PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2018-2019 (BRANCA) (ENUNCIADOS)

(1)

Resoluções elaboradas pelo Prof. Renato Madeira

PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2018-2019 (BRANCA) (ENUNCIADOS)

1) Determine o valor do seguinte limite

x 1 2

lim x 1 . x 1

→

 − 

 

 − 

a) 1 b) + c) − d) 0,5 e) zero

2) Considere a função real f x( )= +1 cos 2 x .( ) Calcule a derivada de f x em ( ) relação à x, ou seja, df x( )

dx . a) df x( ) sen 2 x( )

dx = x b) df x( ) cos 2 x( )

dx 2 x

= −

c) _{df x}( ) _{sen 2x}( ^0,5)

dx x

= − d) _{df x}( ) _{cos 2x}( ^0,5)

dx = x

e) ^{df x}( ) 1 2 x sen 2 x( )

dx = −

3) Examine a função real f x( )=2x 3x− ² quanto à existência de valores e pontos de máximos e mínimos. Analise o problema e assinale a alternativa CORRETA.

a) A função atinge o valor máximo de ²,

3 no ponto x ¹.

=3 b) A função atinge o valor mínimo de ¹,

3 no ponto x ¹.

=3 c) A função atinge o valor máximo de ¹,

3 no ponto x ².

= 3 d) A função atinge o valor mínimo de ²,

3 no ponto x ¹.

=3 e) A função atinge o valor máximo de ¹,

3 no ponto x ¹.

=3

4) Sejam as funções f e g definidas em por f x( )=x²+ x e g x( )= −

(

x²+ x ,

)

em que  e  são números reais. Considere que essas funções são tais que

f g

Valor mínimo Ponto de mínimo

Valor máximo Ponto de máximo

−1 0 ⁹

4 0

Então, f composta com g em x=2, (^{f g})^{( )}^{2 ,} é igual a

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

(2)

5) Seja f k( )=k²+3k 2+ e seja W o conjunto de inteiros 0,1, 2, , 25 . O número de elementos n de W, tais que f n^{( )} deixa resto zero, quando dividido por 6, é:

a) 25 b) 22 c) 21 d) 18 e) 17

6) Considere a função real f x( )= +1 4x 2x .+ ² Determine o ponto x * que define o valor mínimo global dessa função.

a) x*= −2 b) x*= −1 c) x* ¹

= −2 d) x* 0= e) x* 1=

7) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Em valores aproximados, qual é a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor?

a) 7,44% b) 8,33% c) 9,17% d) 15,95% e) 27,51%

8) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de 80% de acertar um específico tipo de alvo. Num exercício ela dá seis tiros seguidos nesse mesmo tipo de alvo.

Considerando-se que os tiros são independentes, em cálculo aproximado, qual é a probabilidade de o atirador errar o alvo exatamente duas vezes?

a) 4,12% b) 18,67% c) 24,58% d) 27,29% e) 40,25%

9) Considere a função real f x^{( )}=cos x^{( )}−sen x .^{( )} Determine o valor da integral de f x( ) no intervalo 0,, ou seja, ^{( )}

0

f x dx.



a)  b) −2 c) −1 d) zero e) 2

10) Assinale a solução correta do seguinte problema de integração:

2 2 3xdx.−

 a) 4( )^{3 2}

2 3x C

−9 − + (onde C é uma constante) b) 4( )^{2 3}

2 3x C

−9 − + (onde C é uma constante) c) 4( )^{3 2}

2 3x C

3 − + (onde C é uma constante) d) 4( )^{2 3}

2 3x C

−9 + + (onde C é uma constante) e) 4 2 3x( − )^{3 2}+C (onde C é uma constante)

11) Considere a função real f x( )=sen 2x( ²)+cos 2 x .( ) Calcule a derivada de f x ( ) em relação a x, ou seja, df x( )

dx . Assinale a resposta CORRETA.

a) df x( ) ( ₂) sen 2 x( )

4x cos 2x

dx = − x

(3)

b) _{df x}( ) ( ₂) _{cos 2 x}( )

4x cos 2x

dx = + 2 x

c) df x( ) ₂ ( ₂) sen 2 x( )

2x sen 2x

dx = − x

d) df x( ) ( ₂) sen( )x sen 4x

dx = − x

e) ^{df x}( ) cos 2x( ²) sen 2 x( )

dx = −

12) De quantas maneiras diferentes podemos escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, de um grupo composto de sete homens e quatro mulheres?

a) 210 b) 250 c) 371 d) 462 e) 756

13) Considere uma loja que vende cinco tipos de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos comprar três refrigerantes desta loja?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 35 e) 60

14) Sendo o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números racionais, qual dos números seguintes não pertence ao conjunto (  ) (−  )?

a) 2,0123 b) ⁵

3 c) 0 d) −0,888 e) ²

−3

15) Dada a função f x, y( ) ^x ^y ^x ^y, x y x y

+ −

= −

− + o valor de f a( +b, a−b) é:

a)

2 2

a b ab

− b)

2 2

a b 2ab

− c) 1 d)

2 2

a b ab

+ e)

2 2

a b

2ab +

16) Duas caixas cúbicas e retangulares perfeitas têm seis faces de quadrados perfeitos.

As faces da primeira caixa tem 3 m² de área, e cada face da segunda caixa tem 9 m² de área. A razão entre o volume da primeira caixa e o volume da segunda é:

a) 3^{1 2} b) 3⁻^{1 2} c) 3⁻^{3 2} d) 3^{3 2} e) 3⁻^{2 3}

17) Calcule a área S do triângulo de vértices A 5, 7 ;( ) B 2, 3 ;( ) C 9, 2 .( ) Considerando o plano cartesiano, temos:

a) 7,8 b) 15,5 c) 19 d) 30 e) 60,5

18) Foram construídos círculos concêntricos de raios 5 cm e 13 cm. Em seguida, foi construído um segmento de reta com maior comprimento possível, contido na região interna ao círculo maior e externa ao menor. O valor do segmento é:

a) 8,5 cm b) 11,75 cm c) 19,25 cm d) 24 cm e) 27 cm 19) A equação

2 2

x y

144+225=1 representa uma

(4)

a) elipse com focos em (0, 9) e (0, 9 .− ) b) circunferência de raio igual a 9.

c) parábola d) hipérbole.

e) elipse com centro em (12,15 .)

20) Numa equação, encontramos o valor de 884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do maior pelo menor.

a) 0,87 b) 0,95 c) 1,03 d) 1,07 e) 1,10

(5)

PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2018-2019 (BRANCA)

RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES

1) d (Limites)

2) c (Derivada – regra da cadeia) 3) e (Derivada – máximos e mínimos) 4) e* (Função – composta e quadrática) 5) e (Teoria dos números)

6) b (Função quadrática) 7) c (Probabilidade) 8) c (Probabilidade) 9) b (Integral) 10) a (Integral) 11) a (Derivada)

12) a (Análise combinatória)

13) d (Análise combinatória – combinações completas) 14) c (Conjuntos numéricos)

15) a (Função – definição)

16) c (Geometria espacial – sólidos semelhantes) 17) b* (Geometria analítica – área de triângulos)

18) d (Geometria plana – relações métricas na circunferência) 19) a (Geometria analítica – cônicas)

20) e (Problemas do 2º grau)

* O enunciado dessa questão foi adaptado, pois ela estava incorreta da maneira como foi originalmente proposta.

(6)

PROVA DE MATEMÁTICA EFOMM 2018-2019 (BRANCA) (RESOLUÇÃO)

1) Determine o valor do seguinte limite ₂

x 1

lim x 1 . x 1

→

 − 

 

 − 

a) 1 b) + c) − d) 0,5 e) zero

RESOLUÇÃO: d

Note que, quando calculamos um limite com x tendendo a 1, o valor de x fica muito próximo de 1, mas não assume o valor 1. Isso implica que x 1 0−  e, portanto, pode ser simplificado.

( )( )

x 1 2 x 1 x 1

x 1 x 1 1 1 1

lim lim lim 0, 5

x 1 x 1 x 1 1 1 2

x 1

→ → →

− −

 =  =  = = =

   + −   +  +

 −   

2) Considere a função real f x( )= +1 cos 2 x .( ) Calcule a derivada de f x em ( ) relação à x, ou seja, df x( )

dx . a) df x( ) sen 2 x( )

dx = x b) df x( ) cos 2 x( )

dx 2 x

= −

c) _{df x}( ) _{sen 2x}( ^0,5)

dx x

= − d) _{df x}( ) _{cos 2x}( ^0,5)

dx = x

e) ^{df x}( ) 1 2 x sen 2 x( )

dx = − RESOLUÇÃO: c

Devemos usar a regra da cadeia para derivar f x( )= +1 cos 2 x( ) em relação à x.

( ) ( ) ( )^' ( ) _{1 2} ( )

df x 1 sen 2 x

sen 2 x 2 x sen 2 x 2 x

dx 2 x

− −

 

= −  = −   =

3) Examine a função real f x( )=2x 3x− ² quanto à existência de valores e pontos de máximos e mínimos. Analise o problema e assinale a alternativa CORRETA.

a) A função atinge o valor máximo de ²,

3 no ponto x ¹.

=3 b) A função atinge o valor mínimo de ¹,

3 no ponto x ¹.

=3 c) A função atinge o valor máximo de ¹,

3 no ponto x ².

= 3 d) A função atinge o valor mínimo de ²,

3 no ponto x ¹.

=3

(7)

e) A função atinge o valor máximo de ¹,

3 no ponto x ¹.

=3 RESOLUÇÃO: e

Vamos analisar as raízes da primeira derivada de f x( )=2x 3x .− ²

( ) 1

f ' x 2 6x 0 x

= − =  =3

Vamos agora analisar o sinal da segunda derivada de f x^{( )} em x ¹.

=3

( ) ¹

f '' x 6 f '' 6 0 3

= −    = − 

 

Logo, o ponto de abscissa x ¹

=3 é um ponto de máximo local e

1 1 1 2 2 1 1

f 2 3 .

3 3 3 3 3 3

 =  −   = − =

   

   

Portanto, “a função atinge o valor máximo de ¹,

3 no ponto x ¹.

=3 ”

4) Sejam as funções f e g definidas em por f x( )=x²+ x e g x( )= −

(

x²+ x ,

)

em que  e  são números reais. Considere que essas funções são tais que

f g

Valor mínimo Ponto de mínimo

Valor máximo Ponto de máximo

−1 0 ⁹

4 0

Então, f composta com g em x=2, (f g)^{( )}2 , é igual a

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

RESOLUÇÃO: e (essa questão é uma adaptação da questão 13 da prova do ITA de 2004)

A tabela do enunciado diz que a função f x( )=x²+ x assume valor mínimo −1 em um ponto de abscissa negativa, ou seja, x_MÍN 0 0

2 1 2

 

= − = −    

 .

Assim, ( ² ) ² ₂

MÍN

4 1 0

y 1 4 2

4 1 4

 −   

= − = − = −   =   = 

 .

Como  0, então  =2 e f x( )=x²+2x.

Da mesma forma, a função g x( )= −

(

x²+ x

)

assume valor máximo ⁹

4 em um ponto de abscissa positiva, ou seja, ( )

( )

xMÁX 0 0

2 1 2

− 

= − = −    

 − .

(8)

Assim, ( ) ^{( )}

( )

2

2 MÁX

4 1 0 9

y 9 3

4 1 4

 − −  −  

 

= − =   =   = 

 − .

Como  0, então  = −3 e g x^{( )}= −x²+3x. Vamos agora calcular (^{f g})^{( )}^{2 .}

( ) ²

g 2 = − +  =2 3 2 2

(^{f g 2})^{( )}⁼^{f g 2}( ^{( )})⁼^{f 2}^{( )}⁼²²^{+  =}^{2 2} ⁸

5) Seja f k( )=k²+3k 2+ e seja W o conjunto de inteiros 0,1, 2, , 25 . O número de elementos n de W, tais que f n^{( )} deixa resto zero, quando dividido por 6, é:

a) 25 b) 22 c) 21 d) 18 e) 17

RESOLUÇÃO: e

A função f k( )=k²+3k 2+ =(k 1 k 2+ )( + ) para k inteiro é o produto de dois números inteiros consecutivos, então será sempre par.

Para que f n^{( )} deixe resto zero na divisão por 6, ou seja, seja múltiplo de 6, precisamos que f n^{( )} seja múltiplo de 3.

Os possíveis restos de um número inteiro na divisão por 3 são 0, 1 e 2. Se n deixa resto 1 por n, então n+2 é múltiplo de 3. Se n deixa resto 2 por 3, então n 1+ é múltiplo de 3. O único caso em que f n^{( )} não será múltiplo de 3 é quando n for múltiplo de 3, pois nem n 1+ e nem n+2 serão múltiplos de 3.

Assim, f n^{( )} é múltiplo de 6 (múltiplo de 2 e de 3) sempre que n não é múltiplo de 3.

Os múltiplos de 3 em W são 0,3, 6, , 24 , que são 9. Assim, a quantidade de elementos de W que não são múltiplos de 3 é 26 9 17.− =

Portanto, o número de elementos de W para os quais f n^{( )} é múltiplo de 6 é 17.

6) Considere a função real f x( )= +1 4x 2x .+ ² Determine o ponto x * que define o valor mínimo global dessa função.

a) x*= −2 b) x*= −1 c) x* ¹

= −2 d) x* 0= e) x* 1= RESOLUÇÃO: b

A função f x( )= +1 4x 2x+ ² é um trinômio do 2º grau com coeficiente líder positivo, então possui um ponto de mínimo global no vértice. Assim, a abscissa do ponto de mínimo é x* x_V ⁴ 1.

= = −2 2= −



7) Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Em valores aproximados, qual é a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor?

a) 7,44% b) 8,33% c) 9,17% d) 15,95% e) 27,51%

(9)

RESOLUÇÃO: c

Para efeito da contagem de casos nesse experimento, vamos considerar as bolas de mesma cor distintas entre si.

O número total de bolas na urna é 5 2 3 10.+ + = Assim, o número de maneiras de retirar 3 bolas da urna, sem reposição, é # =   =10 9 8 720.

Para que as três bolas sejam da mesma cor, devemos retirar 3 bolas brancas ou 3 bolas verdes.

O número de maneiras de retirar 3 bolas brancas é # A₁=   =5 4 3 60. O número de maneiras de retirar 3 bolas verdes é 3 2 1 6.  = Assim, o número de casos favoráveis é

1 2

# A=# A +# A =60 6+ =66.

Portanto, a probabilidade de que as três bolas retiradas sejam da mesma cor é ( ) # A 66

P A 9,17%.

# 720

= = =



8) Um atirador, em um único tiro, tem probabilidade de 80% de acertar um específico tipo de alvo. Num exercício ela dá seis tiros seguidos nesse mesmo tipo de alvo.

Considerando-se que os tiros são independentes, em cálculo aproximado, qual é a probabilidade de o atirador errar o alvo exatamente duas vezes?

a) 4,12% b) 18,67% c) 24,58% d) 27,29% e) 40,25%

RESOLUÇÃO: c

A probabilidade de o atirador acertar um determinado tiro é 80%, então a probabilidade de que ele erre um tiro é 20%.

A probabilidade de o atirador errar o alvo exatamente 2 vezes em 6 tiros é igual ao número de maneiras de escolher 2 de 6 tiros (os 2 que ele erra) multiplicado pela probabilidade de acertar 4 tiros e de errar 2 tiros, ou seja,

( ) (⁴ )² ⁴ ²

2

6 6

6 5 4 1 256 768

P C 80% 20% 15 24, 58%.

2! 5 5 5 3125

    

=   =     =  = 

   

9) Considere a função real f x^{( )}=cos x^{( )}−sen x .^{( )} Determine o valor da integral de f x( ) no intervalo 0,, ou seja, ^{( )}

0

f x dx.



a)  b) −2 c) −1 d) zero e) 2

RESOLUÇÃO: b

( ) ( )  

( ) ( ) ( ( )) ( )

0

0 0

f x dx cos x sen x dx sen x cos x

sen cos sen 0 cos 0 0 1 0 1 2

  

= − = + =

 

=  +  − + = + − − + = −

10) Assinale a solução correta do seguinte problema de integração:

2 2 3xdx.−



(10)

a) 4( )^{3 2}

2 3x C

−9 − + (onde C é uma constante) b) 4( )^{2 3}

2 3x C

−9 − + (onde C é uma constante) c) 4( )^{3 2}

2 3x C

3 − + (onde C é uma constante) d) 4( )^{2 3}

2 3x C

−9 + + (onde C é uma constante) e) 4 2 3x( − )^{3 2}+C (onde C é uma constante) RESOLUÇÃO: a

Fazendo 2 3x− = y dy= −3dx

( )^{3 2}

1 2 3 2

dy 2 2 2 4

2 2 3xdx 2 y y dy y C 2 3x C

3 3 3 3 9

− = = − = −  + = − − +

  − 

11) Considere a função real f x( )=sen 2x( ²)+cos 2 x .( ) Calcule a derivada de f x ( ) em relação a x, ou seja, df x( )

dx . Assinale a resposta CORRETA.

a) df x( ) ( ₂) sen 2 x( )

4x cos 2x

dx = − x

b) _{df x}( ) ( ₂) _{cos 2 x}( )

4x cos 2x

dx = + 2 x

c) _{df x}( ) ₂ ( ₂) _{sen 2 x}( )

2x sen 2x

dx = − x

d) df x( ) ( ₂) sen( )x sen 4x

dx = − x

e) ^{df x}( ) cos 2x( ²) sen 2 x( )

dx = −

RESOLUÇÃO: a

Vamos aplicar a regra da cadeira para realizar a derivação.

( ) ( ²) ( )

f x =sen 2x +cos 2 x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

' '

2 2

2 1 2

2

df x cos 2x 2x sen 2 x 2 x dx

cos 2x 4x sen 2 x 2 1x 2 sen 2 x

4x cos 2x

x

−

 =  −  =

 

=  −   =

=  −

(11)

12) De quantas maneiras diferentes podemos escolher seis pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, de um grupo composto de sete homens e quatro mulheres?

a) 210 b) 250 c) 371 d) 462 e) 756

RESOLUÇÃO: c

Vamos dividir o problema em 3 casos:

1º caso: grupo com exatamente 2 mulheres e 4 homens

O número de possibilidades é C²₄ C⁴₇ ^{4 3 7 6 5} 6 35 210.

2! 3!

  

 =  =  =

2º caso: grupo com exatamente 3 mulheres e 3 homens

O número de possibilidades é C³₄ C³₇ 4 ^{7 6 5} 4 35 140.

3!

 =    =  = 3º caso: grupo com exatamente 4 mulheres e 2 homens

O número de possibilidades é C⁴₄ C²₇ 1 ^{7 6} 1 21 21.

2!

 =   =  =

Pelo princípio aditivo, o número de grupos com pelo menos duas mulheres é 210 140 21 371.+ + =

13) Considere uma loja que vende cinco tipos de refrigerantes. De quantas formas diferentes podemos comprar três refrigerantes desta loja?

a) 10 b) 15 c) 20 d) 35 e) 60

RESOLUÇÃO: d

O número de maneiras de comprar 3 refrigerantes em uma loja que vende 5 tipos de refrigerantes é igual ao número de soluções inteiras não-negativas da equação

1 2 3 4 5

x +x +x +x +x =3, onde o valor da variável x_i é igual à quantidade de refrigerantes comprados do tipo i.

O número de soluções não negativas da equação x₁+x₂+x₃+x₄+x₅ =3 é igual ao número de maneiras de permutar 4 “tracinhos” e 3 “bolinhas”, ou seja,

4,3 7

7! 7 6 5

P 35.

4!3! 6

= =   =

Podemos resolver esse problema aplicando diretamente o conceito de combinações completas. O número de maneiras de escolher p objetos dentre n tipos distintos de objetos dados é CR^p_n =P_{p n 1}^{p,n 1}_{+ −}⁻ =C^p_{n p 1}_{+ −}.

Temos 5 tipos de refrigerantes e vamos comprar 3 refrigerantes, então o número de possibilidades é CR³₅ C³_{5 3 1} C³₇ ^{7 6 5} 35.

+ −  3!

= = = =

14) Sendo o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números racionais, qual dos números seguintes não pertence ao conjunto (  ) (−  )?

a) 2,0123 b) ⁵

3 c) 0 d) −0,888 e) ²

−3

(12)

RESOLUÇÃO: c

Sabemos que  , então  = e  = . Assim,

(  ) (−  )= − é o conjunto dos números racionais não inteiros.

Todos os números das alternativas são racionais não inteiros, exceto o 0 (alternativa c) que é um número inteiro.

15) Dada a função f x, y( ) ^x ^y ^x ^y, x y x y

+ −

= −

− + o valor de f a( +b, a−b) é:

a)

2 2

a b ab

− b)

2 2

a b 2ab

− c) 1 d)

2 2

a b ab

+ e)

2 2

a b

2ab +

RESOLUÇÃO: a

Na expressão f x, y( ) ^x ^y ^x ^y, x y x y

+ −

= −

− + vamos usar x= +a b e y= −a b.

( ) ⁽₍â ^b^{) (}_{) (}â ^b⁾₎ ⁽₍â ^b^{) (}_{) (}â ^b⁾₎ ^2a ^2b â ^b â² ^b²

f a b, a b

a b a b a b a b 2b 2a b a ab

+ + − + − − −

 + − = − = − = − =

+ − − + + −

16) Duas caixas cúbicas e retangulares perfeitas têm seis faces de quadrados perfeitos.

As faces da primeira caixa tem 3 m² de área, e cada face da segunda caixa tem 9 m² de área. A razão entre o volume da primeira caixa e o volume da segunda é:

a) 3^{1 2} b) 3⁻^{1 2} c) 3⁻^{3 2} d) 3^{3 2} e) 3⁻^{2 3} RESOLUÇÃO: c

As duas caixas cúbicas são sólidos semelhantes, então a razão entre seus volumes é igual ao cubo da razão de semelhança.

Se a primeira caixa tem aresta a ,₁ então a área da face é a₁² = 3 a₁= 3.

Se a segunda caixa tem aresta a ,₂ então a área da face é a²₂ = 9 a₂ =3.

Portanto, a razão entre o volume V₁ da primeira caixa e V₂ da segunda é

3 3 1 1 3 2

2 2

V a 3 1

3 .

V a 3 3 3

  −

 

=  =  = =

17) Calcule a área S do triângulo de vértices A 5, 7 ;( ) B 2, 3 ;( ) C 9, 2 .( ) Considerando o plano cartesiano, temos:

a) 7,8 b) 15,5 c) 19 d) 30 e) 60,5

RESOLUÇÃO: b

A área S do triângulo é dada pelo resultado do seguinte determinante:

(13)

1 1 1

1 1 31

S 5 2 9 4 63 15 14 10 27 15,5.

2 2 2

7 3 2

= = + + − − − = =

18) Foram construídos círculos concêntricos de raios 5 cm e 13 cm. Em seguida, foi construído um segmento de reta com maior comprimento possível, contido na região interna ao círculo maior e externa ao menor. O valor do segmento é:

a) 8,5 cm b) 11,75 cm c) 19,25 cm d) 24 cm e) 27 cm RESOLUÇÃO: d

O segmento de reta com maior comprimento possível, contido na região interna ao círculo maior e externa ao menor, é a corda AB do círculo maior que tangencia externamente o círculo menor em T.

A corda AB é perpendicular ao raio OT e o ponto T é ponto médio de AB.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OTA, temos:

2 2 2 2 2

AT =OA −OT =13 −5 =144AT 12.=

Portanto, o valor do segmento é AB= 2 AT= 2 12=24 cm.

19) A equação

2 2

x y

144+225=1 representa uma a) elipse com focos em (0, 9) e (0, 9 .− ) b) circunferência de raio igual a 9.

c) parábola d) hipérbole.

e) elipse com centro em (12,15 .)

RESOLUÇÃO: a

(14)

A equação

2 2

x y

144+225=1 representa uma elipse de centro em (0, 0) e eixo focal vertical. A semidistância focal é dada por

2 2 2 2 2

a =b +c 225 144 c= + c =81 =c 9 Então, os focos são (0, 9) e (0, 9 .− )

Portanto, a equação representa uma elipse com focos em (0, 9) e (0, 9 .− )

20) Numa equação, encontramos o valor de 884. Para chegar a esse resultado, somamos os quadrados de dois números pares, consecutivos e positivos. Determine o quociente da divisão do maior pelo menor.

a) 0,87 b) 0,95 c) 1,03 d) 1,07 e) 1,10

RESOLUÇÃO: e

Sejam 2k+2 e 2k, com k ^*₊, os dois números pares, consecutivos e positivos do enunciado, então

(_2k₊₂)²₊( )_2k ² ₌₈₈₄_₄^_(_{k 1}₊ )²₊_k²^_₌₈₈₄__k²₊_{2k 1 k}_{+ +} ² ₌₂₂₁

k2 k 110 0 k 11 k 10

 + − =  = −  =

Como k ^*₊, então k 10= e os dois números são 2k 2+ =  + =2 10 2 22 e 2k=  =2 10 20.

Assim, o quociente do maior pelo menor número é ²² 1,1.

20=