William Rowan Hamilton: A Concepção Epistemológica dos Quaternions

William Rowan Hamilton:

A Concepção Epistemológica dos Quaternions

RANNYELLY RODRIGUES DE OLIVEIRA

ANA PAULA BISPO DA SILVA

MARIA HELENA DE ANDRADE

1. Introdução

O presente trabalho tem, em seu escopo, o objetivo de descrever o contex-to, numa abordagem epistemológica, da concepção dos Quaternions feita pelo matemático William Rowan Hamilton. Para isso, foi realizada uma análise biblio-gráfica da biografia de Hamilton e de seus principais trabalhos como: Elements of

Quaternions, Researches Respecting Quaternions: First Series e On the Connexion of Quaternions with Continued Fractions and Quadratic Equations. Dessa forma,

metodologicamente, adotou-se a Historiografia Atualizada da História da Mate-mática na perspectiva teórica de Saito (2018). Em complementaridade, foi feita uma revisão bibliográfica nas obras escritas por Hamilton e em fontes secundá-rias que tratam a gênese quaterniônica e o seu processo de desenvolvimento.

Nesse sentido, o levantamento bibliográfico foi organizado em três momen-tos. O primeiro momento abrange as obras escritas por Hamilton, as quais foram publicadas na Philosophical Magazine (1844 – 1850), Transactions of the Royal

Irish Academy (1848) e, posteriormente, no livro Elements of Quaternions (1866).

O segundo momento focou nas obras complementares sobre a gênese quaterni-ônica, nas quais destacam-se os autores: Hankins (1977), Pereira (2007) e Menon (2009). E o terceiro momento envolveu o estudo dos trabalhos dos autores Ha-milton (1851), Hyde (1881) e Conway (1944) que evidenciam o processo históri-co-evolutivo dos Quaternions.

Ademais, este trabalho foi organizado em sete tópicos. O primeiro tópico é introdutório. O segundo explica o aporte teórico-metodológico desta pesquisa.

1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Doutoranda em Ensino de Ciências e Mate-mática – UFRN.

2 Universidade Estadual da Paraíba, Doutora em Física – UNICAMP.

O terceiro descreve alguns aspectos biográficos de Hamilton referentes à con-cepção dos quaternions. O quarto trata a gênese quaterniônica. O quinto versa sobre o desenvolvimento e a constituição algébrica dos quaternions. O sexto relata as contribuições de aplicabilidade quaterniônica na Física. E, por fim, no último tópico, são apresentadas as considerações finais.

2. Aporte Teórico-Metodológico

Nesta seção, serão apresentados os principais atributos da concepção atua-lizada sobre a História da Matemática na perspectiva teórica de Fumikazu Saito. Nesse viés, Saito (2015) defende que a História da Matemática é o cerne do pro-cesso de transmissão, apropriação e divulgação de conhecimentos matemáticos. Durante a constituição do corpo teórico do conhecimento científico, essa função histórica da Matemática foi colocada em tangência em meados do século XIX, porém, retornou à sua posição central em 1930. Muito do conhecimento mate-mático que se tem acesso, atualmente, foi compartilhado através desse processo construtivo do conhecimento científico envolvido pela História da Matemática. A compreensão da História da Matemática exige um estudo sobre os conceitos de epistemologia e historiografia.

Assim sendo, a epistemologia da ciência é uma ramificação da Filosofia que investiga as condições que delimitam a validade dos conceitos científicos, vislum-brando explicar o processo de criação e desenvolvimento das teorias científicas e a sua relação interventiva na institucionalização dos diversos saberes. (SAITO, 2015). Além do mais, a epistemologia concentra-se na análise da estrutura dos conhecimentos científicos através do estudo de sua gênese contextual, sua dis-posição temporal, sua reconstrução mental no sentido de mudança conceitual e suas diferentes abordagens durante as etapas de construção dos saberes cien-tíficos. (ALMOULOUD, 2007). Compreende-se a significativa relevância da abor-dagem epistemológica na realização historiográfica da História da Matemática.

Considerando que a historiografia é uma análise crítica da escrita da história e a história é uma narrativa, dessa maneira, a História da Matemática é uma ti-pologia de narrativa histórica sistematizada na perspectiva historiográfica atuali-zada, a qual tem a intenção de enfatizar os contextos e cenários de elaboração e difusão do conhecimento matemático. A História da Matemática abrange em seu repertório, diferentes histórias da Matemática oriundas de diferentes contextos e temporalidades. O escopo dessas histórias segue o paradigma da historiogra-fia atualizada a partir de uma avaliação crítica dos elementos epistemológicos, metafísicos, axiológicos, teológicos, políticos, econômicos, sociais, dentre outros que influenciaram na origem e no desenvolvimento do conhecimento até sua institucionalização como status científico. (SAITO, 2018).

3. William Rowan Hamilton: considerações biográficas

Neste tópico, serão apresentados os principais aspectos biográficos de William Rowan Hamilton (1805-1865) baseados no estudo do Dicionário de Bio-grafias Científicas de Pereira (2007). Hamilton nasceu na Irlanda. Era filho do Ar-chibald Rowan Hamilton, que era um advogado em Dublin. Foi criado e educado desde os três anos de idade por seu tio James Hamilton na Irlanda. Aos cinco anos de idade, já sabia Grego, Latim e Hebraico. Aos nove anos, aprendeu Persa, Aramaico, Árabe, dentre outros idiomas. Aos treze anos, já demonstrava muita habilidade em realizar cálculos matemáticos. Academicamente, foi um Matemáti-co e Astrônomo. Aproximadamente em 1820, Hamilton teve acesso aos trabalhos de Isaac Newton (1642-1727). O que influenciou diretamente na sua formação científica iniciada através do estudo da obra Newtoniana (os Principia), a qual inspirou seus estudos sobre a Astronomia.

Em 1822, concentrou suas pesquisas no campo da Matemática, em particu-lar, sobre curvas e superfícies incitando, dessa forma, a concepção de um con-junto de investigações sobre sistemas de linhas retas em um plano. Em 1823, ingressou no Trinity College de Dublin. Em 1827, foi nomeado Astrônomo Real do Observatório de Dunsink e Docente de Astronomia da Trinity College. As duas contribuições mais relevantes de Hamilton para a sociedade científica foram: a determinação da função característica, no contexto da Física com aplicabilidade na Óptica e Dinâmica, e a definição dos números quaterniônicos, os quais tiveram muita repercussão na Matemática Acadêmica.

Hamilton presenciou um cenário científico da Matemática marcado pelo sur-gimento de ideias revolucionárias do século XIX, as quais continham, em seu es-copo, a contestação dos fundamentos da Geometria Euclidiana e da Álgebra Clás-sica. O astrônomo também defendia essa indagação científica. Assim, em 1828, compartilhou suas concepções com seu amigo John Thomas Graves4 _(1806-1870)

relatando que, nitidamente, a estabilidade dos fundamentos da Álgebra Clássica passava por uma crise de credibilidade epistemológica, que ficava explícita quan-do se analisava e considerava a existência de números negativos e imaginários. Ao avaliar essas duas tipologias numéricas, Hamilton propôs que os princípios ló-gicos da Álgebra deviam ser repensados e, assim, reestabelecidos. Foi no âmbito discursivo da álgebra não-comutativa, em que os quaternions foram concebidos. Segundo Santos (2016), essas descrições foram feitas numa carta à Graves.

Em 1829, Hamilton estudou a obra de John Warren5 _{(1796-1852). Nesse}

tra-balho havia uma explicação do diagrama de Argand, em que se considerava um sistema de dois eixos retangulares, de modo que, um eixo designava a parte

4 Graves era um colega de faculdade de Hamilton que, em 1843, descobriu uma álgebra não--associativa com oito componentes de base: os octonions. (SANTOS, 2016).

5 Estudou sobre rotações no plano através de multiplicações de linhas. Em 1828, publicou seu trabalho sobre representações geométricas de raízes quadradas de quantidades negativas. Na discussão algébrica feita por Hamilton, a conjectura geométrica de Warren não foi eficiente para Hamilton, pois tal abordagem não preservava a propriedade distributiva. (NEVES, 2008).

real do número complexo usual e outro eixo sua parte imaginária. Esse gráfico representacional conduziu Hamilton a idealizar dois questionamentos a respeito da extensão dos números complexos a dimensões superiores: (i) Seria possível construir outra representação algébrica para os números complexos bidimen-sionais que satisfizesse todas as suas operações válidas? (ii) Seria possível definir um número hipercomplexo que estivesse relacionado ao espaço tridimensional? Hamilton acreditava que essa nova expressão algébrica deveria representar o espaço, em oposição à representação arbitrária de coordenadas. (PEREIRA, 2007).

Com a finalidade de responder ao seu primeiro questionamento, em 1833, Hamilton realizou pesquisas sobre pares algébricos. Esses pares eram compostos por números reais e continham duas operações definidas: adição e multiplicação. Doravante, Hamilton (1866) provou que esses pares possibilitavam a constituição de uma álgebra de divisão associativa e comutativa que satisfazia às operações válidas para os números complexos. Em 1835, Hamilton publicizou outro trabalho intitulado por Preliminary and Elementary Essay on Álgebra as the Science of Pure

Time, onde descrevia a álgebra como uma ciência do tempo puro, tal que, os pares

algébricos eram tratados como etapas no tempo. Em 1837, os dois trabalhos fo-ram publicados em uma versão única nos Proceedings of the Royal Irish Academy.

Hamilton (1866) expressava uma concepção filosófica que convergia para a vertente kantiana, pois, já em 1830 e 1831, afirmava que a fundamentação algébrica devia estar firmada na noção ordinal do conceito de número e essa or-denação assumia como pressuposto a intuição temporal. Assim, ainda em 1837, Hamilton focalizou suas pesquisas no estudo da álgebra de pares numéricos e na aprendizagem da filosofia idealista de Kant. Quanto ao segundo questionamen-to, Hamilton tentou desenvolver números complexos tridimensionais (tripletos), contudo, não conseguiu definir a operação de multiplicação entre eles. Segundo Hanson (2006), foi em busca de definir essas operações que Hamilton chegou à concepção dos quaternions em 1843, quando estava a caminho de Dublin para presidir uma reunião da Real Academia Irlandesa, caminhando à margem do ca-nal Real, ele rascunhou uma fórmula da multiplicação para os quaternions numa pedra em uma das pontes do canal.

4. A gênese quaterniônica

No final do século XIX, na Europa, a Álgebra era compreendida como a Ci-ência das Magnitudes (quantidades), que representava uma aritmética simbólica e universal, tal que seus elementos denotavam números e suas operações. Con-tudo, não havia uma definição para o conceito de números negativo e imaginá-rio. Nesse sentido, emergiram algumas indagações que refletiam sobre como a Álgebra tratava os objetos matemáticos menores do que nada ou cujo quadrado seria um valor negativo. (NEVES, 2008). Apesar desses números terem contribu-ídos para avanços nas resoluções de problemas matemáticos, essas discussões fomentaram a formação de uma concepção muito revolucionária no século XIX:

a Álgebra não-comutativa. Nesse viés, vale destacar que Gauss (1777 – 1855), Peacock (1791-1858), De Morgan (1806-1871) e Hamilton haviam reconhecido a possibilidade da constituição de álgebras diferentes da Álgebra Clássica.

No início do século XIX na Alemanha, a algebrização era uma abordagem dominante no desenvolvimento do corpo teórico da Matemática. Nesse período, alguns matemáticos defendiam que o conceito de número podia ser analisado sob duas tipologias: um referente à natureza de número e outro pertinente à no-ção de quantidade. Nessa vertente, destacam-se as pesquisas de Cauchy, quem assumia um conceito de número baseado na diferenciação entre a natureza de número e a sua noção de quantidade, e de Ampère, o qual descrevia que os números negativos não possuem por si só significados próprios, mas sim são quantidades. Em 1800, Gauss defendia que os números deviam ser investigados tanto pela sua natureza como pelo fato de estarem relacionados a outros objetos. (ROQUE, 2012).

Em 1830, Peacock organizava a Álgebra em duas categorias: aritmética e bólica. Ele acreditava que seria possível desenvolver novas leis na aritmética sim-bólica, desde que fosse realizada uma interpretação livre, onde se aceitasse, que os símbolos traduziam uma verdade aritmética. Desse modo, ele entendia que os números são construídos simbolicamente e, assim, os números negativos são construídos a partir dos números positivos. Além disso, defendia que os números imaginários representavam uma extensão dos números reais. No mesmo ano, também foi publicada uma obra de De Morgan, na qual estava explícita a sua consciência de que seria possível a criação de uma álgebra através da inserção de símbolos arbitrários e definição de um conjunto de leis que conduzisse a ope-ração e interpretação dos símbolos. Contudo, vale assinalar que tanto Peacock como De Morgan não tentaram conceber um sistema algébrico que confrontasse as leis aritméticas. (NEVES, 2008).

Numa perspectiva teórica da Álgebra não-comutativa, vale salientar que Gauss estudou os quaternions em 1819, antes de Hamilton, contudo, ele não pu-blicizou esses trabalhos, pois foi impedido pelo seu conservadorismo ideológico, de modo que não queria contrastar as “verdades” estabelecidas, até então, na Matemática. (PEREIRA, 2007). Para Hamilton, a conceituação de números negati-vo e imaginário foi impulsionada, primeiramente, pela concepção da Ciência de Ordem (no tempo e no espaço) e não, primariamente, pela Ciência da Magnitude. (HAMILTON, 1837 & SMITH, 1929). Posteriormente, será visto que o trabalho de Hamilton, que confrontou a Álgebra estabelecida como verdadeira na época, foi o que versava sobre as estruturas quaterniônicas.

Numa abordagem representacional do tempo, em 1835, Hamilton realizou estudos em que ele propunha a descrição de pares de momentos no tempo (A, B), de modo que a diferença (A–B) de dois momentos é reconhecida como um passo nesse momento. Os pares (a, b), que representam esses passos, envolvem em suas operações os pares de números reais (x, y). Assim, Hamilton definiu:

( , )(a,b) ( ax y = x −y xb, b+ya) e x(a,b) ( ,0)(a,b) ( a, b)= x = x x . Com isso, pode-se ve-rificar que (0,1)²= −1_{, pois} (0,1)²(a,b) (0,1)( b,a) ( a, b)= − = − − = −(a,b)_{. Os trabalhos de}

Hamilton são caracterizados por sua obstinação em generalizar essa descrição dos momentos e suas etapas no tempo para n-uplas. Esse processo de generali-zação ocorreu, primeiramente, na tentativa sob a forma de 3-uplas com os triple-tos e, posteriormente, com as quadruplas através dos quaternions. (SMITH, 1929). Em 1848, Hamilton introduziu, em seu trabalho, a noção de “quaternion mo-mental” (A, B, C, D), onde A, B, C, D são os momentos no tempo e o “quaternion ordinal” (a, b, c, d) = (a ,a ,a ,a0 1 2 3) representa o intervalo de tempo nesse momen-to. De modo semelhante aos pares de passos, o quaternion ordinal envolve ope-rações com quadruplas de números reais contendo, assim, 16 x 24 operadores

, , ,

Rπ ρ σ γ, onde , , ,π ρ σ γ constituem uma permutação dos números naturais 0, 1, 2, 3, de maneira que se pode escrever Rπ ρ σ γ, , , (a ,a ,a ,a ) (a ,a ,a ,a )0 1 2 3 = π ρ σ γ . Isso ajudou a definir as três componentes imaginárias i, j e k. Para isso, ficou estabelecido que R−1,0, 3,2− =i, R−2,3,0, 1− = j e R− −3, 2,1,0 =k, de onde se obteve as seguintes equações:

²= = = −² ² 1, = = − ,

i j k ij k ji jk i= = −kj ki j, = = −ik .

Nesse mesmo ano, Hamilton desenvolveu uma fundamentação para pesquisas oriundas da Álgebra Linear. Nesse acervo, ele estudou propriedades de um sistema de combinações lineares de n componentes linearmente independentes com coe-ficientes reais ou complexos, assumindo, como paradigma, uma tabela de multipli-cação composta por n³ constantes arbitrárias. Apesar da representação algébrica quaterniônica, foi a aplicação geométrica dos quaternions que impulsionou a inves-tigação de novas álgebras, nas quais não se verificava a comutatividade e a associa-tividade. Na abordagem geométrica, Hamilton definiu que o vetor é um segmento de linha no espaço e buscou interpretar o quociente de dois vetores. Para isso, fez as seguintes considerações para os vetores , ',α α β _{e 'β : ( ) /}i β α = ⇒ =q β q , α

( ) ( ) '/ 'β α β α α/ , ' α, β' β; ( ) q' q, q'' q, q' q''; ( ) γ β γ β , α α α ± = = ⇒ = = = ⇒ = ± = ii iii iv / / γ α γ β α β= e _{( )}γ β γ β α α⋅ = ⋅ v

Em 1866, o estudo de Hamilton sobre os quaternions foi publicado no livro

Elements of Quaternions. Nessa obra, foram apresentados: princípios

fundamen-tais do quociente vetorial e de suas relações angulares, a noção de quaternions coplanares e quociente de vetores em um plano, a concepção de quaternions diplanares e quociente de vetores no espaço, e uma discussão sobre as proprie-dades e o desenvolvimento de equações quaterniônicas. Além disso, pode-se destacar que, nesse livro, o corpo teórico dos quaternions é estruturado em três momentos muito importantes para sua compreensão. O primeiro investiga, com base no que foi comentado anteriormente, a natureza do quociente de dois veto-res e justifica a terminologia “quaternion” usada para esse quociente. O segundo define i, j, k e sistematiza sua tabela de multiplicação. E o terceiro versa sobre a não-comutatividade multiplicacional.

Isto posto, Hamilton (1866: 106-107) explica que o quociente de dois vetores não pode ser um escalar, ou seja, não poder ser um número real como aquele denominado na Álgebra Clássica. Para isso, ele descreve que sendo x um escalar (real) e α _{um vetor (real), então, o produto x}α _{representa outro vetor (real). E}

'

β _{sendo semelhante ou oposto em direção a} α_{, conforme o coeficiente escalar}

x, é positivo ou negativo, em nenhum dos casos, logo, ele pode representar

qual-quer vetor. Considerando que β está inclinado a α _{, em qualquer angulação real,}

a equação β'=β _ou xα β= _{torna-se impossível. Contudo, conforme a álgebra,}

pode-se escrever ( ) /xα α =x_{, mas deve-se rejeitar a escrita:} β α/ =x_{. Pois,}

nes-sas mesmas condições, x continua sendo um escalar e em qualquer “quociente de dois vetores inclinados, este é, pelo menos, um não-escalar”.

A formação da concepção de escalar como sendo um quociente de dois vetores paralelos considera o seu comprimento relativo e a sua direção relativa (equivalência ou opositiva). Ao se deslocar de α _{para x}α _{, há uma alteração}

no comprimento da linha α _{, mantendo ou invertendo a sua direção, de acordo}

com o coeficiente escalar x positivo ou negativo. De modo semelhante, o de-senvolvimento do conceito de não-escalar, q=β _:α =_{OB OA: , de dois vetores} inclinados (que podem ser coiniciais), deve-se considerar o comprimento relativo e a posição relativa das duas linhas. Desse modo, compreende-se que a relação entre dois vetores gera dois tipos de elementos. O primeiro é representado por uma razão simples, ou seja, por um número. E o segundo é representado por um ângulo AOB.

Nessa descrição, pode-se observar que Hamilton tinha o propósito de dife-renciar os quocientes de vetores entre si. E para isso, considerou não somente sua magnitude, mas também seu plano. Ademais, chamou atenção para a distinção entre dois ângulos opostos, de magnitudes iguais, em um plano comum. Em suma, ao avaliar a direção relativa de duas linhas co-iniciais OA e OB no espaço, deve-se considerar, além da quantidade de seus graus, a direção de sua rotação, por exemplo de OA para OB. A fim de construir um referencial que orientasse a direção da rotação, foi sugerido que se assuma, por convenção, uma mão fixa. Assim, por exemplo, pode-se estabelecer que todas as rotações em direção à mão direita tenham um sentido positivo e as rotações em direção à mão esquer-da tenha um sentido negativo.

Dessa maneira, ao observar uma rotação de OA para OB em um plano, po-de-se considerar a existência de dois eixos: um positivo representado por OC perpendicular ao plano AOB e um negativo OC’ perpendicular oposto ao mesmo plano. A rotação em torno do eixo positivo é positiva e vice-versa. De modo geral, a determinação direcional depende de duas coordenadas polares ou de elemen-tos angulares.

Diante disso, Hamilton evidencia a importância de assumir um sistema de quatro elementos para a determinação de um quociente geométrico de dois ve-tores co-iniciais. Um desses quatro elementos permite a determinação do

com-primento relativo de duas linhas comparadas. Os demais elementos ajudam a determinar a direção relativa. Esses três últimos elementos são organizados da seguinte forma: um representa a inclinação mútua das duas linhas ou a mag-nitude angular entre elas e dois têm a função de determinar a direção do eixo perpendicular ao seu plano comum. Assim, vislumbra-se uma rotação em torno desse eixo com um sentido positivo estabelecido, de maneira que se torna pos-sível um deslocamento, no plano das duas linhas, “da direção da linha divisória para a direção da linha de dividendos” (HAMILTON, 1866: 109-110).

Como uma extensão da teoria dos escalares, é introduzido o conceito de quociente geométrico, o qual é um sistema composto por quatro elementos nu-méricos. De modo genérico, conclui-se que a divisão entre dois vetores gera, na maioria das vezes, um elemento quaternário. E, compreende-se que o compri-mento relativo de duas linhas não muda quando seus compricompri-mentos são modi-ficados proporcionalmente e sua direção relativa se mantém quando o giro do ângulo formado entre elas é realizado somente no seu plano. A operação entre essas duas linhas envolve a análise das relações de comprimentos e de direções. Hamilton (1866) considerou três linhas (OI, OJ e OK) co-iniciais quaisquer, de modo que a rotação em torno do primeiro do segundo para o terceiro fos-se positiva, e três vetores unitários (OI’, OJ’, OK’) respectivamente opostos às três linhas, isto é: OI’= – OI, OJ’= – OJ e OK’= – OK. Da operação i = OK:OJ, j = OI:OK e k = OJ:OI, são gerados três componentes i, j, k, os quais estruturam um sistema de três versores ortogonais dispostos em três planos simultaneamente retangulares (ver Figura 1). Dessa forma, escreveu as seguintes equações para os três versores: i = OJ’:OK=OK’:OJ’=OJ:OK’, j = OK’:OI=OI’:OK’=OK:OI’ e k = OI’:O-J=OJ’:OI’=OI:OJ’. De modo análogo, tem-se para os três versores opostos: –i = OJ:OK=OK’:OJ=OJ’:OK’=OK:OJ’, –j=OK:OI=OI’:OK=OK’:OI’=OI:OK’ e –k = OI:O-J=OJ’:OI=OI’:OJ’=OJ:OI’.

Figura 1 – Versores ortogonais.

Fonte: Hamilton (1866: 157).

A partir disso, Hamilton organizou as operações que envolvem os versores

i, j e k. Primeiramente, ele verificou i ² = (OJ’:OK).(OK:OJ)=OJ’:OJ, j ² = (OK’:OI).

(OI:OK) =OK’:OK e k ² = (OI’:OJ).(OJ:OI)=OI’:OI. Portanto, segue que i ² = –1; j ² = –1 e k ² = –1. Em um segundo momento, ele realizou as seguintes operações: ij = (OJ:OK’).(OK’:OI) = OJ:OI, jk = (OK:OI’).(OI’:OJ) = OK:OJ e ki = (OI:OJ’).(OJ’:OK)

= OI:OK. Logo, encontrou ij=k, jk=i e ki=j. E no terceiro momento, ele fez: ji = (OI:OK).(OK:OJ)=OI:OJ, kj = (OJ:OI).(OI:OK )=OJ:OK e ik = (OK:OJ).(OJ:OI)=OK:OI. E obteve ji = –k, kj = –i e ik = –j.

Com isso, observou-se que o produto de dois versores é igual ao terceiro versor ou ao terceiro versor oposto e há um comportamento cíclico no proces-so de sucessões multiplicativas que envolvem esses verproces-sores. Ainda pode-se ver que ji = – ij, kj = – jk e ik = – ki. Nesse último conjunto de multiplicações, a com-binação dos fatores não satisfaz à propriedade comutativa da multiplicação da Álgebra Clássica. Isso ocorre devido ao fato de os versores serem diplanares. Por outro lado, posteriormente, nota-se a preservação da associatividade multiplica-tiva usual da Álgebra. Ou seja, como ij=k, jk=i e ki=j, então, Hamilton escreveu:

i.(j.k) = i.i = i²= –1 e (i.j).k = k.k = k²= – 1. Portanto, tem-se que i.j.k = i ² = j ² = k ²

= –1. Destarte, essas noções elementares serviu de fundamentação para a consti-tuição da álgebra quaterniônica, onde um quaternion é representado sob a forma quadrinomial: q* = w + ix + jy + kz, em que i, j, k são três vetores ortogonais e w,

x, y, z constituem um sistema de quatro escalares.

5. O desenvolvimento e a constituição algébrica dos quaternions

Observa-se que Hamilton fez contribuições significativas para o desenvol-vimento da complexificação de estruturas algébricas. Assim sendo, pode-se evi-denciar que Hamilton demonstrava interesse pelo estudo algébrico e geometri-camente de pares ordenados de números reais. A concepção dos quaternions representa uma hipercomplexificação dos números complexos usuais da Álgebra Clássica. Esse processo se iniciou com a intenção de generalizar as propriedades dos números complexos bidimensionais em dimensões superiores. Para isso, pri-meiramente, Hamilton buscou expandir os números complexos z a bi= + _em três dimensões, através da definição dos tripletos na seguinte forma: t a bi cj= + +

com e i , j como sendo unidades imaginárias, tal que ² ² 1i = = −j . Todavia, a priori, em 1830, Hamilton havia recorrido à representação geomé-trica para definir a multiplicação entre os tripletos. Porém, quando foi transladá-la para uma linguagem algébrica, deparou-se com um obstáculo epistemológico: a não preservação da propriedade distributiva da multiplicação. Esse impedimento incitou Hamilton a percorrer um caminho inverso, ou seja, definir algebricamen-te a multiplicação dos tripletos, de modo que mantivesse todas as propriedades multiplicativas válidas para pares numéricos ordenados e convergisse para a repre-sentação geométrica proposta anteriormente. Mas, novamente, estacionou com o surgimento do termo ij na multiplicação dos tripletos (x, y, z), onde verificou que a multiplicação, como uma propriedade algebricamente fechada, só seria possível se ignorasse a propriedade comutativa da multiplicação e operasse com números quaterniônicos do tipo q* = w + ix + jy + kz com ² ²i = =j k² 1= − . (NEVES, 2008).

Em busca da superação desse obstáculo, Hamilton chegou à estrutura dos quaternions, de maneira que conseguiu reconhecer um tripleto com a

represen-tação quaterniônica sob a forma: ix+ jy+ kz, assumindo w = 0. Todavia, os quater-nions hamiltonianos só foram compartilhados publicamente em 1843, que foram apresentadas as suas noções e propriedades elementares, e 1844, quando foi tratada sobre a representação geométrica dos quaternions por meio da descrição de rotações no espaço. Assim, pode-se compreender que os quaternions é uma extensão direta e tácita dos tripletos, que podem ser denominados como nú-meros complexos tridimensionais ou hipercomplexos de três dimensões. Todas as ampliações desses conjuntos complexos são abordadas através de definições e conceitos oriundos da Álgebra Linear, com ênfase nos conceitos pertinentes à concepção de espaços vetoriais.

À vista disso, Hamilton observou que o fato de os tripletos não satisfazerem à propriedade de fechamento na operação de multiplicação oportunizava a cogi-tação de uma constituição de uma álgebra não-comutativa, ou seja, diferente da Álgebra Clássica. Assim, essa extensão hipercomplexa era realizada em uma nova álgebra, na qual, Hamilton depois de 15 anos de estudos e com a introdução da terceira componente imaginária, conseguiu conceber uma estrutura algébrica fechada com propriedades definidas e operações estabelecidas. A inserção des-se terceiro elemento imaginário gerou um número com quatro componentes: o quaternion. (MENON, 2009: 2305-4).

Os números complexos bidimensionais na forma algébrica z a bi= + con-tém três porções: parte real Re(z) a= _{, parte imaginária} Im(z) b= _{e unidade}

ima-ginária i. Os tripletos t a bi cj= + + _{são compostos em partes também: parte real} Re( ) =t a, parte imaginária Im( ) = +t b c _{e duas unidades imaginárias i e j. E, os}

quaternions q*=w + ix + jy + kz são estruturados em: parte real Re( *) =q w, par-te imaginária Im( *) = + +q x y z _{e três unidades imaginárias i, j e k. Os}

conjuga-dos são z a bi t a bi cj= − , = − − e q*=w − ix − jy − kz, respectivamente, para os números complexos bidimensionais, os tripletos e os quaternions. Categorica-mente, tem-se: número complexo real (possui parte imaginária nula) ou comple-xo puro (contém somente a parte imaginária), tripleto escalar (tem parte vetorial nula) ou tripleto puro (contém apenas a parte vetorial) e quaternion puramente escalar (possui parte vetorial nula) ou quaternion puramente vetorial (tem so-mente a parte vetorial).

Halici (2012, 2013) e Oliveira & Alves (2018) assumem a seguinte forma qua-terniônica q q= 0.1+q e1 1. +q e2 2. +q e3 3. e a descreve como uma composição

de: uma parte escalar (real) constituída por ( , , , )q q q q0 1 2 3 _{e uma vetorial que}

con-tém a base (1, , , )e e e1 2 3 sendo e e e1, , ∈ �2 3 com ( )² ( )² ( )²e1 = e2 = e3 =e e e1 2 3. . = −1.

Enquanto, Horadam (1963, 1993) e Sangwine, Ell & Biham (2011) representam os quaternions com a equação q q= 0.1+q i q j q k1. + 2. + 3. _onde ,i j e k

tam-bém representam elementos imaginários. A parte escalar é S q( )=q0.1=q0 e a

parte vetorial é dada por V q( )=q i q j q k1. + 2. + 3. . Além do mais, Ninahuanca

(2015) explica que um Quaternion é gerado a partir da soma direta de dois su-bespaços (o conjunto dos reais mais o conjunto vetorial em três dimensões). Essa soma é denotada por: H= Por fim, vale sintetizar que a base canônica

(1, , , )i j k , onde 1 (1,0,0,0),= i=(0,1,0,0), j=(0,0,1,0)_e k =_(0,0,0,1), gera um quaternion.

6. As contribuições de aplicabilidade quaterniônica na Física

Como já foi descrito anteriormente, o século XIX foi palco de vários ensaios científicos numa perspectiva revolucionária das ideias já estabelecidas na Ciên-cia, como por exemplo, a constituição do corpo teórico da Geometria não-eucli-diana e da Álgebra não-comutativa. Contudo, neste trabalho, concentrou-se na área algébrica com ênfase no desenvolvimento quaterniônico, o qual permeou o contexto da Física. Nesse sentido, no final do século XIX, os físicos realizaram discussões e estudos sobre a matematização dos conceitos físicos. Dessa for-ma, buscavam estabelecer um sistema matemático que melhor se adequasse ao tratamento das grandezas vetoriais. Alguns matemáticos e físicos, como Peter Tait (1831-1901), James Clerk Maxwell (1831-1879), Willard Gibbs (1839-1903) e Oliver Heaviside (1850-1925), tomaram a iniciativa de pesquisar sobre os quater-nions e a sua aplicabilidade na Física.

Nesse viés, Peter Tait focalizou suas pesquisas na publicização e no desen-volvimento analítico dos quaternions. Para isso, no período entre 1865 e 1901, ele escreveu oito livros, nos quais eram apresentadas demonstrações de novos teoremas e descrições de sua aplicabilidade na física. As temáticas de seus traba-lhos versavam, principalmente, sobre o estudo da rotação de corpos rígidos, das tensões homogêneas e dos efeitos de correntes elétricas. Nas suas abordagens quaterniônicas, Tait assumia um significado de quaternion diferente da sua con-ceituação original, pois usava o quaternion organizando-o em partes, ou seja, trabalhava a sua parte escalar desvinculada da sua parte vetorial. (SILVA, 2004).

Maxwell sofreu influência de Tait no período de 1870-1873, pois eles eram muito amigos. Tait instigou o amigo a estudar sobre os quaternions. Esse es-tudou iniciou em 1867, com a publicação da obra Elementary Treatise on

Qua-ternions escrita por Tait. Em consequência, em 1870, Maxwell compartilhou seu

manuscrito sobre as aplicações quaterniônicas no eletromagnetismo. Para ele, os quaternions oportunizavam o estudo de quantidades associadas ao espaço, para isso, também considerou suas partes escalar e vetorial separadamente entre si. Vale destacar que Maxwell usava o quaternion (na sua forma algébrica) para expressar equações da eletrodinâmica. Ademais, Gibbs e Heaviside conheceram os trabalhos de Maxwell sobre os quaternions, através de suas pesquisas sobre a Eletricidade e o Eletromagnetismo. Usaram os quaternions sob uma nova ver-são resultada de modificações e simplificações nos cálculos de quaternions. Essa nova abordagem impulsionou o surgimento da análise vetorial. (SILVA, 2004).

Entre 1881 e 1884, Gibbs publicou sua obra sobre análise vetorial, na qual os vetores eram denotados por letras gregas minúsculas, os escalares eram indi-cados por letras romanas minúsculas e o sistema de vetores (unitários normais)

paralelos aos três eixos eram representados pelas componentes i, j e k. E, dife-rentemente, do quaternion original, ele definiu dois tipos de produtos vetoriais conhecidos como produto direto e produto torcido. Heaviside também usou os quaternions para elaborar seu sistema vetorial, de maneira que desconsiderou os quaternions em sua forma completa mantendo somente os escalares puros e os vetores. É notório que, em sua relação com os quaternions, inicialmente, Heaviside demonstrou simpatia, porém, posteriormente, expressou aversão aos números quaterniônicos chamando-o de “demônio de magnitude inconsiderá-vel”. (SILVA, 2004).

Numa visão panorâmica, no século XIX, os quaternions possuíam alguns as-pectos conceituais e estruturais que desagradavam aos físicos desse período. Os físicos não concordavam com as ideias de que um quaternion era constituído de duas partes (escalar e vetorial) e o quadrado de um vetor poderia ser negativo. Assim sendo, os físicos recorriam aos quaternions, no que diz respeito aos seus vetores e escalares, e adotavam a proposta de desenvolver um cálculo quaterniô-nico, mas não pretendiam seguir a suas operações e seus métodos. Isso pode ser observado no registro das aplicações quaterniônicas na Física, onde matemáticos e físicos trabalhavam os quaternions com as partes escalar e vetorial separadas entre si e com a definição de novas operações, como é o caso da criação de dois produtos vetoriais para os quaternions.

7. Considerações finais

Acredita-se que este artigo possa oportunizar ao leitor uma compreensão da concepção epistemológica dos quaternions e das fases que a compõem. Nesse sentido, pode-se observar que Hamilton tinha o propósito de ultrapassar os limites da Álgebra que já estava estabelecida como verdadeira e válida naquele período. Isso pode ser observado na sua preocupação em estender a álgebra dos números complexos bidimensionais a dimensões superiores. E apesar de ter encontrado um obstáculo epistemológico representado pelos tripletos, Hamilton não hesitou e seguiu defendendo a constituição de uma nova álgebra: não-comutativa.

Ademais, buscou-se mostrar ao leitor que as contingências contextuais e a temporalidade que englobam o cenário de desenvolvimento da Matemática in-fluenciam na formação do perfil heurístico de um investigador e no sentido que o corpo científico assume. Nesse viés, pode-se destacar que o desenvolvimento dos quaternions denotou uma fase transitiva na Álgebra da sua versão clássica em direção ao surgimento das álgebras não-comutativas. Essa expansão algébri-ca não traduz uma refutação da validade dos princípios algébricos, mas permite trazer à tona o fato de que a Matemática é um corpo teórico inacabado. E, assim, gera a possibilidade de enxergar os diversos terrenos epistêmicos da Matemática a serem explorados.

A ampliação do repertório de definições e relações no campo da Matemá-tica Pura e Aplicada proporciona, consequentemente, uma dilatação do acervo

da História da Matemática que, nesta pesquisa, foi trabalhada sob o enfoque da historiografia atualizada. Por fim, pretende-se que este trabalho forneça funda-mentação epistemológica para o desenvolvimento de uma historiografia em que narra e destaca o contexto de aplicabilidade matemática quaterniônica que, nes-te caso, refere-se à algebrização de conceitos físicos.

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