Estimation of the Credibility in the Original Bühlmann Model Illustrated by Introducing a Regression Technique

(1)

Revista Informatica Economică, nr.3(39)/2006 149

Estimation of the Credibility in the Original Bühlmann Model Illustrated

by Introducing a Regression Technique

Conf. dr. Virginia ATANASIU

Catedra de Matematică, Academia de Studii Economice, Bucureşti

In this article we give the mathematical theory of some credibility models. The first section describes the original credibility model of Bühlmann and we derive the best linearized credibility estimator for this model. His original model, involving only one contract, contains the basics of all further credibility models. Section 2 contains a description of the Hachemeis-ter regression model allowing for effects like inflation.

Keywords: linearized regression credibility premium, the original credibility model of Bühlmann.

ntroducere

Pentru a introduce efectele timpului asu-pra primei nete de risc a contractului din mo-delul de credibilitate original al lui Bühlmann sau pentru a introduce efectele inflaţiei asu-pra acesteia am apelat la tehnica regresiei. Mai precis, pentru a estima credibilitatea din modelul original al lui Bühlmann ce implică un singur tip de contract de asigurare non-viaţă, în condiţiile existenţei inflaţiei sau a unei tendinţe inflaţioniste accentuate (pro-nunţate), am folosit modelul de regresie a credibilităţii elaborat de actuarul de marcă Hachemeister. Secţiunea 1 dezbate din punct de vedere teoretic modelul de credibilitate al lui Bühlmann, relevându-i importanţa pentru rezultatele viitoare privind credibilitatea în asigurările non-viaţă, iar Secţiunea 2 prezintă modelul de regresie a credibilităţii ce face obiectul acestui articol.

Secţiunea 1

Modelul original al lui Bühlmann constă dintr-un singur contract de asigurare non-viaţă, aflat sub observaţie statistică un număr

de t

( )

≥2 ani. Riscul implicat de respectivul

contract este notat cu X şi asimilat cu o

vari-abilă aleatoare nenegativă. Lucrăm în ipoteza

că, riscul pentru poliţa considerată este stabil

în timp, ceea ce înseamnă că poate fi

caracte-rizat prin aceeaşi valoare a parametrului de

risc de-a lungul anilor de valabilitate ai con-tractului; parametrul riscului X este notat cu

θ şi este presupus variabilă aleatoare reală;

θ este cunoscut şi sub numele de variabilă

aleatoare structurală a contractului.

Denumi-rile acordate lui θ sunt justificate de faptul

că, acesta reprezintă variabila aleatoare ce

descrie caracteristicile riscului luat în

consi-deraţie. Variabilele observabile ale riscului X

se notează cu X₁,X₂,...,X_t; X_reste

înregis-trarea din anul r pentru contractul de

parame-tru θ, unde r=1,t; de regulă semnificaţia

lui X_r este aceea de solicitare de despă

gubi-re, din anul r pentru respectivul contract, un-de r=1,t.

Deci, acest model constă din variabila

alea-toare structurală θ şi din variabilele aleatoare

observabile X_r, unde r =1,t, a.î. putem

afirma despre contractul considerat că este un

vector aleator de componente: θ (parametrul

de risc aleator neobservabil al contractului) şi

t

X X

X₁, ₂,..., (observaţiile efectuate asupra

poliţei respective). Aşadar, contractul

impli-cat se identifică cu vectorul

(

θ

,X₁,X₂,...X_t

)

,

sau simplificând scrierea cu perechea

( )

θ

,X' ;

. 'not

X =(vectorul observaţiilor) = (vectorul de

componente X₁,X₂,...,X_t).

Introducem prima netă de risc a contractului,

dacă parametrul de risc al acestuia este

θ

,

prin următorul şir de egalităţi:

( )

θ

=M

(

X_r |

θ

)

=M

(

X |

θ

)

,∀r =1,t

µ

.

Pentru modelul de faţă teoria credibilităţii,

aşa după cum a fost dezvoltată de Bühlmann

(2)

are ca scop principal, estimarea lui µ

( )

θ .

Es-timatorul ce urmează a fi folosit în acest sens,

sunt funcţii de variabilele observabile, adică

de componentele vectorului aleator

(

X X Xt

)

X' = ₁, ₂,..., , determinată a.î. să

mi-nimizeze eroarea medie pătratică, mai precis,

estimarea lui µ

( )

θ necesită rezolvarea

pro-blemei de minim:

( )

{

[

( ) (

)

]

}

2 2

1, ,..., t

g M g X X X

Min −

⋅

µ

θ

,

unde g

( )

⋅ este o funcţie de observaţiile

t r

X_r, =1, , arbitrară. În modelul original de

credibilitate al lui Bühlmann, clasa de funcţii

geste limitată la mulţimea D de funcţii

linia-re şi neomogene (la mulţimea D de

combina-ţii liniare şi neomogene) ale variabilelor

alea-toare observabile X₁,X₂,...,X_t, de forma:

(

)

r

t

r r

t c c X

X X X

g

∑

=

+ =

1 0 2

1, ,..., ,

cu c₀,c₁,...,c_t constante reale, iar X_r,r =1,t

presupuse a avea varianţa finită. Bühlmann

introduce aşa-numiţii parametrii de structură,

notaţi: m,a,s2 şi definiţi de actuar după cum

urmează:

( )

X M

( )

X M

[ ]

( )

r t M

m= _r = = µθ , =1, ,

(

)

[

MX

]

Var

[

M

( )

X

]

Var

[ ]

( )

r t Var

a= _r|θ = |θ = µθ , =1, ,

(

)

[

VarX

]

M

[

Var

( )

X

]

M

[ ]

( )

r t M

s r| | , 1,

2

2= θ = θ = σ θ =

, unde:

( )

Var

(

X_r |

)

Var

(

X |

)

,r 1,t

2

θ

=

θ

=

θ

=

σ

(evident sunt îndeplinite ipotezele cerute de aceste notaţii).

În continuare, prezentăm ipotezele de lucru

ale modelului şi anume:

(1) pentru

θ

dat, variabilele aleatoare

obser-vabile (observaţiile anuale) X_r,r =1,t sunt

independente şi identic distribuite condiţional

(i.i.d. condiţional);

(2) 0<Var

( )

X_r <∞,r =1,t;

(3) M

(

X_r |

θ

)

=

µ

( )

θ

,r =1,t (prima netă de

risc a contractului de parametru

θ

este

defi-nită ca media observaţiilor (riscurilor)

condi-ţionate; am putut reprezenta media observaţ

i-ilor anuale condiţionate

(

X_r |

θ

)

,r =1,t prin

aceeaşi funcţie

µ

( )

⋅ depinzând de θ, dar

in-dependentă de r,r =1,t, întrucât aceste

vari-abile aleatoare condiţionate sunt i.d.);

(4) Var

(

X_r |

θ

)

=

σ

2

( )

θ

,r=1,t (am putut

re-prezenta varianţa observaţiilor anuale

condi-ţionate

(

X_r |

θ

)

,r =1,t prin aceeaşi funcţie

( )

⋅

2

σ

, depinzând de

θ

, dar independentă de

t

r=1, , întrucât aceste variabile aleatoare

condiţionate sunt i.d.);

(5) Cov

(

X_r,X_q |

θ

)

=0,r,q=1,t, cu r<q

(covarianţa condiţionată de

θ

dintre

observa-ţiile efectuate asupra contractului de

parame-tru θ în ani diferiţi este nulă, întrucât

varia-bilele aleatoare condiţionate

(

X_r |

θ

)

,r =1,t

sunt independente; ipoteza (5) exprimă faptul

că observaţiile (riscurile) condiţionate din ani

diferiţi nu sunt corelate).

Observaţie:

Pentru contractul considerat, rezultă urmă

toa-rea matrice de covarianţe a observaţiilor

(ris-curilor) condiţionate din anii r=1,t şi

anu-me:

(

'

_θ

)

( ),

_σ

2

_{( )}

_θ

| I tt X

Cov =

Pe baza presupunerilor (1)-(5) şi a

parametri-lor de structură m,s2,a, am obţinut folosind

m.c.m.m.p. rezultatul liniar şi neomogen de

credibilitate, în speţă prima liniarăşi

neomo-genă de credibilitate, pe care o ilustrăm în

continuare:

„Estimatorul liniar şi neomogen de

credibili-tate al primei nete de risc

µ

( )

θ

pentru

con-tractul de parametru θ bazat pe observaţiile

(înregistrările) X' efectuate asupra

contrac-tului considerat este dat de relaţia:

( )

= zX +

(

1−z

)

m ^

θ

µ

, unde =

∑

t r

X t X

1 1

este

media aritmetică a înregistrărilor individuale

pentru respectivul contract, ce indică

estima-torul individual pentru

µ

( )

θ

, iar

(

s at

)

at

z= / 2 + este factorul de credibilitate

pentru contractul considerat, ce exprimă o

pondere a înregistrărilor individuale pentru

contractul de parametru

θ

, indicând de câtă

(3)

Secţiunea 2

Modelul de regresie a credibilităţii elaborat

de actuarul de marcă Hachemeister vizează

presupunerea din cadrul modelului (de credi-bilitate pentru un singur tip de contract)

pre-zentat în cadrul secţiunii 1., conform căreia:

prima netă de risc a contractului de

parame-tru θ este independentă de timp, fiind

defini-tă prin egalitatea:

( )

θ

(

θ

)

µ

=M X_j | = (media observaţiilor

(ris-curilor) anuale condiţionate), oricare ar fi

anul j≥1

Datorită inflaţiei, prima netă de risc a

con-tractului de parametru

θ

, adică µ

( )

θ se

schimbă (se modifică, variază) în timp, ceea

ce înseamnă că este dependentă de timp, deci

că trebuie scrisă astfel:

( )

=M

(

X_j |

)

,j≥1

j

θ

µ

După aceste remarci introductive privind

ne-cesitatea considerării modelului de regresie a

credibilităţii, prezentăm ipotezele de lucru ale

modelului lui Hachemeister.

Fie X' =

(

X₁,X₂,...,X_t

)

vectorul

( )

1×t

alea-tor al observaţiilor şi θ parametrul de risc

aleator neobservabil, ce caracterizează riscul

considerat.

În cele ce urmează, formulăm ipotezele de

lucru ale modelului de regresie a credibilită

-ţii, aşa după cum au fost ele introduse de

ac-tuar şi anume:

(1) dat fiind

θ

- parametrul de risc aleator

ne-observabil al contractului, variabilele

aleatoa-re observabile (observaţiile anuale) ale

res-pectivului contract, adică X₁,X₂,...,X_t sunt

independente condiţional (s-a presupus că

dispunem de înregistrările solicitărilor de

despăgubire pe durata a t

( )

≥2 ani pentru

contractul de parametru

θ

);

(2) M

(

X_j |

θ

)

=

µ

_j

( )

θ

=x'_j

β

( )

θ

, j =1,t

(prima netă de risc a contractului de

parame-tru θ din anul j, definită ca media

observa-ţiilor (riscurilor) anuale condiţionate este,

conform presupunerii de regresie făcute de

actuar, de forma: x'_j

β

( )

θ

,unde primul factor

din presupunerea de regresie:x'_j este vectorul

(

1×q

)

nealeator, cunoscut, ale cărui

compo-nente depind de timp (deci de inflaţie), fapt

ilustrat de prezenţa indicelui j în notaţia

aces-tui vector (q≤1), iar al doilea factor din

pre-supunerea de regresie:

β

( )

θ

este vectorul

(

q×1

)

aleator de regresie necunoscut, adică

vectorul ce conţine q constante în raport cu

timpul, necunoscute, numite constante (în

ra-port cu timpul) de regresie); ipoteza (2) scrisă

matriceal este echivalentă cu următoarea:

(

_X

)

( )

_{( )}

_x( ) ( )

_{( )}

_rgx _n

_{( )}

_t

M |

θ

=

µ

t,1

θ

= t,n

β

n,1

θ

, = ≤

(vectorul

( )

t×1 al primelor nete de risc

pen-tru contractul de paramepen-tru

θ

din anii 1,2,...,t

sau vectorul

( )

t×1 al primelor nete de risc

anuale pentru contractul de parametru

θ

,

de-finit ca media condiţionată a vectorului

ob-servaţiilor anuale efectuate asupra

contractu-lui de parametru

θ

pe durata a t

( )

≥2 ani

es-te, conform presupunerii de regresie scrise

matriceal, de forma: x( ) ( )t,n

β

n,1

( )

θ

, unde

( )tn

x , este matricea

(

t×n

)

nealeatoare

cunos-cută, de rang egal cu n

( )

≤t , iar

β

( )n,1

( )

θ

este

vectorul

(

n×1

)

aleator de regresie

necunos-cut (vector ce conţine n constante în raport cu

timpul, necunoscute, numite constante de re-gresie));

(3) Cov

[

β

( )n,1

( )

θ

]

=a =a( )n,n = (matrice

(

n×n

)

pozitiv definită); ipoteza (3) afirmă

despre covarianţa vectorului de regresie că

este o matrice de tipul

(

n×n

)

, presupusă

po-zitiv definită;

(4) M

[

Cov

(

X |

θ

)

]

=

φ

=

φ

( )t,t = (matrice

( )

t×t pozitiv

defini-tă)

(

)

[

]

(

)

[

]

⎟⎟

⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ =

θ

| 0

0 |

1

t

X Var M X

Var M

K

M O

M

K

;

ipoteza (4) afirmă că matricea de covarianţe a

observaţiilor (riscurilor) anuale condiţionate

este o matrice diagonală de dimensiune

( )

t×t , pozitiv definită având forma mai sus

(4)

(

)

(

)

(

)

⎟⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ =

θ θ

θ

| 0

0 |

|

1

t

X Var X

Var X

Cov

K

M O

M

K

,

conform ipotezei (1);

(5) Var

(

X_r |

θ

)

=

σ

2

( )

θ

,r =1,t (s-a presupus

că varianţele observaţiilor (riscurilor) anuale

condiţionate se reprezintă prin aceeaşi funcţie

( )

⋅

2

σ

, depinzând de

θ

, dar independentă de

t r

r, =1, ).

Pe baza ipotezelor (1)-(5) şi a parametrilor

structurali definiţi de actuar, după cum

ur-meazăşi anume:

( )n,1

[

_β

( )n,1

_{( )}

_θ

]

M

b

b= =

( )

[

σ

2

θ

]

2

M s =

a (a se vedea ipoteza (3))

(presupuşi independenţi de timp, adică de j,

cu j=1,t), am obţinut folosind m.c.m.m.p.

şi tehnica regresiei, prima liniară şi

neomo-genă de regresie a credibilităţii, pe care o

ilustrăm în continuare:

„Estimatorul liniar şi neomogen de

credibili-tate al primei nete de risc

µ

_j

( )

θ

pentru

con-tractul de parametru θ din anul j, bazat pe

observaţiile anuale X' =

(

X₁,X₂,...,X_t

)

efectuate asupra respectivului contract pe

du-rata a t

( )

≥2 ani, adică µ

( )

θ

^

j este dat de

re-laţia:

( )

= x_j_⎢⎣⎡Zb+

(

I−Z

)

b⎤_⎥⎦

j

^ ' ^

θ

µ

, cu j =1,t, unde

( )

= = ^ ×1

^ q

b

(

x'φ−1x

)

−1x'φ−1X este un vector

(

q×1

)

având expresia menţionată şi

semnifi-caţia estimatorului liniar şi neomogen de

cre-dibilitate θ- nedeplasat pentru vectorul

alea-tor necunoscut de regresie

β

( )

θ

, ceea ce,

conform definiţiei, înseamnă că estimatorul

liniar şi neomogen de credibilitate

^

b îl

esti-mează aproape sigur (a.s.) în medie condiţ

io-nată de θ pe

β

( )

θ

, adică

θ

⎟=

β

( )

θ

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

| ^

b M

a.s. (deci un estimator foarte bun pentru

vec-torul aleator necunoscut de regresie

β

( )

θ

),

iar Z =Z(q×q) =ax'φ−1x

(

I +ax'φ−1x

)

−1 este o

matrice de tipul

(

q×q

)

având expresia

men-ţionată şi semnificaţia factorului de

credibili-tate rezultat, adică a ponderii lui

^

b, ce arată

de câtă credibilitate se bucură acesta”.

Concluzii

1) Subliniem faptul că în rezultatul pe care

l-am obţinut mai sus, factorul reprezentat de

paranteza dreaptă şi anume: „Zb+

(

I −Z

)

b

^

”

indică estimatorul liniar şi neomogen de

cre-dibilitate pentru vectorul aleator necunoscut

de regresie pentru

β

( )

θ

.

2) Factorul la care facem referire în cadrul

observaţiei 1), apare ca o combinaţie

liniar-convexă sau ca o medie aritmetică ponderată

a estimatorului liniar şi neomogen de

credibi-litate θ- nedeplasat pentru

β

( )

θ

, reprezentat

de

^

b cu estimatorul colectiv pentru vectorul

de regresie

β

( )

θ

, reprezentat de b.

3) Aşadar, estimând prima netă de risc

µ

_j

( )

θ

a contractului de parametru θ din anul j, cu

t

j=1, implicat în modelul de regresie a

cre-dibilităţii elaborat de actuarul Hachemeister,

am estimat implicit vectorul aleator

necunos-cut de regresie

β

( )

θ

ce figurează în ipoteza

de regresie scrisă pentru această primă.

Bibliografie

[1]. Atanasiu V., Contributions to the credibility theory, thesis of doctorate, University of Bucharest-Faculty of Mathematics, 2000.

[2]. Atanasiu V., Calcule de credibilitate, Revista „Studii şi Cercetări de Calcul Economic şi Cibernetică Economică” 4 / 1998, XXXII.

[3]. Goovaerts M.J., Kaas R., Van Herwaarden A.E., BauwelinckxT., Insurance Series, volume 3, Efective Actuarial Methods, University of Amsterdam, The Netherlands, 1991.

[4]. Pentikäinen T., Daykin C.D., Pesonen M., Practical Risk Theory for Actuaries, Université Pierré et Marie Curie, 1990.