Universidade de Cabo Verde

Universidade de Cabo Verde

Departamento Ciˆencia & Tecnologia

Texto te´orico de Geometria I

Prof. Narciso Resende Gomes

Ano lectivo: 2012/2013

2 Segmento de recta . . . 2

2.1 Segmentos consecutivos . . . 3

2.2 Segmento colineares . . . 3

2.3 Segmentos adjacentes . . . 3

2.4 Medida de um segmento . . . 4

2.4.1 Axioma de distˆancia . . . 4

2.4.2 Axioma de ordem . . . 4

2.4.3 Axioma de menor distˆancia . . . 4

3 Conjunto convexo . . . 5

4 Rectas ortogonais e perpendiculares . . . 5

5 Recta perpendicular a um plano . . . 5

6 Diedro e bissector . . . 6

7 Planos perpendiculares . . . 6

8 Angulos . . . .ˆ 6 8.1 Sector angular convexo . . . 6

8.2 Angulos - defini¸c˜ao . . . .ˆ 6 8.3 Medida de ˆangulos . . . 7

8.4 Angulos consecutivos, adjacentes e verticalmente opostos . . . .ˆ 8 8.5 Bissetriz . . . 9

9 Congruˆencia . . . 9 10 Angulos nas paralelas . . . .ˆ 10 11 Angulos de lados paralelos . . . .ˆ 11 12 Angulos de lados perpendiculares . . . .ˆ 11

Referˆ

encias

[1] A. Morgado e Outros, Geometria I. Franciso Alves Ed., Rio de Janeiro, 1990.

[2] A. Morgado e Outros, Geometria II. FC e Z Livros Ed., Rio de Janeiro, 2002.

[3] F. Oliveira e Outros, Geometria Euclidiana. , Universidade aberta, 2002.

[4] L. Sanchez, Notas para um Curso de Geometria Elementar. FCUL, Lisboa, 2009.

[5] M. J. Bezerra e J. C. Putnoki, Geometria Plana I. Editora Spicione, -.

1

Semi-rectas, semi-planos e semi-espa¸

cos

Defini¸c˜ao 1: Um ponto de uma recta divide a mesma em dois conjuntos de pontos cha-mados semi-rectas, sendo o ponto de divis˜ao chamado origem ou fronteira de cada semi-recta.

Defini¸c˜ao 2: Uma recta de um plano divide o mesmo em dois conjuntos de pontos cha-madossemi-planos, sendo a recta de divis˜ao chamadoorigemoufronteira de cada semi-plano.

Defini¸c˜ao 3: Um plano divide o espa¸co em dois conjuntos de pontos chamados semi-espa¸cos, sendo o plano de divis˜ao chamado origem oufronteira de cada semi-espa¸co.

2

Segmento de recta

Defini¸c˜ao 4: Dados dois pontos distintos, A e B da recta r. Chama-sesegmento AB ao conjunto de pontos de recta r entreA e B, que s˜ao extremidades do segmento.

Observa¸c˜ao 1: O ponto que divide o segmento em dois segmentos congruentes denomina-se ponto m´edio.

A M B

2.1

Segmentos consecutivos

Defini¸c˜ao 5: Dois ou mais segmentos de recta s˜ao consecutivos se e somente se, uma extremidade de um deles ´e tamb´em extremidade do outro(extremidade de um coincide com extremidade do outro).

A

B

C D

E

F G I H

AB e BC s˜ao consecutivos, DF e F E s˜ao consecutivos e GI e IH s˜ao consecutivos.

2.2

Segmento colineares

Defini¸c˜ao 6: Dois ou mais segmentos de recta s˜ao colinearesse e somente se, est˜ao numa mesma recta.

C

E

A B

D

C

AC eCB s˜ao colineares e CE e ED s˜ao colineares.

2.3

Segmentos adjacentes

Defini¸c˜ao 7: Dois segmentos de recta s˜ao adjacentes se e somente se, s˜ao consecutivos e colineares e possuirem apenas uma extremidade em comum.

A C B D F E

AC e CB s˜ao adjacentes (consecutivos e colineares) e DE e F E s˜ao n˜ao-adjacentes.

m

A M B

2.4

Medida de um segmento

Medir um segmento ´e compar´a-lo com um outro tomado como unidade.

u

A B

AB− distˆancia entre os pontos A e B. AB = mu, m ∈ R+0, com u− unidade e m medida de um segmento na unidadeu.

Observa¸c˜ao 2: Representamos por AB a medida de segmento AB.

2.4.1 Axioma de distˆancia

A cada par de pontos corresponde a um ´unico n´umero n˜ao negativo.

• SeA≡B, ent˜ao AB = 0.

• SeP Q⊂AB ent˜ao P Q≤AB.

A P Q B

AB =BA.

2.4.2 Axioma de ordem

Trˆes pontos colineares A, B eC, dados nesta ordem, temos que

AC =AB+BC.

2.4.3 Axioma de menor distˆancia

Dados trˆes pontos pontos A,B e C n˜ao necessariamente colinerares. Ent˜ao

3

Conjunto convexo

Defini¸c˜ao 9: Um conjunto de pontos ´e convexo se, para todo o par de pontos A e B do conjunto, o segmento AB est´a inteiramente contido no conjunto.

A) B)

C) D)

A) e B) Convexos e C) e D) n˜ao-convexos.

Observa¸c˜ao 3: A recta, o plano e o espa¸co s˜ao conjuntos convexos, tal como a semi-recta, o semi-plano e o semi-espa¸co.

4

Rectas ortogonais e perpendiculares

Defini¸c˜ao 10: Duas rectas s˜aoortogonaisquando s˜ao reversas e o ˆangulo por elas formado ´e recto.

Defini¸c˜ao 11: Duas rectas s˜ao perpendicularesquando s˜ao concorrentes e formam quatro ˆangulos congruentes.

5

Recta perpendicular a um plano

1. Uma recta ´e perpendicular a um plano quando ´e perpendicular ou ortogonal a todas as rectas do plano.

2. Se uma recta ´e perpendicular ou ortogonal a duas rectas concorrentes, ela ´e per-pendicular ao plano definido pelo concorrentes.

α

t

s

6

Diedro e bissector

Defini¸c˜ao 12: Diedro ´e a figura formada por dois semi-planos de mesma fronteira.

Defini¸c˜ao 13: Bissector de um diedro´e o semiplano que divide o diedro em dois diedros congruentes.

7

Planos perpendiculares

1. Dois planos s˜ao perpendiculares quando formam quatro diedros congruentes.

2. Se uma recta ´e perpendicular a um dado plano ent˜ao o plano que a contenha ´e perpendicular ao plano dado.

8

Angulos

ˆ

8.1

Sector angular convexo

Defini¸c˜ao 14: Sector angular convexo ´e a intersec¸c˜ao de dois semi-planos de fronteiras concorrentes.

8.2

Angulos - defini¸

ˆ

c˜

ao

1. Anguloˆ ´e a figura geom´etrica formada por duas semi-rectas de mesma origem.

2. Um ˆangulo determina dois sectores angulares, um convexo e outro n˜ao, caso as semi-rectas que o formam n˜ao sejam opostas.

θ O

∡_AOB

_AOBˆ ∡_θ

_θˆ _Oˆ

Nota¸c˜oes:

A

Observa¸c˜ao 4: O ˆangulo pode ser associado ao sector convexo e ao sector n˜ao convexo. Podendo depender do local da nota¸c˜ao.

Observa¸c˜ao 5: Os ˆangulos de duas rectas´e o menor ˆangulo formado por elas.

Defini¸c˜ao 15: Angulo entre reversasˆ ´e o ˆangulo formado por duas rectas concorrentes, respectivamente, paralelas `as duas primeiras.

8.3

Medida de ˆ

angulos

Defini¸c˜ao 16: Um ˆangulo ´erecto(1R) se a sua medida ´e 90 graus ou π/2 radianos.

900 ou π

2 rad

1. Sistema sexagesimal

Unidades -grau (0

) 10

= 1 90R

10 = 1

90

Subunidades

(a) Minuto (′₎₋₁′

= 1 60R. (b) Segundo (′′₎₋₁′′ ₌ 1

60R.

2. Sistema decimal

Unidades -grado (grd)

1grd= 1 100grd

Subunidades

(a) Dec´ıgrado −1dgrd= 1 10grd. (b) Cent´ıgrado −1cgrd = 1

100grd. (c) Mil´ıgrado −1mgrd= 1

1000grd.

Defini¸c˜ao 17: Um ˆangulo qualquer, suponhamosθ, pode ser:

• Agudo, se θ <1R.

• Obtuso, se θ >1R.

Observa¸c˜ao 6: Pode-se estender o conceito de ˆangulo para se ter umˆangulo nulo (cujos lados s˜ao coincidentes) ou ˆangulo raso(cujos lados s˜ao semi-rectas opostas).

Defini¸c˜ao 18: Dois ˆangulos, θ eφ, s˜ao:

1. Complementares seθ+φ= 1R.

2. Suplementaresse θ+φ = 2R.

3. Explementares se θ+φ= 3R.

4. Replementares se θ+φ= 4R.

8.4

Angulos consecutivos, adjacentes e verticalmente opostos

ˆ

Defini¸c˜ao 19: Dois ˆangulos s˜ao consecutivos se, e somente se, um lado de um deles ´e tamb´em lado do outro (um lado de um deles coincide com um lado do outro).

0

0 J

K

L

M

N

P

Defini¸c˜ao 21: Dois ˆangulos s˜aoverticalmente opostosouopostos pelo v´erticese, e somente se, os lados de um deles s˜ao as respectivas semi-rectas opostas ao lado do outro.

φ φ

θ

θ

8.5

Bissetriz

Defini¸c˜ao 22: Bissectriz b de um ˆangulo ´e a semirecta que o divide em dois outros con-gruentes.

b

O

9

Congruˆ

encia

Doissegmentos (ou duasfiguras) s˜ao congruentes quando podem ser levados a coin-cidir por sobreposi¸c˜ao, mediante um deslocamento r´ıgido de um deles.

A

A′

B

C

B′

C′

r s

α α β β

A

O

B C

H :∡_{BOC e}∡_{AOC s˜ao adjacentes suplementares. As semi-rectasres s˜ao bissectrizes}

desses dois ˆangulos.

T :∡_{rOs= 1R}

D: 2α+ 2β = 2R⇒α+β =R.

10

Angulos nas paralelas

ˆ

t rs

r

s

α β

γ _δ

a b

c _d

Nomenclatura

Alternos internos Alternos externos Conjugados internos

γ e a β e d γ e b

δ e b α e c δ e a

Conjugados externos Correspondentes

α e d α e a, β eb

β ec γ ec, δ e d

Observa¸c˜ao 7:

• Os ˆangulos alternos e os ˆangulos correspondentes s˜ao congruentes.

11

Angulos de lados paralelos

ˆ

1. Dois ˆangulos delados paralelos s˜ao congruentesse ambos forem agudos ou ambos obtusos.

2. Dois ˆangulos delados paraleloss˜ao suplementaresse um for agudo e outro obtuso.

12

Angulos de lados perpendiculares

ˆ

1. Dois ˆangulos de lados perpendiculares s˜ao congruentes se ambos forem agudos.