Modelagem da cinemática lateral de um veículo representado por uma particula orientada.

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Modelagem da cinemática lateral de um veículo representado por uma

particula orientada.

Aluno: Ramon Felipe Brandão do Nascimento Orientador: Mauro Speranza Neto

1 Introdução

O estudo da dinâmica de um veículo é composto pela análise das diversas partes que compõem seu sistema. Dentre elas, as principais são os sistemas de direção, suspensão e carroceria, que dependendo das suas características individuais levam o veículo a se comportar de uma forma única. São exatamente essas características que diferenciam a forma de direção de uma marca de carro para outra, levando a um comportamento mais esportivo, de maior conforto ou que tente alinhar os dois.

Dentre os diversos comportamentos que um veículo pode apresentar, o objeto de estudo nesse trabalho é o trajeto percorrido por um automóvel relacionado a suas características de esterçamento.

Fazendo uma análise menos detalhada, dependendo principalmente do tipo de pneu, das dimensões do veículo e da sua velocidade, um automóvel pode apresentar um comportamento sobreesterçante, subesterçante ou neutro. Para um veículo sobreesterçante, ao efetuar uma curva, há a tendência do raio da curva diminuir, o que é conhecido popularmente como "sair de traseira". Já no caso de subesterçamento o contrário ocorre, e o carro possui a tendência de aumentar o raio da curva, sendo chamado popularmente de "sair de frente".

Carros comerciais são planejados em sua grande maioria para serem subesterçantes, uma vez que sua controlabilidade é um pouco mais simples comparado ao sobreesterçante. Entretanto, ao ocorrer derrapagem, quando qualificado, o motorista consegue recuperar o controle do veículo com maior facilidade quando este é sobreesterçante.

Diante dessa problemática, este trabalho consiste na análise cinemática do comportamento em curva de um veículo, tentando descobrir até que ponto os principais fenômenos dinâmicos de um carro podem ser estudados representando-o como uma partícula orientada.

2 Modelo Two-Wheel Drive

Na maioria dos livros de dinâmica veicular a abordagem clássica para o problema de esterçamento consiste em analisar o carro como tendo sua massa concentrada no centro de massa e os eixos dianteiro e traseiro com apenas uma roda central cada um. Esse modelo pode ser observado na figura 1.

Neste modelo são considerados os ângulos de deslizamento das rodas dianteira e traseira, a distância entre eixos e do CG e o coeficiente de rigidez dos pneus o que permite modelar o sistema de equações diferenciais que descreve o comportamento do veículo representado pelo sistema 1 abaixo.

𝑚𝑉 𝑑𝛽_𝑑𝑡 + 𝑟 = −2𝐾_𝑓 𝛽 +𝑙𝑓 𝑉 𝑟 − 𝛿 − 2𝐾𝑟 𝛽 − 𝑙𝑟 𝑉𝑟 𝐼𝑑𝑟_𝑑𝑡 = −2𝐾𝑓 𝛽 +𝑙_𝑉𝑓𝑟 − 𝛿 𝑙𝑓+ 2𝐾𝑟 𝛽 −𝑙_𝑉𝑟𝑟 𝑙𝑟 (1)

2 Figura 1: Modelo Two-Wheel Drive

Embora esse modelo seja mais completo que o proposto neste trabalho e consiga explicar com eficiência os efeitos de esterçamento, para um estudante que esteja iniciando agora sua vida acadêmica em engenharia, ele pode apresentar grande complexidade, o que dificulta o entendimento do fenômeno. Portanto, com intuito de facilitar o entendimento do fenômeno de derrapagem de um veículo foi adotado um modelo no qual ele seja representado somente pelo seu centro de massa e sua orientação, ignorando em primeira instância os ângulos de deslizamento e suas dimensões.

Como será visto a seguir, ao assumir esse modelo perdem-se algumas características essenciais que caracterizam a derrapagem de um carro, o que levou ao desenvolvimento de duas aproximações que tentam estimar com embasamento na teoria e bom senso o comportamento do veículo ao derrapar.

3 Modelo de partícula orientada

Neste modelo o veículo é assumido como uma massa condensada no seu centro de massa com uma orientação, permitindo seu deslocamento a partir de um atrito estático 𝜇_𝑒, quando o veículo não está derrapando.

Para o estudo do fenômeno de derrapagem é assumido que a partícula estudada percorre um Skidpad, que nada mais é do que uma pista circular em que o carro tem liberdade de aumentar a velocidade tentando percorrer um círculo de raio constante. Para que o veículo derrape, a aceleração centrípeta, indicada pela equação 2, deve ser maior que a aceleração máxima permitida pelo coeficiente de atrito pneu-solo, dado por 𝜇_𝑒𝑔. Para isso, ou o raio da curva deve diminuir ou a velocidade deve aumentar acima de seus limites máximos, indicados

3 pelas equações 3 e 4 respectivamente. Essa característica é dada pelo círculo de aderência do veículo, representado na figura 2. Neste caso a força de tração é desconsiderada, já que o veículo não possui velocidades muito altas e nem está acelerando.

Figura 2: Círculo de Aderência 𝑎_𝑦 =𝑉2 𝑅 (2) 𝑅 = 𝑉 2 𝜇𝑒𝑔(3) 𝑉 = 𝜇𝑒𝑔𝑅(4)

Ao assumir que o veículo já inicie sua trajetória no Skidpad com uma velocidade maior do que a permitida pelo raio que ele gostaria de percorrer e constante, seu percurso irá se diferenciar do círculo de raio constante que o motorista gostaria de impor no veículo, afim de permitir que as forças de atrito estático e centrípeta voltem a se igualar.

Como não é possível determinar com exatidão essa trajetória a partir do modelo proposto, foram desenvolvidas duas hipóteses que tentam explicar esse fenômeno de forma simplificada. Na primeira, o veículo sai a cada intervalo de tempo 𝑑𝑡 de uma tangente e encontra outro círculo de raio maior em relação ao centro instantâneo original. Esse processo se repete até que o raio encontrado seja o mínimo possível referente a velocidade percorrida. Na segunda o veículo percorre um círculo de raio constante referente a velocidade e aceleração centrípeta dada pelo coeficiente de atrito dinâmico 𝜇_𝑑. Como o movimento ainda está relacionado ao centro de rotação anterior, o carro percorre o novo círculo até que este passe pelo círculo referente ao centro de rotação original que permita a velocidade desenvolvida. Ambas as hipóteses serão desenvolvidas a seguir.

4 3.1 Primeira Hipótese

Figura 3: Veículo alterando a trajetória percorrida

Como descrito anteriormente, nesta hipótese de trajetória o veículo percorre a cada intervalo de tempo 𝑑𝑡 uma reta predominante de uma tangente do círculo percorrido imediatamente anteriormente. Isso se deve ao fato do veículo tentar se manter na curva, mas não conseguir devido à excessiva velocidade em relação ao coeficiente de atrito pneu-solo, o que o faz por hipótese sair pela tangente.

No início do desenvolvimento desta hipótese foi postulado que a velocidade angular do veículo permaneceria a mesma que antes de derrapar, o que está errado, sendo necessário apenas observar um veículo derrapar para perceber que a velocidade angular se altera. Esse erro foi observado na simulação, já que o veículo tendia a diminuir o raio da trajetória após algumas interações, fazendo com o que o raio ideal nunca fosse encontrado.

Com a modelagem apresentada a seguir foi possível simular o movimento subesterçante, o que parece ser uma boa aproximação do movimento real do veículo. Uma vantagem deste modelo é que ele permite, no término do processo de derrapagem, que o sentido da direção do veículo esteja tangenciando o novo círculo, o que faz sentido, uma vez que ele passará a percorrê-lo.

A seguir o código em Matlab para o cálculo da trajetória, raio, ângulo e velocidade angular do veículo.

5 %Primeira Hipótese clc; clear; V=10; %m/s theta(1)=0; %rad/s X(1)=11;%m Y(1)=0;%m Xl(1)=0;%m Yl(1)=0;%m Vy(1)=V*cos(theta(1));%m/s Vx(1)=-V*sin(theta(1));%m/s R0=sqrt(X(1)^2+Y(1)^2); %m mu=0.8; g=9.81; %m/s^2 Rf=V^2/(mu*g); %m t(1)=0;%s dt=0.2;%s R(1)=R0;%m i=1; n=0; while(R(i)<Rf) t(i+1)=i*dt; Vy(i)=V*cos(theta(i)); Vx(i)=-V*sin(theta(i)); X(i+1)=Vx(i)*dt+X(i); Y(i+1)=Vy(i)*dt+Y(i); R(i+1)=sqrt(X(i+1)^2+Y(i+1)^2); if(X(i+1)>=0) theta(i+1)=atan(Y(i+1)/X(i+1)); else theta(i+1)=pi+atan(Y(i+1)/X(i+1)); end omega(i+1)=V/R(i+1); i=i+1; end R(i)=Rf; j=1; while(t(i)<7) Xl(j)=Rf*cos(theta(i)); Yl(j)=Rf*sin(theta(i)); omega(i+1)=V/Rf; R(i+1)=sqrt(Xl(j)^2+Yl(j)^2); theta(i+1)=omega(i+1)*dt + theta(i); t(i+1)=i*dt; i=i+1; j=j+1; end

8 3.2 Segunda Hipótese

Uma vez que ao veículo derrapar o coeficiente de atrito deixa de ser estático, ele passa a assumir um valor constante menor que o anterior chamado de coeficiente de atrito dinâmico. Observando a equação 3, ao substituir o coeficiente de atrito estático pelo dinâmico, que é constante, pode-se assumir que o veículo assume um nova trajetória circular referente a este novo raio com aceleração centrípeta constante igual a equação 2, até que seja encontrado o raio mínimo possível para a dada velocidade referente ao centro do círculo inicial. Quando isso ocorre o veículo passa a percorrer este novo círculo sem derrapar e o coeficiente de atrito volta a ser o estático.

Para determinar o valor dos raios dos círculos concêntricos em relação ao centro do círculo inicial durante a derrapagem foi feita uma manipulação geométrica utilizando a lei dos cossenos. Assim foi possível determinar o valor dos raios em função do θ referente ao centro do círculo inicial. A equação (5) representa o resultado final de Rn(θ),

𝑅𝑛 = − 𝑅 − 𝑟 cos 𝜃 + 𝑅2− 𝑅 − 𝑟 2𝑠𝑒𝑛2 𝜃 (5)

onde R é o raio da trajetória de derrapagem dado por 𝑅 = 𝑉

2

𝜇𝑑𝑔

e r é o raio da trajetória circular inicial.

A seguir é apresentado o código em Matlab para avaliar a trajetória raio, ângulo e velocidade angular do veículo e seu resultado gráfico. Como fim de comparação das duas hipóteses foram assumidas as mesmas condições iniciais.

%Função para determinar o raio em função do centro da trajetória inicial

function Rn=raio(Rc,r,theta) Rn=-(Rc-r)*cos(theta)+sqrt(Rc^2-((Rc-r)*sin(theta))^2); end %Segunda Hipótese clc; clear; V=10; %m/s mu_e=0.8; mu_d=0.6; g=9.81; %m/s^2 Rf=V^2/(mu_e*g); %m omega_z=mu_d*g/V;%rad/s theta(1)=0; %rad/s X(1)=11;%m Y(1)=0;%m Xl(1)=0;%m Yl(1)=0;%m Rc=V^2/(mu_d*g);%m R(1)=raio(Rc,X(1),theta(1));%m t(1)=0;%s dt=0.01;%s i=1;

9 while(R(i)<Rf) t(i+1)=dt*i; theta(i+1)=omega_z*dt+theta(i); R(i+1)=raio(Rc,X(1),theta(i+1)); X(i+1)=R(i+1)*cos(theta(i+1)); Y(i+1)=R(i+1)*sin(theta(i+1)); i=i+1; end

O valor da velocidade angular durante a derrapagem é constante e igual a 𝜔 =𝜇𝑑𝑔

11 4 Comparação dos Resultados

Ao se comparar os resultados das duas hipóteses analisadas podem ser percebidas algumas diferenças, já que a abordagem para a solução da descoberta do percurso percorrido ao derrapar são diferentes nos dois casos. Para o exemplo estudado, observando o traçado percorrido na primeira hipótese tem-se que a distância percorrida pelo veículo é maior que na segunda hipótese. Além disso, o tempo para que se alcance o raio mínimo permitido é maior na primeira que na segunda.

Ao observar somente o exemplo analisado, pode-se pensar que a segunda hipótese se aproxima mais da realidade, uma vez que o traçado percorrido pelo veículo se aproxima mais daquele feito na realidade. Entretanto, ela não está totalmente correta. Um dos fatos é a questão do veículo não entrar no novo círculo após a derrapagem tangenciando-o. Ademais há a questão da mudança do centro de rotação instantâneo, deixando de ser o centro do círculo inicial. Apesar dessa mudança, ainda há de haver alguma relação do movimento com este ponto, já que a condição de derrapagem está atrelada ao raio em referência a este centro.

Portanto, após analisar os resultados foi concluído que só há uma única maneira possível para que a segunda hipótese ocorra. Ao derrapar o centro de rotação instantâneo se desloca, fazendo com que a velocidade angular do veículo se altere, mas permaneça constante. Isso ocorre até o momento em que o veículo alcance o raio mínimo permitido em função do centro de rotação inicial, já que a condição para a derrapagem está atrelada ao percurso anteriormente percorrido.

É interessante notar, entretanto, que a aceleração lateral durante a derrapagem permanece constante na segunda hipótese. No modelo de partícula orientada adotado isso é necessário, uma vez que a aceleração lateral está diretamente ligada ao coeficiente de atrito, seja ele o dinâmico ou estático. Como na derrapagem o coeficiente dinâmico é constante, a aceleração lateral também deve ser.

5 Conclusão

Após analisar os dados obtidos nas simulações e a veracidade das hipóteses assumidas pode-se concluir que o modelo de partícula orientada não será suficiente para descrever todos os fenômenos característicos relacionados a descrição do percurso de um veículo ao derrapar. Ambas as hipóteses analisadas possuem um certo grau de veracidade, entretanto falham em alguns detalhes cinemáticos do comportamento do veículo. O modelo tratado permite uma compreensão simplificada do fenômeno estudado, necessitando de uma análise mais complexa para a compreensão do fenômeno por inteiro.

Para que se tenha uma análise mais detalhada e mais próxima da realidade, é necessário, portanto, que se faça uma análise mais complexa desse assunto, considerando por exemplo a característica elástica dos pneus, a dimensão do veículo e ângulos de deslizamento. Dessa forma é possível que se obtenha equações diferenciais que modelem a dinâmica do veículo como o sistema de equações (1) e a análise passa a ser livre de algumas aproximações, sendo baseada essencialmente na matemática, enquanto a análise exposta neste trabalho necessita uma sensibilidade sobre o assunto para que algumas hipóteses sejam sugeridas.

12 Dessa forma, como o intuito deste trabalho é apresentar uma solução simplificada de um problema mais complexo, o seu fim foi alcançado, servindo assim como uma introdução ao problema da análise de esterçamento de veículos.

Bibliografia

1 - Abe, Masato. Vehicle Handling Dynamics. Cap. 2 & 3

2 - Jazar, Reza N.. Vehicle Dynamics, Theory and Application. Cap 10