PARTE I
PRÉ-CÁLCULO
NÚMEROS
SUMÁRIO
Teoria dos números 05
Conjunto dos números naturais 05
Operações com números naturais 06
Expressões numéricas 09
Conjunto dos números inteiros 12
Conjunto dos números racionais 12
Operações com frações 13
Regras para transformação de decimal exato em fração 15
Regras para transformação de uma dízima em fração 16
Conjunto dos números irracionais 16
Conjunto dos números reais 16
Racionalização de denominadores 18 Igualdades em IR 19 Identidades notáveis 19 Fatoração de polinômios 19 Equações 23 Equação de 1º grau 24 Sistemas de 1º grau 24 Problemas 24 Equação de 2º grau 27
Relações entre coeficientes e raízes 28
Estudo das funções 29
Exercícios 38
Função de 1º grau 45
Zero ou raiz da função de 1º grau 46
Gráfico da função de 1º grau 47
Coeficiente angular 48
Exercícios 54
Função de 2º grau 61
Cálculo dos zeros da função quadrática 62
Gráfico 63 Coordenadas do vértice 64 Exercícios 65 Função exponencial 71 Exercícios 74 Logaritmo 87 Consequências da definição 89 Sistemas de logaritmos 90 Condição de existência 90 Propriedades operatórias 90 Cologaritmo 90 Mudança de base 90 Exercícios 92
TEORIA DOS NÚMEROS
Número: é o resultado da comparação de uma grandeza com a unidade. Grandeza: é tudo aquilo que pode ser pesado, medido ou contado.
Unidade: é uma grandeza que serve para medir outras grandezas da mesma espécie. A grandeza es-colhida é arbitrária, mas é necessário que seja perfeitamente definida.
Algarismos: são símbolos que representam os números.
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
Número natural é um conceito primitivo, originário da necessidade dos homens contarem quantidade de coisas ou objetos.
Posteriormente foi estabelecida a sucessão dos números naturais, que se constitui num conjunto infi-nito de números, denominado conjunto dos números naturais.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Esse conjunto tem as seguintes características:
• é representado pela letra N (maiúscula) • é um conjunto infinito
• todo número natural tem um sucessor
• todo número natural, exceto o zero, tem um antecessor • zero é o menor dos números naturais
NOTA:
sucessor de um número natural é outro número natural acrescido de um (1) Exemplos:
O sucessor de 0 é 1 O sucessor de 1 é 2 etc
antecessor de um número natural, exceto o zero, é outro número natural, subtraído de um (1) Exemplos:
O antecessor de 1 é 0 O antecessor de 2 é 1 etc
Importante: não confundir algarismo com número.
(Por exemplo: 738 é um número representado pelos algarismos 7, 3 e 8; já 6 é um número representado pelo único algarismo 6).
Exemplos:
7, 8 e 9 são consecutivos 1 e 2 são consecutivos
O algarismo zero (0) é o único número natural que não possui antecessor, isto é, não há nenhum nú-mero natural antes dele.
Observações
1. Quando se exclui o zero do conjunto dos números naturais, obtém-se o conjunto IN* = {1, 2, 3, ...}
2. Os números que usamos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} são chamados algarismos indo-arábicos e a partir deles, podemos formar qualquer outro número.
Exemplos:
7 é um número formado pelo algarismo 7 21 é um número formado pelos algarismos 2 e 1 103 é um número formado pelos algarismos 1, 0 e 3 etc
3. Lembre-se que número é uma ideia de quantidade, mas numeral é simplesmente o símbolo que representa essa ideia.
Exemplo:
ideia de quantidade numeral indo-arábico cinco bolas 5 bolas
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
1. ADIÇÃO: adição é a operação que determina um número natural para representar o total de obje-tos de duas ou mais coleções.
2. SUBRAÇÃO: é a operação inversa da adição
3. MULTIPLICAÇÃO: é uma soma de parcelas iguais. Observe: 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Podemos representar a mesma igualdade de uma forma diferente, assim: 4 x 3 = 12 ou 4 ▪ 3 = 12 que se lê, quatro vezes três igual a doze.
Essa operação chama-se multiplicação e é indicada pelo sinal x ou ▪ Na multiplicação 4 x 3 = 12, dizemos que:
• 4 e 3 são os fatores • 12 é o produto
IMPORTANTE: Um número natural e seu sucessor ou o seu antecessor são chamados consecu-tivos
4. DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação
Quando o resto da divisão for igual a zero, dizemos que a divi-são é exata.
Quando o resto da divisão for diferente de zero, a divisão não é exata.
Algumas observações importantes:
No conjunto IN não se pode dividir um número menor por um número maior. Exemplo: 5÷10=∃/ (ou seja, 5 dividido por 10 não existe)
Zero dividido por qualquer número (diferente de zero) dá sempre zero.
0 10
0÷ =
Mas, é impossível dividir qualquer número por zero, ou seja, não existe divisão por zero. ∃/
= ÷0 10
5. POTENCIAÇÃO: Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais: 5 x 5 x 5, que vamos indicar por 5 , ou seja: 3 53 =5×5×5=125
Desta forma, temos que:
Onde:
• 5 é a base (que é o fator que se repete)
• 3 é o expoente (o número de vezes que repetimos a base) • 125 é a potência (que é o resultado da operação)
12 3 4 0 dividendo divisor quociente resto 17 3 5 2 dividendo divisor quociente resto 5 3 = 125 base potência expoente
Casos particulares: NÃO ESQUEÇA VIU!!!
qualquer número elevado ao expoente 1 é igual a ele próprio. Exemplos: a) 71 =7
b) 201 =20
qualquer número (exceto o zero) elevado a zero é igual a 1. Exemplos: a) 80 =1
b) 2350 =1 (viu, não importa o tamanho do número)
para resolver uma potência de base 10, basta repetir o número 1 e acrescentar tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
Exemplos: a) 101 =10 (1 zero) b) 102 =100 (2 zeros)
c) 105 =10.000 (5 zeros)
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES
Não é preciso escrever o expoente quando o número é elevado a 1, pois fica subentendido. Quando o expoente é 2, lê-se ao quadrado.
Quando o expoente é 3, lê-se ao cubo.
Quando o expoente é 4, lê-se à quarta potência. etc
Assim, podemos dizer que a POTENCIAÇÃO EM IN, é definida como:
2 e , ... vezes ≥ ∈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =a a a a n IN n a n n 4 43 4 42 1 • Se n = 0 ⇒ a0 =1 (a≠0) • Se n = 1 ⇒ a1 =a (∀a) PROPRIEDADES 1. am⋅an =am+n 2. a (a 0 e m n) a a m n n m ≥ ≠ = − 3. (am)n =am⋅n 4. (a⋅b)n =an ⋅bn 5. = ( ≠0) b b a b a n n n
6. RADICIAÇÃO: Consideremos o caso particular de um número natural elevado ao quadrado. Por exemplo: quanto dá o número 3 elevado ao quadrado?
9 32 =
E se fizermos agora, a pergunta inversa: qual é o número que elevado ao quadrado dá 9? A resposta é 3.
E sua operação é chamada de radiciação e indicada assim:
• o símbolo chama-se radical • o número 9 é o radicando
• o número 3, que é o resultado da operação chama-se raiz quadrada de 9
Obs.: quando o índice do radical é 2, como nesse caso que examinamos, a raiz chama-se quadrada e não há a necessidade de se escrevê-la. Então podemos fazer simplesmente assim: 9 =3
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Numa expressão numérica com adição e subtração, o que devemos fazer primeiro? Devemos efetuar essas operações na ordem em que aparecem na expressão. Exemplos:
1) 35 − 18 + 13 = 17 + 13 = 30
2) 57 + 35 − 42 − 15 = 92 − 42 − 15 = 50 − 15 = 35
E se a expressão tiver parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }?
Em primeiro lugar, devemos resolver as operações indicadas entre parênteses, depois as operações entre colchetes e por último as operações entre chaves.
Exemplos: 1) 35 + [80 − (42 + 11)] = 35 + [80 − 53] = 35 + 27 = 62 2) 18 + {72 − [43 + (35 − 28 + 13)]} 18 + {72 − [43 + 20]} 18 + {72 − 63} 18 + 9 = 27 2 9 = 3 índice do radical radicando raiz
Para calcular o valor de expressões numéricas com as operações de adição, subtração e multiplicação: 1º ) efetuamos as multiplicações.
2º ) efetuamos as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita. Exemplos: 1) 3⋅4+5⋅8−2⋅9=12+40−18=52−18=34 2) 9⋅6−4⋅12+7⋅2=54−48+14=6+14=20 3) 75−{(18⋅6)−7⋅[12−2⋅(10−8+4)+(3⋅5)]+(6⋅7)} } 42 ] 15 6 2 12 [ 7 108 { 75− − ⋅ − ⋅ + + } 42 ] 15 12 12 [ 7 108 { 75− − ⋅ − + + } 42 ] 15 0 [ 7 108 { 75− − ⋅ + + } 42 15 7 108 { 75− − ⋅ + } 42 105 108 { 75− − + } 42 3 { 75− + 30 45 75− = 4) 22+{12+[(6⋅8+4⋅9)−(3⋅7)]−8⋅9} } 72 ] 21 ) 36 48 [( 12 { 22+ + + − − } 72 ] 21 84 [ 12 { 22+ + − − } 72 63 12 { 22+ + − 25 3 22+ =
Para calcular o valor das expressões numéricas com as quatro operações: 1º ) efetuamos as multiplicações e divisões na ordem em que aparecem.
2º ) efetuamos as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem. Exemplos: 1) 3⋅15+36÷9=45+4=49 2) 18÷3⋅2+8−6⋅5÷10 10 30 8 2 6⋅ + − ÷ 17 3 8 12+ − = 3) [(36⋅4)+(72÷9+6⋅12)]+16 16 )] 72 8 ( 144 [ + + + 16 ] 80 144 [ + + 240 16 224+ = 4) 11−{(46÷2)+3⋅[(52÷4)−(3⋅4+1)]−(120÷10)} } 12 )] 1 12 ( 13 [ 3 23 { 11− + ⋅ − + − } 12 ] 13 13 [ 3 23 { 11− + ⋅ − − } 12 0 3 23 { 11− + ⋅ − } 12 0 23 { 11− + − 0 11 11− =
IMPORTANTE: não se esqueça da ordem de resolução numa expressão numérica 1º) potenciação
2º) multiplicação e divisão 3º) adição e subtração
Obs.: Ao resolver uma expressão numérica, devemos eliminar parênteses, colchetes e chaves, nessa ordem. A ordem de resolução das operações deve ser, potenciação e radiciação, na ordem em que aparecerem, multiplicação e divisão, na ordem em que aparecerem e finalmente, adição e subtração, na ordem em que aparecerem. Para ficar mais fácil, começamos pelas expressões que estão dentro dos parênteses, colchetes ou chaves, a partir do mais interno, no caso de estar um dentro do outro.
LEMBRETE IMPORTANTE
Veja que, em uma expressão numérica, a posição dos parênteses, colchetes e chaves alteram o resul-tado da expressão. EXEMPLOS Resolva as expressões: a) 52 +82 −18−7⋅2 Resolução 57 32 69 14 18 64 25+ − − = − = b) (52 +82 −18−7)⋅2 Resolução 128 2 64 2 ) 25 64 25 ( + − ⋅ = ⋅ = c) 32 +8+[72 +(62 ÷2)−3] Resolução ] 3 ) 2 36 ( 49 [ 8 9+ + + ÷ − ] 3 18 49 [ 17+ + − 81 64 17+ = d) 37−2⋅{5+8÷2−[4⋅6−20⋅(9−8)]} Resolução ]} 1 20 24 [ 4 5 { 2 37− ⋅ + − − ⋅ ]} 20 24 [ 9 { 2 37− ⋅ − − } 4 9 { 2 37− ⋅ − 27 10 37 5 2 37− ⋅ = − = e) 1+2⋅{3⋅7−[22 +(32 −3⋅2)⋅5]} Resolução ]} 5 ) 6 9 ( 4 [ 21 { 2 1+ ⋅ − + − ⋅ ]} 5 3 4 [ 21 { 2 1+ ⋅ − + ⋅ ]} 15 4 [ 21 { 2 1+ ⋅ − + 5 4 1 2 2 1 } 19 21 { 2 1+ ⋅ − = + ⋅ = + =
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
Os números inteiros formam um conjunto que se indica por Z = { ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
OPERAÇÕES EM Z 1. Adição e subtração 2. Multiplicação e divisão
Regra de sinais
Sinais iguais (resultado positivo) Ex.: (+2)⋅(+3)=+6 e (−2)⋅(−3)=+6 Sinais opostos (resultado negativo) Ex.: (−2)⋅(+3)=−6 e (+2)⋅(−3)=−6 3. Potenciação com expoente natural
• Base positiva (expoente par ou ímpar) dá resultado positivo; Ex.: (+2)2 =+4 e (+2)3 =+8
• Base negativa (expoente par) dá resultado positivo; Ex.: (−2)2 =+4
Obs.: cuidado, pois (−2)2 =+4, mas −22 =−4, pois nesse caso, somente o 2, é que está ele-vado ao quadrado, o sinal de menos não.
• Base negativa (expoente ímpar) dá resultado negativo. Ex.: (−2)3 =−8
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS
Os números racionais formam um conjunto que se indica por:
∈ ∈ = = * e , / p Z q Z q p x x Q Observe que: Um número racional (q≠0) q p , pode ser: i.um número inteiro Ex.: ... 4 12 3 9 2 6 1 3 3= = = = =
ii.um número decimal exato Ex.: 3,5
2 7 =
iii.um número decimal periódico (dízima periódica) Ex.: 0,333...
3 1
OPERAÇÕES EM Q (COM FRAÇÕES)
1. Adição e subtração (com o mesmo denominador)
Conserve o denominador e efetue a operação indicada no numerador Ex.: a) 3 7 3 5 2 3 5 3 2 = + = + b) 5 4 5 7 11 5 7 5 11− = − =
2. Adição e subtração (com os denominadores diferentes)
É só tirar o mmc dos denominadores; depois dividir o novo denominador, que é o mmc, por cada um dos denominadores e o resultado multiplicar pelo numerador de cada fração correspondente. Ex.: a) 5 1 12 5 3 2 −
+ tirando o mmc (3, 12, 5) encontramos 60, assim:
60 53 60 12 25 40 60 1 12 5 5 2 20 5 1 12 5 3 2+ − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = + − = b) 12 5 2 8 3− +
, note que podemos fazer
12 5 2 8 3− + igual a 12 5 1 2 8 3− + e tirando o mmc (8, 1, 12) encontramos 24, logo:
24 29 24 29 24 10 48 9 24 5 2 2 24 3 3 12 5 1 2 8 3 − = − = + − = ⋅ + ⋅ − ⋅ = + −
3. Multiplicação e divisão
Na multiplicação, devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denomi-nador. Ex.: a) 21 10 7 3 5 2 7 5 3 2 = ⋅ ⋅ = ⋅ b) 4 5 3 2
⋅ (note que nesse caso, é possível simplificar antes o 2 com o 4)
6 5 2 5 3 1 4 5 3 2⋅ = ⋅ = c) 7 3 2 5 3 ⋅
⋅ (vamos simplificar 3 com 3)
1 7 1 2 5 1 7 3 2 5 3 ⋅ ⋅ = ⋅
⋅ (veja que temos
1 2 2= e 1 7 7= ) 5 14 1 7 1 2 5 1 7 3 2 5 3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
Obs.: veja que essa fração 5 14
pode ser escrita como uma fração mista, assim: 5 4 2 5 14 = 5 4 2 5 14
= (o que significa que são 2 inteiros e 5 4
) e para retornar à fração, basta fazer
5 14 5 4 10 5 4 2 5 5 4 2 = ⋅ + = + =
Na divisão, devemos conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da outra. Ex.: a) 15 14 5 7 3 2 7 5 : 3 2 = ⋅ = b) 9 7 3 7 3 1 7 3 : 3 1 = ⋅ = c) 7 9 1 3 7 3 3 1 : 7 3 = ⋅ = d) 7 1 3 1 7 3 1 3 : 7 3 3 : 7 3 = = ⋅ =
4. Potenciação
• com expoente natural
Basta elevar o numerador e o denominador ao expoente, seguindo a propriedade
n n n b a b a = Ex.: 9 4 3 2 3 2 2 2 2 = =
• com expoente inteiro negativo
Nesse caso, devemos inverter a fração para depois elevar ao mesmo expoente com o sinal tro-cado, conforme a propriedade
n n a b b a = − Ex.: a) 4 9 2 3 3 2 2 2 = = − b) 3 27 1 3 3 1 3 3 = 3 = = −
c) 3−2 note que nesse caso, 3 é o mesmo que 1 3 , logo: 9 1 3 1 1 3 3 2 2 2 = = = − −
Ou ainda podemos usar a seguinte propriedade
n n a a− = 1 , assim: 9 1 3 1 3 2 2 = = −
REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE DECIMAL EXATO EM FRAÇÃO
Devemos colocar um traço de fração, em seguida, escrevemos no numerador, o número sem a vírgula e no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantos forem as casas após a vírgula.
Ex.: a) 10 13 3 ,
1 = (1 casa após a vírgula, colocamos 1 zero) b)
100 237 37 ,
2 = (2 casas após a vírgula, colocamos 2 zeros) c) 000 . 1 171 000 . 1 0171 171 ,
0 = = (3 casas após a vírgula, colocamos 3 zeros) d) 2 1 10 5 5 ,
0 = = (veja que nesse caso, é possível simplificar) e) 000 . 1 3 000 . 1 0003 003 , 0 = =
REGRAS PARA TRANSFORMAÇÃO DE UMA DÍZIMA EM FRAÇÃO
Dízima simples: uma dízima periódica simples é igual à parte inteira mais uma fração cujo numera-dor é o período e cujo denominanumera-dor é um número formado de tantos noves quantos forem os algaris-mos do período. Ex.: a) 3 1 9 3 9 3 0 ... 333 , 0 = + = = b) 99 122 99 23 99 99 23 1 ... 232323 , 1 = + = + = c) 999 454 . 3 999 457 997 . 2 999 457 3 457 ,
3 = + = + = (observe que o traço acima do número nas casas deci-mais, indica que ele é o número que repete, ou período)
Dízimas compostas: uma dízima periódica composta é igual à parte inteira mais uma fração cujo numerador é formado pelo ante-período, seguido de um período, menos o ante-período e cujo deno-minador é formado de tantos noves quantos forem os algarismos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos do ante-período.
Ex.: a) 990 229 990 2 231 0 ... 23131 , 0 = + − = b) 900 . 99 218 . 235 900 . 99 418 . 35 2 900 . 99 900 . 99 418 . 35 2 99900 35 35453 2 ... 35453453 , 2 = + − = + = ⋅ + =
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
São todos os números decimais não exatos e não periódicos. Ex.:
a) 2 =1,41421... b) π =3,1413... c) e=2,7182... d) ϕ =1,618...
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS É a união entre os racionais e os irracionais
Expoentes fracionários: n n m m a a = Ex.: a) 25 523 3 = b) 32 2 13 3 1 = = c) 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 = = −
PROPRIEDADES DOS RADICAIS 1. n a⋅n b =n a⋅b 2. = (b≠0) b a b a n n n 3. n m a =n⋅m a 4. (n a)p =n ap 5. n am =n⋅p am⋅p 6. an n am m =
Obs.: As propriedades 1 e 2 só valem se os índices forem iguais, caso contrário, é preciso tirar o mmc dos índices para depois aplicarmos as propriedades, assim:
5 2
3 ⋅
observe que os índices são 3 e 2 e o mmc entre eles é 6 (este será o novo índice)
2 1 3 1
3 2⋅ 5 = 2 ⋅ 5 devemos pegar o mmc que é 6, dividir pelo índice do primeiro radical e
multi-plicar pelo expoente do respectivo radicando e fazer o mesmo com o segundo radical.
6 3 6 2 6 1 3 6 1 2 2 1 3 1 3 5 2 5 2 5 2 5
2⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ agora já temos os índices iguais. Então, nos valemos da propriedade 1 (n a⋅n b =n a⋅b)
6 6 6 2 3 6 3 6 2 6 1 3 6 1 2 2 1 3 1 3 500 125 4 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
Quando o denominador é irracional, é útil transformar a fração numa equivalente de denominador racional. Essa transformação denomina-se racionalização do denominador.
A racionalização é obtida multiplicando-se ambos os termos da fração por uma expressão convenien-temente escolhida e denominada fator racionalizante.
1º caso: o denominador é um radical de 2º grau. Multiplicaremos os dois termos da fração pelo de-nominador.
Ex.: Racionalizar o denominador de 3 2
multiplicamos o numerador e o denominador por 3 , assim:
3 3 3 2 ×
(note que ao multiplicar 3 2
por 3 3
, não estamos alterando a expressão, pois 1 3 3 = , logo, 3 3 3 2 × é o mesmo que 1 3 2 ×
, que continua sendo 3 2 ) 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 = ⋅ = ⋅ ⋅ =
× aqui devemos simplificar o índice do radical com o expoente do
radicando 32 =232 =3, logo: 3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 2 = = ⋅ = ⋅ ⋅ = ×
2º caso: o denominador é um radical de grau qualquer. Multiplicaremos os dois termos da fração pela potência do denominador que tornar o expoente do radicando igual ao índice.
Ex.: Racionalizar o denominador de
7 2
3 2
multiplicamos o numerador e o denominador por 7 53 , assim:
3 3 2 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 7 5 7 7 7 5 7 2 5 7 5 7 5 7 2 7 5 7 5 7 5 7 2 ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ×
3º caso: denominador binômio em que um só termo, ou ambos, são radicais de 2º grau. Multiplicare-mos os dois teMultiplicare-mos da fração pela expressão conjugada do denominador, baseando-se no princípio: “o produto da soma pela diferença de dois termos é igual à diferença de seus quadrados”.
Ex.: Racionalizar o denominador de
3 5 2 − A expressão conjugada de 5− 3 é 5+ 3 logo 5 3 2 ) 3 5 ( 2 3 5 ) 3 5 ( 2 ) 3 ( ) 5 ( ) 3 5 ( 2 3 5 3 5 3 5 2 2 2 = + + = − + = − + = + + × −
IGUALDADES EM IR
Uma relação muito importante definida em IR (conjunto dos números reais) é a relação de igualdade. Na igualdade A=B, A é o primeiro membro e B é o segundo membro.
As igualdades entre duas expressões algébricas podem se de dois tipos:
1. Identidades: são igualdades que se verificam quaisquer que sejam os valores atribuídos às variá-veis.
2. Equações: são igualdades condicionais que se verificam apenas para determinado(s) valor(es) atribuído(s) às variáveis.
IDENTIDADES NOTÁVEIS
As igualdades entre expressões algébricas que independem das variáveis são chamadas de identida-des. Dada a frequência com que são usadas, algumas identidades são ditas notáveis.
1. Quadrado da soma: (a+b)2 =a2 +2ab+b2 2. Quadrado da diferença: (a−b)2 =a2 −2ab+b2
3. Produto da soma pela diferença: (a+b)(a−b)=a2 −b2 4. Cubo de uma soma: (a+b)3 =a3+3a2b+3ab2 +b3 5. Cubo de uma diferença: (a−b)3 =a3 −3a2b+3ab2 −b3 6. Soma de dois cubos: a3 +b3 =(a+b)(a2 −ab+b2) 7. Diferença de dois cubos: a3 −b3 =(a−b)(a2 +ab+b2) FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Fatorar um polinômio é escrevê-lo na forma de um produto, cujos fatores devem ser os mais simples possíveis.
Casos de fatoração: 1. Fator evidência
2. Fatoração por agrupamento 3. Diferença de dois quadrados 4. Quadrado da soma ou da diferença 5. Trinômio quadrado perfeito
Questão 01 Desenvolva: a) (3x+2y)2
Resolução
Temos um quadrado da soma de dois termos
2 2 2 2 2 (3 ) 2 3 2 (2 ) 9 12 4 ) 2 3 ( x+ y = x + ⋅ x⋅ y+ y = x + xy+ y b) (a−3b)2 Resolução
Agora, temos um quadrado da diferença de dois termos
2 2 2 2 2 9 6 ) 3 ( 3 2 ) ( ) 3 (a− b = a − ⋅a⋅ b+ b =a − ab+ b c) (3b+2)(3b−2) Resolução
Agora, temos um produto da soma pela diferença de dois termos 4 9 ) 2 ( ) 3 ( ) 2 3 )( 2 3 ( b+ b− = b 2 − 2 = b2 − d) (3a−2b)(9a2 +6ab+4b2) Resolução
Diferença de dois cubos
3 3 3 3 2 2 8 27 ) 2 ( ) 3 ( ) 4 6 9 )( 2 3 ( a− b a + ab+ b = a − b = a − b e) (m+5y)(m2 −5my+25y2) Resolução
Soma de dois cubos
3 3 3 3 2 2 125 ) 5 ( ) ( ) 25 5 )( 5 (m+ y m − my+ y = m + y =m + y f) (2+3b)3 Resolução Cubo da soma 3 2 2 3 3 ) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( 3 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( ) 3 2 ( + b = + ⋅ ⋅ b+ ⋅ ⋅ b + b 3 2 3 27 9 2 3 3 4 3 8 ) 3 2 ( + b = + ⋅ ⋅ b+ ⋅ ⋅ b + b 3 3 3 27 54 36 8 ) 3 2 ( + b = + b+ b + b g) (5−2y2)3 Resolução Cubo da diferença 3 2 2 2 2 2 3 3 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 5 ( 3 ) 2 ( ) 5 ( 3 ) 5 ( ) 2 5 ( − y = − ⋅ ⋅ y + ⋅ ⋅ y − y 6 4 2 3 2 8 4 5 3 2 25 3 125 ) 2 5 ( − y = − ⋅ ⋅ y + ⋅ ⋅ y − y 6 4 2 3 2 8 60 150 125 ) 2 5 ( − y = − y + y − y
Questão 02 Fatore as expressões: a) 15x2y+20x3y2 −5x2yz Resolução Colocamos x, y e 5 em evidência ) 4 3 ( 5 5 20 15x2y+ x3y2 − x2yz = xy x+ x2y−xz b) a3x2y+a2xy3 Resolução Colocamos a2, x e y em evidência ) ( 2 2 3 2 2 3 y ax xy a xy a y x a + = + c) 5x−15+xy−3y Resolução
Fatoramos por agrupamento
) 5 )( 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 5 3 15 5x− +xy− y= x− +y x− = x− +y d) 6x3 −3x2 +9x−4x2y+2xy−6y Resolução
Fatoramos mais uma vez por agrupamento, só que agora, agrupamos de 3 em 3 ) 3 2 ( 2 ) 3 2 ( 3 6 2 4 9 3 6x3 − x2 + x− x2y+ xy− y = x x2 −x+ − y x2 −x+ e agora colocamos 3 2x2 −x+ em evidência; ) 2 3 )( 3 2 ( 6 2 4 9 3 6x3 − x2 + x− x2y+ xy− y = x2 −x+ x− y e) 9−4x2 Resolução
Diferença de dois quadrados
) 2 3 )( 2 3 ( ) 2 ( 3 4 9− x2 = 2 − x 2 = − x + x f) 2 16 6 81 25 b a n − Resolução
Diferença de dois quadrados
+ − = − = − 6 2 3 2 3 3 2 4 9 5 4 9 5 ) 4 ( 9 5 16 81 25 b a b a b a b a n n n n
g) x2 +6xy+9y2 Resolução
Trinômio quadrado perfeito
2 2 2 ) 3 ( 9 6xy y x y x + + = + h) 4m2 −12mn3 +9n6 Resolução
Trinômio quadrado perfeito
2 3 6 3 2 ) 3 2 ( 9 12 4m − mn + n = m− n i) 9a2 +12ab+4b2 −16n2 Resolução
Note que nesse caso, temos uma mistura de duas fatorações. Primeiro, um trinômio quadrado perfeito e depois uma diferença de dois quadrados.
2 2 2 2 2 2 16 ) 4 12 9 ( 16 4 12 9a + ab+ b − n = a + ab+ b − n 2 2 2 2 2 ) 4 ( ) 2 3 ( 16 4 12 9a + ab+ b − n = a+ b − n ] 4 ) 2 3 [( ] 4 ) 2 3 [( 16 4 12 9a2 + ab+ b2 − n2 = a+ b − n ⋅ a+ b + n ] 4 2 3 [ ] 4 2 3 [ 16 4 12 9a2 + ab+ b2 − n2 = a+ b− n ⋅ a+ b+ n
EQUAÇÕES
Sentença é um conjunto de palavras que tem sentido completo. Por exemplo: “Eu estudo para passar no concurso”
Quando uma sentença envolve números, ela é chamada de sentença matemática. Por exemplo: “3 + 2 = 5”
As sentenças matemáticas podem ser fechadas ou abertas.
Sentença matemática fechada: são aquelas que apresentam valores desconhecidos, podendo ser falsas ou verdadeiras.
Por exemplo: a) 4 = 7 b) 15 − 7 = 8
Sentença matemática aberta: são aquelas que apresentam valores desconhecidos e, por isso, não podemos dizer se são verdadeiras ou falsas.
Por exemplo: a) x − 7 = 13 b) 2x+3y=14
EQUAÇÃO é, portanto, uma sentença matemática aberta expressa por uma igualdade.
Variável ou incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma expressão ou equação.
PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES
1. Princípio aditivo: quando adicionamos ou subtraímos o mesmo número aos dois membros de uma equação, obtemos outra equação equivalente à anterior, ou seja: se a=b, então
k b k
a+ = + . Esta propriedade permite:
i. cancelar um termo comum aos dois membros de uma equação. 7
10 7
5x2 − = − ⇒ 5x2 =10
ii. transpor um termo de um membro para outro, trocando seu sinal. 2
4
6x− = ⇒ 6x=2+4
NOTA:
Por que princípio aditivo quando estamos subtraindo?
Porque matematicamente subtrair é o mesmo que somar o oposto. 5
3= +
x ⇒ x+3−3=5−3
E como a soma de dois números opostos é igual a zero, que é o elemento neutro da adição, temos que: x+0=5−3 ⇒ x=2
2. Princípio multiplicativo: quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma equa-ção por um mesmo número, diferente de zero, encontramos uma nova equaequa-ção, equivalente à an-terior, ou seja: se a=b, então a⋅k =b⋅k (k ≠0).
Esta propriedade permite:
i. cancelar um fator não nulo comum aos dois membros de uma equação. ) 2 ( 2 = + x a ax ⇒ x2 =x+2, para a≠0
ii. transpor um fator não nulo de um membro para o denominador do outro membro 6 3x= ⇒ 3 6 = x
iii. eliminar os denominadores de uma equação, multiplicando ambos os membros pelo mmc dos denominadores. 2 1 2 3 2 + = − x x ⇒ 2 1 6 2 3 2 6 = ⋅ + − ⋅ x x NOTA:
Por que princípio multiplicativo quando estamos dividindo?
Porque matematicamente dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso. 6 3x= ⇒ 3 1 6 3 1 3x⋅ = ⋅
E como o produto de um número pelo seu inverso é igual a 1, que é o elemento neutro da
multi-plicação, temos que: 2
3 6
1= ⇒ =
⋅ x
x
EQUAÇÃO DE 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL
Chamamos de equação de 1º grau com uma variável, a toda equação que após efetuadas todas as simplificações possíveis, se reduz à forma: ax+b=0. Resolver essa equação é encontrar sua raiz, ou seja, o valor de x que a satisfaz.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE 1º GRAU
Sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que são satisfeitas para os mesmos valores das incógnitas, isto é, que admitem pelo menos uma solução comum.
PROBLEMAS DE 1º GRAU
São problemas que podem ser resolvidos com equações ou ainda com sistemas de equações de 1º grau. Para resolver problemas de 1º grau, devemos seguir os seguintes passos:
1. traduzir o problema do português para o “matematiquês” 2. resolver a equação (ou o sistema)
3. verificar se as raízes são compatíveis com o problema
CONCLUSÃO: Você percebeu que resolver uma equação significa isolar a incógnita, por que quando ela fica sozinha de um dos lados da igualdade e do outro conseguimos um único valor, neste momento encontramos o valor da incógnita daquela situação.
Exemplos: 1. Resolver as equações: a) 5 3 4 3 1 5 − = − − x x x Resolução
Devemos tirar o mmc entre 1, 3, 1 e 5 que nesse caso é 15
Multiplicamos os dois lados da igualdade pelo mmc que é 15, assim: − ⋅ = − − ⋅ 5 3 4 15 3 1 5 15 x x x ⇒ 5 3 15 60 3 1 5 15 15 = − ⋅ − ⋅ − x x x 3 3 60 ) 1 5 ( 5 15x− ⋅ x− = x− ⋅ ⇒ 15x−25x+5=60x−9 9 60 5 10 + = − − x x ⇒ −10x−60x=−9−5 ) 1 ( 14 70 =− −
− x multiplicamos ambos os membros por (–1) 14 70x= ⇒ 70 14 = x , que simplificando dá 5 1 = x b) 2 (ab 0 e a b) a b x b a x− + − = ≠ ≠ Resolução
Tiramos o mmc entre b, a e 1 e temos ab. Multiplicamos os dois membros por ab. ab a b x b a x ab =2 − + − ⋅ ⇒ ab a b x ab b a x ab =2 − ⋅ + − ⋅ ab b x b a x a⋅( − )+ ⋅( − )=2 ⇒ ax−a2 +bx−b2 =2ab 2 2 2ab a b bx
ax+ = + + ⇒ ax+bx=a2 +2ab+b2 note que a expressão do segundo membro é um produto notável a2 +2ab+b2 =(a+b)2, e colocando x em evidência no primeiro mem-bro, temos: 2 2 2 ) (a b a ab b x + = + + ⇒ x(a+b)=(a+b)2 ⇒ b a b a x + + = ( )2 ⇒ x=a+b c) ( 1) 1 3 1 1 1 2 2 − ≠± = − − + x x x x Resolução
Tiramos o mmc (x+1, x−1 e x2 −1) que nesse caso é o próprio x2 −1, pois ) 1 )( 1 ( 1 2 − = + − x x x
Vamos dividir o mmc pelo denominador da primeira fração e multiplicar pelo numerador, em ca-da um dos membros, assim:
) 1 )( 1 ( 1 2 − = + − x x
x dividimos por x+1, encontramos x−1 e multiplicamos por 2 ) 1 )( 1 ( 1 2 − = + − x x
x dividimos por x−1, encontramos x+1 e multiplicamos por 1 ) 1 )( 1 ( 1 2 − = + − x x
x dividimos por x2 −1x2 −1, encontramos 1 e multiplicamos por 3 Agora, temos o seguinte resultado, após as operações:
1 3 ) 1 ( 1 ) 1 (
2⋅ x− −⋅ ⋅ x+ = ⋅ (aqui cancelamos os denominadores, que é o mmc, dos dois lados da igualdade)
3 1 2
d) (3x−1)(2x+1)(x−3)=0 Resolução
Nesse caso, temos um produto que é igual a zero, e daí temos que, se um produto é igual a zero, então os seus fatores também serão nulos.
0 1 3x− = ⇒ 3x=1 ⇒ 3 1 = x 0 1 2x+ = ⇒ 2x=−1 ⇒ 2 1 − = x 0 3= − x ⇒ x=3
E então, temos três soluções para a equação que são: e 3 3 1 , 2 1 − 2. Resolver os sistemas: a) = − = + 3 3 2 16 5 y x y x Resolução
Podemos usar o método da substituição, e isolamos a variável y na primeira equação x
y=16−5 , agora, substituímos essa variável na segunda equação, assim 3 3 2x− y= ⇒ 2x−3⋅(16−5x)=3 ⇒ 2x−48+15x=3 48 3 17x= + ⇒ 17x=51 ⇒ x=3 encontrado o valor de x, é só substituir em y
x y=16−5 ⇒ y=16−5⋅3=16−15 ⇒ y=1 ) 1 , 3 ( : S b) = − = + 1 2 5 8 3 2 y x y x Resolução
Agora, vamos usar o método da adição = − = + ) 3 ( 1 2 5 ) 2 ( 8 3 2 y x y x ⇒ = − = + 3 6 15 16 6 4 y x y x
somando membro a membro, temos:
19
19x= ⇒ x=1
Substituindo o valor de x em alguma das equações, temos: 8 3 2x+ y= ⇒ 2⋅1+3y =8 ⇒ 2+3y=8 ⇒ 3y=8−2 6 3y= ⇒ y =2 ) 2 , 1 ( : S
3. Se a um número somarmos o seu dobro e subtrairmos a sua terça parte, encontramos 16. Qual é esse número? Resolução 16 3 2 − = + x x x ⇒ 16 3 3x− x = ⇒ 9x−x=48 ⇒ 8x=48 ⇒ x=6
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
É toda equação da forma ax2 +bx+c=0. As equações do 2º grau podem ser completas ou incom-pletas.
Por exemplo:
Resolver as equações: a) 5x2 =0
Resolução
Note que essa equação do 2º grau, falta o termo b e c Ela pode ser resolvida facilmente assim:
0 5x2 = ⇒ 5 0 2 = x ⇒ x2 =0 ⇒ x=± 0 ⇒ x=±0 ⇒ x=0
Assim, quando a equação do 2º grau for incompleta e faltar os termos b e c, então ela terá uma ú-nica raiz que é {0}
b) 3x2 −6x=0 Resolução
Nesse caso, falta o termo c. Podemos resolver essa equação, colocando alguns termos em evidên-cia. 0 6 3x2 − x= ⇒ 3x(x−2)=0 0 0 3x= →x′= 2 0 2= → ′′= − x x
Note que quando faltar o termo c, numa equação do 2º grau, uma das raízes sempre será igual a 0. c) 4x2 −36=0
Resolução
Agora, falta o termo b. 0
36
4x2 − = ⇒ 4x2 =36 ⇒ x2 =9 ⇒ x=±3
Veja que quando faltar o termo b e o termo c for negativo (c < 0), numa equação de 2º grau, as ra-ízes sempre serão simétricas.
EQUAÇÃO COMPLETA
Quando a equação de 2º grau for completa, isto é, da forma ax2 +bx+c=0, com todos os termos diferentes de zero, então podemos usar a fórmula de Bháskara:
a b x 2 ∆ ± − = , onde ∆=b2 −4ac é o discriminante, isto é, ele é responsável pelo número de raízes da equação:
• Se ∆>0, então teremos duas raízes reais e diferentes;
• Se ∆=0, então teremos duas raízes reais e iguais ou uma única raiz real; • Se ∆<0, então não teremos nenhuma raiz real.
Exemplos: Resolver as equações: a) 3x2 −5x+2=0 Resolução 1 24 25 2 3 4 ) 5 (− 2 − ⋅ ⋅ = − = =
∆ , como ∆>0, então teremos duas raízes reais e distintas Aplicamos a fórmula de Bháskara
6 1 5 3 2 1 ) 5 ( = ± ⋅ ± − − = x 3 2 6 4 6 1 5− = = = ′ x e 1 6 6 6 1 5+ = = = ′′
x , logo as raízes são distintas (diferentes) e 1 3 2 : S b) 4x2 +12x+9=0 Resolução 0 144 144 9 4 4 122 − ⋅ ⋅ = − = =
∆ , como ∆=0, então teremos apenas uma raiz real
8 12 8 0 12 4 2 0 12 − = ± − = ⋅ ± − = x , assim 2 3 − = ′′ = ′ x x c) −3x2 +5x−8=0 Resolução 71 96 25 ) 8 ( ) 3 ( 4 52 − ⋅ − ⋅ − = − =− =
∆ , como ∆<0, então não temos raiz real
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES SOMA DAS RAÍZES:
a b x x
S = ′+ ′′=− PRODUTO DAS RAÍZES:
a c x x P= ⋅′ ′′=
Observe que dada uma equação do segundo grau da forma ax2 +bx+c=0, podemos dividir ambos os membros por “a”, assim:
) ( 0 2 a c bx ax + + = ÷ ⇒ a a c bx ax2 0 = + + ⇒ a a c a bx a ax2 0 = + + 0 2 + + = a c x a b x ⇒ 2 + =0 − − a c x a b x ⇒ x2 −Sx+P=0 FORMA FATORADA
Temos ainda que a forma fatorada da equação do segundo grau é: ) )( ( 1 2 2 x x x x a c bx ax + + = − −
ESTUDO DAS FUNÇÕES
É muito comum ouvirmos que as fórmulas matemáticas só servem para dificultar a nossa vida, mas ao contrário, elas existem com a única finalidade de facilitar e simplificar o nosso trabalho. Em mui-tas situações, precisamos relacionar um determinado valor com um outro. Quando fazemos isso, es-tamos utilizando função, que matematicamente significa uma correspondência entre os elementos de dois conjuntos, de tal forma que alguma lei (ou regra) possa ser estabelecida. Na matemática esses dois conjuntos serão chamados de domínio e contradomínio. Os elementos usados na situação em questão são as variáveis, pois podem variar de acordo com a necessidade da situação, e como o valor de uma interfere no valor da outra, temos que uma variável é dependente e a outra independente. Os matemáticos e os profissionais nas mais diversas áreas buscam encontrar fórmulas que modelem determinados fenômenos ou experimentos.
O uso da matemática para traduzir relações entre variáveis do nosso dia-a-dia permite-nos estudar determinados comportamentos, identificar e padronizar essas relações quanto à sua linearidade, para que seja possível por um lado, controlar a sua evolução ao longo do tempo e por outro, prever evolu-ções futuras. Em muitas ocasiões acreditamos que ficaria muito mais fácil, resolver alguma situação baseado apenas na nossa intuição, mas é nessa hora que devemos nos valer de conhecimentos mate-máticos para modelar essa situação e fazer uma previsão do que de fato possa vir a acontecer. As empresas estão cada vez mais interessadas nesse tipo de modelagem, uma vez que evita o desperdício de tempo e de recursos.
Alguns modelos se encontram associados a cada uma das funções já conhecidas, outros nem tanto. Então é importante ter uma boa dose de ferramentas matemáticas que nos permita estabelecer regras e leis para encontrar a fórmula mais adequada.
Se considerarmos uma pequena empresa e verificarmos como as vendas de determinado produto va-ria com os investimentos feitos em marketing durante um período de 12 meses, estamos estabelecen-do uma função. Resta agora analisar qual será o tipo de função mais adequada a essa situação. Aqui, queremos demonstrar que mesmo em pequenas empresas, as vendas de um produto estão fortemente influenciadas pelo seu marketing e isso com o auxílio de uma ferramenta matemática, de forma que a partir dessa situação, o gerente da empresa possa tomar uma decisão baseada na nossa estratégia. Veja que as questões colocadas aqui são basicamente três:
• Qual seria a função que melhor representaria a lei de dependência entre o investimento feito em marketing e o seu respectivo retorno em venda?
• Se a empresa tivesse R$ 2.000, 00 (o máximo que ela poderia dispor) para investir a cada mês em marketing, qual seria a venda esperada?
• Qual seria o menor valor a ser investido em marketing para que a empresa mantivesse um mínimo de vendas?
Veja, por exemplo, a seguinte situação:
Os engenheiros eletricistas e físicos constataram que a função E(t)=0,05t descreve a energia consumida em função do tempo para uma televisão de 50w (0, 05 kw) de potência.
Se uma televisão ficar ligada 8 horas por dia, em um mês terá consumido 12 kwh. Observe os cálculos: Kwh t E( )=0,05⋅8=0,4 Em um mês (30 dias), temos: 0,4×30=12 Kwh
E sabendo que a Companhia de Energia Elétrica de Minas Gerais, cobra, aproximadamente R$ 0,57 por Kwh consumido, então o preço a pagar por esse consumo será: 12×0,57=6,84
ou seja, aproximadamente R$ 7,00 por mês, só de televisão!!! Note que a energia consumida (E) é uma função do tempo (t). Agora, vamos organizar essa relação:
Se a TV ficar ligada por 1 hora, o consumo será E(1)=0,05⋅1=0,05 Se a TV ficar ligada por 2 horas, o consumo será E(2)=0,05⋅2=0,10 Se a TV ficar ligada por 3 horas, o consumo será E(3)=0,05⋅3=0,15 E daí, teremos a seguinte tabela:
Tempo (h) Consumo (Kwh)
1 0, 05
2 0, 10
3 0, 15
4 0, 20
Também, podemos fazer uma representação gráfica:
Observe que as variáveis, nessa situação, são o tempo e o consumo, que são os nossos dois conjun-tos, onde a variável tempo será o domínio e a variável consumo, o contradomínio. Veja que o con-sumo depende do tempo de uso. Assim, o concon-sumo é a variável dependente, enquanto que o tempo é a variável independente.
Veja que a partir desse modelo, é possível fazer uma previsão de consumo e evitar um gasto maior na conta de luz.
Se uma família decide gastar R$ 60, 00 por mês, com uma tolerância de R$ 4,00 para mais ou para menos, qual será a faixa de consumo para que o custo fique dentro do padrão estabelecido. Algumas perguntas podem ser feitas.
• Qual será o tempo de uso da TV?
• Qual será o tempo de uso do chuveiro elétrico? • Qual será o tempo de uso do computador?
• etc
E se transferimos esse modelo para uma situação maior, uma indústria, por exemplo, será se não po-demos verificar certos desperdícios e criar um modelo, tal qual foi feito com a casa em questão? Será se não podemos aumentar a produtividade dessa empresa, a partir de certos cortes no desperdí-cio?
Assim, temos que a função pode ser aplicada a várias situações:
• Filas de banco: quantos caixas seriam necessários para se ter uma fila de tamanho médio x qualquer?
• Projetos de circuitos elétricos
• Quais os pontos ótimos (otimização) de produção numa indústria?
• Que quantidade de ônibus da mesma frota, deve estar circulando de maneira que o passa-geiro espere no máximo 5 minutos no ponto de ônibus no horário de “rush” à tarde? Então, são várias as aplicações de função. Resta agora, fazer uma definição matemática (formal) de função e encontrar os possíveis modelos.
0,05 0,10 0,15 0,20 Consumo (Kwh) 1 2 3 4 Tempo (h)
Para isso, vamos considerar dois conjuntos A e B e analisar: B
A
Não é função, pois nem todo elemento de A corresponde a algum elemento de B. Note que o elemento 3 de A ficou so-brando. a 1 b 2 c 3 d 4 B b 2 A 1 3 a c d
Não é função, pois existe um elemento de A, que está corres-pondendo a mais de um elemento de B, e a definição diz que todo elemento de A, deve estar correspondendo a um único elemento.
É função, pois todo elemento de A, está correspondendo a um único elemento de B.
Note que não há nenhum problema em sobrar elementos em B.
Nesse caso, como é função, temos: Domínio: D = {1, 2, 3, 4} Contradomínio: CD = {a, b, c, d, e} Imagem: Im = {a, b, c, d} a b c d 4 2 1 3 A B e
É função, pois todo elemento de A, está correspondendo a um único elemento de B.
Note que não há nenhum problema em ter mais de um ele-mento de A, correspondendo a um eleele-mento de B.
Nesse caso, como é função, temos: D = {1, 2, 3, 4, 5} CD = {a, b, c, d} Im = {a, b, c, d} 4 A B 1 2 3 a b c d 5
Graficamente, podemos fazer a seguinte representação:
Não é função, no intervalo de a até b, pois existem elemen-tos, o k, por exemplo, que não possui imagem.
Não é função, no intervalo de a até b, pois existem elemen-tos, o k, por exemplo, que possui mais de uma imagem.
É função, pois no intervalo de a até b, todo elemento possui uma única imagem.
No plano cartesiano, o domínio será representado pelo eixo x, enquanto que a imagem será represen-tada pelo eixo y.
y x b a k y a k b x y a b x
De maneira geral, para caracterizar uma função precisamos de: 1) dois conjuntos A e B não vazios;
Observe a seguinte situação:
“Uma caixa de remédios custa R$ 3, 00. Quanto custa 8 caixas do mesmo remédio? Trata-se de um problema simples de multiplicação:
8 caixas de remédio a $ 3, 00 cada uma, dá: 8 x 3 = 24
Mas note que existe uma correspondência entre o preço a pagar e a quantidade comprada.
Podemos observar que o preço a pagar depende da quantidade com-prada, logo, o preço a pagar será chamado de variável dependente, enquanto que a quantidade de caixas será a variável independente.
Agora, já temos condições de estabelecer uma fórmula para esta situação, baseado na observação da correspondência entre o preço a pagar e a quantidade comprada:
Quantidade de caixas Preço a pagar 1 3⋅1=3 2 3⋅2=6 3 3⋅3=9 4 3⋅4=12 . . . x 3⋅x=3x
Assim, temos que o preço a pagar P em função da quantidade x, pode ser representada por: x
x
P( )=3 que é a fórmula matemática para representar essa situação.
Nessa fórmula, P(x)=3x, o domínio é x, a imagem é P(x) e a lei de associação é 3x. Quantidade de caixas Preço a pagar 1 3 2 6 3 9 4 12 1 2 3 4 3 6 9 1 Preço a pagar Quantidade de caixas Preço a pagar 1 2 3 4 3 6 9 12 Quantidade de caixas
Assim, quando o domínio x for igual a 1, a imagem será 3⋅1=3. Veja:
P(1) = 3 P(2) = 6 P(3) = 9
Note que também poderíamos calcular P(−2)=3⋅(−2)⇒ P(−2)=−6
mas observe que nesse caso, não faz sentido comprar −2 caixas de remédio e pagar R$ −6, 00.
Com isso, estamos estabelecendo a condição de existência (C.E.) ou simplesmente domínio (D) da função.
É nesse momento que iremos verificar em qual conjunto a função irá existir. Observe outros exemplos:
Exemplo 01
Uma função é definida por
x x f( )=10, calcule: a) f (−2) b) f (−1) c) f (0) d) f (2) e) 2 1 f Resolução: a) 5 2 10 ) 2 ( =− − = − f ou seja, a imagem de x = −2 é y=−5 b) 10 1 10 ) 1 ( =− − = − f ou seja, a imagem de x=−1 é y =−10 c) 0 10 ) 0 ( =
f (veja que neste caso, não existe a divisão por zero)
d) 5 2 10 ) 2 ( = = f e) 20 1 20 1 2 10 2 1 10 2 1 = = ⋅ = = f
Então, aqui, o domínio será D={x∈IR/x≠0} ou seja, queremos dizer que x pode ser qualquer número, exceto o zero.
Exemplo 02
Dada a função f(x)= 2x−6, obtenha o seu domínio. Resolução:
Podemos perceber que qualquer número pode ser colocado sob o radical, exceto algum número nega-tivo, logo, a expressão 2x
−
6 deve ser positiva ou até mesmo igual a zero, só não pode ser negativa. Assim, temos que:3 6 2 0 6 2x− ≥ ⇒ x≥ ⇒ x≥ E finalmente D={x∈IR/x≥3}
Algumas aplicações práticas nos mostram que as funções podem ser modeladas no nosso dia a dia, veja:
NOTA: Observe que, em situações práticas, nem sempre iremos usar as letras x e y, mas sim, letras que sugerem as grandezas em questão.
Exemplo 01
a) CALCULE o custo de fabricação de 10 unidades.
b) CALCULE o custo de fabricação da 10ª unidade da mercadoria.
Exemplo 02
CALCULE a área de superfície corporal de uma pessoa de 70 kg de massa. O custo total de fabricação de q unidades de certa mercadoria é dado pela função
200 500 30 ) (q =q3− q2 + q+ C .
O custo de fabricação de 10 unidades é o valor da função custo total quando q = 10 logo, C(10)=103−30⋅102 +500⋅10+200=1000−30⋅100+5000+200 200 . 3 200 000 . 5 000 . 3 000 . 1 ) 10 ( = − + + = C
assim, o custo para fabricar 10 unidades da mercadoria é R$ 3.200, 00
O custo da fabricação da 10ª unidade, é a diferença entre o custo de fabricação de 10 unidades e o custo de fabricação de 9 unidades.
então, como C(9)=93−30⋅92 +500⋅9+200=2.999, temos: 201 999 . 2 200 . 3 ) 9 ( ) 10 ( −C = − = C
o custo para fabricar a 10ª unidade é de R$ 201, 00
Os dermatologistas definiram uma fórmula para calcular aproximadamente, a área da superfície corporal de uma pessoa. A área, em m2 é calculada em função da massa (m) e é dada por:
3 2 11 , 0 ) (m m A = ⋅ .
Se uma pessoa possui 70 kg de massa, por exemplo, então sua área de superfície corporal será: 2 3 2 87 , 1 70 11 , 0 ) 70 ( m A = ⋅ = ,
Exemplo 03
CALCULE o limite máximo de bpm que deve atingir uma pessoa de 20 anos e sedentária, para não se sentir mal ao realizar alguma atividade física.
O processo mais rigoroso para determinar a frequência cardíaca máxima (FCMax) de um
indiví-duo (número de batimentos do coração por minuto – bpm) é realizar um teste de esforço físico, acompanhado por um profissional.
Mas, os fisiologistas, estabeleceram uma fórmula que permite qualquer pessoa conhecer o valor aproximado de sua frequência cardíaca máxima, em função de sua idade.
x x FC Max( )=220− ou ainda 2 205 ) (x x
FC Max = − (esta deve ser usada por pessoas que pra-ticam atividades físicas com regularidade), onde x é a idade da pessoa, em anos.
Quando realizamos algum esforço físico, para não termos dores (musculares e/ou articulares) nem problemas cardíacos, a frequência cardíaca, não deve ultrapassar 85% de nossa FCMax.
Resolução
x x
FCMax( )=220− ⇒ FCMax(20)=220−20=200 ⇒ 85% de 220 = 0,85⋅200 =170
Logo, FCMax(20)=170, ou seja, deverá atingir um máximo de 170 bpm
Veja que estamos lidando com uma fórmula, onde o número de bpm é função da idade.
a) b) c) d) 1 2 3 4 a b c A B A B A B 1 2 3 4 a b c 5 d 1 2 3 a b c d e 1 2 3 4 a b c A B a) b) c) d) y x y y y x x x a b a b a b a b
EXERCÍCIOS
Questão 01Verifique se os diagramas abaixo definem função de A em B.
Questão 02
Das figuras a seguir, a ÚNICA que representa o gráfico de uma função real y= f(x), sendo
[
a b]
x∈ , é:
Questão 03
Considere os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função f = {(x, y) ∈ A x B / 2
x y= }
0 1 3 9 10 y 6 1 x Questão 04 Se f(x)=3x2 −5x+3, calcule: a) f(2) b) f(−1) c) f(0) Questão 05
Dadas as funções f e g, reais, definidas por f(x)=3x2 −5 e g(x)=4x+1, determine o valor de ) 1 ( ) 2 ( −g − f . Questão 06 Se 1 1 2 ) ( + − = x x x f , então f(1): a) não existe b) é 2 c) é 2 1 d) vale zero Questão 07
Seja a função dada por f(x)=2x3 −1. Nessas condições f(0) + f(−1) + f(1) vale: a) −3 b) −1 c) 0 d) 1 e) 3 Questão 08
A figura abaixo mostra o gráfico de uma função real cujo domínio e imagem são, respectivamente:
a)
[
1,10]
e[
1, 6]
b)]
1,10]
e[
1, 6[
c)
[
1,10[
e]
1, 6]
Questão 09
Considere a função cuja lei é dada pela fórmula f(x)= x2 +x. Obtenha:
a) f(0) b) f(−1)
c) o valor de x, tal que f(x) = 6
Questão 10
Dada a função f(x)=x2 −4x−12, determine os valores reais de x para que se tenha: a) f(x) = 0 b) f(x) = −15 Questão 11 Seja − = ∈ = 2 4 2 / ) , ( x y IR x IR y x f uma relação.
O domínio desta relação é igual a: a) IR+ b) IR c) − ≠ ∈ 2 1 / x IR x d) {x ∈ IR / x ≠ 2} e) {x ∈ IR / x ≠ 2 e x ≠ −2} Questão 12
O domínio real da função f(x)= 3x+2 é: a) IR+ b) − > ∈ 3 2 / x IR x c) − ≥ ∈ 3 2 / x IR x d) − < ∈ 3 2 / x IR x e) − ≠ ∈ 3 2 / x IR x
y 7 6 −3 −4 4 5 x 0 Questão 13
O gráfico abaixo é de uma função de
[
−3, 5]
. Classifique como V ou F cada uma das afirmações: a) f(−3) = 7 b) f(0) = 0 c) f(4) = 0 d) f(5) = 0 e) 0 2 9 < f f) f(3) < 0 g) f(5) − f(−3) = −11 h) Im( f )=[
−4, 7]
Questão 14Suponha que o custo total para se fabricar q unidades de certo produto seja dado pela função 500 400 30 ) (q =q3 − q2 + q+ C
a) Calcule o custo de fabricação de 20 unidades. b) Calcule o custo de fabricação da 20ª unidade.
Questão 15
Um estudo sobre a eficiência de operários do turno da manhã de certa fábrica indica que um operário médio, que chega ao trabalho às 8 horas da manhã, monta x horas depois de iniciado o expediente, um número de rádios transistores, que é determinado pela função f(x)=−x3+6x2 +15x.
a) Quantos rádios o operário terá montado às 10 horas da manhã? b) Quantos rádios o operário terá montado entre 9 e 10 horas da manhã?
Questão 16
Durante a última campanha de vacinação, representantes do Ministério da Saúde constataram que o custo para vacinar x% da população infantil era de aproximadamente
x x x f − = 200 150 ) ( milhões de reais.
a) Qual o domínio da função f? D={x∈IR/x≠200}
b) Para que valores de x, no contexto do problema, f(x) tem interpretação prática? 0≤ x≤100 c) Qual foi o custo para vacinar os primeiros 50% das crianças? 50 milhões de reais
d) Qual foi o custo para que os 50% restantes fossem vacinados? 100 milhões de reais
e) Que porcentagem foi vacinada, ao terem sido gastos 37, 5 milhões de reais? 40% da população infantil
Questão 17
Uma instituição iniciou um programa para arrecadação de fundos. Estima-se que serão necessários x x x f − = 150 10 )
( semanas para arrecadar x% do valor desejado. a) Qual o domínio da função f? D={x∈IR/x≠150}
b) Para que valores de x, no contexto do problema, f(x) tem interpretação prática? 0≤ x≤100 c) Qual o tempo necessário para arrecadar 50% do valor desejado? 5 semanas
d) Qual o tempo necessário para arrecadar 100% do valor desejado? 20 semanas
Questão 18
Um clínica de fisioterapia cobra R$ 50, 00 de matrícula e mais R$ 10, 00 por sessão de fisioterapia. Qual a expressão que representa a quantia y (em reais) a ser paga por um paciente que fez x sessões de fisioterapia? a) y=(50+10)x b) y=10x+50 c) y=50x+10 d) y=x10 +50 e) y=50x−10 Questão 19
O consumo de energia elétrica para uma residência no decorrer dos meses é dado por 210
8 )
(t =t2 − t+
E , onde o consumo E é dado em Kwh e ao tempo associa-se t = 0 a Janeiro, t = 1 a fevereiro, e assim sucessivamente.
Determine o(s) mês(es) em que o consumo é de 195 Kwh.
Questão 20
O índice de massa corporal, indicado por IMC, é dado pela fórmula: 2 ) (altura
peso
IMC = (peso em kg e altura, em m).
Considere a seguinte tabela:
IMC Situação
18, 5 a 24, 9 peso normal
25 a 29 sobrepeso (acima do peso) 30 a 39 Obeso
Maior que 40 obesidade grave
Com base nas informações anteriores, se uma pessoa pesa 60 kg e tem altura igual a 1,60m, então essa pessoa:
a) está com obesidade grave b) está com sobrepeso c) está com peso normal d) é obesa
Questão 21
A área da superfície corporal pode ser calculada aproximadamente pela fórmula de Mosteller,
60
h p
A= ⋅ , onde A é a área em m2, p é o peso em kg e h, é a estatura em cm. Assim sendo, calcule: a) a área da superfície corporal de uma pessoa que pesa 80 kg e tem 1,8 m de altura.
b) o percentual de aumento da área corporal de uma pessoa adulta, caso o seu peso altere de 70 kg para 84,7 kg.
Questão 22
No que se refere a dosagem de medicamentos para crianças, a informação mais segura é a fornecida pelo fabricante e que está contida na bula. Na ausência de uma dose específica poder-se-á fazer uma aproximação com base na idade, peso ou superfície corporal.
A fórmula de Clark, d p = p ⋅D 70 )
( , onde d é a dosagem da criança, em mg, p é o peso da criança, em kg e D é a dosagem do adulto em mg, calcula a dose em função do peso.
Um médico receitou à Ana, que tem 6 anos, 30 mg de um medicamento em que a dosagem para um adulto é de 84 mg. Qual o peso de Ana?
Questão 23
Pesquisas desenvolvidas por matemáticos e indústrias de calçados determinaram que existe uma fun-ção, relacionado o número do calçado e o tamanho do pé da pessoa. A função tem a seguinte expres-são matemática
4 28 5 +
= p
N (onde N representa o número do calçado e p o tamanho do pé).
a) De acordo com a função, qual seria o número do calçado de uma pessoa cujo pé mede 24 cm (a-proximadamente)?
RESPOSTAS
01.(são funções letra a e letra d) 02.letra d 03. D={−2,−1,0,1,2} } 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 { = CD } 4 , 1 , 0 { Im= 04.a) 5 b) 11 c) 3 05.10 06.C 07.A 08.A 09.a) 0 b) 0 c) –3 e 2 10.a) –3 e 2 b) 1 e 3 11.E 12.C 13.V F V F V F V V 14.a) R$4.500,00 b) R$371,00 15.a) 46 b) 26 16.a) D={x∈IR/x≠200} b) 0≤ x≤100 c) 50 milhões de reais d) 100 milhões de reais e) 40% da população infantil 17.a) D={x∈IR/x≠150} b) 0≤ x≤100 c) 5 semanas d) 20 semanas 18.B 19.Abril e Junho 20.C 21.a) 2 m2 b) aumento de 10% 22.25 kg 23.a) 37 b) 28 cm
FUNÇÃO DE 1º GRAU
Veremos, a partir daqui algumas funções elementares, a primeira delas é a função de 1º grau, que estabelece uma relação de proporcionalidade.
Podemos então, definir a função de 1º grau ou função afim, como sendo aquela função que tem a forma f(x)=mx+n, sendo m e n números reais.
Exemplos:
a) f(x) = −3x + 12 onde m = −3 e n = 12 b) y = 2x − 6 onde m = 2 e n = −6 NOTA
Se m ≠ 0 e n = 0, então f(x) = mx é denominada função linear. Se m = 1 e n = 0, então f(x) = x é denominada função identidade. Se m = 0, então f(x) = n é denominada função constante.
Questão 01
Dadas as funções f de IR em IR, identifique com um X, aquelas que são do 1º grau. a) ( ) f(x)=3x−17 b) ( ) f(x)=−7x+1 c) ( ) g(x)=3x2 −12 d) ( ) f(x)=34−17x e) ( ) 3 2 3 ) (x = x− h f) ( ) 5 7 3 2 − = x y g) ( ) 5 1 2 ) ( = + x x f h) ( ) y= 3x +5 Questão 02
Identifique como (A) afim, (L) linear, (I) identidade ou (C) constante, cada uma das funções a seguir: a) ( ) y=3x+5 b) ( ) y=−17x c) ( ) y=3−3x d) ( ) y x 5 2 = e) ( ) f(x)=x f) ( ) y=13 g) ( ) f(x)=−1 h) ( ) 3 ) (x x f =− i) ( ) f(x)=−x j) ( ) f(x)=− 7 k) ( ) 5 17 3 ) (x =− x+ f
Questão 03
Dada a função f(x)=3x−2, calcule: a) f(1) b) f(2) c) f(0) d) f(−2) e) 3 2 f f) f( 3)
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO DE 1º GRAU
Como o próprio nome diz zero ou raiz da função de 1º grau f(x) = mx + n é o valor de x que anula esta função, isto é, que torna f(x) = 0 ou y=0, assim é o ponto onde a curva corta o eixo x.
Exemplo:
Calcular o zero (ou raiz) de f(x)=2x+8. Resolução:
basta igualar a função f(x) a zero, assim:
f(x) = 0 ⇒ 2x+8=0 ⇒ 2x=−8 ⇒ x=−4
Note que o valor encontrado (−4) é o que torna a função nula, observe: 8
2 )
(x = x+
f ⇒ f(−4)=2⋅(−4)+8=−8+8=0 ⇒ f(−4)=0 Perceba que nesse caso, para x=−4, temos y=0 ou (−4,0) Questão 04
Calcular o zero (ou raiz) das seguintes funções: a) f(x)=x−3 b) f(x)=−2x+4 c) f(x)=3x d) y=−5x e) y= x f) 6 5 3 2 + = x y
GRÁFICO DA FUNÇÃO DE 1º GRAU
A representação gráfica de uma função de 1º grau é feita através de uma reta. Para fazer o esboço desse gráfico, basta determinar dois pontos quaisquer no plano cartesiano. Para uma melhor comodi-dade, procuramos tomar pontos mais fáceis de trabalhar, de forma que favoreça o esboço.
Exemplo
Fazer o esboço do gráfico da função f(x)=2x−6 Resolução:
A função é y=2x−6
Podemos tomar aleatoriamente dois pontos quaisquer, mas é claro que não vamos tomas valores pe-quenos demais, ou grandes demais, ou com radicais, etc, para não termos o trabalho de fazer muitas contas. Assim, vamos escolher 2 e 4, por exemplo.
Para x=2 ⇒ y=2⋅2−6=4−6=−2 ⇒ y=−2, cujo ponto será (2,−2) Para x=4 ⇒ y=2⋅4−6=8−6=2 ⇒ y=2, cujo ponto será (4,2) Veja que agora, temos a seguinte tabela de valores, com o respectivo gráfico:
x y 2 −2 4 2
NOTA: Se calcularmos o zero (ou raiz) desta função f(x)=2x−6, teremos:
0 6
2x− = ⇒ 2x=6 ⇒ x=3
cujo ponto será (3,0) e que é, exatamente onde a reta corta o eixo x.
CONCLUSÃO: A raiz de uma função é o ponto onde o seu gráfico corta o eixo x. −2 −1 1 2 1 2 3 4 x y
