VESTIBULAR DA UNICAMP – 2010 – 1
ae 2
aFase
Provas de Matemática
RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.
QUESTÕES DA FASE 1
QUESTÕES DA FASE 1
QUESTÕES DA FASE 1
QUESTÕES DA FASE 1
1.
Segundo o IBGE, nos próximos anos, aparticipação das gerações mais velhas na
população do Brasil aumentará. O gráfico ao lado mostra uma estimativa da população brasileira por faixa etária, entre os anos de 2010 e 2050. Os números apresentados no gráfico indicam a população estimada, em milhões de habitantes, no início de cada ano. Considere que a população varia linearmente ao longo de cada década. a) Com base nos valores fornecidos no gráfico, calcule exatamente em que ano o número de habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de habitantes com até 17 anos. (Atenção: não basta encontrar um número aproximado a partir do gráfico. É preciso mostrar as contas.) b) Determine qual será, em termos percentuais, a variação da população total do país entre 2040 e 2050.
RESOLUÇÃO:
a) Fazendo corresponder ao ano 2010 a abscissa 0(anos passados), ao ano 2020, a abscissa 10 (anos passados), .... temos o gráfico:
Considerando p1 = a1x + b1, equação da reta que passa pelos pontos (0,59) e (20,45). Como essa equação
passa pelo ponto (0,59) então 59 = b1⇒ p1 = a1x + 59. Como essa equação é verdadeira para o par
ordenado (20,45), 45 = 20a1 + 59 ⇒ 20a1 = −14 ⇒
10 7 a1=− ⇒ x 59 10 7 p1=− + .
Considerando p2 = a2x + b2, equação da reta que passa pelos pontos (0,19) e (20,40). Como essa equação
passa pelo ponto (0,19) então 19 = b2⇒ p2 = a2x + 19. Como essa equação é verdadeira para o par
ordenado (20,40), 40 = 20a2 + 19 ⇒ 20a2 = 21 ⇒
20 21 a2 = ⇒ x 19 20 21 p2 = + .
Para determinar o ano em que o número de habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de habitantes com até 17 anos, deve-se resolver a desigualdade: x+19≥
20 21 x 59 10 7 + − ⇒ 22,85 x 35 800 x 800 x 4 1 21x+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ .
Logo de 2010 até o ponto de interseção dos gráficos das equações x 59 10 7 p1=− + e x 19 20 21 p2= + se
b) A população em 2040, será de (127 + 52 + 40) = 219 milhões de habitantes. A população em 2050, será de (116 + 64 + 35) = 215 milhões de habitantes. Para determinar o percentual de diminuição da população, faça-se:
.. 0,01860... 215 4 n(2040) n(2050) n(2040) = = −
RESPOSTA:
Decresceu 1,86%2.
As mensalidades dos planos de saúde sãoestabelecidas por faixa etária. A tabela ao lado fornece os valores das mensalidades do plano "Geração Saúde". Sabendo que o salário mínimo nacional vale, hoje, R$ 465,00, responda às perguntas abaixo. a) O gráfico em formato de pizza ao lado mostra o comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa que recebe 8 salários mínimos por mês e aderiu ao plano de saúde "Geração Saúde". Em cada fatia do gráfico, estão indicados o item referente ao gasto e o ângulo correspondente, em graus. Determine a que faixa etária pertence essa pessoa.
b) O comprometimento do rendimento mensal de uma pessoa com o plano de saúde "Geração Saúde" varia de acordo com o salário que ela recebe.
Suponha que x seja a quantidade de salários mínimos recebida mensalmente por uma pessoa que tem 56 anos, e que C(x) seja a função que fornece o comprometimento salarial, em porcentagem, com o plano de saúde. Note que x não precisa ser um número inteiro. Determine a expressão de C(x) para x ≥ 1, e trace a curva correspondente a essa função no gráfico abaixo.
Faixa etária Mensalidade
(R$) Até 15 anos 120,00 de 16 a 30 anos 180,00 de 31 a 45 anos 260,00 de 46 a 60 anos 372,00 61 anos ou mais 558,00
RESOLUÇÃO:
a) A pessoa que recebe 8 salários mínimos tem uma renda bruta de 8 ×R$465,00 = R$ 3720,00.
Armando a proporção: x 558 3 x 186 3 x 20 3720 54 x 360 3720 = ⇒ = ⇒ = ⇒ ° = ° .
RESPOSTA:
Essa pessoa pertence faixa etária de 61 anos ou mais. b) Se a pessoa que tem 56 anos recebesse apenas um saláriomínimo, o seu salário seria de 465x reais.
Para determinar o seu comprometimento salarial, em porcentagem, com o plano de saúde, deve-se resolver a proporção: C(x) x 80 465x 37200 ) ( C 37200% 465C(x)x C(x) 372 100% 465x ⇒ = = ⇒ = ⇒ = x .
QUESTÕES DA FASE 2
QUESTÕES DA FASE 2
QUESTÕES DA FASE 2
QUESTÕES DA FASE 2
1. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4
kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões abaixo.
a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta. b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe?
RESOLUÇÃO:
Para produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B, serão necessários
(7×0,4 + 18 × 0,2) = 6,4 quilogramas de açúcar e (7 × 0,2 + 18 × 0,3) = 6,8 quilogramas de farinha.
RESPOSTA:
Não porque a farinha não é suficiente.b) Considerando que serão produzidos x quilogramas de bolo do tipo A e y quilogramas do tipo B, podemos armar o sistema:
= = + = ⇒ = = ⇒ = + = + ⇒ = + = + 22,5 x 10 1 0,4x 5 y 5 y 2 0,4y 12 0,6x 0,4x 10 0,2y 0,4x 6 0,3y 0,2x 10 0,2y 0,4x
RESPOSTA:
Devem ser produzidos 22,5 quilogramas de bolo do tipo A e 5 quilogramas do tipo B.2. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o
formato de anel, como mostra a figura ao lado. Observe que, na escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em formato de calota esférica.
Sabe-se que uma calota esférica tem volume
(
3R h)
3
πh
V
2
cal = − , em que h é a altura da calota e R é o raio da esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica (excluindo a porção plana da base) é dada por Acal = 2πRh. Atenção: não use um valor aproximado para π.
a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel de madeira, em função de R.
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo,
novamente, que h = R/2, determine a área sobre a qual o verniz será aplicado.
RESOLUÇÃO:
a) O volume do anel é: V ANEL =Vesfera – 2Vduas calotas – Vcilindro, ou
seja, V ANEL =
(
)
2 cilindro2 3 H πr h) 3R 3 πh 2 3 R 4 − − − π .
Então é necessário determinar a altura H e o raio r do cilindro em função de R.
Sendo h = R/2, H = R
Na figura ao lado vê-se um triângulo retângulo de hipotenusa R e catetos r e R/2, então 2 3 R r 4 R R r 2 2 2 = ⇒ − = .
Então VANEL = − − = − − − 4 3 12 5 3 4 R R 2 3 R π ) 2 R 3R 3 2 R π 2 3 R 4 3 2 2 3 π π ⇒⇒⇒⇒ 6 R π V 3 ANEL = .
RESPOSTA:
O volume do anel é6 R π 3
.
b) Como a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna, a área sobre a qual o verniz será aplicado, tem por medida:
S = SESFERA – 2SCALOTA + SLATERAL DO CILINDRO ⇒ S = 4πR² – 2×2πRh + 2πrH ⇒
S = 2 2 2 2
(
)
2 πR 3 2 3 πR 2ππ R 4π R 2 3 R 2π 2 R 4ππ R 4π = − + = + + −RESPOSTA:
A superfície do anel tem área igual a(
2 + 3)
πR2.3.
Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm × 2,5 cm. Os dois retalhos de courodisponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras abaixo. a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique. b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
RESOLUÇÃO:
No retalho semicircular, considere-se o retângulo ABCD e o triângulo retângulo OAB com AD = 10cm, AB = x cm, AO = 5cm e OB = 6cm. Pelo Teorema de Pitágoras: x² = 36 – 25 = 11 ⇒ x = 11 >2,5.
RESPOSTA
: Como o retângulo de couro a ser recortado tem dimensões10 cm × 2,5 cm então o retalho semicircular pode ser utilizado para a obtenção da tira, pois ABCD tem dimensões 10 cm × 11 cm e assim sua superfície é maior que a do retângulo EFGH.
b) Os triângulos retângulos FOE e CBE são semelhantes, logo os seus lados correspondentes são proporcionais:
2,5. 2,25 8 18 x 3 x 8 6 BE CB OE FO < = = ⇒ = ⇒ =
RESPOSTA
: Como o retângulo de couro a ser recortado tem dimensões 10 cm × 2,5 cm o retalho triangular não pode ser utilizado para a obtenção da tira, pois ABCD tem dimensões 10 cm × 2,25 cm, assim sua superfície é menor que a do retângulo EFGH.4.
Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa queterá que ser vencida e a bicicleta de Laura.
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0,99 . Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.
b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.
a) Se cos(α) = 0,99 , sen() = 1−
(
0,99)
2 = 0,01=0,1.No triângulo retângulo ABC, h 31,5
315 h 0,1 AC BC senα= ⇒ = ⇒ = .
RESPOSTA:
A altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura é de 31,5m.b) No triângulo BCD tem-se o ângulo CDˆBmede 79°, pois 24° + 77° + 79° = 180°.
O ângulo ADˆBmede 75°, pois 26° + 79° + 75° = 180°. No triângulo ABD, α° = 75°, pois 30° + 75° + 75° = 180°.
Logo o triângulo ABD é isósceles e AD = b.
Aplicando a esse triângulo a lei dos cossenos em relação ao ângulo de 30° e sendo a = 22cm (dado da questão):
(
)
⇒ − = ⇒ = − ⇒ − = ⇒ ° − + = 3 2 484 b 484 3 2 b b 3 2b 484 0 2.b.b.cos3 b b 222 2 2 2 2 2 2(
)
(
)
b 22 2 3 3 4 3 2 22 3 2 3 2 484 b 2 2 2 2 ⇒ = + − + = − + = .RESPOSTA:
b=22 2+ 3cm.5.
O valor presente, Vp , de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pelafórmula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros (0 ≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela.
n p 100 r 1 p V + =
a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp , supondo uma taxa de juros de 1% ao mês.
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo, novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp , e o percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à vista.
RESOLUÇÃO:
a) 198,0198... V 198,02 101 100 200 V 100 1 1 200 Vp 1 ⇒ p= × = ⇒ p = + = .Então o valor presente da mercadoria é: R$200,00 + R$198,02 = R$398,02
RESPOSTA:
R$398,02.b) Valor presente da primeira prestação: 0,99p
101 100 p V 100 1 1 p Vp 1⇒ p = × = + = .
Valor presente da primeira prestação: 0,98p
101 100 p V 100 1 1 p V 2 p 2 p = × = ⇒ + =
Valor presente da mercadoria: 0,99p + 0,98p = 1,97p.
O desconto mínimo que deve ser dado ao cliente é de 0,015 1,5% 2 03 , 0 2p 1,97p 2p = = = − .
RESPOSTA:
O valor presente da mercadoria é 1,97p e o desconto mínimo a ser é de 1,5%.6.
Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas noformato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos modelos que ela produz.
Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao lado. a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a empresa resolveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada proprietário de um aparelho da empresa receberá
Modelo Preço (R$) Aparelhos vendidos (milhares)
A 150 78
B 180 70
C 250 52
D 320 36
um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom. Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00.
b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão relacionados pela função n(p) = 115 – 0,25p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o preço de cada aparelho (em reais).
Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por n × p.
RESOLUÇÃO:
a) Como se supõe que no ato da compra foi adquirido apenas um aparelho, e para cada R$ 100,00 gastos na compra, o proprietário do aparelho recebe um cupom, o total de cupons distribuídos, em milhares, foi:
78 + 70 + 2 × 52 + 3 × 36 = 360.
O total, em milhares, de proprietários que adquiriram aparelhos com preço superior a R$ 300,00 foi 36. O total de cupons recebidos por eles foi de 3 × 36 = 108. Logo a probabilidade pedida é:
p = 10 3 360 108 = .
RESPOSTA:
360 mil cupons e P = 30% 103 =
Modelo Preço (R$) Aparelhos vendidos (milhares) A 150 78 B 180 70 C 250 52 D 320 36 TOTAL 900 236
b) O número n, de aparelhos do novo modelo a serem vendidos, é dado pela relação n(p) = 115 – 0,25p, depende do preço por unidade (p) e sendo R = n × p, então, a receita bruta é: R = p(115 – 0,25p) = – 0,25p² + 115 p.
Esta função está representada pela parábola ao lado, e o valor máximo da receita é Rv é atingido no ponto (Pv, Rv)
Logo o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa
com o novo modelo, é: 230
0,5 115 0,25) 2( 115 2a b p = = − − = − = .
RESPOSTA:
R$ 230,007.
Sejam dadas as funções f(x) = 8/42xe g(x) = 4x .a) Represente a curva y = f(x) no gráfico ao lado, em que o eixo vertical fornece log2(y).
b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações = = 1 f(y)/g(z) g(y) f(z)
RESOLUÇÃO:
a) Sendo y = f(x) = 8/4 , então, h(x) = log2x
2(y) = log2(8/4 ) ⇒ 2x
h(x) = log2(23 − 4x) = 3 – 4x.
Sendo h(0) = 3, h(1) = −1 e h(3) = −9, então o gráfico pedido está ao lado.
b) ⇒ = = ⇒ = × = ⇒ = = ⇒ = = + + 4y 2z 3 4z 2y 3 z 2y 2z y z 2y y 2z 2 2 2 2 4 4 8 4 4 8 1 4 4 8 4 4 8 1 f(y)/g(z) g(y) f(z) = = ⇒ = ⇒ = + = + ⇒ = + = + 2 1 y 2 1 z 3 6z 3 2z 4y 6 8z 4y 3 2z 4y 3 4z 2y
RESPOSTA:
2 1 z e 2 1 y= =.
8.
O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia)é um brinquedo muito comum no Brasil. A figura ao lado mostra as dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente. a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio. b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D.
RESOLUÇÃO:
a) Calculando inicialmente o valor de x na figura ao lado: x = 50sen30°= 25cm.
SABCD = SBAD + SBCD ⇒ SABCD =
2 3 50 50 2 1 2 25 50 × × × + × ⇒ SABCD = 625 +625 3.
RESPOSTA:
A area do quadrilátero de papel é(
1 3)
b) Sendo o arco BD tangente aos segmentos AD e AB, então estes são, respectivament, perpendiculares aos raios
OD e BO. Logo, o quadrilátero ABOD é um quadrado ccuja diagonal mede 50cm. Assim: OD 2 = 50 ⇒ OD = 25 2 2 50 = cm. O comprimento do arco BD é: 2 2 25 4 2 50 2 25 2 360 90 π π π× = = × ° ° = l cm.
RESPOSTA:
O comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B e D é 2 2 25 π cm.9.
Considere a matriz = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a aA , cujos coeficientes são números reais.
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo.
b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij = i − j + 1 para os elementos em que j ≤ i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A−1.
RESOLUÇÃO:
a) Existem 84 1 2 3 7 8 9 C C9,6 9,3 = × × × × == modos de se armar a matriz A com seis elementos iguais a zero. Essa matriz somente terá determinante diferente de zero, quando os três elementos não nulos dessa matriz estiverem formando a diagonal principal, porque estarão em linhas diferentes.
Existem A3,3= 3 × 2 × 1= 6 modos diferentes de distribuir esse três elementos na diagonal principal.
Logo a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo é: p = 14 1 84 6 = .
RESPOSTA:
14 1.
b) De acordo com as condições do item b:
= = 1 2 3 0 1 2 0 0 1 a a a a a a a a a A 33 32 31 23 22 21 13 12 11
.
Considerando = − i h g f e d c b a A 1. Sendo
A A 1 I = × −:
= + + + + + + + + + ⇒ = × 1 0 0 0 1 0 0 0 1 i 2f 3c h 2e 3b g 2d 3a f 2c e 2b d 2a c b a 1 0 0 0 1 0 0 0 1 i h g f e d c b a 1 2 3 0 1 2 0 0 1.
Então, = + + = + = = + + = + = = + + = + = 1 i 2f 3c 0 f 2c 0 c , 0 h 2e 3b 1 e 2b 0 b , 0 g 2d 3a 0 d 2a 1 a⇒
= = = − = = = = − = = ⇒ = + + = + = = + + = = = + + = + = 1 i 0 f 0 c , 2 h 1 e 0 b , 1 g 2 d 1 a 1 i 0 0 0 f 0 0 c , 0 h 2 0 1 e 0 b , 0 g 2d 3 0 d 2 1 a.
RESPOSTA: A = 1 2 3 0 1 2 0 0 1
e
− − = − 1 2 1 0 1 2 0 0 1 A 1 .10.
Suponha que f : IR→IR seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)) e periódica, com período 10(isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo. a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99).
b) Dadas as funções g(y) = y² – 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para 2,5 ≤ x ≤ 5.
RESOLUÇÃO:
a) Sendo f(x) uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)), então a imagem correspondente ao intervalo [–5, 0] é simétrica à imagem do intervalo [0, 5]. e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10))
Sendo f(x) uma função ímpar e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10)), a imagem do intervalo de [5, 10] é igual à imagem do intervalo de [–5, 0], e a do intervalo de [–10,–5] é a do intervalo [0, 10].
RESPOSTA:
O gráfico ao lado é da função f(x) no intervalo [–10, 10].Sendo f(x) periódica de período 10, f(99) = f(89) = f(79) =... = f(9) Se 9 ∈ [7,5; 10], f(9) ∈ [–5, 0]. Ou seja o ponto (9, f(9)) pertence ao segmento AB contido na reta y = ax + b, determinada pelos pontos (7,5; –5) e (10, 0). 20 2x y 20 b 2 a 5 2,5a b 10a 0 b 7,5a 5 − = ⇒ − = = = ⇒ + = + = − .
Nesta equação substituindo x por 9, determinamos f(9) = f(99): y = 18 – 20 = – 2.
RESPOSTA:
f(99) = – 2.b) Se x pertence ao intervalo 2,5 ≤ x ≤ 5, então a equação de f(x) é a reta y = ax + b que passa pelos pontos A e B da figura ao lado:
10 2x f(x) 10 2x y 10 b 2 a 5 2,5a b 5a 0 b 2,5a 5 + − = ⇒ + − = ⇒ = − = − = ⇒ + = + = . Sendo h(x) = g(f(x)), então h(x) = (–2x + 10)² – 4(–2x + 10) ⇒ h(x) = 4x² – 32x + 60 e h(3) = 36 – 96 + 60 = 0.
RESPOSTA:
h(x) = 4x² – 32x + 60 e h(3) = 0, para 2,5 ≤ x ≤ 5.11.
No desenho abaixo, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares,interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as questões abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a.
b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x.
Seja y = mx + n a equação da reta que passa pelos pontos C e B = (2, 0). Usando as coordenadas de B: 2m + n = 0 ⇒ n = − 2m ⇒ y = mx − 2m.
Como as retas y = mx − 2m e y = ax são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é igual a −1, donde: am = −1 e m = a 1 − ⇒ y = a 1 − x + a 2⇒ C = a 2 , 0
RESPOSTA:
C = a 2 , 0 .b) Supondo a = 3, temos as equações formando o sistema:.
= ⇒ = = ⇒ = + − = ⇒ + − = = ⇒ + − = = 5 3 , 5 1 A 5 3 y 5 1 x 2 10x 2 x 9x 2 x 3y 3x y 3 2 x 3 1 y 3x y
A equação da circunferência com centro em = 5 3 , 5 1
A , tangente ao eixo x e raio 5 3 é: 0 1 30y 10x 25y 25x 5 3 5 3 y 5 1 x 2 2 2 2 2 = − − − + ⇒ = − + − .
RESPOSTA:
= 5 3 , 5 1 Ae
25x2+25y2−10x−30y−1=012.
Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégiasagressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.
semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?
RESOLUÇÃO:
a)
NOVOS MEMBROS
site A 1a semana 2a semana 3a semana 4a semana 5a semana 6a semana
100 200 400 800 1600 3200
TOTAL 6300
RESPOSTA:
O site A espera atrair daqui a 6 semanas 3200 novos sócios, e ter daqui a 6 semanas umtotal de (150 + 6300) = 6450 sócios. b)
NOVOS MEMBROS
site B 1a semana 2a semana 3a semana ... na semana
100 200 300 100+(n – 1)100 =100n TOTAL
(
)
⇒ ≥ − − ⇒ ≥ − + ⇒ ≥ + + 10000 50n 50n 7800 0 n n 156 0 2 n 100n 100 2200 2 2As raízes da equação n2 −n−156=0
, são
n' 13 e n'' 12. 2 25 1 2 624 1 1 n= − ± + =− ± ⇒ =− =Logo a solução da inequação n2−n−156≥0 é: n ≤ − 13 ou n ≥ 12.
