodolfo, que me acompanhou desde a graduação, por toda paciência e compreensão, por confiar no meu trabalho, e por todas as contribuições e experiências compartilhadas.
Aos meus colegas de mestrado Lucimar, Marcos, Daniele, Vanilo e Leila que estiveram ao meu lado durante todo este processo.
À UNIGRANRIO, UFF, FFP/UERJ e ao Consórcio CEDERJ, instituições que sediaram esta pesquisa, pela colaboração e motivação nessa longa jornada. Aos meus amados filhos Flávio Luiz e Arthur e ao meu eterno amigo e marido Flávio por entenderem meus momentos de ausência e, em especial, a minha mãe, exemplo e pilar de toda a minha formação pessoal e profissional.
Agradeço a Deus por ser, em sua infinita bondade, minha força e fortaleza nos momentos de dificuldades.
RESUMO
LACERDA, Greice Keli Silva. O Estudo de Sequências e Limites com o
Auxílio do GeoGebra em Análise Real na Formação Docente. Orientador:
Abel Rodolfo Garcia Lozano, Rio de Janeiro, Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências - PPGEC - UNIGRANRIO, 2018. Dissertação de Mestrado Profissional. p.120
Esta pesquisa tem como objetivo apresentar uma metodologia para o ensino e a aprendizagem dos conceitos de sequências de números reais, limite de uma sequência de números reais, subsequência de uma sequência de números reais e limites infinitos oriundos da disciplina de Análise Real, de forma a promover a articulação destes conceitos e a prática docente, utilizando-se do software GeoGebra. No intuito de alcançar este objetivo foi realizada uma pesquisa qualitativa baseada na Teoria da Engenharia Didática para a elaboração de uma ferramenta direcionada aos professores que promova a integração entre o pensamento intuitivo e o pensamento matemático no ensino dos conceitos propostos. Como ferramentas metodológicas de coleta de dados foram utilizados o teste piloto, dois questionários e a observação participativa da aplicação de quatro atividades didáticas. Os resultados alcançados demonstram que a metodologia aplicada pode influenciar positivamente no ensino e na aprendizagem dos conceitos propostos. Espera-se que a pesquisa desenvolvida desperte novas reflexões sobre o ensino e a aprendizagem da disciplina de Análise Real no Ensino Superior, colabore para a compreensão de sua importância na formação docente e auxilie no ensino e na aprendizagem de seus conceitos descritos, minorizando os impactos que sua fundamentação teórica rigorosa provoca nos futuros professores de Matemática.
Palavras-chaves: Análise Real. GeoGebra. Engenharia Didática. Formação de
ABSTRACT
LACERDA, Greice Keli Silva. The Study of Sequences and Limits with the
GeoGebra Aid in Real Analysis in Teacher Training. Advisor: Abel Rodolfo
Garcia Lozano, Rio de Janeiro, Science Education Graduate Program - UNIGRANRIO, 2018. Dissertation. p.120
This research aims to present a methodology for teaching and learning the concepts of sequences of real numbers, limits of a real numbers sequence, substituting a sequence of real numbers and infinite limits from the Real Analysis discipline, in order to promote the articulation of these concepts and the teaching practice, using GeoGebra software. To achieve this objective, a qualitative research based on the Theory of Didactic Engineering was carried out to develop a tool, directed to teachers, that promotes the integration between intuitive thinking and mathematical thinking in the teaching of the proposed concepts. As methodological tools of data collection the pilot test, two questionnaires and the participatory observation of the application of four didactic sequences were used. The results show that the applied methodology can positively influence the teaching and learning of the proposed concepts. It is expected that the research developed will awaken new reflections on the teaching and learning of Real Analysis in Higher Education, collaborating to the understanding of its importance in teacher education and helping in the teaching and learning of its described concepts, reducing the impacts that its rigorous theoretical foundation provokes in the future teachers of Mathematics.
Keywords: Real Analysis. GeoGebra. Didactic Engineering. Teacher training.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Representação Gráfica da Sequência ... 36
Figura 2 – Representação Gráfica da Sequência ... 37
Figura 3 – Sequência Limitada ... 38
Figura 4 – Sequência Limitada ... 39
Figura 5 – Sequência Monótona ... 40
Figura 6 – Sequência Não-Monótona ... 41
Figura 7 – Limite da Sequência ... 42
Figura 8 – Limite da Sequência ... 45
Figura 9 – Sequência Não Convergente ... 46
Figura 10– Sequência Não Convergente ... 47
Figura 11 – Subsequência de e ... 48
Figura 12 – Sequência ... 53
Figura 13– Subsequência da sequência ... 54
Figura 14- Interface do Software GeoGebra com as Quatro Janelas ... 58
Figura 15- Janelas de Álgebra e Visualização do Software ... 60
Figura 16 – Ambiente de Pesquisa Presencial ... 62
Figura 17 – Ambiente de Pesquisa Virtual ... 63
Figura 18 – Aplicação do Teste Piloto ... 68
Figura 19 – Opiniões sobre o Papel da Análise na Graduação ... 73
Figura 20 – Motivação em Relação a Pesquisa ... 74
Figura 21 – Expectativas em Relação as Atividades ... 75
Figura 22 – O Atendimento às Expectativas ... 79
Figura 23 – Sugestões de Aperfeiçoamento ... 80
LISTA DE QUADROS
Quadro 1– Protocolo de Revisão Sistemática da Literatura... 21
Quadro 2 – Critérios Utilizados na Revisão Sistemática da Literatura ... 23
Quadro 3 – Resultados da Busca Realizada ... 24
Quadro 4 –Tipos de Sequências Monótonas ... 40
Quadro 5 – Comparativo para Diferentes Valores de ... 43
Quadro 6 – Valores dos termos das Subsequência de e ... 49
Quadro 7 – Outras Subsequências de ... 49
Quadro 8 – Sequência que tende para ... 51
Quadro 9 – Sequência que tende para ... 52
Quadro 10 – Análise Epistemológica ... 66
Quadro 11 – Respostas Coletadas no 1º Questionário ... 71
Quadro 12 – Observações Realizadas Durante as Atividades ... 77
Quadro 13 – Respostas Coletadas no 2º Questionário ... 78
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
BNCC Base Nacional Curricular Comum CAS Computer Algebra System
CEDERJ Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
CEP Comitê de Ética em Pesquisa da UNIGRANRIO CIEM Congresso Internacional de Ensino de Matemática CNE Conselho Nacional de Educação
EAD Educação à Distância
FFP Faculdade de Formação de Professores
FFP/UERJ Faculdade de Formação de Professores / Universidade do Estado do Rio de Janeiro
PCK Pedagogical Content Knowledge PCN Parâmetros Curriculares Nacionais
PIGEAD Planejamento, Implementação e Gestão da Educação à Distância
SEEDUC-RJ Secretária de Educação do Estado do Rio de Janeiro TCLE Termo de Consentimento Livre e Esclarecimento TIC Tecnologias de Informação e Comunicação TPACK Technological Pedagogical Content Knowledge TPRC Termo de Proteção de Risco e Confidencialidade UFF Universidade Federal Fluminense
UGF Universidade Gama Filho
ULBRA Universidade Luterana do Brasil UNIGRANRIO Universidade do Grande Rio
SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO ... 15
2. INTRODUÇÃO ... 17
3. A REVISÃO SISTEMÁTICA DA LITERATURA ... 21
4. A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 30
4.1. A Análise Real e o Ensino Superior... 31
4.2. O Estudo de Sequências e Limites em Análise Real ... 35
4.2.1. Sequências de Números Reais ... 36
4.2.2. Limites de uma Sequência de Números Reais ... 41
4.2.3. Subsequências de uma Sequência de Números Reais ... 48
4.2.4. Limites Infinitos ... 50
4.3. A Análise Real e o Ensino na Educação Básica ... 54
4.4. O Software GeoGebra ... 58
5. A METODOLOGIA DA PESQUISA ... 61
5.1. O Ambiente da pesquisa ... 62
5.2. A Engenharia Didática ... 64
5.2.1. Análises Prévias ... 65
5.2.2. As Concepções e a Análise a Priori ... 66
5.2.3. A fase da Experimentação ... 67
5.2.3.1. O Teste Piloto ... 67
5.2.3.2. Os Questionários... 69
5.2.3.3. A Aplicação das atividades e dos Questionários ... 70
5.2.4. Análise a Posteriori e Validação ... 81
6. O PRODUTO EDUCACIONAL ... 85
REFERÊNCIAS ... 92
APÊNDICE ... 96
1. APRESENTAÇÃO
Eu inicio este trabalho com um breve histórico de minha longa caminhada até aqui e das ações, interações e acontecimentos que motivaram a escolha do tema abordado.
Após terminar o curso de formação de professores no Ensino Médio, iniciei o curso de licenciatura plena em Matemática, oferecido pela Universidade do Estado do Rio de Janeiro – FFP/UERJ. Já no segundo período do curso, comecei a atuar como professora de Matemática para turmas do Ensino Fundamental e Médio, em escolas particulares e em cursos preparatórios para concursos públicos e vestibulares.
Concluído o curso de licenciatura tomei posse como professora de Matemática na Secretária de Educação do Estado do Rio de Janeiro (SEEDUC-RJ) com carga horária de 16 horas/aulas e de 30 horas/aulas semanais. Atualmente, ocupo o cargo de gestora da E. E. Leonor Franco Moreira.
Entre 2011 e 2012, concluí um curso de formação continuada oferecido pela SEEDUC e um Curso de Especialização em Docência do Ensino Superior oferecido pela Universidade Gama Filho (UGF), cujo título do trabalho de conclusão foi “NOVAS TECNOLOGIAS NO ENSINO DE MATEMÁTICA”. Recentemente, eu concluí um curso de Pós-Graduação Planejamento, Implementação e Gestão da EAD (PIGEAD) oferecido pela UFF cujo título do trabalho foi “Suporte Social Prático e Suporte Social Emocional em EAD”.
No período de 2013 a 2018, atuei como tutora presencial nas disciplinas de Pré-Cálculo e Construções Geométricas no curso de graduação em Matemática oferecido pelo Consórcio CEDERJ, onde também fui tutora de outras disciplinas como: Cálculo, Informática no Ensino da Matemática, Matemática Discreta e, em especial, Elementos de Análise Real.
Como tutora pude dar assistência a alunos inscritos na disciplina de Elementos de Análise Real e pude perceber a dificuldade que estes encontram em compreender os conceitos da disciplina e em realizar as demonstrações formais que esta exige. Enquanto tutora, pude perceber, também, o quanto é
difícil encontrar formas diversificadas de apresentar os conceitos da disciplina, de forma a auxiliar a compreensão dos alunos.
O interesse em estudar a construção do conhecimento mediado pela utilização de tecnologias surgiu a partir da minha prática docente, se intensificou no decorrer dos cursos de Especialização com a elaboração dos trabalhos de conclusão de curso e continuou sendo motivado pela minha atuação como tutora presencial.
Como professora tenho buscado, desde a minha formação, formas diversificadas de ensinas os conceitos matemáticos, e percebi que a utilização de tecnologias de comunicação e informação tem sido uma grande aliada nesse processo. Ter sido aluna em vários cursos à distância e lecionar num curso a distância fez com que eu “abrisse os olhos” para a utilização das ferramentas tecnológicas não somente como meios de dinamizar as aulas, mas como parte integrante do processo de construção do conhecimento. Portanto, a motivação para este trabalho surgiu das experiências e práticas vivenciadas ao longo da minha atividade docente e, principalmente, das minhas vivências enquanto aluna.
2. INTRODUÇÃO
A crescente inserção da tecnologia na vida dos cidadãos tem exigido o desenvolvimento de competências e habilidades para que estes possam aproveitar as oportunidades que a “Sociedade do Conhecimento” (COUTINHO, LISBOA, 2011, p. 8-10) lhes oferece. Este fato foi destacado nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) em 1998 como uma das características mais marcantes do desenvolvimento tecnológico. Segundo este documento, a sociedade tem a exigência, cada vez mais crescente, de indivíduos capazes de desenvolver plenamente sua criatividade, versatilidade e de entendimento do processo de trabalho e com iniciativa para resolver problemas em equipe utilizando diferentes linguagens e tecnologias.
Para Borba e Chiari (2013), Silva (2015) e Paula et al. (2016) o acesso à tecnologia tem influenciado as expectativas dos jovens e de suas famílias acerca da educação que desejam receber da escola. Exige-se cada vez mais que a escola repense: suas práticas educativas, a formação de competências docentes e a inserção das tecnologias no ambiente educacional. Enfim, exige-se uma transformação nos processos educativos e na própria educação.
Já em 1997, em meio aos avanços tecnológicos e científicos da informação, da comunicação e da própria sociedade, Selma Garrido Pimenta (1997) questionava-se sobre a necessidade da existência de professores. Esse questionamento, longe de defender uma desvalorização da profissão, propunha que o papel do professor na sociedade do conhecimento fosse repensado. Santos et al. (2016, p. 2), acrescenta ainda, que com o advento da tecnologia, o professor deve manter-se motivado a repensar e transformar sua prática pedagógica.
No entanto, somente a inserção da tecnologia no ambiente escolar e na prática docente não é suficiente para transformar o seu fazer pedagógico. Repensar a educação com a inserção da tecnologia no trabalho docente passa, necessariamente, pela incorporação de novos saberes que devem ser construídos na formação inicial.
Neste sentido, Tardif (2014) discute os saberes necessários à formação dos professores frente a essas mudanças. O autor salienta que o saber docente é um “saber plural” e “estratégico” e que, na formação inicial docente, esse saber deve ir além do papel de habilitar o futuro professor para o exercício de sua profissão. Segundo ele, os cursos de licenciatura devem colaborar para o desenvolvimento, nos licenciandos, de conhecimentos, habilidades, atitudes e valores que lhes possibilitem construir e reconstruir seus saberes a partir dos problemas impostos pelo seu cotidiano, favorecendo uma reflexão sobre sua própria prática docente. Tardif (2014) pontua que uma reflexão sobre a formação docente deve partir das seguintes inquietações:
Quais são os saberes profissionais dos professores, isto é, quais são os saberes (conhecimento, competências, habilidades, etc.) que eles utilizam efetivamente em seu trabalho diário para desempenhar suas tarefas e atingir seus objetivos?
Em que e como esses saberes profissionais se distinguem dos conhecimentos universitários elaborados pelos pesquisadores da área de ciências da educação, bem como dos conhecimentos incorporados nos cursos de formação universitários dos futuros professores?
Que relação deveriam existir entre os saberes profissionais e os conhecimentos universitários, e entre os professores do ensino básico e os professores universitários (pesquisadores ou formadores), no que diz respeito à profissionalização do ensino e à formação de professores? (TARDIF, 2014, p. 245-246)
Em complemento às inquietações levantadas, Borba e Chiari (2013) destacam que a formação docente deve seguir aliada aos recursos tecnológicos de modo a oferecer, aos futuros professores, experiências que possibilitem o desenvolvimento da capacidade de avaliação crítica do papel da tecnologia em sala de aula, de sua inserção em sua prática docente e em sua própria formação.
A partir das considerações feitas e levando-se em conta que os saberes oriundos da disciplina escolhida são diversos, o estudo realizado ficou restrito aos saberes diretamente ligados aos conceitos de Sequência de Números Reais.
O questionamento que norteará este trabalho será: “Como promover a articulação entre os saberes curriculares e os saberes experienciais no ensino e
na aprendizagem dos conceitos de sequências de números reais, limite de uma sequência de números reais, subsequência de uma sequência de números reais e de limites infinitos em Análise Real no Ensino Superior?”.
Pensando nos conhecimentos necessários à formação docente elegeu-se como referencial teórico o autor Tardif (2014); para organização e sustentação da pesquisa desenvolvida utilizou-se como aporte teórico metodológico a Teoria da Engenharia Didática, que será tratada no capítulo que descreve a metodologia da pesquisa, e seus preceitos segundo Artigue (1988).
Para responder à pergunta de partida, levantamos a seguinte hipótese: “uma metodologia diferenciada aliada ao uso do GeoGebra no estudo dos conceitos relacionados a sequência de números reais contribui para a articulação entre os saberes curriculares e experienciais, afetando positivamente o ensino e a aprendizagem em Análise Real no Ensino Superior”.
Como ponto de partida para a busca de validação da hipótese levantada, foi proposto o seguinte objetivo: desenvolver uma ferramenta educacional, direcionada a professores, que possibilite a articulação entre os saberes escolhidos oriundos da disciplina eleita e os saberes experiências adquiridos ao longo do Curso Superior, proporcionando uma forma diversificada de ensinar e aprender os conceitos relacionados à Sequência de Números Reais.
Para a concretização do objetivo proposto acima, traçou-se o seguinte objetivo específico: elaborar quatro atividades didáticas que propusessem a utilização do software GeoGebra para a compreensão dos conceitos de Sequências de Números Reais, Limite de Uma Sequência de Números Reais, Subsequência de uma Sequência de Números Reais e de Limites Infinitos.
Alcançados os objetivos propostos, espera-se colaborar para uma reflexão sobre as práticas educativas no ensino desses conceitos e motivar novas pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem dos conceitos da disciplina na formação docente.
A motivação inicial para a realização desta pesquisa surgiu de discussões com colegas professores sobre a utilização de tecnologias computacionais nas aulas de matemática e de nossa prática docente. Nessas discussões percebemos, assim como o descrito por Carvalho (2005), que um dos grandes problemas, mencionados pelos professores, para a inclusão das tecnologias no ensino, encontra-se em fazer com que os próprios professores realizem mudanças em atividade docente.
Este projeto se torna relevante, pois leva a uma reflexão mais profunda sobre as práticas pedagógicas e a formação inicial dos professores de matemática, favorecendo a compreensão dos saberes docentes “curriculares, disciplinares, experienciais e profissionais” (TARDIF, 2014, p. 33), que constituem a identidade docente e como estes saberes podem se articular com as tecnologias enriquecendo a própria atuação docente destes profissionais.
Faz-se necessário destacar que dentre os diversos autores que discutem a importância da tecnologia nas práticas educativas, poucos são aqueles que discutem sua influência na integração das teorias e práticas no ensino da disciplina de Análise Real. Logo, academicamente, este estudo propõe a oferta de uma forma diferenciada de potencializar e enriquecer o ensino e a aprendizagem dos conceitos relacionados a Sequências de Números Reais no Ensino Superior e tem a intenção de promover novos estudos e discussões sobre o ensino e a aprendizagem da disciplina em questão.
Profissionalmente, espera-se que este estudo possa enriquecer a prática docente no ensino dos conceitos elencados, e os conhecimentos sobre os saberes docentes inerentes à disciplina escolhida.
Assim como afirma Floret et al. (2013), sabe-se que somente a inserção da tecnologia no ensino não é suficiente para resolver todos os problemas do processo de ensino e aprendizagem. Portanto, sem o intuito de tentar esgotar as discussões sobre a temática abordada, pretende-se ofertar uma proposta metodológica que auxilie na articulação entre teoria e prática no ensino e na aprendizagem dos conceitos escolhidos sem perder o rigor que a fundamentação teórica desta disciplina exige.
3. REVISÃO SISTEMÁTICA DA LITERATURA
Uma revisão sistemática da literatura, segundo Paula, Rodrigues e Silva (2016), é um meio utilizado na identificação, avaliação e interpretação de todas as pesquisas existentes e relevantes para a pergunta de partida da pesquisa a ser realizada. Seu objetivo é oferecer uma forma de resumir algumas evidências, identificar lacunas, restringir a área de investigação e propiciar um embasamento para a pesquisa.
Com base nesta afirmação, apresenta-se abaixo o protocolo de revisão sistemática da literatura realizada. Considerou-se como objeto de estudo os conceitos de Análise Real relacionados a Sequência de Números Reais e o uso das tecnologias computacionais o Ensino Superior. No quadro abaixo é exibida a descrição do protocolo de pesquisa desenvolvido, que seguiu as etapas descritas por Paula et al. (2016).
Quadro 1 – Protocolo de Revisão Sistemática da Literatura
Questão de Pesquisa: Quais metodologias ou ferramentas computacionais
apoiam o ensino e a aprendizagem dos conceitos relacionados a sequências de Números Reais em Análise Real?
Intervenção
Trabalhos que apresentem estudos sobre a disciplina de Análise Real e a formação docente e que proponham metodologias e ferramentas para o estudo dos conceitos da disciplina no Ensino Superior.
Efeito
A partir dos trabalhos encontrados, discutir o ensino e a aprendizagem dos conceitos escolhidos e a utilização das tecnologias computacionais no ensino e na aprendizagem desses conceitos na disciplina escolhida.
Medida de desfecho
Quantidade de artigos publicados sobre o ensino e a aprendizagem dos conceitos de Análise Real e as metodologias e ferramentas computacionais que apoiam o estudo dos seus conceitos.
População
Artigos sobre o ensino e a aprendizagem dos conceitos de Análise Real, metodologias e ferramentas computacionais que apoiam o estudo de seus conceitos.
Problema
O uso do software GeoGebra no favorecimento do ensino e da aprendizagem dos conceitos de Sequências de Números Reais, Limite de uma sequência de Números Reais, Subsequência de uma Sequência de Números Reais e de Limites Infinitos no Ensino Superior.
Aplicação
Incentivar novas discussões sobre o ensino-aprendizagem da disciplina e elaborar uma ferramenta que auxilie o ensino e a aprendizagem dos conceitos escolhidos.
No quadro a seguir, são apresentados os critérios de inclusão ou exclusão utilizados para a seleção dos trabalhos que compuseram esta pesquisa.
Quadro 2 – Critérios Utilizados na Revisão Sistemática da Literatura
Critérios utilizados
Descrição
As fontes selecionadas
Dados eletrônicos: artigos e conferências cujo tema estejam relacionados a
temática em questão.
Palavras-chave
Sequência de números reais, GeoGebra, ensino de Análise Real, tecnologias
computacionais, Ensino Superior, formação de professores, sequências
didáticas.
Idiomas Português
Metodologia de busca por fontes Fontes acessadas via web.
Listagem de fontes Google acadêmico
Tipos de Artigo
Estudos experimentais, Teóricos, Sequências Didáticas e Provas de
Conceitos.
Critérios de Inclusão e Exclusão dos Trabalhos
Artigos disponíveis na web que discorram sobre a temática abordada.
Período de Publicação 2010 a 2017 Fonte: Adaptado de Paula, Rodrigues e Silva (2016)
Após a realização da busca no Google Acadêmico, baseados nos critérios definidos no quadro acima, foram encontrados 33 trabalhos relacionados ao tema, dos quais, após aplicados os critérios de inclusão e exclusão, foram
selecionados 8, que serão apresentados no quadro 3. Ressalta-se que o período de tempo foi escolhido devido a dificuldade de encontrarmos trabalhos que discorressem sobre o ensino e a aprendizagem dos conceitos de Análise Real.
Quadro 3 – Resultados da busca realizada
Autores
Título do trabalho
Ano
ABAR. C. A. A; ESQUINCALHA, A. C.
Uso de tecnologias na formação matemática de
professores dos Anos Iniciais. 2017
OLIVEIRA, J. L. DE.
A utilização integrada de softwares dinâmicos no ensino de Análise Real : um estudo da construção do conceito de Integral de Riemann.
2016
MOREIRA, P. C.; VIANNA, C. R.
Por que Análise Real na Licenciatura? Um Paralelo entre as visões de educadores matemáticos e de matemáticos.
2016
GOMES, D. O.; OTERO-GARCIA, S. C.; SILVA, L. D. DA; BARONI, R. L.
S.
Quatro ou mais pontos de vista sobre o ensino de
Análise Matemática. 2015
FERREIRA, M. DOS S.; MUNIZ, T. O. M.
O ensino de análise: contribuições e perspectivas
na formação do professor de matemática. 2014
OTERO-GARCIA, S. C. CAMMAROTA, G.
Releituras de um estado do conhecimento do ensino de Análise a partir da Noção de Cognição Inventiva.
2013
BARONI, R. L. S.; OTERO-GARCIA, S. C.
Dois vieses para a disciplina de Análise em
cursos de Licenciatura em Matemática. 2012
BRITO, A. B.
Questionando o Ensino de Conjuntos Numéricos em disciplinas de Fundamentos de Análise Real: Da abordagem dos livros didáticos para a sala de aula em cursos de Licenciatura em Matemática.
2010
Para cada trabalho selecionado, após o processo de seleção, foram extraídos os seguintes dados: título, autores, objetivos, metodologias, discussões e resultados. O intuito era obter materiais que propusessem o estudo dos conceitos relacionados à Sequência de Números Reais no Ensino Superior com o auxílio das tecnologias digitais.
No trabalho selecionado de Brito (2010), o autor discorre sobre o ensino dos conjuntos numéricos na disciplina de Análise Real. O autor começa pontuando questionamentos sobre a importância da disciplina na formação do futuro professor da Educação Básica e traça uma trajetória do ensino da Análise a partir de sua história, destacando a necessidade de se equilibrar o rigor e a intuição no ensino da disciplina, discutindo as “abordagens rigorosas” (BRITO, 2010, p. 14) e intuitivas em Análise.
A metodologia adotada por ele foi a pesquisa teórico-bibliográfica e documental, aliada à pesquisa de campo, que tomou como referencial os saberes necessários à formação docente, expondo as diferentes perspectivas para o ensino da disciplina de acordo com a escolha dos livros adotados na graduação. Brito (2010) conclui que o professor tem papel decisório no equilíbrio entre o rigor e a intuição no estudo dos conceitos da disciplina e que deve assumir uma postura de mediador da aprendizagem, adotando uma linguagem “mais próxima do aluno” (BRITO, 2010, p. 79), reconhecendo que a metodologia empregada no ensino é decisiva no desempenho cognitivo e afetivo dos alunos.
Baroni et al. (2012) expõem, no início de seu trabalho, duas motivações para o seu estudo: a dificuldade que os alunos enfrentam ao cursar a disciplina de Análise Real e o parecer do CNE que prevê que os cursos de licenciatura devem conter pelo menos uma disciplina de fundamentos de Análise. Os autores afirmam que a disciplina é fundamental, mas que o modo como vem sendo ensinada não contribui para a formação docente.
Os objetivos traçados por este autor foram entender os vários aspectos do ensino da disciplina na licenciatura, começando por como essa disciplina se consolidou no Brasil, passando pela separação da disciplina nos cursos de licenciatura e bacharelado e chegando às discussões sobre as propostas para se trabalhar a disciplina em sala de aula.
O trabalho de Baroni et al. (2012) concentrou-se na análise dos objetivos, conteúdos e bibliografias utilizadas na disciplina para a discussão dos resultados. Como conclusão, os autores descrevem que os objetivos não são voltados para as questões da formação de professores de matemática e que as bibliografias indicam obras voltadas para o bacharelado. Porém, os autores discordam da afirmação de que a disciplina não possui aplicação direta na prática docente, pois segundo eles, é possível articular o conteúdo da análise com os conceitos ensinados na Educação Básica.
Otero-Garcia e Cammarota (2013) iniciam seu trabalho ponderando sobre as modificações que o Conselho Nacional de Educação (CNE) tem promovido nos cursos de licenciatura do país. Suas discussões versam sobre o papel de determinadas disciplinas na formação docente. Este trabalho traz diversos questionamentos sobre os conteúdos de Análise que deveriam ser tratados na licenciatura, sua ligação com a disciplina de Cálculo e a importância da Análise para a atuação profissional do professor na educação Básica.
O objetivo do trabalho desses autores foi mapear a produção nacional referente ao ensino de Análise, na busca por uma articulação entre as condições do processo de aprendizagem inventiva no ensino da Análise e a formação matemática do professor. Em suas conclusões, os autores asseguram que a intenção foi trazer à tona características relacionadas a “ético-estético-política” (OTERO-GARCIA; CAMMAROTA, 2013, p. 257), questionando o ensino-aprendizagem da Análise na formação inicial do professor de matemática através de seus efeitos na educação matemática e na sala de aula.
Ferreira e Muniz (2014) estudam o papel da Análise na formação docente e a articulação adequada entre as “disciplinas específicas” e as “didático-pedagógicas” no processo de formação docente. Os autores discutem aspectos como: os objetivos, a ementa e a organização da matriz curricular, a articulação entre teoria, prática e a formação dos professores que lecionam a disciplina de Análise Real. O posicionamento metodológico utilizado foi o estudo bibliográfico, através do qual buscou-se destacar os tipos de conhecimentos presentes na formação e prática do professor de matemática e a existência de disciplinas, segundo os autores, totalmente desarticuladas com a prática docente.
Para esses autores, os conteúdos de números reais e noções de topologia na reta são uma ligação entre o Ensino Superior e a Educação Básica, e concluem sinalizando que não existe um consenso de resultados sobre o papel da Análise formação inicial do professor de matemática e que o ensino-aprendizagem desta disciplina deve articular os conhecimentos matemáticos com a “futura prática docente na escola” (FERREIRA; MUNIZ, 2014, p. 131).
Gomes et al. (2015) apontam alguns pontos de vistas a serem considerados no ensino de Análise na graduação. Através da análise de diversos trabalhos, os autores propõem discutir o papel da disciplina na formação do conhecimento matemático docente e na consolidação e formalização da cultura matemática. Os autores enfatizam que o objetivo da pesquisa é compreender os componentes característicos da disciplina ou os conteúdos necessários a um curso de Análise. Eles constataram que existem 25 nomeclaturas diferentes para a disciplina, que as matrizes curriculares são diversas, que os principais livros usados foram publicados a pelo menos sete anos e que o estudo da Análise encontra-se previsto nos últimos períodos da matriz curricular dos cursos de graduação.
Em suas considerações, Gomes et al. (2015) analisam os conteúdos, metodologia, atuação docente e a diferenciação da Análise na licenciatura e no bacharelado. Em síntese, reiteram que devemos refletir de forma colaborativa sobre os aspectos relacionados à disciplina de Análise Real na Educação Básica, de forma a trazer uma ressignificação de sua prática docente na formação do professor de matemática.
Moreira e Vianna (2016) se propuseram a investigar o papel e a importância da Análise Real para a licenciatura. Eles buscaram analisar as respostas de educadores matemáticos sobre a temática abordada. Utilizaram-se de questionários como procedimentos metodológicos e dividiram os resultados em duas categorias que convergem para percepções do papel da disciplina na licenciatura. Os autores concluem que o papel da disciplina deve ser o de proporcionar ao futuro professor o contato com a cultura matemática, o domínio de conceitos que são base para estudos futuros e embasamento teórico para a prática docente, tornado o professor mais seguro nas explicações.
Oliveira (2016) traça um caminho entre o ensino de Cálculo e o ensino de Análise. Em destaque, ele afirma que muitas dificuldades no entendimento da disciplina se devem a questões da prática pedagógica adotada. O autor expõe que alguns professores costumam adotar uma postura que privilegia o rigor (segundo ele, formalização e simbolização) em detrimento da intuição (visualização, argumentação dissertativa e manipulação de imagens). O autor questiona-se sobre a contribuição que a utilização de softwares no ensino da Análise poderia trazer para a aprendizagem dos alunos, alegando que os softwares motivam pesquisas, experimentações e a busca por soluções nos conceitos de Análise e, em particular, no assunto de Integral de Riemann, foco do trabalho em questão.
Abar e Esquincalha (2017) descrevem que a prática do professor envolve diversos componentes como: conhecimento matemático, estratégias de ensino, condições das escolas, materiais e recursos de apoio e trabalhos colaborativos. Os materiais de apoio devem incluir materiais manipuláveis e TIC que, segundo os autores, promovem o aprofundamento dos conceitos estudados e o desenvolvimento do pensamento matemático apurado. No trabalho são discutidos os tipos de conhecimento tecnológico que podem ser agregados à formação inicial. Em conclusão ao seu trabalho, os autores apresentam um quadro teórico Technological Pedagogical Content Knowledge (TPACK), advindo do modelo Pedagogical Content Knowledge (PCK), que permite perceber os diferentes tipos de conhecimentos ligados ao ensino através das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) e suas interrelações. O uso das TIC é visto como essencial para a melhoria das práticas e favorecimento de múltiplas potencialidades do processo de ensino da matemática na Educação Básica.
A partir da revisão de literatura realizada foi possível compreender melhor as questões relacionadas à temática abordada neste estudo. Notamos que são escassas as pesquisas relacionadas à disciplina de Análise Real e percebemos a dificuldade de encontrar trabalhos que agreguem o uso das TIC ao ensino dos conteúdos da disciplina. Nesta etapa da pesquisa, tornou-se evidente que a disciplina tem relevante importância na formação docente, porém não existe um
consenso sobre o seu papel e sobre as abordagens metodológicas a serem empregadas em seu ensino.
Essa escassez de abordagens motivou nossa busca por formas de apresentar os conteúdos de Análise Real, favorecendo a articulação de sua fundamentação teórica com a prática docente, tentando equilibrar o rigor de seus conceitos com a intuição dos conhecimentos previamente adquiridos, no intento de potencializar e enriquecer a construção do conhecimento matemático formal oferecido por esta disciplina.
4. A FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Desde o seu surgimento, a sociedade tem depositado na escola suas expectativas em relação à educação dos seus cidadãos e à transmissão dos seus conhecimentos e valores culturais. A escola se tornou a instituição que pode abrir as portas do conhecimento posicionando as pessoas, as regiões e os países no caminho do progresso.
Para Roble (2008, p.17), na sociedade em que nos inserimos, a escola é:
[...] uma das instituições mais importantes do contexto social, carrega importantes funções dentre as quais podemos destacar a política, organizacional e formativa, pois cabe a essa instituição o papel de educar os cidadãos. Isto significa dizer que o projeto educacional de uma escola deve visar, dentre outros objetivos, transmitir o conjunto de valores de uma determinada cultura.
Porém, essa sociedade está em uma constante mudança na qual os valores culturais, sociais, econômicos e políticos se ampliam e se modificam rapidamente. Aliado a este fato, as inovações tecnológicas e suas aplicações em todos os aspectos de nossa vida cotidiana, segundo Sancho (2007), têm um forte impacto na concepção, criação, recuperação, transmissão, difusão, representação e aplicação do conhecimento.
Neste cenário de grandes transformações, a escola como uma das instituições de fundamental importância social, não poderia permanecer intacta e inalterada. Logo, a sociedade passou a exigir da escola uma ampliação de suas funções e uma mudança significativa em sua postura educacional.
As escolas de hoje devem servir e moldar um mundo no qual pode haver grandes oportunidades de melhorias econômicas se as pessoas puderem aprender a trabalhar de forma mais flexível, investir em sua segurança financeira futura, reciclar suas habilidades, for reencontrando seu lugar enquanto a economia se transforma ao seu redor e valorizar o trabalho criativo e cooperativo. (HARGREAVES, 2004, p. 35)
Todavia, uma mudança educacional, reflete-se em uma mudança de postura dos profissionais da educação e, em particular, dos professores, que são um dos agentes diretos no processo de ensino e aprendizagem. Contudo, para
que se possa pensar em uma mudança na postura do professor, é preciso refletir sobre sua formação inicial.
Para Saviani (2009) a formação de professores enfrenta vários dilema, e um deles, apontado pelo autor, propõe um questionamento de grande relevância para este estudo: como o professor conseguirá articular o conhecimento com os procedimentos didático-pedagógicos em sua prática docente?
Segundo Tardif (2014), uma reflexão sobre a atuação do professor na educação precisa (re) pensar os saberes, as competências e as habilidades que eles mobilizam, como esses saberes são adquiridos e se sua formação inicial oferece subsídios para o desenvolvimento de sua prática docente.
Tardif (2014), Neto e Bezerra (2016), e Kogut e Miranda (2016) discorrem sobre os diversos saberes necessários à formação de professores. Esses saberes são classificados como: saberes disciplinares, curriculares, experienciais e provenientes da formação docente. Segundo o autor Tardif (2014), esses saberes são empregados na “formação científica” do docente e podem ou não serem incorporados em sua prática pedagógica. Reconhecida a importância desses saberes na formação do professor de Matemática, torna-se relevante para este estudo identificar alguns dos saberes curriculares presentes na disciplina de Análise Real diretamente relacionados a esta pesquisa.
4.1. A Análise Real e o Ensino Superior.
Moreira e Viana (2012) apontam três categorias de afirmações que expressam as opiniões de diversos professores sobre a importância do estudo da disciplina de Análise Real na formação docente.
Na categoria 1, os autores expõem que a disciplina fornece uma “ocasião privilegiada” para que o futuro professor entre em contato com os saberes matemáticos e com as formas de pensar dos matemáticos.
Na categoria 2, os autores descrevem que a Análise deve proporcionar ao futuro docente uma maior segurança para a explicação dos “conteúdos básicos da matemática escolar” e uma “compreensão sólida e profunda desses conceitos”.
E por fim, na categoria 3, os autores discorrem sobre a possibilidade de a disciplina oferecer ao futuro professor um “espaço de percepção da matemática como um instrumento”, permitindo que este aluno tenha um entendimento profundo dos fenômenos naturais que o cercam e de suas aplicações em outras áreas do conhecimento.
Partilhando das mesmas considerações, Brito (2010), Baroni e Otero-Garcia (2012), Gomes (2013), Otero-Otero-Garcia e Cammarota (2013), Ferreira e Muniz (2014), Cifuentes (2015) e Oliveira (2016) discutem a importância da Análise na formação docente e suas práticas educativas no Ensino Superior e na Educação Básica. Dentre elas, damos destaque às considerações feitas por Brito (2010) que, parafraseando Ávila (2006), expõe a importância do estudo da Análise na licenciatura através da seguinte nota complementar:
[...] um dos objetivos principais de um curso de Análise é a prática em demonstrações. Enunciar e demonstrar teoremas é uma das ocupações centrais de todo professor ou estudioso da Matemática. Daí uma das principais razões de uma disciplina de Análise nos cursos de licenciatura. Mas, aliada a essa tarefa de praticar a arte de enunciar e demonstrar teoremas, o aluno de licenciatura tem, na disciplina de Análise, a oportunidade de se familiarizar com uma das partes mais importantes da Matemática que se vem desenvolvendo desde o início do século XIX. (BRITO, 2010, p. 11)
Para os autores Moreira e Viana (2012), o papel da Análise deve abraçar tanto o conhecimento teórico quanto a prática educativa. A Análise na formação de professores deve habilitar o futuro professor no conhecimento teórico, provas e demonstrações compondo, junto com outras disciplinas, uma base sólida para que este consiga prosseguir em seus estudos. E, concomitantemente, deve abarcar a prática pedagógica tornando o professor mais seguro nas explicações dos conceitos teóricos, relacionados à disciplina na Educação Básica e compondo uma das bases de seu saber experiencial.
Segundo Pimenta (1997), todo aluno que chega ao ensino superior carrega consigo saberes “sobre o que é ser professor”; são os saberes de sua experiência enquanto aluno que lhe permitem identificar as boas práticas educativas e o que é relevante aplicar em sua atuação docente. Os saberes da experiência ou saberes experienciais são oriundos de seu dia-a-dia, são adquiridos através da experiência “sob a forma de hábitos e habilidades”.
Os saberes experienciais devem constituir um repensar, uma reflexão sobre a prática docente, confrontando essa prática com as condições encontradas na atuação docente, oferecendo ao futuro professor uma avaliação dos outros saberes, retraduzindo-os, adaptando-os, filtrando-os, selecionando-os, julgando-os e avaliando-os na construção de sua identidade docente. (TARDIF, 2014, p. 39)
Concatenando as ideias de Pimenta (1997) e Tardif (2014) sobre os saberes experienciais dos futuros professores, torna-se evidente a necessidade de se desenvolver uma perspectiva diferenciada para o ensino e a aprendizagem dos conceitos relacionados à sequência de números reais em Análise Real. A tentativa de se reduzir a “distância entre a teoria e a prática” tem como intuito agregar ao ensino tradicional, o uso da tecnologia computacional contribuindo para uma maior “flexibilidade e multiciplidade” dos saberes curriculares e experienciais na formação docente. (BRITO, 2010, p. 18)
Brito (2010) identificada quatro concepções que propõem novas formas de se repensar o ensino e aprendizagem dos saberes curriculares da disciplina eleita. Essas concepções propõem: a percepção da história da Matemática no ensino, o destaque dos exercícios, a ênfase nos exemplos e discussões, a articulação da Álgebra com a Análise. E Oliveira (2016) propõem, como concepção de ensino da Análise, a utilização da tecnologia.
Segundo Brito (2010) a ideia da utilização da história do surgimento pode contribuir para a contextualização, construção e entendimento da teoria a ser estudada, aproximando-a da realidade dos alunos e tornando o conteúdo mais palpável e familiar.
O emprego de exercícios como ponto de partida para utilização da intuição na construção dos conceitos é fortemente defendida pelo autor Brito (2010), com a intenção de se chegar ao rigor das demonstrações na busca pelo equilíbrio entre a intuição e o rigor. Para ele, esse equilibro é importante para o sucesso da aprendizagem da disciplina.
A ênfase nos exemplos, discussões e observações deve estimular o espírito crítico e investigativo. Porém, segundo Brito (2016) essa perspectiva exige um abandono da postura centralizadora por parte do professor, que deve
assumir o papel de mediador e incentivador propondo discussões sobre os conceitos e orientando a construção do conhecimento.
Brito (2010) discute em seu trabalho a ideia da integração entre a Análise e a Álgebra de forma complementar. Ele aponta que a utilização de noções intuitivas nessa abordagem pode favorecer uma escrita mais textual e menos simbólica; porém, segundo o autor, o enfoque da Álgebra e da Análise traz como desvantagem uma produção textual muito densa.
Quanto à perspectiva do uso da tecnologia no ensino, essa deve propiciar
[...] o surgimento de novos modos de colaboração entre os práticos e os pesquisadores, entre as universidades e as escolas. A criação de bancos de dados informatizados, acessíveis a todos os professores e comportando simulações, resoluções de problemas, informações sobre as estratégias de ensino, modelos de ensino exemplar extraídos da análise das práticas de professores experientes, é um exemplo (...) de fundamentos da formação para o magistério, vinculando-a a prática da própria profissão. (TARDIF, 2014, p. 293-294)
Em apoio a essas afirmações, Oliveira (2016) diz que a utilização da tecnologia pode motivar as pesquisas, as experimentações e a busca por novas soluções relacionadas ao problema proposto, fornecendo novas “possibilidades de se trabalhar com conceitos abstratos da matemática”, no caso deste estudo, com os saberes curriculares elencados.
Os saberes experienciais construídos através das vivências dos professores, ainda enquanto alunos e posteriormente em sua atividade docente, devem formar uma das bases necessárias à formação do futuro professor. Segundo Pimenta (1997) e Tardif (2014) é através desses saberes que os futuros professores podem meditar sobre os saberes que comporão a sua prática, desenvolvendo sua identidade profissional e sua prática pedagógica em sua atuação docente.
Em resumo, existem diversas concepções ou práticas que podem ser utilizadas no favorecimento do ensino e aprendizagem da disciplina de Análise. Essas concepções ou práticas podem: abordar a história do conceito a ser estudado; enfatizar os exercícios partindo da intuição até o rigor das demonstrações; destacar os exemplos e discussões; propor a articulação da Análise com a Álgebra como disciplinas complementares e empregar o uso da
tecnologia como motivação de pesquisas, experimentações e novas soluções. Portanto, a concepção ou prática escolhida para este trabalho empregou o uso da tecnologia no ensino dos conceitos escolhidos.
4.2. O estudo de Sequências e Limites em Análise Real.
Segundo o autor Lima (2013) o estudo da Análise Real no Ensino Superior deve ocorrer após os alunos terem tido experiências com aspectos computacionais simples e com interpretações intuitivas de certas notações e noções de limites, continuidades, derivadas, integrais e séries. Porém, para o autor, a ênfase do Curso de Análise deve ser a conceituação precisa, o cuidado com o encadeamento lógico das proposições e a análise das propriedades mais relevantes dos objetos estudados.
O autor considera relevante que os alunos se utilizem de seus conhecimentos previamente adquiridos na construção de novos saberes, não desmerecendo a construção do conhecimento matemático formal e o rigor de sua fundamentação teórica, mas sim utilizando os conhecimentos prévios em favorecimento da construção do conhecimento matemático formal.
Seguindo suas orientações, nesta seção será abordado um estudo dos conceitos relacionados à sequências de números reais, descrevendo seus objetivos, suas definições e citando exemplos que ilustrem (sem perder o rigor da fundamentação teórica) a utilização das definições em demonstrações relacionadas aos conceitos definidos.
Entretanto, vale ressaltar que o objetivo desta seção é auxiliar a compreensão dos conceitos apresentados através da visualização e análise de gráficos, sem o intuito de explorar todos os teoremas, corolários, lemas, propriedades, demonstrações e resultados que aprofundam o estudo dos conceitos relacionados à sequência de números reais, limite de uma sequência de números reais, subsequência de uma sequência de números reais e limites infinitos presentes no curso de Análise Real.
4.2.1. Sequência de Números Reais
Lima (2013) sugere pensarmos numa sequência de números reais como uma sequência de pontos em uma reta. E é a partir deste pensamento, tomando o autor como referência, que pretendemos discutir os conceitos relacionados à sequência de números reais.
O objetivo do estudo deste conceito é identificar uma sequência de números reais como uma relação entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números reais. Para Frid (2010) e Lima (2013) uma sequência de números reais é, por definição, uma função , cujo domínio pertence ao conjunto dos números naturais e cuja imagem x(n) está contida no conjunto dos números reais. A partir desta definição, pode-se representar como:
uma sequência de números reais;
x(n) o conjunto imagem da sequência;
E o seu termo de ordem n ou termo geral da sequência.
Tomando como exemplo a sequência cujo termo geral é e observemos o seu gráfico na figura 1:
Figura 1 – Representação Gráfica da Sequência
Fonte: dados da pesquisa Pares ordenados que compõem a
imagem x(n) da sequência.
Termo geral da sequência.
Domínio da sequência.
É possível ver, representados na figura 1, o domínio Dom (x), os pontos do gráfico e o conjunto de valores dos seus termos.
Vejamos na figura 2, abaixo, a representação gráfica da sequência cujo termo geral é :
Figura 2 – Representação Gráfica da Sequência
Fonte: dados da pesquisa
Igualmente, veem-se representados: o domínio, os pontos do gráfico e o conjunto de seus valores:
Conjunto imagem a(n) da sequência.
Aprofundado o assunto de sequências, o autor Lima (2013) define sequência limitada da seguinte forma: uma sequência é dita limitada quando existem dois números reais a e b tais que , para todo . Simbolicamente: uma sequência é limitada quando .
Observando os gráficos das sequências e , nas figuras 3 e 4, respectivamente, percebe-se que todos os pontos das sequências dadas pertencem a um determinado intervalo fechado (faixa tracejada em vermelho).
Figura 3 – Sequência Limitada
Fonte: dados da pesquisa
É possível afirmar, intuitivamente, após observação do gráfico, que a sequência dada é uma sequência limitada. Abaixo, prova-se essa afirmação:
Prova:
Seja .
Por propriedades de , pode-se afirmar que , . Por propriedade da desigualdade, verifica-se que . Logo, .
Portanto, por definição, conclui-se que sequência é uma sequência limitada .
Figura 4 – Sequência Limitada
Fonte: dados da pesquisa
Após observação do gráfico da sequência , pode-se fazer a mesma afirmação: a sequência dada é uma sequência limitada.
Prova:
Seja .
Por propriedades de , pode-se afirmar que , .
Por propriedade da desigualdade, verifica-se que . Daí, . (I)
Por outro lado, tem-se por propriedades dos naturais que: , Usando as propriedades da desigualdade, seque que:
Logo, por (I) e (II), tem-se que . Portanto, por definição, conclui-se que sequência é uma sequência limitada .
Em complemento à definição de sequência de números reais, acrescentamos a este trabalho as definições presentes no quadro 4.
Quadro 4 – Tipos de Sequências Monótonas
Fonte: dados da pesquisa
A figura 5 apresenta o gráfico da sequência . Pode-se perceber, intuitivamente, que os pontos descrevem o comportamento de uma sequência monótona decrescente, pois os valores de seus termos, a partir do segundo, são menores que os do termo anterior. Observe o gráfico e veja a demonstração da seguinte afirmação: a sequência é uma sequência monótona decrescente.
Figura 5 – Sequência Monótona
Fonte: dados da pesquisa
Uma sequência é:
crescente, quando , para todo .
não-decrescente, quando , para todo .
decrescente, quando , para todo .
não-crescente, quando , para todo .
As sequências crescentes, decrescentes, decrescentes ou não-crescentes são ditas sequências monótonas.
Demonstração:
Seja .
Por propriedades de , pode-se afirmar que , . Daí, por propriedade da desigualdade, seque que: . Logo, ,
para todo . Portanto, conclui-se, por definição, que a sequência é monótona decrescente .
A figura 6 apresenta o gráfico da sequência . Em relação ao comportamento dos pontos da sequência, podemos afirmar que a sequência não é uma sequência monótona.
Figura 6 – Sequência Não-Monótona
Fonte: dados da pesquisa
Analisando o gráfico, é possível perceber que os termos de ordem ímpar (representados pelos pontos em vermelho) formam uma sequência decrescente, ou seja, e que os termos de ordem par (representados pelos pontos em azul) formam uma sequência crescente, em que
. Portanto, a sequência dada não satisfaz
nenhuma das condições apresentadas no quadro 4, ou seja, a sequência dada não é uma sequência monótona.
4.2.2. Limite de uma Sequência de Números Reais
Segundo Lima (2013) todo conceito e resultado importante em Análise Real encontra-se explícita ou implicitamente relacionado ao conceito de limite. O
autor expressa que para que se entenda intuitivamente a ideia deste conceito deve-se pensar num ponto do qual todos os pontos estejam arbitrariamente próximos, à medida que os índices n aumentem para os valores suficientemente grandes.
Frid (2010) determina como objetivo do estudo deste conceito usar a definição para demonstrar a convergência de uma sequência de números reais e demonstrar propriedades básicas envolvendo o conceito de limite.
Por definição, diz-se que um número real é limite de uma sequência , se para qualquer valor real , existe um índice natural, tal que, para todo índice n > , a distância entre o termo e o limite é menor que do . Simbolicamente:
[...] dizer que Quando , diz-se que a sequência converge para , ou tende para e escreve-se . Uma sequência que possui limite chama-se convergente. Do contrário, ela se chama divergente. (LIMA, 2013, p. 108).
A figura 7 ilustra a definição apresentada, retomando o gráfico da sequência .
Figura 7 – Limite da Sequência
Fonte: dados da Pesquisa
Intuitivamente, percebe-se que o limite da sequência é igual a 0 (zero) (reta pontilhada em vermelho), ou seja, . No quadro 5,
observe a comparação entre o comportamento dos pontos do gráfico da sequência e os diferentes valores de .
Fonte: dados da pesquisa
Resumindo as informações apresentadas no quadro 5, pode-se dizer que o limite de uma sequência é igual a , se a partir de um determinado índice inicial , que depende do valor escolhido para , todos os pontos do gráfico com índices n maiores do que , pertencem ao intervalo aberto .
Ou ainda, usando a definição, diz-se que
, se para qualquer real , dado arbitrariamente, existe um índice
tal que, todos os termos da sequência com índices n > pertencem ao intervalo .
Neste exemplo, pode-se afirmar intuitivamente, a partir do gráfico apresentado na figura 7, que o . Antes de se realizar a prova
formal desta afirmação, deve-se procurar um número natural (índice) dependente de um , tal que, para se > então . Temos que
. Daí, . Assim sendo, o procurado é um número natural tal que .
Dado arbitrário.
Pela Propriedade Arquimediana1, existe um número natural . Supondo que satisfaça .
Daí, . Como então
Logo, conclui-se que , ; tal então .
Portanto, pela definição, tem-se que .
A figura 8 apresenta o gráfico da sequência já estudada. Analisando o comportamento de seus pontos no gráfico, pode-se afirmar que o limite da sequência é igual a 2 (linha pontilhada em verde escuro).
Figura 8 – Limite da Sequência
Fonte: dados da pesquisa
A análise desse gráfico permite-nos observar que, a partir de um determinado índice (neste exemplo, = 6), todos os valores da sequência
1Segundo o descrito por Frid (2010), a Propriedade Arquimediana assegura que se
estão bem próximos do valor 2 (ou seja, todos os pontos do gráfico estão dentro da faixa tracejada em vermelho).
Logo, por definição, para qualquer real , dado arbitrariamente, existe um índice
tal que, todos os termos da sequência com índices n > pertencem ao intervalo aberto (faixa tracejada em azul).
Portanto, usando-se da definição de limite descrita por Lima (2013), conclui-se que a sequência dada é convergente, simbolicamente,
. A prova deste limite fica a cargo do leitor.
Nas figuras 9 e 10 os gráficos das sequências e , respectivamente, serão apresentados.
Figura 9 – Sequência não convergente
Fonte: dados da pesquisa
A sequência representada pelo gráfico na figura 9 acima é uma sequência divergente. Observe que a sequência dada é não é limitada e que, consequentemente, não é possível determinar um valor , tal que, para qualquer valor real
seja possível gerar um intervalo aberto que
contenha todos os pontos da sequência dada, a partir de um índice suficientemente grande.
Um dos teoremas mais importantes do conceito de limite é o teorema da unicidade do limite (LIMA, 2013, p. 109). Segundo a descrição deste teorema, uma sequência não pode possuir dois limites distintos. Parafraseando Frid (2010, p. 90) uma sequência de números reais pode ter no máximo um limite. Simbolicamente, (teorema da unicidade):
Se
e
então a = b.
Vejamos na figura 10 um exemplo de sequência que não satisfaz a este teorema:
Figura 10 – Sequência não convergente
Na figura 10, os pontos do gráfico da sequência que possuem índice par (pontos em azul) tendem para o valor a = 1. Já os pontos do gráfico que possuem índice ímpar (pontos em vermelho) tendem para o valor b = -1. Logo, a sequência converge para dois valores distintos e, portanto, a sequência não satisfaz o teorema da unicidade do limite. Como, segundo o descrito no teorema da unicidade, uma sequência não pode convergir para dois limites distintos conclui-se, pautados na definição de Lima (2013), que a sequência dada é divergente.
4.2.3. Subsequência de uma Sequência de Números Reais
Por definição, uma subsequência de uma sequência de números reais é uma função , onde o domínio é um subconjunto do conjunto dos números naturais e o conjunto imagem x(n) pertence ao conjunto dos números reais.
Para ilustrar esta definição de subsequência, o gráfico da sequência será retomado com a figura 11.
Figura 11 – Subsequência de e
No gráfico pode-se observar, em vermelho, a representação dos pontos da sequência de índice ímpar, que será representada por , cujo
domínio é conjunto dos números naturais ímpares. E em azul, a representação dos pontos da sequência de índice par, que será representada por , cujo domínio é conjunto dos números naturais pares. Os valores dos termos das sequências e e a relação existente entre eles seguem representados no quadro 6.
Quadro 6 – Valores dos termos das Subsequência de e
Valores de ...
...
...
Termos ...
Fonte: dados da pesquisa
Vejamos outros exemplos de subsequências da sequência dada no quadro 7 que se segue:
Quadro 7 – Outras Subsequências de .
Valores de ...
...
Fonte: dados da pesquisa
4.2.4. Limites Infinitos
Segundo Lima (2013), o conceito de limite infinito destaca um tipo de sequência divergente que possui uma certa regularidade em seu comportamento. Nestas sequências, os valores de seus termos “se tornam e se mantêm arbitrariamente grandes positivamente ou negativamente”. (LIMA, 2013, p. 129)
Definição: Seja uma sequência de números reais, dizemos que:
quando, para qualquer número real A > 0 dado arbitrariamente, pudermos encontrar , tal que .
quando, para qualquer número real A > 0 dado arbitrariamente, pudermos encontrar , tal que . (LIMA, 2013, p. 129, grifo nosso)
Devemos chamar a atenção, assim como faz o autor, que e não são números reais, pois as sequências são divergentes, mas expressam o comportamento das sequências quando seus valores são arbitrariamente grandes.
Vejamos nos quadros 8 e 9, dois exemplos de sequências divergentes que ilustram cada tipo de limite infinito definido:
Valores de ... 3 ... Termos ...
