Cap15 Sec6 2x4

(1)

Capítulo 15

Integrais Múltiplas

15.6 Integrais Triplas

Nesta seção, aprenderemos sobre: Integrais triplas e suas aplicações. INTEGRAIS MÚLTIPLAS

Assim como definimos integrais

unidimensionais para funções de uma única variável e duplas para funções de duas variáveis, vamos definir integrais triplas para funções de três variáveis.

Inicialmente, trataremos o caso mais simples, quando f é definida em uma caixa retangular:

^

, ,

,

`

B

x y z a

d d

x

b c

d d

y

d r

d d

z

s

INTEGRAIS TRIPLAS Equação 1

subcaixas.

Fazemos isso dividindo:

 o intervalo [a, b] em l subintervalos [xi-1, xi] de

comprimentos iguais x.

 [c, d] em m subintervalos de comprimentos y.  [r, s] em n subintervalos de comprimento z. INTEGRAIS TRIPLAS

>

1

,

@

1

,

>

1

,

@

ijk i i j j k k

B

x

u

ª

_¬

y

º

_¼

u

z

INTEGRAIS TRIPLAS

Cada subcaixa tem volume V = x y z.

Assim formamos a soma tripla de Riemann

onde o ponto amostral está em

Bijk.

* * *

1 1 1

,

l m n

ijk ijk ijk i j k

f x

y

z

'

V

¦¦¦

* _, * _, *

ijk ijk ijk x y z

INTEGRAIS TRIPLAS Equação 2

Por analogia com a definição da integral dupla (15.1.5), definimos a integral tripla como o limite das somas triplas de Riemann em (2).

(2)

A integral tripla de f na caixa B é

se o limite existir.

 Novamente, a integral tripla sempre existe se f for contínua.

* * *

, , ₁ ₁ ₁

, ,

lim

,

B l m n

ijk ijk ijk l m n i j k

f x y z dV

f x

y

z

V

of

'

³³³

¦¦¦

INTEGRAIS TRIPLAS Definição 3

Escolhemos o ponto amostral como qualquer ponto de cada subcaixa, mas, se

escolhermos o ponto (xi, yj, zk), obteremos

uma expressão com aparência menos complicada para a integral tripla:

_{, ,}

1 1 1 , , _{l m n}lim l m n i, ,j k i j k B f x y z dV f x y z V of

¦¦¦

'

³³³

Assim como para as integrais duplas, o método prático para calcular uma integral tripla consiste em expressá-la como uma integral iterada, como segue.

TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS) T. 4 Se f é contínua em uma caixa retangular

B = [a, b] x [c, d] x [r, s], então

, ,

B s d b r c a

f x y z dV

f x y z dx dy dz

³³³

³ ³ ³

A integral iterada do lado direito do Teorema de Fubini indica que integramos na seguinte ordem:

1. em relação a x (mantendo y e z fixados); 2. em relação a y (mantendo z fixado); 3. em relação a z.

TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS)

Existem cinco outras ordens possíveis de integração, todas fornecendo o mesmo resultado.

Por exemplo, se primeiro integrarmos em relação a y, então em relação a z e depois a x, teremos:

, , , , B b s d a r c f x y z dV f x y z dy dz dx

³³³

³ ³ ³

TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS)

Calcule a integral tripla

onde B é a caixa retangular dada por 2 B

xyz dV

³³³

^

, ,

0 1, 1

2, 0

3 `

B

x y z

d d d d

x

y

d d

z

TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS) EX. 1

Podemos usar qualquer uma das seis possíveis ordens de integração.

Se escolhermos integrar primeiro em relação a x, depois em relação a y e então em relação a z, obteremos o seguinte resultado. TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS) EX. 1

(3)

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 3 2 1 2 2 0 1 0 1 2 2 3 2 0 1 0 2 3 2 0 1 1 3 2 2 2 3 3 3 0 0 1 0 2 2 3 27 4 4 4 4 B x x y y xyz dV xyz dx dy dz x yz dy dz yz dy dz y z z z dz dz ª º « » ¬ ¼ ª º º « » » ¬ ¼ ¼

³³³

³ ³ ³

³ ³

³

TEOREMA DE FUBINI (INTEGRAIS TRIPLAS) EX. 1

Agora definiremos a integral tripla sobre

uma região limitada geral E no espaço

tridimensional (um sólido) pelo mesmo método usado para as integrais duplas (15.3.2).

INTEGRAL SOBRE UMA REGIÃO LIMITADA

Envolveremos E por uma caixa B do tipo dado pela Equação 1.

Em seguida, definiremos uma função F de modo que ela coincida com f em E e seja 0 nos pontos de B fora de E.

 Essa integral existe se f for contínua e se a fronteira de E for “razoavelmente lisa”.

A integral tripla tem essencialmente as mesmas propriedades da integral dupla (Propriedades 6-9 da Seção 15.3).

, ,

E B

f x y z dV

F x y z dV

³³³

Vamos nos restringir às funções contínuas f e a certos tipos de regiões.

 Uma região sólida E é dita do tipo 1 se está contida entre os gráficos de duas funções contínuas de x e y.

onde D é a projeção de E sobre o plano xy. REGIÃO TIPO 1 Equação 5

^

, ,

,

1

,

2

,

`

E

x y z

x y

D u x y

d d

z

u

x y

Observe que:

 a fronteira superior do sólido E é a superfície de equação z = u2(x, y).

a fronteira inferior é a superfície z = u1(x, y). REGIÃO TIPO 1

Pelos mesmos argumentos que nos levaram à Fórmula 15.3.3, podemos mostrar que, se

E é uma região do tipo 1 dada pela Equação

5, então

2

1 , ,

, ,

_{u x y}u x y

, ,

E D

f x y z dV

«

ª

f x y z dz dA

º

»

¬

¼

³³³

³³ ³

(4)

O significado da integral de dentro do lado direito da Equação 6 é que x e y são mantidos fixos e, assim,

 u1(x, y) e u2(x, y) são vistas como constantes.  f(x, y, z) é integrada em relação a z.

REGIÃO TIPO 1

^

, , , ( )1 2( ), ( , )1 2( , )

`

E x y z ad dx b g x d dy g x u x y d dz u x y REGIÃO TIPO 1

2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , )

, ,

E b g x u x y a g x u x y

f x y z dV

f x y z dz dy dx

³³³

³ ³ ³

REGIÃO TIPO 1 Equação 7

^

, , , ( )1 2( ), ( , )1 2( , )

`

E

x y z cd dy d h y d dx h y u x y d dz u x y

REGIÃO TIPO 1

2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , )

, ,

E d h y u x y c h y u x y

f x y z dV

f x y z dz dx dy

³³³

³ ³ ³

onde E é o tetraedro sólido delimitado pelos quatro planos

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1

E

z dV

³³³

REGIÃO TIPO 1 EXEMPLO 2

Para escrevermos a integral tripla, é recomendável desenhar dois diagramas:

 um da região sólida E;

 outro de sua projeção D no plano xy.

A fronteira inferior do tetraedro é o plano

z = 0 e a superior é o plano x + y + z = 1 (ou z = 1 – x – y). Então, usamos u1(x, y) = 0 e u2(x, y) = 1 – x – y na Fórmula 7.

(5)

Observe que os planos x + y + z = 1 e z = 0 se interceptam na reta x + y = 1 (ou y = 1 – x) no plano xy.

 Logo, a projeção de E é a região triangular da figura, e o temos como segue.

 Essa descrição de E como região do tipo 1 nos permite calcular a integral como segue.

^

, , 0 1,0 1 ,0 1

`

E

x y z d dx d d y x d d z x y

REGIÃO TIPO 1 EXEMPLO 2 – Eq. 9

1 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 2 0 0 1 3 1 1 2 0 0 1 3 1 6 0 1 4 0 2 1 1 3 1 1 1 1 6 4 24 z x y x x y x E z x y x y z z dV z dz dy dx dy dx x y dy dx x y dx x dx x ª º « » ¬ ¼ ª º « » « » ¬ ¼ ª º « » « » ¬ ¼

³³³

³ ³ ³

³ ³

³

Uma região sólida E é do tipo 2 se for da forma

onde D é a projeção de E sobre o plano yz.

^

, ,

,

, ( , )

1 2

( , )

`

E

x y z

y z

D u y z

d d

x

u y z

REGIÃO TIPO 2

REGIÃO TIPO 2 Equação 10 A superfície de trás é x = u1(y, z). A superfície da frente é x = u2(y, z). Assim, temos:

2 1 ( , ) ( , ) , , , , E u y z u y z D f x y z dV f x y z dx dA ª º «_¬ »_¼

³³³

³³ ³

Finalmente, uma região do tipo 3 é da forma

onde:  D é a projeção de E sobre o plano xz;  y = u1(x, z) é a superfície da esquerda;  y = u2(x, z) é a superfície da direita.

^

, ,

,

, ( , )

1 2

,

`

E

x y z

x z

D u x z

d d

y

u

x z

REGIÃO TIPO 3

Para esse tipo de região, temos:

1 2( , ) ( , ) , , _{u x z}u x z , , E D f x y z dV «ª f x y z dy dAº_» ¬ ¼

³³³

³³ ³

Em cada uma das Equações 10 e 11 podem existir duas possíveis expressões para a integral, dependendo de:

 D ser uma região plana do tipo I ou II (e correspondendo às Equações 7 e 8). REGIÕES TIPO 2 & 3

(6)

onde E é a região limitada pelo paraboloide

y = x2 + z2 e pelo plano y = 4. 2 2 E x z dV

³³³

REGIÕES LIMITADAS EXEMPLO 3

Se o olharmos como

uma região do tipo 1, então precisaremos considerar sua projeção D1sobre o plano xy.

REGIÕES TIPO 1 EXEMPLO 3

parabólica aqui ilustrada.

 O corte de y = x2_{+ z}2 no plano z = 0 is é a parábola y = x2

De y = x

2

_{+ z}

2

_,

_obtemos

_:

 Então, a superfície fronteira de baixo de E é

A superfície de cima é: 2

z

r

y

x

2 z yx 2 z yx

Portanto, a descrição de E como região do tipo 1 é

^

_{, ,} ₂ _2, 2 _4, 2 2

`

E

x y z d dx x d d y yx d dz yx

Apesar de essa expressão estar correta, é extremamente difícil calculá-la.

2 2 2 2 2 2 4 ₂ ₂ 2 E y x x y x

x

y dV

x

z dz dy dx

³³³

³ ³ ³

Vamos, em vez disso, considerar E como região do tipo 3.

 Como tal, sua projeção D3 sobre o plano xz é o disco x2_{+ z}2_4.

Então, a superfície lateral esquerda de E é o paraboloide y = x2_{+ z}2_.

A superfície lateral direita é o plano y = 4. REGIÕES TIPO 3 EXEMPLO 3

(7)

2 2 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x z E D D x y dV x z dy dA x z x z dA ª º _«_¬ _»_¼

³³³

³³ ³

³³

Apesar de essa integral poder ser escrita como

fica mais simples convertê-la para coordenadas polares no plano xz:

x = r cos , z = r sen

2 2 2 4 ₂ ₂ ₂ ₂ 2 4

4

x x

x

z

x

z dz dx

³ ³

3 2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 0 0 2 2 ₂ ₄ 0 0 2 3 5 0 4 4 4 4 128 2 3 5 15 E D x z dV x z x z dA r r r dr d d r r dr r r S S

T

S

ª º « » ¬ ¼

³³³

³³

³ ³

³

:

 Se f(x) 0, então a integral representa a área abaixo da curva y = f(x) de a até b.  Se f(x, y) 0, então a integral dupla

representa o volume sob a superfície z = f(x, y) acima de D. ( ) b a f x dx

³

( , ) D f x y dA

³³

APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS

A interpretação correspondente para a integral tripla , onde

f(x, y, z) 0, não é muito útil.

Isso porque seria um “hipervolume” de um objeto de quatro dimensões e, é claro, de muito difícil visualização.

 Lembre-se de que E é somente o domínio da função f; o gráfico de f pertence ao espaço 4-D.

( , , )

E

f x y z dV

³³³

Apesar disso, a integral tripla

pode ser interpretada de forma diversa em diferentes situações físicas, dependendo das interpretações físicas de x, y, z e f(x, y, z).

Vamos começar com o caso especial onde

f(x, y, z) = 1 para todos os pontos em E.

( , , )

E

f x y z dV

³³³

Nesse caso, a integral tripla representa o volume de E:

E

V E

³³³

dV

APLICAÇÕES DE INTEGRAIS TRIPLAS Eq. 12

Por exemplo, você pode ver isso no caso de uma região do tipo 1 colocando f(x, y, z) = 1 na Fórmula 6:

>

@

2 1 ( , ) ( , ) 2 1

1 ( , )

( , )

u x y u x y E D D

dV

dz dA

u x y

u x y dA

ª

º

«

_¬

»

_¼

³³³

³³ ³

³³

(8)

Da Seção 15.3, sabemos que isso representa o volume que está entre as superfícies

z = u1(x, y) e z = u2(x, y)

Utilize uma integral tripla para determinar o volume do tetraedro T limitado pelos planos

x + 2y + z = 2 x = 2y

x = 0 z = 0

APLICAÇÕES EXEMPLO 4

O tetraedro T e sua projeção D sobre o plano

xy estão ilustrados.

A fronteira inferior de T é o plano z = 0. A superior é o plano

x + 2y + z = 2, ou seja, z = 2 – x – 2y.

pelo mesmo cálculo usado no Exemplo 4 da Seção 15.3.

1 1 / 2 2 2 0 / 2 0 1 1 / 2 0 / 2 1 3

2

x x y x T x x

V T

dV

dz dy dx

x

y dy dx

³³³

³ ³ ³

³ ³

Observe que não é necessário usar as integrais triplas para calcular volumes. As integrais triplas simplesmente fornecem um método alternativo para descrever os cálculos.

Todas as aplicações de integrais duplas da Seção 15.5 podem ser imediatamente estendidas para as integrais triplas. APLICAÇÕES

Por exemplo, se a função densidade de um objeto sólido que ocupa a região E é

r (x, y, z), em unidades de massa por

unidade de volume, em qualquer ponto (x, y, z), então sua massa é

, ,

m

³³³

U

x y z dV

(9)

Seus momentos em relação aos três planos coordenados são:

, , , , , , yz E xz E xy E M x x y z dV M y x y z dV M z x y z dV

U

³³³

MOMENTOS Equação 14

O centro de massa está localizado no ponto , onde:

Se a densidade é constante, o centro de massa do sólido é chamado centroide de E.

x y z, ,

yz xz xy

M

_M

M

x

y

z

m

CENTRO DE MASSA Equação 15

Os momentos de inércia em relação aos três eixos coordenados são:

2 2 2 2 2 2

, ,

x E y E z E

I

y

z

x y z dV

I

x

z

x y z dV

I

x

y

x y z dV

U

³³³

MOMENTO DE INÉRCIA Equação 16

Como na Seção 15.5, a carga elétrica total sobre um objeto sólido ocupando a região

E e tendo uma densidade de carga (x, y, z)

é:

, ,

E

Q

³³³

V

x y z dV

CARGA ELÉTRICA TOTAL

Se tivermos três variáveis aleatórias X, Y e Z, sua função densidade conjunta é uma função das três variáveis tal que a probabilidade de (X,Y, Z) estar em E é:

, ,

E

P

X Y Z

E

³³³

f x y z dV

FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA

A função densidade conjunta satisfaz:

f(x, y, z) 0

,

, ,

b d s a c r

P a

X

b c

Y

d r

Z

s

f x y z dz dy dx

d d

³ ³ ³

, ,

1 f x y z dz dy dx f f f f f f

³ ³ ³

FUNÇÃO DENSIDADE CONJUNTA

Determine o centro de massa de um sólido com densidade constante que é limitado pelo cilindro parabólico x = y2_{e pelos planos}

x = z, z = 0 e x = 1.

O sólido E e sua projeção sobre o plano xy estão aqui.

(10)

E como uma região

do tipo 1::

^

_{, ,} ₁ _1, 2 _1,0

`

E x y z d dy y d dx d dz x

Então, se a densidade é (x, y, z), a massa é:

Por causa da simetria de E e em relação ao plano xz, podemos dizer imediatamente que