3-LÓGICA DOS CONJUNTOS
2.1 Diagrama de VennVenn foi um matemático estudioso da teoria dos conjuntos e funções. Ele criou estes diagramas visualizado abaixo,onde está representado o conjunto das vogais de nosso alfabeto.
2.2 Simbologia
Observe no desenho abaixo os conjuntos A e B: Perceba que A=( 2,4,7)e B= (1,3,4)
U: união. É a reunião dos elementos de todos os conjuntos envolvidos. No nosso exemplo,abaixo: AUB= (1,2,3,4,7)
∩ :Interseção. São os elementos comuns aos dois ou mais conjuntos envolvidos. No nosso exemplo A∩ B = 4 A-B:é o subconjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. .
No nosso exemplo,A-B=( 7,2)
B-A: Do mesmo modo que A-B,B-A é o subconjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto B e não pertencem ao conjunto A No nosso exemplo, B-A= (1,3)
Regra geral:AUB= A + B – A∩B 2.3 Relações de Pertinência
∈:Pertence. Ele é utilizado para afirmar que determinado elemento pertence ao conjunto dado. No nosso exemplo:
2 ∈ A
∉ : Não pertence. Ele é utilizado para afirmar que determinado elemento não pertence ao conjunto dado. No nosso exemplo 3 ∉ A
2.4 Partes de um conjunto
Um subconjunto é todo conjunto que podemos formar com os elementos de um conjunto qualquer, incluindo aí o conjunto vazio que é representado pelo símbolo Ø.O total de subconjuntos que podemos formar com os elementos de um determinado conjunto é denominado partes de um conjunto e seu número é calculado pela fórmula: P(A)=2n onde n é o número de elementos do referido conjunto. Como exemplo,considerando os
elementos do conjunto A= (2,4,7), os subconjuntos que podemos formar são os seguintes: conjunto vazio : Ø
subconjuntos unitários: (2),(4) e (7) subconjuntos binários: (2,4),(2,7) e (4,7)
o próprio conjunto A que é subconjunto dele mesmo: A=(2,4,7)
C: está contido : não está contido ⊃ : contêm
⊅ : não contêm
como exemplo A ⊃ (2,7), que seria o mesmo que dizer (2,7) ⊂ em A 2.5 Conjuntos Numéricos
Os números reais(R) englobam os números racionais(Q) e os números irracionais(I) .Os racionais são todos aqueles que podemos representar em forma de fração. Portanto,eles englobam os inteiros(Z), os decimais , os próprios números fracionários e um número muito especial chamado de dízima periódica. Já os irracionais (I) englobam todos os números infinitos porém sem a possibilidade matemática de serem representados na forma de fração. Como exemplo de números irracionais poderíamos citar todas as raízes não exatas, o número π,que a quadratura do círculo ou seja a razão constante existente entre o perímetro e o diâmetro de toda circunferência.
2.5.1 Dízimas periódicas
As dízimas periódicas são números que,apesar de infinitos, podem ser representados na forma de fração. Esta fração é chamada de fração geratriz da dízima .Elas podem ser classificadas com dízimas periódicas simples ou compostas.
As simples,possuem um número que se repete infinitamente chamado de período e é representado por P. Exemplo: 0,6666...
o período é o número 6 e sua fração geratriz é dada pelo número 6/9.
Para construir a fração geratriz de uma dízima periódica simples ,colocamos no numerador o período e no denominador vários noves,quantos forem os algarismos do período. Como exemplo:
0,626262... = 62/99 P = 62
Já a dízima periódica composta possui além do período (P) o ante-período(A) que é o número que aparece apenas uma vez. Como exemplo: 0,6222... = (62 – 6) / 90.
Como podemos perceber pelo cálculo que foi feito, a fração geratriz de uma dízima periódica composta é calculada da seguinte forma: no numerador colocamos o ante-período(A) seguido do período(P), formando um número. Deste valor é subtraído o ante-período(A).No denominador colocamos noves e zeros. O número de noves é relativo ao número de algarismos do período e o número de zeros é relativo ao número de algarismos do ante-período.
Exercício: Determine a fração geratriz das seguintes dízimas
1) 0,8888... = ________________________________________________________ 2) 0,8282... = _____________________________________________________ 3) 1,131313... = ____________________________________________________ 4) 0,87424242... = __________________________________________________ 5) 2,324444... = ___________________________________________________ 2.5.2 Intervalos
Muitas vezes perguntamos aos nossos alunos quantos números existem entre 2 e 10, por exemplo e muitos deles respondem um número finito de números. Na verdade, eles estão particularizando a resposta ou seja respondendo a pergunta dentro dos números inteiros (Z). A resposta correta seria existem infinitos números entre 2 e 10. Para isto é que servem os intervalos que é uma simbologia matemática utilizada para representarmos um subconjunto infinito dos números reais (R). Observe a tabela abaixo:
Intervalo Rep. Por caixas
Rep. Por sinais 6---10 [6,10] 6 ≤x ≤10 6 o--- 10 ]6,10] 6< x ≤10 6---o 10 [6,10[ 6≤ x <10 6 o---o 10 ]6,10[ 6< x< 10 6 --- [6,∞[ x≥ 6 ---10 [-∞,10] x ≤10 ---o 10 [-∞,10[ x<10 2.6 Exercícios de Conjuntos
1) Em uma cidade foi feito um levantamento para se saber quantas crianças haviam recebido as vacinas Sabin, Tríplice e contra a Meningite. Os resultados foram:
Sabin: 5428 Triplice: 4346 Meningite: 5800 Sabin e Triplice: 812 Sabin e Meningite: 904 Triplice e Meningite: 721 as três: 521 Nenhuma : 1644
Calcule o total de crianças que foram pesquisadas:
a) 15302 b)12588 c)14567 d)16766
2) O departamento de seleção de pessoal de uma indústria automobilística aplicou um teste para 44 candidatos. Uma das perguntas foi: você já trabalhou no :
a) setor de montagem b) setor de pintura c) setor de eletricidade
Concluiu-se que todos os candidatos têm experiência em pelo menos um dos setores e que exatamente: · 28 pessoas trabalharam em montagem;
· quatro pessoas trabalharam só em montagem; · uma pessoa trabalhou só em eletricidade;
· 21 pessoas já trabalharam em montagem e pintura; · dezesseis pessoas trabalharam em pintura e eletricidade; · treze pessoas trabalharam em montagem e eletricidade. Quantas pessoas têm experiência em pintura?
a) 44 b) 36 c) 65 d) 38
3) Um conjunto A contém os cinco primeiros números naturais, os cinco primeiros números pares e os cinco primeiros números ímpares. Então, o número de elementos do conjunto A é:
a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 4) Se A U B = {1,2,3,4,5}, A ∩ B = {1,3} e A = {1,3,5}, então:
a) B = {1,3,4} b) B = {1,3,4,5} c) B = {2,4} d) B = {1,2,3,4}
5) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos dois jornais e 66 não leem o jornal B. O valor de n é:
a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183 O texto seguinte tem como referência os testes 06, 07 e 08:
Em uma pesquisa de opinião pública efetuada na Av. Santos Dumont entre pessoas que se encontravam nas filas ou nas proximidades dos pontos iniciais das linhas de ônibus A e B, que se destinavam ao bairro Céu Azul. constatou-se que:
55% usavam a linha A.· 40% usavam a linha B.· 15% usavam as linhas A e B Assinale a alternativa correta:
6) A porcentagem dos entrevistados que usavam a linha A ou a linha B era de: a) 5% b) 95% c) 80% d) 15% e) 20% 7) A porcentagem dos entrevistados que não usavam nenhuma das linhas era de: a) 20% b) 80% c) 5% d)15% e) 45% 8) A porcentagem dos entrevistados que usavam apenas a linha A era de: a) 55% b) 40% c) 15% d) 20% e) 35% 9) No diagrama abaixo, a parte sombreada representa:
a) (A∩C)-B b) AUCUB
c) (A- B)U C d) A-B
10) (UFMG/2000) Um funcionário recebe as seguintes informações sobre os empregados de certa firma: -60% deles vão para o trabalho de ônibus
-30% vão de carro e os restantes 10%, a pé;
-75% deles moram em casa alugada e os restantes 25%, em casa própria.
Considerando se apenas essas informações, a única conclusão CORRETA a que esse funcionário pode chegar é a de que:
a) nenhum dos empregados que moram em casa própria vai a pé para o trabalho
b) o conjunto formado por todos os empregados que moram em casa própria e por todos os que vão de carro para o trabalho engloba mais de 50% dos empregados dessa firma.
c) pelo menos 5% dos empregados que vão de carro para o trabalho moram em casa própria d) pelo menos 50% do empregados que vão de ônibus para o trabalho moram em casa alugada.
11) (FCMMG/1998) Em uma pesquisa sobre os dependentes de drogas, constatou se que 60% dos mesmos não têm acesso às clínicas especializadas. Nas clínicas:
-apenas 10% dos viciados conseguem deixar as drogas -70% dos recuperados têm o vírus da AIDS
Para cada 1000 dependentes, a expectativa do número de recuperados em clínicas, não portadores do vírus da AIDS, é de:
a) 12 b) 28 c) 30 d) 40 e) 120 12)(UEBA84) Na figura abaixo, estão representados os conjuntos não vazios A,B e C:
O conjunto hachurado representa:
a) A∩ B – C b) AU C – B c) A – B d) A – C e) A U B - C
13) Num programa de TV um espectador participa de um jogo onde deve responder a cinco perguntas. As perguntas, por apresentarem dificuldades em níveis diferentes, correspondem a prêmios diferentes: um rádio, um relógio, um fogão, um televisor e uma geladeira. Para cada resposta certa, o espectador ganha o prêmio correspondente à pergunta. De quantas maneiras diferentes pode ser premiado (ou não esse espectador)? a) 25 b) 27 c) 32 d) 18 e) 21
14) (UFPE83) Uma determinada moléstia apresenta 03 sintomas. Em geral, um portador desta moléstia apresenta um determinado número de sintomas, que a caracterizam, número este que engloba pelo menos um destes sintomas. Qual o número de diagnósticos positivos que o médico pode dar ?
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 7
15) Num canil existem 3 raças de cães; pastor, dálmata e fila. Se 56 são pastores, 126 não são dálmatas e 25% são filas, calcule o número de dálmatas.
a) 154 b) 126 c) 132 d) 189 e)195
16) Numa sociedade, existem 35 homens (que usam óculos ou não), 18 pessoas usam óculos, 15 mulheres que não usam óculos e 7 homens que usam óculos. O número de pessoas que são homens ou usam óculos é: a) 42 b) 46 c) 50 d) 54 e) 61
17) Analisando se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas?
a)13 b)12 c)15 d) 46 e) 38
18) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Calcule o número de homens que não jogam xadrez.
a) 20 b) 32 c) 44 d) 56 e) 65
19) (PUC Salvador-BA) Sejam A, B, C E D conjuntos não vazios e tais que A C B C C C D. Nessas condições, o conjunto (B – A ) U (C – B) U (D – C) é igual a:
a) D – A b) A U C c) B - D d) A e) C 20) Sejam A= X R/X≤2 e B =X R/X≥0, determine o conjunto A ∩ B :∈ ∈ a) {0,3} b) (0,2} c) [0,2] d) (0,2) e) (0,10] 21) A representação decimal de 0.013 é:
a) 0,01 b) 0,001 c) 0,0001 d) 0,000001
22) (Unirio) Considerando os conjuntos A, B e C, a região colorida no diagrama representa: a)A U (C – B) b)A ∩ (C – B) c)A ∩ (B – C) d)A U (B – C) e)(A ∩ B) – C
23) (PUCPR) A região assinalada no diagrama representa: a) A - B
b)(A – B) U (B – C) c) A∩B - C
d)(A– B) ∩ (C – D) e)(A U C) – (B U C)
24) Um número racional qualquer:
a) tem sempre um número finito de casas decimais b) tem sempre um número infinito de cadas decimais c) não pode expressar-se na forma de fração
d) sempre poderá ser expresso na forma de uma fração
25) (lmesSP) Se A é um conjunto finito qualquer,indicamos por n(A) o número de elementos de A. Sendo B e C dois conjuntos finitos quaisquer, assinale a afirmação verdadeira.
a) n(B U C) = n(B) + n(C) – n(B∩ C) b) n(B∩ C) = n(B) + n(C) + n(BU C) c) n(B-C) = n(B) + n(C) + n(B ∩ C) d) n(BUC) = n(B). n(C)
e) n(BUC) = n(B) + n(C)
26) (U.F. Fluminense-RJ) Considerando três conjuntos P,Q e R diferentes, tais que P U Q = R e R possui 03 elementos , são feitas as seguintes afirmações:
I-pelo menos um dos conjuntos tem mais do que um elemento. II-P e Q possuem, na sua intersecção, dois elementos.
III-a união dos três conjuntos tem três elementos. Então pode-se concluir que somente:
a) a afirmativa I é verdadeira b) a afirmativa II é verdadeira c) as afirmativa I e II são verdadeiras d) as afirmativas II e III são verdadeiras e) as afirmativas I e III são verdadeiras
27) (UEBA) Sejam os conjuntos formados por números naturais:
A = conjunto dos múltiplos de 3, B = conjunto dos divisores de 30 e C = conjunto dos números pares. O número de elementos de A ∩ B∩ C é:
a) 2 b) 0 c) 3 d) 1
28) (UFSE) Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X, tais que X – A = {0, 1, 5, 6} e X – B = {0, 4, 6}. Se A ∩ B = {2, 3}, o conjunto A U B é igual a:
a){1,4,5} b){0,2,3,5} c){1,2,3,4} d){1,2,3,4,5} e){0,2,4,5,6}
29) (MackenzieSP) Se A = {3,7} e B = {8,9,10}, então o número de elementos do conjunto M tal que A ∩ M = {3}, B ∩ M = {8} e A U B U M = {3,7,8,9,10} é:
a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 5
30) (Unifor-CE) Indica se por n(X) o número de elementos de um conjunto X. Se dois conjuntos A e B são tais que n(A) = 7, n(B) = 5 e n(A ∩ B) = 3, quantos elementos tem o conjunto (A- B) U (B – A)?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
31) (Osec-SP) Os conjuntos A e B têm, respectivamente, 16 e 8 subconjuntos. O conjunto A ∩ B tem dois elementos. Quantos elementos tem o conjunto A U B?
a) 22 b) 9 c) 7 d) 5 e) 3
32) (PUCRJ) Dez mil estudantes fizeram exames para as universidades A, B e C; 50% dos estudantes foram aprovados na universidade A; 20% dos que passaram em A também passaram em B, apenas 10% dos estudantes que foram aprovados em A e B também passaram em C. Quantos estudantes passaram somente nas universidades A e B?
a) 900 b) 100 c) 3200 d) 800 e)1000
33) (PUC MG) Em uma classe de 45 meninas, cada uma delas ou tem cabelos pretos ou olhos castanhos, 35 tem cabelos pretos e 20 tem olhos castanhos. O número de meninas que tem cabelos pretos e olhos castanhos é:
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
34) (Unisinos – RS) Numa pesquisa, realizada em alguns colégios de 2º grau, sobre a preparação dos alunos para o concurso vestibular 94, foram obtidos os seguintes resultados:
cursou pré-vestibular : 358 alunos contratou professor particular: 110 alunos ambas as situações anteriores: 54 alunos
nenhuma das situações anteriores: 36 alunos
Com base nesse dados, o número de alunos consultados foi:
a) 378 b) 414 c) 450 d) 510 e) 514
35) (UFMG 07) Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram:
• 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; • 78% do total de entrevistados gostam de pizza; • 75% do total de entrevistados gostam de batata frita.
Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de :
a) 25%. b) 30%. d) 35%. e) 40%.
36) (UFMG 97) A diferença dos cubos de dois números naturais consecutivos é 91.Esses números pertencem ao intervalo:
a) { n IN : 7 ≤ n ≤ 3 } b) { n IN : 3 < n ≤ 7 } c) { n IN : 7 < n ≤ 10 } d) { n IN : n > 10 }∈ ∈ ∈ ∈ 37) (CEFET) Dados os números reais x = 0,333..., y = 27/8, z = 0,25, o valor da expressão yx + z1/2 é igual a:
a) 1 b) 0 c) 13/8 d) 2/5
38) (ESPCEX 2003) Quaisquer que sejam o número irracional a e o número racional b, pode-se afirmar que, sempre:
a) a.a é irracional b) a2 + b é racional c) a.b é racional d) b – a + 21/2 é irracional e) b + 2a é irracional
Gabarito
01-a 02-b 03-a 04-d 05-c 06-c 07-a 08-b 09-a 10-d 11-a 12-a 13-c 14-e 15-a 16-b 17-d 18-a 19-a 20-c 21-d 22-d 23-c 24-d 25-a 26-e 27-a 28-d 29-c 30-d 31-d 32-a 33-b 34-c 35-d 36-b 37-c 38-e
