LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – TOPOGRAFIA
Professor: MSc. Leonardo Josoé Biffi Monitora: Heloise Lebkuchen
1) Deduzir, com auxílio gráfico, utilizando uma circunferência orientada positivamente, com origem em 6 horas e um ângulo no segundo quadrante. Verificar a validade da equação e citar o princípio utilizado
na dedução: α α α Cos Cotg Cossec =
2)Deduzir, com auxílio gráfico, utilizando uma circunferência orientada negativamente, com origem em 6
horas e um ângulo no terceiro quadrante. Verificar a validade da equação e citar o princípio utilizado na dedução:
α α
Sen Cossec = 1
3) Utilizando uma circunferência trigonométrica orientada negativamente, com origem em 6 horas e o
ângulo no terceiro quadrante, deduzir para verificar a validade da equação abaixo.
β
β
β
cossec cot sec 1 g =4) Dada uma circunferência trigonométrica, com origem em 9 horas, orientação positiva e um ângulo no
primeiro quadrante. Apresentar auxílio gráfico indicando os segmentos que representam a tg, o cos, a cotg e o sen do ângulo (identificar cada ponto com letras).
5) Qual a relação existente entre a tangente e a secante de um ângulo?
6) Sabendo-se que sec θ = -1,5824. utilizando auxílio gráfico, com uma circunferência orientada positivamente, com origem 12 horas.
a) Qual(is) o(s) valor(es) de θ? (em degradiano, radiano e gradiano) b) Em que quadrante(s) está(ao) este(s) ângulo(s)? explique
7) Tendo-se um triângulo com vértices A, B e C conhecendo-se os três lados, calcule os ângulos interno e
externos e calcule a área do triângulo. AB= 70,23m; BC= 136,20m; AC= 96,55m.
8) Descubra a DH entre dois pontos inacessíveis (AB), porém visíveis de um alinhamento base (CD). O
comprimento do alinhamento base é de 38 metros. Em cada extremidade do alinhamento base foi feito leitura dos ângulos formados da linha base com os pontos A e B, e se obteve: CA = 123° 15’; CB = 38° 15’; DA = 45° 23’ e DB = 130° 40’
A B
9) Cite 3 operações que podem ser realizadas para solucionar problemas de campo utilizando apenas trena
e baliza e conhecimento trigonométrico. (utilize auxílio gráfico).
10) Dada uma área de Mata Nativa sobre um mapa, deseja-se conhecer a área aproximada, então foram
efetuadas as seguintes medidas: AB = 153 m, AC = 246 m, ângulo no vértice A=53°26’.
Determine:
a) DH entre os vértices B e C b) Área total (m² e ha)
11) Sobre um mapa topográfico efetuaram-se duas medidas com auxílio de uma régua graduada em
centímetros, as medidas foram 6,8 e 11,2 cm respectivamente. Qual a distância real em metros, para as duas leituras, sendo que o mapa está no escala 1: 4.500?
12) Com relação às coordenadas do sistema UTM. Para um ponto localizado no Hemisfério Sul, no fuso
UTM 22, que possui os seguintes valores de coordenadas, N = 6.925.465,213 e E = 568.613,425.
Pergunta-se:
a) Qual a distância em linha reta, no sentido Norte-Sul, do ponto até a linha do Equador? (em metros) b) Qual a distância em linha reta, no sentido Leste-Oeste, do ponto até Meridiano Central (em metros), dizendo se o ponto localiza-se a Leste ou a Oeste do mesmo?
13) Escreva na ordem correta, utilizando os códigos da nomenclatura oficial, o nome de uma carta
topográfica na escala 1:25.000.
14) Observando o mapa resultado do levantamento planimétrico indique as distâncias em metros entre
os vértices do perímetro. A B C P2 P3 P5 1:2500 P4 P1 P6
15) Dada a planilha de um levantamento por irradiação, calcule o que se pede utilizando as seguintes
informações:
E1 => aparelho zenital; Constante Taqueométrica = 100.
Estação PV FS FM FI AH (horário) AV 1 1,548 1,275 1,000 230° 30’ 90° 03’ 2 1,410 1,200 1,000 167° 47’ 95° 34’ 3 1,200 1,100 1,000 200° 03’ 95° 31’ 4 1,400 1,200 1,000 139° 35’ 94° 49’ 5 2,635 2,310 2,000 137° 23’ 94° 07’ E1 Nm 180° 00’
a) DH das estações para os pontos visados b) Azimute
c) Rumo
16) Com o objetivo de medir a área de uma lavoura de feijão, foi realizado um levantamento planimétrico por irradiação. Os dados estão expostos abaixo.
MIRA TAQUEOMÉTRICA ÂNGULOS LIDOS
PV
FS FM FI Ang Zenital AH (horário)
1 1,578 1,438 1,300 95° 30’ 36” 18° 2 1,935 1,520 1,100 95° 28’ 10” 340° 3 3,285 2,145 1,000 88° 21’ 55” 11° 4 2,820 1,912 1,000 91° 12’ 44” 37° 5 2,245 1,520 0,800 94° 17’ 29” 65° 6 1,950 1,425 0,900 91° 01’ 00” 86° Nm - - - - 298° Calcule:
a) DH, b) Azimute, c) Rumo, d) Coordenadas retangulares, e) fazer o desenho na escala 1:2000 com escala gráfica, f) área total.
17) Dada a caderneta de campo abaixo, de um levantamento feito por irradiação, de dois piquetes adjacentes, (1º piquete, P5, P6, P1, P2, P3 e P4) (2º piquete, P4, P5, P6, P1, T8 e T7) calcule: a) DH, b) Azimute, c) Rumo, d) Coordenadas retangulares, e) fazer o desenho na escala 1:1000 com escala gráfica, f) área total e parcial dos piquetes.
Caderneta de campo: (AV - Aparelho horizontal)
Estação PV FS FI AH AV Obs: P1 1,56 1,00 255º 50' 3º P2 2,58 2,00 310º 10' 1º P3 1,69 1,00 68º 30' 3º 30' P4 1,59 1,00 98º 10' 3º P5 1,09 1,00 196º 12' 1º 35' P6 1,115 1,00 190º 18' 2º 20' E1 E2 2,30 1,30 185º 30' 3º 05' AH zerado no NM, lido no sentido horário. AH = Az T7 1,69 1,00 76º 50' 5º 05' E2 T8 1,46 1,10 269º 20' 1º AH zerado em E1.
18) Em um levantamento por caminhamento se obteve os dados abaixo. Fazer o ajustamento da
poligonal auxiliar e calcular a área correspondida pelos vértices (A, B, C e D). Dadas as informações:
a) caminhamento no sentido anti-horário, AH lido horário. b) calcular os erros e os limites aceitáveis.
c) compensação angular: proporcional ao ângulo, compensação linear: proporcional as projeções. d) coordenadas com valores na E3 de X= 150 e Y= 200
e) fazer desenho na escala mais apropriada.
Estação PV AH DH (m) FS FI AV Obs E2 97º 55' 38,74 A 237º 10' 4,91 E1 Az = 105º E1 zerado em E4 E3 70º 20' 43,39 B 350º 20' 4,07 E2 E2 zerado em E1 E4 101º 55' 29,09 E3 C 249º 08' 4,14 E3 zerado em E2 E1 89º 50' 36,96 D 235º 24' 4,19 E4 Poste 249º 52' 1,200 1,000 88º 01' E4 zerado em E3
19) Você foi contratado para efetuar um levantamento por caminhamento e fazer a divisão da área em
duas partes. Na área existiam dois pontos com coordenadas conhecidas que foram ocupados da seguinte forma, um como estação e outro como um ponto de vértice.
Dada a caderneta de campo abaixo:
Est PV AH DH X Y P1 220° 30’ 4,44 E1 E2 81° 54’ 35” 161,15 P2 231° 22’ 10,76 E2 E3 81° 29’ 54” 86,25 5,23 4,58 P3 105° 12’ 0 0 E3 E4 201° 22’ 28” 94,61 P4 218° 55’ 6,13 E4 E5 101° 29’ 26” 55,05 P5 255° 25’ 5,24 E5 E6 123° 21’ 36” 118,57 P6 230° 04’ 5,20 E6 E1 130° 19’ 57” 138,29
a) caminhamento no sentido horário, AH lido anti-horário. b) calcular os erros e os limites aceitáveis.
c) compensação angular: por peso, compensação linear: proporcional as DHs. d) fazer desenho na escala mais apropriada.
20) Com os dados de coordenadas dos pontos de um levantamento determine o que se pede pelo método
da planilha inversa. Os dados estão expostos abaixo.
Pontos X Y 1 43,78 167,75 2 75,20 69,40 3 110,17 5,10 4 214,56 39,60 5 173,45 106,35 6 152,44 192,63 Determine:
a) Desenhe na escala 1:1250, e determine o sentido do caminhamento. b) DH entre os vértices.
c) Azimute e Rumos dos pontos no sentido do caminhamento. d) Ângulo Interno entre os pontos em cada vértice.
e) Área total (m², ha).
21) Dada a planilha abaixo calcule pela planilha inversa:
Est PV X Y P1 56,20 132,30 E1 E2 64,70 26,80 P2 70,90 20,00 E2 E3 10,50 9,60 P3 0,00 0,00 E3 E4 0,00 65,85 P4 -15,40 70,50 E4 E5 20,70 100,65 P5 18,30 102,30 E5 E1 52,10 128,20
Faça o desenho para orientação (Eixo Y orientado com o Norte)
Calcule: a) área dos pontos; b) DH entre as estações e entre os vértices; c) Rumos e Azimutes; d) Ângulos Internos entre as estações e o Ângulo Horizontal dos pontos.
22) Dada uma área de vértices A, B, C e D demarque 1/3 da área a partir do lado AB, com a linha
divisória saindo do vértice A. Após descobrir o lado que receberá a linha divisória determine qual a DH do vértice C até o ponto de chegada? (recomenda-se o método de decomposição em figuras
geométricas). Ponto X Y A 120 180 B 170 90 C 115 40 D 50 100
23) Dividir a área em duas partes iguais, decompondo em figuras geométricas regulares. A linha divisória
partirá do vértice C. Dadas as coordenadas abaixo.
Calcular área total, área parcial e DH da intersecção da linha divisória.
Ponto X Y A 150 150 B 60 100 C 95 46 D 177 32 E 240 105
24) Após um levantamento por caminhamento perimetral, ficou uma dúvida se poderiam começar os
procedimentos de escritório ou retornar a campo. Então os dados foram levados a você. No levantamento foi utilizando 7 estações, um aparelho com precisão de 1’, a soma dos ângulos internos do levantamento
foi 899° 57’ 48” e a soma das distâncias horizontais foi 692,50 metros.
a) Qual é o valor esperado? Qual foi o erro e qual o erro máximo permitido? Poderia continuar os
cálculos?
Na possibilidade de continuar os cálculos, após as correções angulares e determinação dos azimutes, calculou-se as projeções, e no somatório das Projeções de E(x) e N(y) obteve-se (-0,85) e (1,2),
respectivamente.
b) Qual o erro linear? Qual o erro em m/km? Poderia continuar os cálculos para um limite de erro de 2 m/km?
25) Calcule as cotas dos pontos de uma poligonal aberta e determine qual a declividade, em porcentagem,
entre cada lance de pontos, levantados em um nivelamento trigonométrico, a partir das seguintes informações:
E1 => Cota 50,00 m; AI = 1,46 m; aparelho horizontal.
E2 => AI = 1,53m; aparelho nadiral
Distância entre pontos 30 metros
Estação PV FS FM FI AH AV 1 1,548 1,275 1,000 230° 30’ − 0° 03’ 2 1,410 1,200 1,000 167° 47’ 5° 34’ E1 E2 1,200 1,100 1,000 200° 03’ 5° 31’ 3 1,400 1,200 1,000 139° 35’ 91° 49’ E2 4 2,635 2,310 2,000 137° 23’ 95° 09’
26) Determine as cotas dos pontos onde foi efetuado o nivelamento (E1 e E2) e contra-nivelamento (E3,
E4 e E5), sendo espaçamento entre ponto de 45 metros, conforme caderneta de campo abaixo de um
nivelamento geométrico: - Qual o erro encontrado?
Estação PV FM AI COTA 1 1,136 922,32 2 1,952 E1 3 0,380 3 2,652 4 1,430 E2 5 0,560 5 1,638 E3 4 2,507 4 1,203 3 2,424 E4 2 3,996 2 1,326 E5 1 0,507
27) Dada a figura abaixo, com a representação de um levantamento planialtimétrico, determine cotas
eqüidistantes para as isolinhas, desenhe (com linha continua) a linha de talvegue e desenhe (com linha pontilhada) a linha de divisor de águas e determine a declividade, em porcentagem, do ponto A ao
ponto B e do ponto B ao ponto C, sendo que a escala do desenho é 1:2500.
A B
RESPOSTAS
Exercícios:1) R: equação válida; princípio: semelhança de triângulos.
2) R: equação válida; princípio: semelhança de triângulos.
3) R: equação válida; princípio: semelhança de triângulos.
4) R: Representação Gráfica
5) R: sec= tg2 +1
6) a) R: 129º11’39,2”; 2,254864552rad; 143,5491358gr e 230°48’20,7”; 4,02832035rad; 256,4508385gr
b) R: 2º quadrante e 3º quadrante pois são os quadrantes onde o cosseno é negativo
7) R: ângulos internos: A = 108º28’11”; B = 42º15’01”; C= 29º16’48”
ângulos externos: A’= 251º31’49” B’= 317º44’59” C’= 330º43’12” área: 3215,72m²
8) R: 194,244m
9) R: Perpendicular a um alinhamento (Triângulo retângulo; triângulo isósceles); Paralela a um alinhamento; determinação
de um ângulo qualquer.
10) R: a) DHBC= 197,68m
b) S= 15114,74725m² /1,5115 há 11) R: 6,8cm = 306m; 11,2cm = 504m
12) R: a) N= 3074534,787m
b) E= 68613,425m; Localiza-se a leste (E).
13) R: SG – 22 – Z – C – V – 1 – NE 14) R: P1P2 = 162,5m; P2 P3 = 85m; P3 P4 = 90m; P4 P5 = 170m; P5 P6 = 135m; P6 P1 = 95m 15) R: a) DH1= 54,80m; DH2= 40,61m; DH3= 19,82m; DH4= 39,72m; DH5= 63,17m b) AZ1= 50°30’; AZ2= 347° 47’; AZ3= 20° 3’; AZ4= 319° 35’; AZ5= 317° 23’ c) R1= 50° 30’ NE; R2= 12° 13’ NW; R3= 20° 3’ NE; R4= 40° 25’ NW; R5= 42° 37’ NW. 16) R: a) DH1=27,54m;DH2=82,74m; DH3=228,31m; DH4=181,92m; DH5=143,69m; DH6=104,97m b) AZ1=80º; AZ2=42º; AZ3= 73º; AZ4= 99º; AZ5= 127º; AZ6= 148º
c) R1=80º NE; R2= 42º NE; R3= 73º NE; R4= 81º SE; R5= 53º SE; R6= 32º SE
d) X1=27,12m; X2= 55,36m; X3=218,33m; X4= 179,68m; X5= 114,76m; X6= 55,63m Y1= 4,78m; Y2= 61,49m; Y3= 66,75m; Y4= -28,46m; Y5= -86,48m; Y6= -89,02m f) S = 20765,86565m² 17) R: a) DHP1= 55,85m; DHP2= 57,98m; DHP3= 68,74m; DHP4= 58,84m; DHP5= 8,99m; DHP6= 11,48m; DHE2= 99,71m; DHT7= 68,46m; DHT8= 35,99m b) AZP1= 255º50’; AZP2= 310º10’; AZP3= 68º30’; AZP4= 98º10’; AZT7= 82º20’; AZT8= 274º50’ c) RP1= 14º10’12” SW; RP2= 49º49’48”NW; RP3= 68º30’SE; RP4= 81º49’48” SE; RP5= 73º48’ SW; RP6= 79º42’SW; RE2= 84º30’SW; RT7= 82º19’48” NE; RT8= 85º10’12”NW d) XP1= -54,15m; XP2= -44,30m; XP3= 63,96m; XP4= 58,24m; XP5= -2,5m; XP6= -2,05m; XE2= -9,56m; XT7= 58,29m;
XT8= -15,42m YPI= -13,67m; YP2= 37,40m; YP3= 25,19m; YP4= -8,36m; YP5= -8,63m; YP6= -11,3m; YE2= -68,14m; YT7= -59m; YT8= -65,11m e) ST = 8760,22m²; Sp1 = 4618,704 m² ; Sp2 = 5615,944m² 18) R: estação PV DH AH Az RUMO X Y E1 E2 38,74 97°55'12" 105° 75°SE -153,55 156,87 E2 E3 43,39 70°19'48" 355°19'48" 4°40'12"NW 150 200 E3 E4 29,09 101°55'12" 277°15' 82°45'NW 120,96 203,68 E4 E1 36,96 89°49'48" 187°4'48" 7°4'48"SW 116,37 166,42 ∑ 148,18 360° 19) R: emax = ±2’27”; ea = -124”; el = 0,642m/km (limite 3m/km)
estação PV DH PESO AH angular AH corrigido Az Proj. X corrig. Proj. Y corrig.
E1 E2 149,72 0,5 81°54'35" 14" 81°54'49" 55°29'38" 132,89 91,34 E2 E3 123,7 0,61 81°29'54" 17" 81°30'11" 153°59'27" 37,87 -77,49 E3 E4 90,43 0,83 201°22'28" 24" 201°22'52" 132°36'35" 69,68 -64,02 E4 E5 74,83 1 101°29'26" 28" 101°29'54" 211°13'43" -28,51 -47,05 E5 E6 86,81 0,86 123°21'36" 25" 123°22'01" 267°44'40" -118,42 -4,63 E6 E1 128,43 0,58 130°19'57" 16" 130°20'13" 317°24'27" -93,51 101,85 ∑ 653,92 4,38 719°57'36" 124” 720° 0 0 estação PV Az X Y E1 P1 276°54'27" -169,94 -8,74 E2 P2 4°07'38" -31,87 92,8 E3 P3 228°47'27" 0 0 E4 P4 93°41'35" 81,03 -59,83 E5 P5 135°48'43" 50,05 -110,25 E6 P6 217°40'40" -75,2 -115,24 ST = 27486,62m² ; SP = 13743,31m² Equação da reta: yp = -199,774501-1,124129xp xp = -123,4926818m ; yp = -60,9527961m 20) a) R: caminhamento anti-horário b) R: DH1,2 = 103,25m ; DH2,3 = 73,19m ; DH3,4 = 109,94m ; DH4,5 = 78,39m ; DH5,6 = 88,80m ; DH6,1 = 164,29m c) R: R P1P2 = 17° 43’ 1,88” SE AZ P1P2 = 162° 16’ 58,1” R P2 P3 = 28° 32’ 23,51” SE AZ P2 P3 = 151° 27’ 36,4” R P3 P4 = 71° 42’ 42,2” NE AZ P3 P4 = 71° 42’ 42,2” R P4 P5 = 31° 37’ 41,13” SW AZ P4 P5 = 211° 37’ 41,1” R P5 P6 = 13° 41’ 8,55” SE AZ P5 P6 = 166° 18’ 51,4” R P6 P1 = 77° 6’ 11,66” SE AZP6 P1 = 102° 53’ 48,3” d) R: AI1 = 85° 10’ 46,42” AI2 = 133° 44’34,5” AI3 = 43° 10’ 18,6” AI4 = 103° 20’ 23,3” AI5 = 197° 55’ 52,5” AI6 = 89° 12’ 39,7” e) R: S = 18358,85725m² / 1,835885725ha 21) R: a) SPontos = 7224,905m²
b) DHE1E2 = 102,18m; DHE2E3 = 56,86m; DHE3E4 = 57,22m; DHE4E5 = 40,49m; DHE5E1 = 41,47m;
c) RE1E2 =-5°55’31,67”SE; RE2E3 = 72°23’36,67”SW; RE3E4 = -10º34’24,68”NW; RE4E5 = 30º44’43,26”NE; RE5E1 = 48º44’11,96”NE RP1P2 = -7º27’27,29”NW; RP2P3 = 74º14’48,86”NE; RP3P4 = -12º19’19,63”NW; RP4P5 = 46º39’41,58”NE; RP5P1 = 51º38’10,99”NE AZE1 = 174°4’28,33”; AZE2 = 252º23’36,6”; AZE3 = 349º25’35,3”; AZE4 =30°44’43,26”; AZE5 = 48°44’11,96”; AZP1 =172°32’32,7”; AZP2 = 254°14’48,8”; AZP3 = 347°40’40,3” ; AZP4 = 46°39’41,58”; AZP5 = 51°38’10,99”; d) AIE1 = 54°39’43,63”; AIE2 = 101°40’51,7”; AIE3 = 82°58’1,3”; AIE4 = 138°40’52”; AIE5 = 162°0’31,3”; AHP1 = 59°5’38,29”; AHP2 = 98°17’43,9”; AHP3 = 86°34’8,5”; AHP4 = 121°0’58,72”; AHP5 = 175°1’30,59”; 22) R: DH = 56,04m 23) R: St = 12656,2m²; Sp = 6328,1m²; DH = 51,40m
24) a) R: Vesp = 900° ; ea = -2’ 12” ; ea max = ± 2’ 38,75” ; poderia continuar com os cálculos b) R: el = 0,8470m; 1,223m/km; poderia continuar com os cálculos
25) R: C1 = 50,2382m; C2 = 54,218m; CE2 = 52,274m; C3 = 53,872m; C4 = 57,171m d1 = 0,794%; d2 = 14,06%; dE2 = 7,581%; d3 = 5,325%; d4 = 16,32% 26) R: el = 0,005m 27) R: dAB = 0% ; dBC = depende da cota. Estação PV FM AI COTA 1 1,136 922,32 2 1,952 921,504 E1 3 0,380 923,456 923,076 3 2,652 923,076 4 1,430 924,298 E2 5 0,560 925,728 925,168 5 1,638 925,168 E3 4 2,507 926,806 924,299 4 1,203 924,299 3 2,424 923,078 E4 2 3,996 925,502 921,506 2 1,326 921,506 E5 1 0,507 922,832 922,325
