Predição do Tempo de Vida de Baterias Utilizadas em
Dispositivos Móveis: Proposição de Extensões aos
Modelos Tradicionais
Douglas Joziel Bitencourt Freitas
Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – Unijuí, como parte dos requisi-tos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.
Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador
Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Coorientadora
Ijuí, RS, Brasil c
Predição do Tempo de Vida de Baterias Utilizadas em
Dispositivos Móveis: Proposição de Extensões aos
Modelos Tradicionais
Douglas Joziel Bitencourt Freitas
Dissertação de Mestrado apresentada em Setembro, 2015
Paulo Sérgio Sausen, Dsc. Orientador
Airam Teresa Zago Romcy Sausen, Dsc. Coorientadora
Cristiano Roberto Cervi, Dsc. Componente da Banca
Manuel Martín Pérez Reimbold, Dsc. Componente da Banca
Ijuí, RS, Brasil, Setembro, 2015
imenso oceano da verdade continua misterioso diante de meus olhos.” (Sir Isaac Newton, 1642-1726)
Ao Grande Arquiteto do Universo, pelo dom da vida, pelo livre-arbítrio, pela capaci-dade de duvidar. “Pois dEle, por Ele e para Ele são todas as coisas” (Rm 11.36).
Aos meus pais, Emanuel e Beatriz, pela liberdade de aprender com as lições da vida, pelas longas conversas e por jamais desistir de mim, acreditando e incentivando a busca dos meus objetivos.
À minha namorada Rúlika, por ser o abraço amoroso, porto seguro para as intempéries da vida. Sou grato pelo incansável incentivo, paciência e cumplicidade.
Aos professores Paulo e Airam, pela orientação, ensinamento, confiança e dedica-ção nesta caminhada, sendo bons exemplos no exercício da profissão, tanto na docência, quanto na pesquisa.
Aos demais professores que contribuíram na construção do meu conhecimento acadê-mico, dando-me ensinamentos que levarei por toda a minha existência.
À Unijuí e ao GAIC, pela estrutura e laboratórios.
À CAPES pelo aporte financeiro que recebi, tornando possível a realização deste sonho, tão significativo para mim.
Os dispositivos móveis agregam mobilidade, comodidade e facilidade de uso, contudo, têm o tempo de funcionamento limitado pela duração da fonte de energia, ou seja, pelo tempo de vida da bateria. As baterias recarregáveis, utilizadas em dispositivos móveis, têm capacidade finita para armazenamento de energia, necessitando a cada período de uso uma recarga. Diante disso, investigar o comportamento dinâmico do processo de des-carga de uma bateria, visando predizer o seu tempo de vida e, por consequência o tempo de funcionamento do dispositivo móvel, tem fundamental importância. Um dos métodos para realizar a predição é a utilização de modelos matemáticos. Estes descrevem o com-portamento dinâmico da descarga de uma bateria a partir de suas características físicas reais ou de um conjunto reduzido de dados obtidos em ensaios. Neste contexto, o presente trabalho realiza a modelagem matemática para predição do tempo de vida de baterias de Lítio-Íon Polímero (Li-Po) a partir da aplicação de modelos analíticos tradicionais. São analisados e validados os principais modelos desta classe a partir de ensaios reais. Além disso, uma extensão à Lei de Peukert é desenvolvida, com ganho significativo de acurácia, bem como propostas novas metodologias de resolução aos modelos cinético de Manwell e McGowan, e ao modelo de difusão de Rakhmatov e Vrudhula, melhorando sensivelmente seus desempenhos, no que se refere a predição do tempo de vida de baterias do tipo Li-Po. Palavras-chave: extensão à Lei de Peukert, bateria, tempo de vida, modelos analí-ticos tradicionais.
Mobile devices add mobility, convenience and ease of use, however, have the limited operating time for the duration of the power source, namely, for the lifetime of the battery. Rechargeable batteries, used in mobile devices have finite capacity for energy storage, requiring every usage a recharge. Given this, investigate the dynamic behaviour of the process of discharge of a battery, in order to predict your time of life and the operating time of the mobile device, has fundamental importance. One of the methods to perform the prediction is the use of mathematical models. These describe the dynamic behavior of the discharge of a battery from your real physical characteristics or a reduced set of data obtained in tests. In this context, the present study performs mathematical modeling to predict the lifetime of batteries of Lithium-Ion Polymer (Li-Po) from the application of traditional analytical models. Are reviewed and validated the main models of this class from real tests. In addition, an extension to the Peukert Law is developed, with significant gain in accuracy, as well as proposed new methodologies for a resolution to the kinetic models of Manwell and McGowan, and the diffusion model of Rakhmatov and Vrudhula, significantly improving their performance with respect to lifetime prediction of type Li-Po batteries.
Keywords: extension to the Peukert Law, battery, lifetime, traditional analytic mo-dels.
A – Ampère
Ah – Ampère-hora
AR – Modelo AutoRregressivo
ARX – Modelo AutoRregressivo com entradas eXternas
ARMAX – Modelo AutoRregressivo com MédiA móvel e entradas eXternas
BJ – Box Jenkins
DCEEng – Departamento de Ciências Exatas e Engenharias
EDO – Equação Diferencial Ordinária
EDPs – Equações Diferenciais Parciais
ES – Erro de Saída
GAIC – Grupo de Automação Industrial e Controle
h – hora
KiBaM – Modelo Cinético de Bateria (Kinetic Battery Model)
Li-Ion – Lítio Íon
Li-Po – Lítio Íon Polímero
MQ – Mínimos Quadrados
NR – Newton-Raphson
NiCd – Níquel Cádmio
NiMH – Níquel Metal Hidreto
PI – Proporcional Integral
RV – Rakhmatov e Vrudhula
Unijuí – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
V – Volt
α – parâmetro que representa a capacidade da bateria no Modelo RV
β – parâmetro que representa a não linearidade da bateria no Modelo RV
ω – comprimento do eletrólito da bateria do Modelo RV
A – área da superfície do eletrodo
a – parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da Lei de Peukert, relacionado ao tipo de bateria
b – parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da Lei de Peukert, relacionado ao tipo de bateria
C – capacidade da bateria
C∗ – capacidade inicial da bateria para o Modelo RV
C(x, t) – função concentração de espécies eletroativas do Modelo RV
C1 – parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da extensão à Lei de Peukert, relacionado ao tipo de bateria
C2 – parâmetro que deverá ser estimado, para o cálculo da extensão à Lei de Peukert,
relacionado ao tipo de bateria
c – fração da capacidade total disponível da bateria do Modelo KiBaM
D – constante de difusão
h1 – altura da fonte de carga disponível do Modelo Analítico Cinético
h2 – altura da fonte de carga limitada do Modelo Analítico Cinético
I – corrente constante de descarga
Iest – corrente de estimação
Ival – corrente de validação
Ik – corrente, onde k = 0, ..., n e k ∈ N
i(t) – corrente de descarga
J (x, t) – fluxo de espécies eletroativas
k – razão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Modelo KiBaM
k0 – constante relacionada com a taxa de vazão de fluxo de carga entre as fontes de carga do Modelo KiBaM
L – tempo de vida da bateria
Lest – tempo de vida de estimação
Lval – tempo de vida de validação
Lsim – tempo de vida simulado
tk – tempo, onde k = 0, ..., n e k ∈ N
v – número de elétrons envolvidos na reação eletroquímica
y0 – quantidade total de carga do Modelo KiBaM
y1(0) – quantidade de carga disponível em t = 0 do Modelo KiBaM
y2 – quantidade de carga da fonte limitada do Modelo KiBaM
y2(0) – quantidade de carga limitada em t = 0 do Modelo KiBaM
4.1 Dados utilizados para estimação dos parâmetros dos modelos. . . 43
4.2 Dados utilizados para validação dos modelos. . . 44
4.3 Ciclo do perfil de descarga variável. . . 46
4.4 Resultados experimentais para descargas variáveis. . . 46
5.1 Resultado das simulações dos modelos: Peukert. . . 53
5.2 Resultado das simulações dos modelos: KiBaM. . . 55
5.3 Resultado das simulações dos modelos: RV. . . 57
5.4 Resultado comparativo das simulações dos modelos. . . 59
2.1 Esquema de uma célula eletroquímica básica [29]. . . 12
2.2 Ilustração do efeito de recuperação [47]. . . 14
2.3 Esquema básico funcional dos tipos de modelos elétricos [24]. . . 19
2.4 Representação de um sistema [46]. . . 22
2.5 Esquema do modelo híbrido proposto por Kim [27]. . . 23
3.1 Ilustração do modelo KiBaM [31]. . . 26
3.2 Concentração inicial de espécies no eletrodo [47]. . . 28
4.1 Plataforma de testes [17]. . . 41
4.2 Corrente (A) vs. Tempo de vida (h). . . 44
4.3 Corrente (A) vs. Capacidade (Ah). . . 45
4.4 Tempo de vida (A) vs. Capacidade (Ah). . . 45
5.1 Simulação da Lei de Peukert. . . 54
5.2 Simulação da extensão à Lei de Peukert. . . 54
5.3 Simulação do modelo KiBaM. . . 56
5.4 Simulação do modelo KiBaM via Variação de Parâmetros. . . 56
5.5 Simulação do modelo RV. . . 57
5.6 Simulação do modelo RV via método de Fourier. . . 58
5.7 Gráfico dos modelos comparados. . . 59
1 Apresentação da Dissertação 5 1.1 Introdução . . . 5 1.2 Motivação . . . 7 1.3 Objetivos da Dissertação . . . 8 1.3.1 Objetivo Geral . . . 8 1.3.2 Objetivos Específicos . . . 8 1.4 Contribuições . . . 9 1.5 Estrutura do Documento . . . 9 2 Revisão Bibliográfica 11 2.1 Introdução . . . 11 2.2 Baterias . . . 11
2.3 Características das Baterias . . . 13
2.3.1 Nível de Cutoff . . . 13
2.3.2 Capacidade da Bateria . . . 13
2.4 Efeitos Não Lineares . . . 13
2.4.1 Efeito de Recuperação . . . 14
2.4.2 Efeito da Taxa de Capacidade . . . 15
2.5 Tipos de Baterias . . . 15
2.5.1 Baterias de Níquel-Cádmio . . . 15
2.5.2 Baterias de Chumbo-Ácido . . . 16
2.5.3 Baterias de Níquel Metal-Hidreto . . . 16
2.5.4 Baterias de Lítio-Íon . . . 16
2.5.5 Baterias Alcalinas Recarregáveis . . . 17
2.5.6 Baterias de Lítio-Íon Polímero . . . 17
2.6 Modelos de Baterias . . . 17
2.6.1 Modelos Eletroquímicos . . . 18
2.6.2 Modelos Elétricos . . . 18
2.6.3 Modelos Estocásticos . . . 19
2.6.4 Modelos Analíticos . . . 20
2.6.5 Modelos via Identificação de Sistemas . . . 21
2.6.6 Modelos Híbridos . . . 22 2.7 Resumo do Capítulo . . . 22 3 Modelagem Matemática 24 3.1 Introdução . . . 24 3.2 Modelos Matemáticos . . . 24 3.2.1 Lei de Peukert . . . 25 3.2.2 Modelo KiBaM . . . 25 3.2.3 Modelo RV . . . 27
3.3 Extensões aos Modelos Analíticos Tradicionais . . . 29
3.3.1 Extensão à Lei de Peukert . . . 30
3.3.2 Modelo KiBaM via Método de Variação de Parâmetros . . . 31
3.3.3 Modelo RV via Método de Fourier . . . 35
3.4 Resumo do Capítulo . . . 38
4 Estimação dos Parâmetros dos Modelos 40 4.1 Introdução . . . 40
4.2 Descrição da Plataforma de Testes . . . 40
4.3 Obtenção dos Dados na Plataforma de Testes . . . 42
4.3.1 Metodologia para a Coleta de Dados . . . 42
4.3.2 Apresentação dos Dados . . . 43
4.4 Metodologia para a Estimação dos Parâmetros . . . 46
4.4.1 Método dos Mínimos Quadrados . . . 47
4.4.2 Estimação dos Parâmetros dos Modelos Matemáticos . . . 49
4.5 Resumo do Capítulo . . . 49
5 Resultados das Simulações e Análises 51 5.1 Introdução . . . 51
5.2 Metodologia Adotada para a Validação dos Modelos . . . 52
5.3 Validação dos Modelos Baseados na Lei de Peukert . . . 52
5.3.1 Descargas em Correntes Contínuas . . . 52
5.3.2 Descargas em Correntes Variáveis . . . 53
5.4 Validação dos Modelos Baseados no Modelo KiBaM . . . 54
5.5 Validação dos Modelos Baseados no Modelo RV . . . 55
5.6 Análise Comparativa Entre os Modelos . . . 57
6 Conclusões e Trabalhos Futuros 61
Referências Bibliográficas 65
A M-file: Lei de Peukert 70
B M-file: Extensão à Lei de Peukert 73
C M-file: Modelo KiBaM Original 76
D M-file: Modelo KiBaM via Variação de Parâmetros 79
E M-file: Modelo RV Original 82
F M-file: Modelo RV via Método de Fourier 85
G Publicações Relacionadas a Dissertação 88
G.1 Artigos Aceitos em Eventos . . . 88 G.2 Artigos em Processo de Submissão . . . 88
Apresentação da Dissertação
1.1
Introdução
A evolução tecnológica das últimas décadas provocou mudanças tanto nos ambientes e atividades do cotidiano quanto na forma que as pessoas se relacionam com o mundo. Essa reconfiguração da realidade consolidou o uso das tecnologias da informação e comunicação como instrumentos indispensáveis às comunicações pessoais, de trabalho, de estudo e, até mesmo, de lazer [41]. Estar conectado com acesso imediato à informação e comunicação, em qualquer tempo e lugar, se torna cada vez mais necessário e, vem concorrendo para popularização dos dispositivos móveis – celulares, smartphones, tablets, notebook, entre outros – com acesso às redes de voz e dados. Os dispositivos móveis agregam mobilidade, comodidade e facilidade de uso, contudo, têm o tempo de funcionamento limitado pela duração da fonte de energia, ou seja, pelo tempo de vida da bateria.
As baterias recarregáveis, utilizadas em dispositivos móveis, têm capacidade finita para armazenamento de energia, necessitando a cada período de uso uma recarga [44]. Deste modo, é importante dispor de métodos para predizer o tempo de vida das baterias e, consequentemente, o tempo de funcionamento de dispositivos que utilizam baterias como fonte de energia. Na literatura técnica, uma das formas sugeridas para predizer o tempo de vida de uma bateria é através de experimentos físicos. Entretanto, em alguns casos esta alternativa é inviável, em razão do alto custo de planejamento, implementação e gestão, ou ainda da complexidade do sistema analisado. Outro modo, para realizar a predição é utilizando modelos matemáticos. Estes descrevem o comportamento dinâmico da descarga de uma bateria a partir de suas características físicas reais, ou de um conjunto reduzido de dados obtidos em ensaios.
Nos últimos anos, vários modelos matemáticos que descrevem a descarga de baterias – por conseguinte, seu tempo de vida – vêm sendo desenvolvidos e aprimorados, dentre os quais merecem destaque os modelos eletroquímico [11,20,24], elétricos [21,24], estocásticos
[9, 24], analíticos [24, 43, 45], via Identificação de Sistemas [30, 46] e, mais recentemente, os modelos híbridos [13, 17, 27]. Inserido nesse contexto, o Grupo de Automação Industrial e Controle – GAIC, da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ, tem realizado estudos e aplicações dos principais modelos matemáticos encontrados na literatura técnica, para predizer o tempo de vida de baterias utilizadas na alimentação de dispositivos móveis. As pesquisas realizadas pelo GAIC pretendem verifi-car qual é o modelo matemático mais adequado para simular e predizer o comportamento dinâmico de descarga da bateria, sob diferentes especificações [18].
A partir de dados obtidos com a plataforma de testes (i.e., testbed), desenvolvida pelo GAIC, para ensaios experimentais das descargas de baterias, Schneider [49] realizou a análise e aplicação dos três principais modelos analíticos – modelo Linear, Lei de Peukert e o modelo de difusão de Rakhmatov e Vrudhula (RV), este último considerado de alta acurácia pela literatura técnica –, sendo que os resultados das simulações computacionais dos modelos foram comparados aos dados reais adquiridos a partir do testbed. Em outro estudo, Oliveira [38] apresentou uma comparação de metodologias baseadas no método dos Mínimos Quadrados, para estimação dos parâmetros necessários aos modelos matemáticos analíticos, simulando e validando esses modelos tanto para correntes constantes, quanto variáveis. Mais tarde, uma metodologia baseada no método da procura em rede melhorado foi proposta por Silva [50], neste caso, exclusiva para estimação dos parâmetros do modelo RV.
Estudos realizados por Porciuncula [42] e Brondani [5] avaliaram os modelos elétricos, comparando os resultados das simulações do modelo Battery, tanto com o modelo para Predizer Runtime e Características V-I (i.e., tensão e corrente), este considerado pela literatura técnica, de alta acurácia, quanto com dados experimentais obtidos através do testbed. Já nos trabalhos de Romio [46] e de Machado [30], a predição do tempo de vida de baterias foi realizada utilizando modelos autorregressivos, via teoria de Identificação de Sistemas, comparando os resultados das simulações com o modelo RV e com dados experimentais. Mais recente, Duarte [13] e Fransozi [17] apresentaram estudos, simulações e análises de modelos híbridos, oriundos da união do modelo KiBaM e do modelo RV, para predizer o tempo de vida de baterias, com o modelo elétrico para Predizer Runtime e Características de V-I.
Neste contexto, o principal objetivo deste trabalho é realizar a modelagem matemática do tempo de vida de baterias de Li-Po, a partir de modelos analíticos tradicionais. Para isto, inicialmente, são estudados e aplicados três modelos analíticos capazes de capturar características e efeitos não lineares da bateria para diferentes perfis de correntes de des-carga. Além disso, no intuito de melhor a acurácia dos modelos, ao primeiro modelo – a Lei de Peukert – é proposta uma extensão utilizando o conceito de comparação e minimização
funcional por derivadas. Ao segundo modelo – modelo cinético de Manwell-McGowan –, uma nova metodologia de solução via método de Variação de parâmetros é sugerida neste trabalho. E, por fim, ao terceiro modelo – modelo RV –, é sugerida uma solução utili-zando o método de Fourier (i.e., Separação de Variáveis). As simulações dos modelos são implementadas com o auxílio do software de computação algébrica e numérica MatLab1 e, seus resultados são comparados e analisados em contraste aos dados experimentais de uma plataforma de testes, utilizando baterias de Li-Po, modelo PL-383562-2C.
1.2
Motivação
O número e a variedade de dispositivos móveis têm aumentado significativamente nos últimos anos, devido a mobilidade e a praticidade proporcionada pelos mesmos [17]. Segundo informações divulgadas pela União Internacional de Telecomunicações [23], em relatório anual, no final de 2014 o número de celulares atingiu a marca histórica de aproxi-madamente 7 bilhões de dispositivos – o que equivale ao número de habitantes do planeta. O mesmo relatório aponta ainda que o número de usuários de internet móvel tem aumen-tado significativamente, atingindo cerca de 2,3 bilhões de usuário, 32% da população mundial.
Esses dados indicam que o mercado de dispositivos móveis está em expansão, bem como há necessidade do desenvolvimento de tecnologias que melhor se adequem a demanda dos usuários por mobilidade. Assim, uma das exigências no desenvolvimento de dispositivos móveis é a maximização do tempo de autonomia para o funcionamento sem necessidade de conexão com fonte de energia fixa, ou seja, sem recarregar a bateria. Diante disso, investigar o comportamento dinâmico da descarga de baterias, visando predizer o seu tempo de vida e, por consequência, o tempo de funcionamento do dispositivo móvel tem fundamental importância.
Portanto, o presente trabalho tem por motivação agregar ao conhecimento científico, a priori estabelecido, os resultados alcançados através de modelos matemáticos de fácil com-preensão e implementação computacional, contribuindo assim com projetistas de baterias, dispositivos móveis e softwares de gestão energética, no desenvolvimento e melhoramento de recursos tecnológicos que ampliem a eficiência energética das baterias. A literatura técnica, a partir da modelagem física do processo de descarga, apresenta diferentes tipos de modelos matemáticos que realizam a predição do tempo de vida de uma bateria, neste contexto, esta pesquisa visa o estudo, aplicação e proposição de melhorias aos modelos analíticos tradicionais, para predizer o tempo de vida de uma bateria, avaliando com base
1O MatLab (i.e., MATrix LABoratory) é um software de alta performance voltado para cálculo
numérico, desenvolvido e distribuído comercialmente pela MathWorks: http://www.mathworks.com/ products/matlab/.
em dados experimentais a acurácia dos modelos em questão.
1.3
Objetivos da Dissertação
Nesta seção são apresentados os objetivos deste trabalho. Para facilitar a compreensão, optou-se em separá-los em Objetivo Geral e Objetivos Específicos, os quais são detalhados na sequência.
1.3.1
Objetivo Geral
Este trabalho tem como objetivo geral o estudo e aplicação de um conjunto de mo-delos analíticos tradicionais, capazes de descrever a descarga de baterias que alimentam dispositivos móveis, visando a proposição de simplificações e novas extensões que possam melhorar o desempenho destes modelos no que se refere a predição do tempo de vida de baterias de Lítio-Íon Polímero (Li-Po).
1.3.2
Objetivos Específicos
Visando atingir o objetivo geral deste trabalho, elencam-se os seguintes objetivos es-pecíficos a seguir:
• Realizar uma revisão bibliográfica das características das baterias e dos modelos matemáticos que descrevem o processo de descarga e, por consequência, predizem o tempo de vida, dando ênfase aos modelos analíticos;
• Escolher, dentre os modelos analíticos estudados, um conjunto de modelos, propondo extensões, novas metodologias de resolução e adequações matemáticas para o uso destes na predição do tempo de vida de baterias;
• Obter a partir de ensaios em laboratório conjuntos de dados para estimação de parâmetros e validação dos modelos selecionados anteriormente;
• Implementar os modelos selecionados e propostos através do software de computação numérica e algébrica MatLab;
• Realizar a validação dos modelos, comparando os resultados simulados com os dados obtidos experimentalmente; e,
• Comparar e concluir, a partir dos resultados obtidos por validação e análise de erro médio, qual o modelo analítico deste estudo que melhor realiza a predição do tempo de vida de baterias utilizadas em dispositivos móveis.
1.4
Contribuições
Nesta dissertação são introduzidas contribuições para a realização da predição do tempo de vida de dispositivos móveis que são alimentados por baterias. Estas contribui-ções são listadas a seguir:
1. Estudo, proposição e validação – em perfis de correntes contínuas e pulsadas – de um modelo desenvolvido a partir da extensão à Lei de Peukert;
2. Aplicação e validação do modelo KiBaM para predição do tempo de vida de baterias de Li-Po,
3. Definição de uma metodologia alternativa para resolução das equações dos mode-los KiBaM e RV, utilizando os métodos de Variação de Parâmetros e de Fourier, respectivamente; e,
4. Validação e análise comparativa entre os modelos originais e propostos, e os dados experimentais obtidos de uma plataforma de testes.
1.5
Estrutura do Documento
O presente trabalho organiza-se conforme a estrutura apresentada a seguir. No Capí-tulo 2 é apresentada uma revisão bibliográfica sobre o estado da arte de baterias utiliza-das em dispositivos móveis. São abordautiliza-das as principais características e propriedades de uma bateria, os tipos de baterias, assim como, alguns modelos matemáticos que simulam o processo de descarga das mesmas encontrados na literatura, com o intuito de obter informações sobre o contexto em que este trabalho está inserido.
No Capítulo 3 são descritos, inicialmente, os modelos analíticos tradicionais utilizados nesta dissertação, a Lei de Peukert, o modelo KiBaM e o modelo RV. Realiza-se ainda, a apresentação da extensão proposta à Lei de Peukert, validada neste trabalho de pesquisa, assim como suas características e conjunto de equações. Também, são apresentadas duas novas metodologias: uma para a solução do modelo KiBaM, utilizando o método de Variação de Parâmetros; outra para a solução do modelo RV, utilizando o método de Fourier.
No Capítulo 4 é apresentada a plataforma de testes, bem como, uma metodologia adotada para a coleta dos dados experimentais obtidos durante o descarregamento das baterias. A partir da obtenção dos dados é definida uma metodologia para a estimação dos parâmetros presentes nos modelos analíticos estudados e estendidos, utilizando o Método dos Mínimos Quadrados, tipo não linear.
No Capítulo 5 é realizada a validação dos modelos originais e de suas extensões, a partir da comparação dos mesmos com os resultados experimentais obtidos na plataforma de testes. Neste contexto, cada modelo é comparado com a sua extensão e/ou proposição de metodologia e, ao final deste capítulo, é apresentada esta análise comparativa entre todos os modelos.
No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões deste estudo e as possibilidades de trabalhos futuros.
Revisão Bibliográfica
2.1
Introdução
Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica do estado da arte de baterias. Primeiramente, são abordados alguns conceitos básicos, propriedades e características. Em seguida, são descritos os principais tipos de baterias. Por fim, são detalhados os principais modelos matemáticos da literatura técnica para a predição do tempo de vida de baterias. Destaca-se que as baterias referenciadas nesse trabalho são, somente, do tipo Li-Po utilizadas em dispositivos móveis.
Este capítulo está organizado como segue. Na Seção 2.2 são descritos elementos estru-turais e constituintes das baterias. Na Seção 2.3 são apresentadas as principais proprieda-des e características das baterias. Na Seção 2.4 são proprieda-descritos os efeitos não lineares mais relevantes, presentes em um processo de descarga. Na Seção 2.5 são apresentados alguns tipos de baterias utilizadas em dispositivos móveis. Na Seção 2.6 são expostos os princi-pais modelos de baterias referenciados na literatura técnica. Na Seção 2.7 é apresentado um resumo do capítulo.
2.2
Baterias
Da primitiva pilha voltaica, inventada por Alessandro Volta (1745-1827), às modernas baterias de metal líquido de alta capacidade [26], em desenvolvimento no Instituto de Tecnologia de Massachussetts – MIT, as baterias eletroquímicas consagraram-se como a tecnologia de armazenamento portátil de energia mais antiga ainda amplamente utilizada, fomentando nas últimas décadas o avanço do mercado econômico e industrial na produção de dispositivos eletrônicos cada vez mais miniaturizados. Por definição, as baterias são dispositivos que convertem a energia química, armazenada em seus materiais constituintes, em energia elétrica por meio de uma reação de oxirredução eletroquímica. Nas baterias
recarregáveis, a reversão desta reação (i.e., a recarga da bateria) é realizada através da conexão a uma fonte de energia.
Em geral, uma bateria é composta por uma ou mais células eletroquímicas, ligadas em série ou em paralelo, ou ainda uma combinação de ambos, variando de acordo com a capacidade e a tensão elétrica de saída desejadas [6, 29]. Uma célula eletroquímica (cf. Figura 2.1) é composta por três elementos principais: ânodo, cátodo e eletrólito. Durante o processo de descarga, o ânodo ou eletrodo negativo cede elétrons ao sistema externo, sendo reduzido pela reação eletroquímica. Em contrapartida, o cátodo ou eletrodo positivo recebe elétrons do circuito externo, e é oxidado pela reação eletroquímica. Além disso, durante a reação eletroquímica, o eletrólito ou condutor iônico fornece através de íons o meio de transferência de carga entre ânodo e cátodo dentro da célula [29].
Figura 2.1: Esquema de uma célula eletroquímica básica [29].
As reações eletroquímicas que ocorrem no interior de uma bateria produzem duas importantes propriedades: a tensão elétrica, medida em volts (V ); e, a capacidade, ge-ralmente, medida em ampère-hora (Ah). O produto dessas duas grandezas fornece a quantidade de energia armazenada na bateria [24, 49]. Em uma bateria ideal a tensão elétrica é constante durante todo o tempo de descarga, tornando-se nula apenas quando a bateria estiver completamente descarregada. Em tese, por exemplo, um bateria com ca-pacidade de 50 Ah é desenvolvida para fornecer ao sistema 5 A por 10 h, ou 50 A por 1 h. Contudo, em um operação de descarga real a tensão elétrica é reduzida gradualmente, a capacidade é menor para altas correntes e a corrente de descarga nem sempre é constante no tempo. Assim, temos que as operações de descarga têm efeitos não lineares que, em maior ou menor grau, dependendo do tipo da bateria, influenciam no tempo de vida e na sua capacidade.
2.3
Características das Baterias
A diferenciação entre os tipos de baterias ocorre, principalmente, pelo material que as compõem e, pela demanda que as mesmas necessitam atender. De modo geral, as baterias possuem determinadas características que influenciam, em maior ou menor grau, no comportamento durante o processo de descarga. Nesta seção são descritas algumas características principais referentes as baterias, assim como alguns conceitos necessários para o entendimento do seu funcionamento.
2.3.1
Nível de Cutoff
O nível de cutoff é uma importante característica de uma bateria sendo definido pelo limite mínimo de tensão elétrica que a bateria consegue disponibilizar para que o sistema continue em operação [43]. Durante o processo de descarga, ao atingir esse limite inferior, as reações eletroquímicas cessam no interior da bateria, sendo que esta, por sua vez, deixa de fornecer energia [49]. É importante ressaltar que neste momento a bateria não está completamente descarregada, mas apenas com capacidade indisponível para alimentar o sistema [47]. Deste modo, o tempo de vida da bateria está diretamente associado ao nível de cutoff, pois é o indicador que expressa, geralmente, em horas (h), o intervalo de tempo decorrido em uma operação de descarga para que a bateria atinja o nível mínimo de energia.
2.3.2
Capacidade da Bateria
A capacidade de uma bateria é a quantidade de carga elétrica armazenada [27], e pode ser especificada de três formas distintas: a capacidade teórica, que representa a capacidade total de energia que pode ser extraída da bateria, na prática; a capacidade padrão, que representa a quantidade de energia que pode ser extraída sob condições especificadas pelo fabricante; e, a capacidade atual, que representa a quantidade de energia extraída quando uma determinada corrente é utilizada para descarregá-la. Cabe ressaltar que a capacidade atual pode exceder a capacidade padrão, mas jamais a capacidade teórica [28].
2.4
Efeitos Não Lineares
No processo de modelagem matemática dois fenômenos fundamentais precisam ser levados em conta, pois, afetam a vida e a quantidade de energia que pode ser entregue pela bateria: o efeito da taxa de capacidade e o efeito de recuperação. O ideal seria que a capacidade permanecesse constante durante este processo e toda energia armazenada
fosse utilizada. Entretanto, durante um processo de descarga real, a tensão vai reduzindo aos poucos e a capacidade efetiva é diminuta para correntes mais altas. A seguir, são descritos estes dois efeitos presentes durante um processo de descarga de uma bateria.
2.4.1
Efeito de Recuperação
Durante os períodos em que a corrente de descarga é reduzida significativamente, ocorre a relaxação da bateria, com isso, há uma reorganização dos elétrons ainda disponí-veis [25,28]. Assim, o efeito de recuperação amplia a capacidade da bateria em fornecer ao sistema um pouco mais de energia, antes de atingir o nível de cutoff. Este efeito é muito mais fácil de se perceber quando a corrente de descarga é intermitente (i.e., variável) no tempo [12].
Figura 2.2: Ilustração do efeito de recuperação [47].
Em uma bateria completamente carregada a concentração inicial de espécies eletroa-tivas é constante para todo o comprimento do eletrólito (cf. Figura 2.2 (A)). Ao iniciar o processo de descarga (cf. Figura 2.2 (B)), as reações eletroquímicas reduzem as espécies eletroativas próxima ao eletrodo. Entretanto, no momento em que ocorre uma redua-ção significativa na corrente de descarga, os elétrons restantes se reorganizam de modo uniforme, reequilibrando o sistema (cf. Figura 2.2 (C)), aumentando a concentração de espécies eletroativas no eletrodo (cf. Figura 2.2 (D)). Assim, a capacidade da bateria em fornecer energia ao sistema é ampliada – caracterizando o efeito de recuperação. Contudo, é importante ressaltar que a quantidade de espécies eletroativas será sempre menor que a concentração inicial [46]. O efeito de recuperação pode se repetir durante o processo de
descarga até que o nível de cutoff (cf. Figura 2.2 (D)) seja atingido.
2.4.2
Efeito da Taxa de Capacidade
O efeito da taxa de capacidade depende da capacidade atual da bateria e da inten-sidade da corrente de descarga aplicada. Em correntes mais altas a capacidade efetiva da bateria é reduzida, visto que não há tempo suficiente para que ocorra a reorganização das espécies eletroativas no eletrólito. Deste modo, mais energia permanece sem ser uti-lizada pelo sistema, reduzindo a capacidade e o tempo de vida da bateria. Para correntes intermitentes (i.e., variáveis) no tempo, a capacidade efetiva da bateria é ampliada, pois na alternância entre corrente altas e baixas, ou até mesmo em períodos sem correntes, ocorre o efeito de recuperação, tornando disponível uma maior quantidade de elétrons na superfície do eletrodo. Assim, quanto maior a quantidade de elétrons presentes no ele-trólito no momento da redução significativa da corrente, proporcionalmente, maior será a quantidade de energia possível de recuperação [17, 49].
2.5
Tipos de Baterias
Ao longo das últimas décadas, diferentes tipos de baterias têm sido desenvolvidos e comercializados para atender demandas de energia em aplicações específicas. Diante disso, fabricantes buscam cada vez mais se adequarem às exigências do mercado, em particular àquelas dos usuários de dispositivos móveis. Para as baterias utilizadas em dispositivos móveis a ênfase tem sido, em primeiro plano, o tamanho reduzido e a alta densidade de energia; e, em segundo, o tempo de vida. Contudo, as baterias possuem outros aspectos como, por exemplo, requisitos de manutenção, quantidade de ciclos e custo operacionais [6, 29]. Nesta seção, são relacionados os principais tipos de baterias, bem como suas características relevantes.
2.5.1
Baterias de Níquel-Cádmio
As baterias de Níquel-Cádmio (Ni-Cd), fabricadas a partir de 1950, são considera-das um dos tipos mais antigos de acumuladores de energia. Projetaconsidera-das para suportar correntes de carga moderada, apresentam bom rendimento sob condições rigorosas de trabalho, sendo empregadas para alimentar uma ampla gama de dispositivos portáveis. Como vantagens, as baterias de níquel e cádmio, apresentam bom desempenho em bai-xas temperaturas, elevado número de ciclo de carga e descarga, baixo custo por ciclo e, disponibilidade em variados tamanhos e formas. Em contraponto, esse tipo de bateria apresenta limitações, tais como, a baixa densidade de energia, o efeito de memória e, a
elevada taxa de autodescarga. Além disso, as baterias de níquel e cádmio utilizam ele-mentos químicos tóxicos em sua composição, fato que concorre para a perda de espaço no mercado em diversos países [6, 28, 49].
2.5.2
Baterias de Chumbo-Ácido
Produzidas desde a década de 70, as baterias de Chumbo-Ácido são compostas, em geral, por eletrodos de chumbo e dióxido de chumbo, imersos em um eletrólito líquido com uma concentração de ácido sulfúrico. Por possuir baixa taxa de autodescarga e suportar com facilidade picos de corrente, são amplamente utilizadas em veículos automotores para dar arranque aos motores à combustão. Em geral, apresentam baixo custo e complexidade de fabricação, sendo uma tecnologia bem madura, confiável e compreendida. No entanto, possuem baixa densidade de energia, número limitado de ciclos para carga e descarga e, algumas restrições ambientais e de segurança quanto a eventuais riscos de acidentes com vazamentos, em especial, nos casos de eletrólito com ácido sulfúrico [6, 13].
2.5.3
Baterias de Níquel Metal-Hidreto
Embora amplamente utilizadas como fonte de energia para notebooks, as baterias de Níquel Metal-Hidreto (Ni-MH) inicialmente foram desenvolvidas nos anos 90, para ex-ploração espacial e aplicações em satélites de comunicação, em substituição as pesadas baterias de Ni-Cd. Com o desenvolvimento de novas ligas de hidreto metálico, a par-tir da combinação de diferentes elementos menos poluentes, esse tipo de bateria obteve maior estabilidade e alcançou uma taxa de densidade de energia até 40% maior, quando comparada as baterias de Ni-Cd. Outro fator interessante é que este modelo de bateria está menos propenso ao efeito memória nos ciclos de carga e descarga. Entretanto, as baterias de hidreto metálico de níquel possuem desvantagens, tais como, vida útil de uso contínuo limitada, eficiência reduzida para média e altas correntes de descarga, elevada taxa de autodescarga e, um custo de mercado elevado – estes fatores concorrem para a sua substituição por outras tecnologias de baterias [6, 29].
2.5.4
Baterias de Lítio-Íon
O lítio (Li) é o mais leve de todos os metais, possuindo também o maior potencial eletroquímico. As baterias de Lítio-Íon (Li-Ion), comercializadas a partir de 1990, utilizam ânodos de lítio e são capazes de oferecer grande capacidade de energia, resultando em uma ótima densidade energética até duas vezes superior as baterias de Ni-Cd. Além disso, as baterias de Li-Ion possuem longo tempo de vida e ausência do efeito memória nos ciclos de carga e descarga, com isso, são utilizadas em larga escala como fonte de energia mais
popular para notebooks, tablets, smartphones e celulares. Entretanto, este tipo de bateria possui algumas limitações que devem ser consideradas, a saber, por exemplo, o custo mais elevado de produção do que as outras tecnologias de bateria e cuidados nos processos de carga e descarga, para evitar acidentes em virtude dos riscos de explosão [6, 28, 30, 49].
2.5.5
Baterias Alcalinas Recarregáveis
As baterias alcalinas recarregáveis vêm sendo utilizadas desde a metade da década de 90, como fonte de energia móvel. Este tipo de bateria surgiu como uma alternativa recarregável de baixo custo – esta é a sua principal vantagem –, contudo, isso acabou por comprometer o seu desempenho. Embora, inicialmente, possua densidade de energia maior que as baterias de Ni-Cd, após 10 ciclos a densidade é drasticamente reduzida pela metade e, depois de 50 ciclos restará apenas 25% da densidade energética inicial. A redução da densidade de energia concorre para uma consequente diminuição na vida útil da bateria, gerando um problema ambiental em relação ao descarte, visto que alguns modelos utilizam elementos tóxicos na sua composição. Além disso, as baterias alcalinas recarregáveis são limitadas, tendo utilidade apenas para aplicações domésticas mais simples, tais como, rádios portáteis, lanternas e brinquedos [6, 30].
2.5.6
Baterias de Lítio-Íon Polímero
As baterias de Lítio-Íon Polímero (Li-Po) são uma tecnologia emergente para fabrica-ção de baterias e, acredita-se que sejam estas as baterias que atenderão as demandas por energia da nova geração de dispositivos móveis [34]. Dentre as suas principais vantagens é possível listar a sua espessura ultra fina, a possibilidade de diferentes tamanhos e formas, o peso reduzido quando comparadas com outras tecnologias de baterias e, a resistência a sobrecarga. Em contraponto, as suas limitações ainda esbarram na densidade de energia relativamente menor do que as baterias de Li-Ion, o alto custo de produção e problemas para gestão interna de temperatura [6, 29, 49]. Contudo, alinhado com as tendências tec-nológicas, é importante destacar que este trabalho utiliza, nos experimentos realizados na plataforma de testes para coleta de dados, um conjunto de baterias de Li-Po, que serão detalhadas no Capítulo 4.
2.6
Modelos de Baterias
A literatura técnica apresenta diferentes modelos matemáticos que descrevem a des-carga de baterias – por conseguinte, seu tempo de vida. Nos últimos anos, muitos desses modelos vêm sendo desenvolvidos e aprimorados, servindo de embasamento teórico para
diversos trabalhos de pesquisa desenvolvidos para o estudo, análise e predição do tempo de vida de baterias [5, 13, 17, 30, 38, 42, 46, 49, 50]. Além de representar os aspectos essenciais de uma bateria, os modelos de bateria podem auxiliar em projetos, simulações de circui-tos e estimação do desempenho energético. Esta seção, apresenta de modo abrangente os principais modelos matemáticos de baterias.
2.6.1
Modelos Eletroquímicos
Os modelos eletroquímicos têm por base os processos químicos que ocorrem no inte-rior da bateria durante a descarga. Tais modelos possuem alta acurácia para predizer o tempo de vida de baterias, sendo inclusive referência para testes na literatura técnica. Entretanto, a descrição minuciosa dos processos faz com que estes modelos apresentem grande complexidade e dificuldade de configuração [24, 49]. Doyle, Fuller e Newmann [11] desenvolveram um modelo eletroquímico de alta acurácia, para baterias de Li-Ion e Li-Po, composto por um sistema de seis Equações Diferenciais Parciais (EDPs) não lineares. A resolução desse sistema de EDPs fornece informações sobre a bateria modelada em função do tempo – tensão e corrente elétrica, concentração de sal, taxa de reação e densidade do eletrólito.
A implementação computacional deste modelo deu origem a um programa denominado Fortran Dualfoil, disponível para download de uso gratuito na Internet. Em virtude do seu alto nível de acurácia, é frequentemente utilizado em comparação com outros modelos, substituindo assim os dados experimentais [12]. O programa registra as variações de todas as propriedades da bateria ao longo do tempo, dado um perfil de descarga definido pelo usuário, indicando ao final do processo o tempo de vida. Para o correto uso, o usuário deve configurar mais de 50 parâmetros que dizem respeito à bateria em estudo – espessura dos eletrodos, concentração de sal inicial no eletrólito, capacidade global de calor –, sendo assim, necessário amplo conhecimento da bateria que se pretende modelar [24, 49].
2.6.2
Modelos Elétricos
Os modelos elétricos, também chamados de modelos de circuitos elétricos, são mode-los de baterias que podem incluir tanto descargas com corrente contínuas, quanto com correntes variantes no tempo; sendo que são, em geral, ou baseados em Thevenin, ou baseados em Impedância, ou em Runtime. Dentre os modelos elétricos encontrados na literatura técnica, destacam-se: o modelo para Predizer Runtime e Características V-I, e o modelo Battery [5, 42]. Em geral, estes modelos são capazes de representar as caracte-rísticas não lineares como, por exemplo, o efeito de recuperação e os efeitos térmicos da bateria; contudo, alguns destes modelos não consideram o efeito da taxa de capacidade.
A acurácia dos modelos elétricos para predizer o tempo de vida de baterias, está em uma faixa entre a acurácia dos modelos analíticos e eletroquímicos (i.e., entre 1% e 5%) [7].
Em geral, as simulações dos modelos elétricos são de fácil compreensão e implemen-tação, sendo que a maioria delas são baseadas no software de simulação de circuitos analógicos SPICE (i.e, Programa de Simulação com Ênfase em Circuitos Integrados) [51]. Um dos primeiros modelos elétricos desenvolvidos foi proposto por Hagemann [21], que utilizou um circuito simples PSpice, considerando apenas três tipos de baterias: níquel e cádmio, ácido e chumbo e, alcalinas recarregáveis. A essência dos modelos elétricos para os diferentes tipos de baterias é a mesma (cf. Figura 2.3): um capacitor representa a capacidade da bateria, uma taxa de descarga normalizadora determina a perda de capa-cidade em altas correntes de descarga, um circuito representa o consumo da capacapa-cidade da bateira, uma tabela de pesquisa representa a tensão versus o estado de carga, e um resistor representa a resistência interna da bateria [5, 38, 42].
Figura 2.3: Esquema básico funcional dos tipos de modelos elétricos [24].
2.6.3
Modelos Estocásticos
Os modelos estocásticos descrevem a bateria de modo mais abstrato que os modelos eletroquímicos e elétricos, representando sob a forma de processos estocásticos tanto as operações de descarga, quanto o efeito de recuperação [24, 39]. Os pesquisadores Chi-asserini e Rao [8, 9, 25] foram pioneiros no desenvolvimento de um modelo estocástico, modelando a partir de cadeias de Markov as operações de descarga de uma bateria. Neste modelo, a bateria é representada por um número finito de unidades de carga e o com-portamento de descarga da bateria é modelado utilizando tempo discreto no processo transitório estocástico. Em cada etapa de consumo de energia é efetuado um cálculo probabilístico, que objetiva verificar a recuperação da bateria em função da mudança ou continuidade da corrente.
O processo de descarga é transiente ao longo do tempo, sendo que o estado da bateria é controlado pela quantidade de unidades de carga restantes, que por sua vez determinam ao atingir o nível de cutoff, o tempo de vida (i.e., duração) da bateria [30, 42]. Em estudos realizados, os resultados apresentados pelo modelo estocástico de Chiasserini e Rao, têm um desvio máximo de 4%, com erro médio de 1% se comparado com o modelo eletroquímico [25]. Estes resultados indicam que o modelo estocástico fornece uma boa descrição do comportamento da bateria, especialmente para descargas variáveis. Contudo, este modelo possuiu uma limitação ao considerar somente o efeito de recuperação da bateria [42].
2.6.4
Modelos Analíticos
Diferentes modelos de baterias têm sido propostos, onde expressões analíticas são formuladas para calcular, em especial, o tempo de vida da bateria, utilizando como parâ-metros as informações obtidas a partir de, por exemplo, valores da corrente de descarga, características do ambiente operacional e propriedades físicas da bateria. Dentre estes mo-delos, os analíticos descrevem a bateria de uma forma abstrata, assim como os modelos estocásticos, modelando as principais propriedades da bateria com um conjunto reduzido de equações [24, 25, 49]. Em geral, os modelos analíticos podem descrever descargas tanto de correntes contínuas quanto variantes, no domínio do tempo, capturando os efeitos de recuperação e taxa de capacidade. Tais modelos são computacionalmente eficientes e fle-xíveis, requerendo avaliação de expressões analíticas, que podem ser configuradas para diferentes tipos de baterias [24, 25, 28].
Um dos modelos analíticos mais simples encontrado na literatura técnica, para predição do tempo de vida de baterias, é o modelo Linear [24, 25, 47], que considera a bateria como um recipiente linear de corrente, não considerando os efeitos não lineares que ocorrem durante uma descarga. Outro modelo, da mesma categoria, é baseado na Lei de Paukert [24, 32, 43], que consegue capturar a relação funcional não linear entre a vida útil da bateria e a taxa de descarga, contudo, não considera o efeito de recuperação. Percebe-se então, que estes dois modelos citados não levam em consideração o efeito de recuperação que ocorre durante o processo de descarga, e influencia diretamente o tempo de vida da bateria.
Entretanto, há outros modelos analíticos que capturam essas não linearidades. Um deles é o modelo KiBaM [25, 31], do original em inglês Kinetic Battery Model, que utiliza o processo cinético químico em seu fundamento, ou seja, estuda a velocidade das reações químicas do processo e os fatores que as influenciam. O KiBaM é um modelo de fácil compreensão e implementação computacional, sendo que inicialmente foi desenvolvido para modelar as grandes baterias de ácido e chumbo, que possuem perfis de descargas
mais lineares. Além disso, é importante destacar que este modelo captura duas não linearidades de um processo de descarga, os efeitos de recuperação e taxa de capacidade [49].
Outro modelo analítico é o modelo RV [43–45], considerado de alta acurácia, pela lite-ratura técnica. Baseado na difusão de íons, o modelo descreve a evolução unidimensional da concentração de espécimes eletroativas no eletrólito. A descrição analítica é feita pelas Leis de Fick [10], que expressa em um sistema de EDPs a difusão de íons, a fim de predizer o tempo de vida de uma bateria a partir de uma operação de descarga. Rakhmatov e Vrudhula [43] compararam o seu modelo com o programa de simulação Dualfoil, obtendo para correntes contínuas de descarga um erro médio de 3%, e para correntes variáveis um erro médio muito próximo de 1%. Um estudo realizado por Schneider [49], utilizando baterias de Li-Ion, modelo BL-5F, comparou o modelo RV com dados de um processo real de descarga, e obteve um erro médio de aproximadamente 1%, para descargas de corrente contínua. Oliveira [38], também utilizando dados experimentais de baterias de Li-Ion, modelo BL-5F, obteve para o modelo RV um erro médio de 5,71%, para correntes contínuas, e 6,53% para correntes variáveis.
No Capítulo 3, os modelos analíticos utilizados neste trabalho serão abordados com maior detalhamento, em especial, no que se refere às equações que os descrevem.
2.6.5
Modelos via Identificação de Sistemas
A Identificação de Sistemas é uma técnica de modelagem matemática utilizada na ob-tenção de modelos para sistemas dinâmicos. Através de tais modelos busca-se representar determinadas características relacionadas à causa (i.e., entrada u(t)) e ao efeito (i.e., saída y(t)) de um sistema qualquer (cf. Figura 2.4), sem envolver, necessariamente, todas as leis físicas presentes no processo [1]. Na modelagem matemática via teoria de Identifi-cação de Sistemas, existem duas maneiras para a construção de modelos matemáticos: modelagem caixa-preta e modelagem caixa-cinza. Na modelagem caixa-preta, não se tem um conhecimento prévio do sistema a ser modelado, neste caso, utiliza-se na identifica-ção apenas os dados de entrada e saída do processo, sendo que a estrutura matemática obtida não possui relação com as leis físicas que regem o processo. A modelagem caixa-cinza diferencia-se da primeira, pois, neste caso, além de utilizar os dados de entrada e saída, existe também algum conhecimento prévio do sistema a ser modelado; com isso, este tipo de modelagem fica posicionada entre a modelagem pela física do processo (i.e., caixa-branca) e a modelagem caixa-preta [1, 30, 46].
Em estudos desenvolvidos [30,46], utilizou-se a Identificação de Sistemas na modelagem matemática da predição do tempo de vida de baterias, a partir de estruturas de modelos paramétricos lineares, tais como, AutoRregressivo (AR), AutoRregressivo com entradas
Figura 2.4: Representação de um sistema [46].
eXternas (ARX), AutoRregressivo com MédiA móvel e entradas eXternas (ARMAX), Erro de Saída (ES), e Box Jenkins (BJ). Com base em dados de um processo real de descarga, obtidos de uma plataforma de teste (i.e., testbed) para baterias de Li-Ion, os modelos foram implementados no software de computação numérica e algébrica MatLab, que possui uma biblioteca de applets, com um conjunto de ferramentas destinadas, exclusivamente, à Identificação de Sistemas (i.e., Ident Toolbox) [13,33]. Segundo Romio [46], em seu estudo, análise e simulação, os modelos ARX, ARMAX, ES e BJ foram validados para predição do tempo de vida de baterias, sendo que o modelo ARX, em domínio de tempo discreto, obteve a melhor acurácia com um erro médio de 3,39%. Em Machado [30], de mesmo modo, todos os modelos anteriores também foram validados, incluindo o modelo AR – este, em domínio de tempo discreto, apresentou um erro médio de 0,72%. Nos ensaios desses trabalhos foram utilizadas baterias do tipo Li-Ion, modelo BL-5F, empregadas como fonte de energia em uma grande gama de aparelhos celulares da empresa Nokia.
2.6.6
Modelos Híbridos
Os modelos híbridos são apresentados como uma nova categoria de modelos matemá-ticos para predição do tempo de baterias, podendo reunir as vantagens de mais de um tipo de modelo. No estudo dos modelos híbridos, Kim [27] propôs um modelo a partir da conexão de um modelo analítico, denominado Kinetic Battery Model (KiBaM), e um mo-delo elétrico, denominado momo-delo para Predizer Runtime e Características V-I (cf. Figura 2.5). Desta hibridização de modelos, destacam-se as qualidades particulares: (i) o modelo elétrico é capaz de capturar as características dinâmicas da bateria e a resposta de tensão com boa precisão; e, (ii) o modelo analítico tem a capacidade de capturar os efeitos não lineares da bateria – efeito de recuperação e efeito da taxa de capacidade [13, 30]. Alguns estudos recentes, propostos por Duarte [13] e Fransozi [17], apontam que a precisão desta categoria de modelos, em relação a predição do tempo de vida de baterias, apresenta erro médio menor que 5%.
2.7
Resumo do Capítulo
Neste capítulo inicialmente é apresentada uma revisão bibliográfica referente a bate-rias utilizadas em dispositivos móveis, suas propriedades e principais características não
Figura 2.5: Esquema do modelo híbrido proposto por Kim [27].
lineares, tais como o efeito de recuperação e o efeito da taxa de capacidade, presentes no processo de descarga. Em seguida, são abordados os principais modelos matemáti-cos de baterias, referenciados na literatura técnica, tais como, os modelos eletroquímimatemáti-cos [11, 20, 24], elétricos [21, 24], estocásticos [9, 24], analíticos [24, 43, 45], via Identificação de Sistemas [30, 46] e, híbridos [13, 17, 27], com suas peculiaridades e especificidades.
No próximo capítulo são descritos a Lei de Peukert, o modelo KiBaM e, o Modelo RV, em função de comporem o conjunto de modelos analíticos aplicados nesta disserta-ção. Posteriormente, são apresentadas as proposições deste trabalho, com as equações, desdobramentos algébricos, extensões e proposições metodológicas aos modelos estudos, que são também utilizados para a predição do tempo de vida de baterias de Li-Po, usadas em dispositivos móveis.
Modelagem Matemática
3.1
Introdução
A modelagem matemática consiste na representação matemática de um sistema, uti-lizando como base o levantamento e interpretação de dados e observações de um sistema real, ou de um sistema experimental. A utilização de modelos possibilitam tomadas de decisões, explicações e interpretações dos fenômenos estudados, fornecendo a previsão de situações futuras ou passadas.
Neste capítulo são apresentados três modelos analíticos: a Lei de Peukert [40]; o mo-delo KiBaM [31]; e, o momo-delo RV [43, 45]. Buscando o entendimento dos momo-delos em sua totalidade, inicialmente, são descritos os modelos originais, em seguida, são apresenta-das as equações e o desdobramento algébrico apresenta-das extensões, proposições e metodologias alternativas aos modelos estudados.
Este capítulo está organizado como segue. Na Seção 3.2 são detalhados os modelos utilizados como base neste trabalho. Na Seção 3.3 é realizada a descrição das extensões e proposições aos modelos exarados na Seção 3.2, utilizados nesta dissertação. Na Seção 3.4 é apresentado um resumo do capítulo.
3.2
Modelos Matemáticos
Nesta seção são descritos três modelos analíticos tradicionais: a Lei de Peukert, o modelo KiBaM e, o modelo RV. Tais modelos compõem o conjunto de modelos analíticos aplicados nesta dissertação para a predição do tempo de vida de baterias de Li-Po, usadas em dispositivos móveis.
3.2.1
Lei de Peukert
De aspecto empírico, a Lei de Peukert, proposta pelo engenheiro alemão Wilhelm Peukert em 1897, descreve a relação que existe entre a vida útil e a taxa de descarga da bateria, considerando apenas o efeito da taxa de capacidade [40]; contudo, não considera, um importante efeito não linear, presente na descarga, que é o efeito de recuperação [49]. De acordo com a Lei de Peukert, o tempo de vida (L > 0) de uma bateria pode ser aproximado pela expressão
L = a
Ib, (3.1)
onde: I > 0 é a corrente de descarga e, a e b são parâmetros que dependem do tipo de bateria utilizado – e, são estimados a partir de dados experimentais. Em uma bateria ideal, a teria que ser igual a capacidade da bateria e, b seria igual a 1. Na prática, a tem um valor próximo da capacidade da bateria, e b é um número superior a 1 [49].
O modelo descrito pela equação (3.1) é utilizado na predição do tempo de vida de ba-terias, submetidas ao processo de descargas com correntes constantes. Porém, conforme Rakhmatov e Vrudhula [43, 45], uma generalização da Lei de Peukert para correntes va-riáveis pode ser obtida, substituindo a corrente de descarga I pela média ponderada das correntes ao longo do tempo (t0 ≤ tk≤ tn), como segue
L = a
hPn
k=1Ik−1(tk−tk−1)
L
ib, (3.2)
onde: Ik é o valor da corrente de descarga e, a e b são os parâmetros estimados para o
modelo da equação (3.1). Neste caso, para n = 1 a equação (3.2) se reduz a equação (3.1), que é o modelo original da Lei de Peukert [43, 45].
3.2.2
Modelo KiBaM
O modelo KiBaM (i.e., Kinetic Battery Model), foi desenvolvido com a finalidade de modelar os processos químicos de baterias de chumbo-ácido, utilizando a cinética. Este modelo considera a carga da bateria distribuída em duas fontes: a fonte de carga disponível e a fonte de carga limitada (cf. Figura 3.1). Observa-se que uma fração c da capacidade total é distribuída na fonte de carga disponível, e uma fração 1 − c na fonte de carga limitada. A fonte de carga disponível fornece elétrons diretamente a corrente i(t), enquanto a fonte de carga limitada disponibiliza elétrons somente a fonte de carga disponível. O parâmetro k é a razão de fluxo de carga entre as fontes [17, 31].
Neste modelo, a carga disponível da bateria diminui quando é aplicada uma corrente de descarga, isto é, são liberados elétrons para o sistema, e com isso a diferença das
Figura 3.1: Ilustração do modelo KiBaM [31].
altura h1(t) e h2(t) aumenta. Porém, quando a corrente de descarga é nula, a carga
da fonte limitada flui para a fonte de carga disponível até que as alturas h1(t) e h2(t)
sejam novamente iguais, fazendo com que o sistema tenha mais carga disponível. Este processo é conhecido por efeito de recuperação. O efeito da taxa de capacidade também é considerado neste modelo, pois, a partir de uma corrente de descarga alta, a fonte da carga disponível será rapidamente reduzida, refletindo em um tempo menor para a carga da fonte limitada fluir para a disponível, sendo reduzida assim a capacidade da bateria [24, 25]. Neste sistema a bateria é considerada descarregada quando y1 = 0.
A variação de carga em ambas as fontes é dada pelo sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), dado por
dy1 dt = −i(t) + k(h2(t) − h1(t)) dy2 dt = −k(h2(t) − h1(t)), (3.3) (3.4)
onde: i(t) é a corrente de descarga. Por conseguinte, tem-se que as alturas das duas fontes são representadas pelas equações
h1(t) = y1(t) c (3.5) e h2(t) = y2(t) 1 − c, (3.6)
onde: h1 e h2 são, respectivamente, a altura da fonte de carga disponível e limitada, y1(t)
e y2(t) são as quantidades de carga em cada fonte. E, por simplificação algébrica, uma
k0 = k
c(1 − c) (3.7)
Conforme sugerem Manwell e McGowan [31], para resolução do modelo KiBaM, a partir de correntes de descargas constantes (i.e., i(t) = I), inicialmente, substitui-se as equações (3.5), (3.6) e (3.7) nas equações (3.3) e (3.4), obtendo-se o seguinte sistema de EDOs: dy1 dt = −I − k 0 (1 − c)y1 + k0cy2 dy2 dt = k 0 (1 − c)y1 − k0cy2. (3.8) (3.9)
Aplicando-se, então, o método da Transformada de Laplace e suas definições [52], nas equações (3.8) e (3.9), obtendo-se após manipulações matemáticas
y1(t) = y1(0)e−k 0t + (y0k 0c − I)(1 − e−k0t ) k0 − Ic(k0t − 1 + e−k0t) k0 (3.10) e y2(t) = y2(0)e−k0t+ y0(1 − c)(1 − ek0t) −I(1 − c)[k 0t − 1 + e−k0t ] k0 , (3.11) onde: y1(0) = cC (3.12) e y2(0) = (1 − c)C (3.13)
são, respectivamente, a quantidade de carga disponível e limitada em t = 0 (i.e., condições iniciais) e, y0 = C é a capacidade total inicial da bateria [17].
3.2.3
Modelo RV
O modelo RV descreve o processo de difusão de espécies eletroativas com base nas Leis de Fick [10]. Para isso, considera-se a evolução e a concentração dos materiais ativos na bateria durante o processo de descarga, modelando-a como um processo de difusão unidimensional em uma região finita [5]. Matematicamente, o modelo é expresso por meio de duas EDPs, dadas por
− J(x, t) = D∂C(x, t)
e
∂C(x, t)
∂t = D
∂2C(x, t)
∂x2 , (3.15)
onde: J (x, t) é o fluxo das espécies eletroativas em função da distância x ∈ [0, w] do eletrodo e do tempo t ∈ [0, L], D é a constante de difusão, e C(x, t) é a concentração de espécies.
Figura 3.2: Concentração inicial de espécies no eletrodo [47].
Para uma bateria completamente carregada (cf. Figura 3.2), a concentração de espécies é constante através do comprimento do eletrólito, disso decorre a condição inicial
C(x, 0) = C∗, (3.16)
onde: C∗ é a concentração inicial de espécies.
Conforme a Lei de Faraday [14], o fluxo em uma extremidade do eletrodo é proporcional à corrente de descarga, e na outra é nulo. Assim, para descarga de uma corrente i(t) e tempo 0 < t < ∞, temos como condições de fronteira
∂C(x, t) ∂x x=0 = i(t) vF AD (3.17) e ∂C(x, t) ∂x x=w = 0, (3.18)
onde: A é a área da superfície do eletrodo, F é a constante de Faraday1 e v é o número de elétrons envolvidos na reação química na superfície do eletrodo.
Aplicando-se o método da Transformada de Laplace e suas definições [52] e, utilizando a condição inicial e as condições de contorno, tem-se uma solução analítica para o sistema de EDPs [43, 45], dada por
1A constante de Faraday é uma constante física fundamental que representa a carga molar elementar.
Atualmente, o Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia (NIST) recomenda para a constante de Faraday o valor de 96485,33289 C mol−1 [14, 35].
C(0, t) = C∗− 1 vF A√πD Z t 0 i(τ ) √ t − τ ∞ X n=−∞ e−D(t−τ )w2n2 dτ. (3.19)
Dividindo esta equação pela condição inicial C∗ e considerando
ρ(t) = 1 − C(0, t)
C∗ , (3.20)
a fração de decaimento da concentração de espécies eletroativas na fronteira x = 0, a equação (3.19) torna-se ρ(t) = 1 vF A√πDC∗ Z t 0 i(τ ) √ t − τ[1 + 2 ∞ X n=1 e−D(t−τ )w2n2 ]dτ. (3.21) Considerando β = √w D (3.22)
o parâmetro que está relacionado ao comportamento não linear da bateria e,
α = vF A√πDC∗ρ(L) (3.23)
o parâmetro que está relacionado com a capacidade da bateria, sendo t = L o tempo de vida da bateria, a partir da equação (3.21) obtém-se a expressão geral que relaciona o tempo de vida L da bateria, dada por
α = Z L 0 i(τ ) √ L − τdτ + 2 ∞ X n=1 Z L 0 i(τ ) √ L − τe −(L−τ )β2n2 dτ. (3.24)
e, para i(t) = I, conforme Rakhmatov e Vrudhula [43], tem-se que
α = 2I√L 1 + 2 10 X m=1 e−β2m2L − πe −β2m2 L π − 1 +q1 + πβ2Lm2 (3.25)
onde: α e β são parâmetros estimados, a partir de dados experimentais.
3.3
Extensões aos Modelos Analíticos Tradicionais
Nesta seção são apresentadas extensões propostas, neste trabalho, aos modelos ana-líticos tradicionais, já descritos na Seção 3.2. Em um primeiro momento, é descrita a proposição de melhoria ao modelo baseado na Lei de Peukert, através da minimização funcional por comparação de derivadas. Em seguida, são descritas metodologias alterna-tivas de resolução analítica: uma ao modelo KiBaM, utilizando o método de Variação de
Parâmetros, e outra ao modelo RV, utilizando o método de Fourier (i.e., Separação de Variáveis).
3.3.1
Extensão à Lei de Peukert
O modelo original da Lei de Peukert (cf. Seção 3.2.1), se comparado a outros modelos analíticos mais complexos – e.g., o Modelo RV – apresenta um erro médio de, aproxima-damente, 2% para descargas com correntes constantes e, 8% para descargas com correntes variáveis [43]. Entretanto, utilizando a minimização funcional por comparação das deri-vadas de 1a e 2a ordem da equação (3.1), em relação ao tempo, é possível estabelecer uma relação funcional f : I → L, de tal modo que o erro médio seja reduzido.
Da equação (3.1), evidenciando I à esquerda,
I =a L
1b
. (3.26)
Calculando a derivada de 1a ordem da equação (3.26), em função do tempo (L),
dI dL = − a L 1b bL (3.27)
e, substituindo a equação (3.26) na equação (3.27), obtém-se
− LdI dL −
I
b = 0. (3.28)
De modo análogo, calculando a derivada de 2a ordem da equação (3.26), em função
do tempo (L), d2I dL2 = a L 1b (b + 1) b2L2 (3.29)
e, substituindo a equação (3.26) na equação (3.29), obtém-se
L2d
2I
dL2 −
I(b + 1)
b2 = 0. (3.30)
Na sequência, comparando as equações (3.28) e (3.30), vem
L2d 2I dL2 + L dI dL − I b2 = 0, (3.31)
que é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO), 2a ordem, de Euler-Cauchy [15]. Como L > 0, obtém-se a solução fazendo
I = Lr ⇒ dI dL = rL
r−1 ⇒ d2I
dL2 = r(r − 1)L
e, substituindo a equação (3.32) na equação (3.31), obtém-se
r2− 1
b2 = 0, (3.33)
que é a equação característica da EDO (3.31), cuja solução é
r = ±1
b. (3.34)
Assim, a solução geral da EDO (3.31) é dada por
I = C1L 1 b + C 2L− 1 b, (3.35)
sendo que partindo da equação (3.35), isolando à esquerda L e, convenientemente, adotando-se o sinal negativo para o termo sob a raiz quadrada, obtém-adotando-se a relação funcional, pro-posta neste trabalho, do modelo estendido a partir da Lei de Peukert
L = I − √ I2− 4C 1C2 2C1 b , (3.36)
onde: C1, C2 e b são parâmetros a determinar, a partir de um conjunto de dados experi-mentais.
Para a generalização da Lei de Peukert – cf. equação (3.2) – foi realizada a substituição equivalente, ao longo do tempo (t0 ≤ tk ≤ tn), tal que
I ≡ Pn k=1Ik−1(tk− tk−1) L , (3.37)
adapta o modelo da equação (3.1) para descargas variáveis. De modo análogo, faz-se a substituição da equação (3.37) na equação (3.36); sendo assim, o modelo estendido da Lei de Peukert, para correntes variáveis, é descrito por
L = hPn k=1Ik−1(tk−tk−1) L i − r hPn k=1Ik−1(tk−tk−1) L i2 − 4C1C2 2C1 b , (3.38)
onde: Ik é o valor da corrente de descarga; e, C1, C2 e b são os mesmo parâmetros
estimados para o modelo da equação (3.36). Além disso, para n = 1 a equação (3.38) se reduz a equação (3.36), que é o modelo estendido da Lei de Peukert proposto.
3.3.2
Modelo KiBaM via Método de Variação de Parâmetros
Apresentada na Seção 3.2.2, a resolução original do modelo KiBaM é realizada utili-zando as propriedades da Transformada de Laplace [13,17,31]. Entretanto, neste trabalho,
com o intuito de propor uma metodologia de solução alternativa, busca-se a resolução das equações do modelo, utilizando o método de Variação de Parâmetros [3].
A solução geral do sistema de EDOs do modelo KiBaM – cf. equações (3.3) e (3.4) –, pelo método de Variação de Parâmetros, é inicialmente construída utilizando uma substituição de variáveis, a partir das equações (3.5) e (3.6), da seguinte forma:
h1(t) = y1 c ⇒ y1 = ch1(t) ⇒ dy1 dt = c dh1(t) dt (3.39) e h2(t) = y2 1 − c ⇒ y2 = (1 − c) h2(t) ⇒ dy2 dt = (1 − c) dh2(t) dt . (3.40)
Substituindo as equações (3.39) e (3.40), nas equações (3.3) e (3.4), obtém-se
dh1(t) dt = −Ah1(t) + Ah2(t) − 1 ci(t) (3.41) e dh2(t) dt = Bh1(t) − Bh2(t), (3.42) onde: A = kc e B = (1−c)k .
Da equação (3.42), isolando h1(t) à esquerda e derivando uma vez em relação a t,
tem-se que h1(t) = 1 B dh2(t) dt + h2(t) (3.43) e dh1(t) dt = 1 B d2h2(t) dt2 + dh2(t) dt . (3.44)
Substituindo as equações (3.43) e (3.44), na equação (3.41), obtém-se
d2h2(t)
dt2 + (A + B)
dh2(t)
dt = −(A + B)i(t). (3.45)
A EDO descrita pela equação (3.45) tem como solução geral
h2(t) = φ (t) + δ (t) (3.46)
onde φ (t) é a solução da equação homogênea, e δ(t) é a solução particular. Da equação (3.45), tem-se a EDO homogênea associada
