Probabilidade e Estatística. Probabilidade

Probabilidade e Estat´ıstica

Probabilidade

Prof. Josuel Kruppa Rogenski

2o/2017

F

¸ ˜

I ´E a func¸˜ao P que associa a cada evento de F(Ω) um n ´umero

real pertencente ao intervalo [0, 1], satisfazendo:

I _{P(Ω) = 1;}

I _{P(A ∪ B) = P(A) + P(B), se A e B forem mutuamente}

exclusivos;

I P(∪n

i=1Ai) = Pn

i=1P(Ai), se A1, A2, . . . forem, dois a dois, mutuamente exclusivos.

T

I _{Se os eventos A1, A2, . . ., Anformam uma partic¸˜ao do}

espac¸o amostral, ent˜ao:

n

X

i=1

P(Ai) =1.

T

I Se ∅ ´e o evento imposs´ıvel

T

I para todo evento A ∈ Ω,

P(A) + P( ¯A) = 1

T

I Sejam A ∈ Ω e B ∈ Ω, ent˜ao

T

I Sejam A ∈ Ω e B ∈ Ω, ent˜ao

P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

E

´

Considerando o espac¸o amostral Ω = e1,e2, . . . ,enassociado a

um evento aleat ´orio.

Considere ainda P(ei) =pi, i = 1, . . . , n.

Os eventos ei, i = 1, . . . , n s˜ao equiprov´aveis quando

E

Exemplo 1: Retira-se uma carta do baralho completo de 52 cartas. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas? (R: 16/52)

E

Exemplo 2: O seguinte grupo de pessoas est´a numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moc¸as com mais de 21 anos e 3 moc¸as com menos de 21 anos. Uma pessoa ´e escolhida ao acaso entre as 18. Os seguintes eventos s˜ao definidos:

A: a pessoa tem mais de 21 anos; B: a pessoal tem menos de 21 anos; C: a pessoa ´e um rapaz;

D: a pessoa ´e uma moc¸a. Calcule P(B ∪ D) e P( ¯A ∩ ¯C).

E

Exemplo 3: Qual a probabilidade de, num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4 cartas, ao acaso e sem reposic¸˜ao, se obter uma quadra? (R : 13/C4₅₂)

E

Exemplo 4: Calcular a probabilidade de se obter exatamente 3 caras e 2 coroas em 5 lances de uma moeda. (R: 5/16)

P

Considere um grupo de 250 alunos. Destes, 100 s˜ao homens e 150 s˜ao mulheres. 110 cursam f´ısica e 140 cursam qu´ımica. Um aluno ´e sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de esteja cursando qu´ımica, dado que ´e mulher?

A distribuic¸˜ao ´e dada por

F´ısica Qu´ımica Total

Homem 40 60 100

Mulher 70 80 150

Total 110 140 250

P

P(A|B) = P(A ∩ B)

P(B) ,P(B) 6= 0. P(B|A) = P(B ∩ A)

P

- T

Sejam A ∈ Ω e B ∈ Ω,

P(A ∩ B) = P(B).P(A|B) = P(A).P(B|A)

P

- E

Duas bolas v˜ao ser retiradas de uma urna que cont´em 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas (a) sejam verdes? (b) sejam da mesma cor?

E

Sejam A ∈ Ω e B ∈ Ω. Se A e B s˜ao independentes P(A|B) = P(A) e P(B|A) = P(B) Por definic¸˜ao, P(A ∩ B) = P(A).P(B) 17

E

- E

Lanc¸am-se 3 moedas. Verificar se s˜ao independentes os eventos:

A: sa´ıda de cara na 1a moeda; B: sa´ıda de coroa na 2a e 3a moeda;

Ex1: Considere um dado de 12 faces. Qual a probabilidade de A: Sair um 2. B: Sair um 10. C: Sair um n ´umero maior que 4. D: Sair um n ´umero menor que 8. E: Sair um n ´umero divis´ıvel por 3. F: Sair um n ´umero divis´ıvel por 5.

Ex2: Duas cartas s˜ao selecionadas em sequˆencia de um baralho normal de 52 cartas. Encontre a probabilidade da segunda carta ser uma rainha, dado que a primeira carta ´e um rei (considere que rei n˜ao foi reposto).

Ex3: A probabilidade de que uma cirurgia reconstrutiva de um ligamento ´e de 0,95. Qual a probabilidade de que trˆes cirurgias sejam bem-sucedidas? Qual a probabilidade de que nenhuma das trˆes seja bem-sucedida? Qual a probabilidade de que ao menos uma das trˆes seja bem-sucedida?

P

Exemplo 1:Assuma o seguinte problema:

empregados desempregados total

homem 460 40 500

mulher 140 260 400

total 600 300 900

Qual a probabilidade de se escolher um homem empregado nesse grupo?

P

Teorema 1:Se em um experimento, os eventos A1,A2, . . . ,Ak

podem ocorrer, ent˜ao:

P(A1∩ A2∩ . . . ∩ Ak) =

=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩ A2) . . .P(Ak|A1∩ A2∩ . . . ∩ Ak−1)

Se os eventos s˜ao independentes, temos:

P(A1∩ A2∩ . . . ∩ Ak) =P(A1)P(A2)P(A3) . . .P(Ak)

Observa¸c˜ao:Em func¸˜ao da propriedade de comutatividade, o resultado independe da ordenac¸˜ao dos eventos.

P

Exemplo 2:Trˆes cartas s˜ao escolhidas em sucess˜ao, sem reposic¸˜ao, de um baralho comum. Determine a probabilidade de que o evento A1∩ A2∩ A3ocorra, onde A1 ´e o evento no

qual a primeira ´e um ´as vermelho, A2, o evento no qual a

segunda carta ´e um 10 ou um valete, e A3, o evento no qual a

P

- T

Exemplo 3:Assuma o mesmo problema:

empregados desempregados total

homem 460 40 500

mulher 140 260 400

total 600 300 900

Assuma ainda que 36 empregados e 12 desempregados s˜ao membros de um determinado clube. Qual a probabilidade de um indiv´ıduo escolhido aleatoriamente ser membro do clube?

P

- T

Teorema 2:Se os eventos B1,B2, . . . ,Bkconstituem uma

partic¸˜ao do espac¸o amostral S, de modo que P(Bi) 6=0 para

i = 1, 2, . . . , k, ent˜ao para qualquer evento A de S,

P(A) = k X i=1 P(Bi∩ A) = k X i=1 P(Bi)P(A|Bi)

P

- R

B

Exemplo 4:

Em certa linha de montagem, trˆes m´aquinas B1,B2e B3

produzem 30%, 45% e 25% dos produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiˆencia anteriores, que 2%, 3% e 2% dos produtos feitos por cada m´aquina s˜ao, respectivamente, defeituosos. Agora suponha que um produto, j´a acabado, seja selecionado aleatoriamente. Qual ´e a probabilidade de que tal produto apresente algum defeito?

P

- R

B

Exemplo 5:Considerando o exemplo anterior, se o produto for selecionado aleatoriamente e descobrir-se que apresenta defeitos, qual ´e a probabilidade de que o produto tenha sido fabricado pela m´aquina B3?

P

- R

B

Teorema 3:Se os eventos B1,B2, . . . ,Bkconstituem uma

partic¸˜ao do espac¸o amostral S, de modo que P(Bi) 6=0 para

i = 1, 2, . . . , k, ent˜ao, para qualquer evento A em S, tal que P(A) 6= 0, temos que

P(Br|A) =

P(Br∩ A)

Pk

i=1P(Bi∩ A)

No problema anterior o numerador representa a probabidade do produto ser defeituoso e produzido pelo equipamento B3e

o denominador representa a probabilidade do evento do produto ser defeituoso.

P

- R

B

Exemplo 6:Uma ind ´ustria emprega trˆes planos anal´ıticos para criar e desenvolver certo produto. Devido aos custos, os trˆes planos s˜ao usados em momentos variados. Na verdade, os planos 1, 2 e 3 s˜ao usados para 30%, 20% e 50% dos produtos, respectivamente. O ´ındice de defeitos ´e diferente em cada um dos procedimentos: P(D|P1) =0, 01, P(D|P2) =0, 03 e

P(D|P3) =0, 02, onde P(D|Pj) ´e a probabilidade de um produto

apresentar defeitos, dado o plano j. Se selecionarmos um produto aleatoriamente e observarmos que ele apresenta defeitos, qual foi provavelmente o plano usado e, em consequˆencia, respons´avel pelo defeito?