Estatística Matemática I

(1)

Estat´

ıstica Matem´

atica I

Roseli Aparecida Leandro e Clarice G.B. Dem´

etrio

Mar¸

co de 2011

Depto. de Ciˆencias Exatas, ESALQ/USP e-mail: [email protected]

(2)

Vari´

aveis aleat´

orias

Sejam E um experimento e Ω = {ω₁, . . . , ω_n} um espa¸co amostral a ele associado. Uma fun¸cão X, que associe a cada elemento ω ∈ Ω um número real, X(ω), é denominada variável aleatória e tem valores em X = {x₁, . . . , x_m}.

Em muitos experimentos variáveis aleatórias são implicitamente utilizadas.

Experimento Vari´avel aleat´oria

Lan¸car dois dados X = soma dos n´umeros

Lan¸car uma moeda 25 vezes X = n´umero de caras Aplicar diferentes doses de

(3)

Vari´

aveis aleat´

orias discretas

• Seja X uma variável aleatória. Se o número de valores poss´ıveis de X (isto é, de X ) for finito ou infinito enumerável, X é denominada variável aleatória discreta.

• Isso significa que os valores de X, podem ser dispostos em uma lista como x₁, x₂, . . .. No caso finito, a lista acaba, e no caso infinito enumerável, a lista continua indefinida-mente. Observe que se X = {1, 5; 2, 5; 3, 5}, então, a variável aleatória correspondente será uma variável aleatória discreta.

(4)

• A cada poss´ıvel resultado x_i ∈ X pode-se associar um n´umero p(x_i) = P (X = x_i) = P {ω_j ∈ Ω : X(ω_j) = x_i},

denominado probabilidade de x_i. Os números p(x_i), i = 1, 2, . . ., devem satisfazer às seguntes condi¸cões:

(a) p(x_i) ≥ 0 para todo i, (b) P∞

i=1 p(xi) = 1

• A fun¸cão p é denominada fun¸cão de probabilidade da variável aleatória X. A cole¸cão de pares {(x_i, p(x_i)), i = 1, 2, . . .}, é denominada distribui¸cão de probabilidades de X.

(5)

Vari´

aveis aleat´

orias cont´

ınuas

• Diz-se que X é uma variável aleatória cont´ınua, se X puder as-sumir qualquer valor no intervalo (c, d) (infinito não-numerável), sendo que c e d podem ser −∞ e ∞.

• Se existir uma fun¸cão f que satisfa¸ca às seguintes condi¸cões: (a) f (x) ≥ 0 para todo x,

(b) R ∞

−∞ f (x)dx = 1

f ser´a denominada fun¸c˜ao densidade de probabilidade (fdp) de X.

• Para quaisquer a, b , −∞ < a < b < ∞, define-se: P (a ≤ X ≤ b) =

Z b

(6)

Fun¸

c˜

ao de distribui¸

c˜

ao acumulada

• Seja X uma variável aleatória, discreta ou cont´ınua. Define-se a funcão real de variável real F como a fun¸cão de distribui¸cão acumulada da variável aleatória X (fda ou, abreviadamente, in-dicada por fd) como

F (x) = P (X ≤ x) = P {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x}. (a) Se X for uma vari´avel aleat´oria discreta

F (x) = X

j:x_i≤x

p(x_i)

(b) Se X for uma vari´avel aleat´oria cont´ınua com fdp f , F (x) =

Z x

(7)

X Exemplo: Caso discreto

• Considere o experimento E: Lan¸car uma moeda 3 vezes.

• Defina a variável aleatória X: número de caras obtidas nos 3 lan¸camentos. Tem-se

ω X(ω)

(ca, ca, ca) 3 (ca, ca, co) 2 (ca, co, ca) 2 (co, ca, ca) 2 (ca, co, co) 1 (co, ca, co) 1 (co, co, ca) 1 (co, co, co) 0

(8)

• O campo de varia¸cão da variável aleatória X é X = {0, 1, 2, 3}. Assumindo que os oito pontos do espa¸co amostral Ω têm a mesma probabilidade de 1

8 de ocorrência, a distribui¸cão de pro-babilidades será: x P_X(x) 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8 Construa F . Fa¸ca seu gráfico.

(9)

Resultados

X A fun¸cão F é não decrescente, isto é, se x₁ ≤ x₂ tem-se F (x₁) ≤ F (x₂).

X F ´e cont´ınua `a direita.

X limx→−∞ F (x) = 0 e limx→∞F (x) = 1

X Seja F a fda de uma v.a.c., com fdp f . Ent˜ao, f (x) = d

dxF (x), para todo x no qual F seja deriv´avel.

X Seja X uma v.a.d., com valores poss´ıveis x1, x2, . . . , e

suponha-se que essuponha-ses valores tenham sido indexados de modo que, x₁ < x₂ < . . .. Seja F a fda de X. Ent˜ao,

(10)

X Exemplos: Caso cont´ınuo

i) Dada a fun¸c˜ao g(x) = 3 + 2x, para 2 < x < 4, determinar k tal que f (x) = kg(x) seja uma fun¸c˜ao densidade. Determinar P (2 < x < 3).

ii) Seja a fda de uma v.a. X dada por

F_X = 1

1 + e−x.

a) Mostre que F_X ´e, realmente, uma fda. Fa¸ca seu gr´afico.

(11)

Distribui¸

c˜

oes Bivariadas

Em muitos experimentos pode-se estar interessados em duas ou mais caracter´ısticas, simultaneamente. Por exemplo, a dureza H e a tens˜ao de ruptura de uma pe¸ca manufaturada de a¸ co.Pode-se, nesse caso, considerar (h, t) como resultado experimental. Pode-se estudar a estatura X e o peso Y de alguma pessoa escolhida ao acaso o que forneceria o resultado (x, y).

Sejam E um experimento e Ω um espa¸co amostral associado a E. Sejam X = X(ω) e Y (ω) duas fun¸cões, cada uma associando um número real a cada resultado ω ∈ Ω. Denomina-se (X, Y ) uma variável aleatória bidimensional (algumas vezes chamada vetor aleatório).

(12)

Se X₁ = X₁(ω), X₂ = X₂(ω), . . . , X_n = X_n(ω) forem n fun¸cões, cada uma associando um número real a cada resultado elementar ω ∈ ω, denominaremos (X₁, X₂, . . . , X_n) uma variável aleatória n-dimensional (ou um vetor aleatório n-dimensional).

(X, Y ) será uma variável aleatória discreta bidimensional se os valores poss´ıveis de (X, Y ) forem finitos ou infinitos enumeráveis, isto é, se os valores poss´ıveis de (X, Y ) puderem ser representa-dos por (x_i, y_j), i = 1, 2, . . . ; j = 1, 2, . . ..

(X, Y ) será uma variável aleatória cont´ınua bidimensional se X e Y puder assumir todos os valores em algum conjunto n˜ ao-enumerável do plano real.

Observe que, podem-se ter, tamb´em, os casos “mistos”: X dis-creta e Y cont´ınua e/ou vice-versa.

(13)

Fun¸

c˜

ao de probabilidade conjunta: caso discreto

Seja (X, Y ) uma variável aleatória discreta bidimensional. A cada resultado poss´ıvel (x_i, y_j) associa-se um número

que satisfaz

(a) p(x_i, y_j) ≥ 0 para todo (x_i, y_j),

(b) P∞

i=1

P∞

j=1 p(xi, yj) = 1

a fun¸cão p assim definida é chamada fun¸cão de probabilidade de (X, Y ). O conjunto dos ternos {(x_i, y_j, P (x_i, y_j)), i, j = 1, 2, . . .} é denominado distribui¸cão conjunta de probabilidades de (X, Y ).

(14)

Fun¸

c˜

ao densidade de probabilidade conjunta:

Caso Cont´

ınuo

Seja (X, Y ) uma variável aleatória cont´ınua assumindo todos os valores em alguma região R do plano euclidiano. A fun¸cão den-sidade de probabilidade conjunta f é uma fun¸cão que satisfaz às seguintes condi¸cões:

(a) f (x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ R,

(b) R∞

−∞

R∞

(15)

Fun¸

c˜

ao de distribui¸

c˜

ao acumulada conjunta

Seja (X, Y ) uma variável aleatória bidimensional. A fun¸cão de distribui¸cão acumulada (fd) da variável aleatória bidimensional (X, Y ) é definida por:

F_XY (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y)

Resultado:

X Se F for a fd de uma variável aleatória bidimensional com fdp f então:

∂2F_XY (x, y)

∂x∂y = fXY (x, y) sempre que F for deriv´avel.

(16)

Distribui¸

c˜

oes marginais

A cada variável aleatória bidimensional (X, Y ) associam-se duas variáveis aleatórias unidimensionais, a saber, X e Y , individual-mente, isto é, pode-se estar interessado na distribui¸cão de pro-babilidades de X ou de Y .

Resultado:

X No caso discreto bidimensional tem-se:

? A distribui¸c˜ao de probabilidade marginal de X

p(x_i) = P (X = x_i) = P [(X = x_i, Y = y₁) ou (X = x_i, Y = y₂) ou . . .] = ∞ X j=1 p(x_i, y_j)

(17)

? A distribui¸c˜ao de probabilidade marginal de Y p(y_j) = P (X = y_j) = P [(X = x₁, Y = y_j) ou (X = x₂, Y = y_j) ou . . .] = ∞ X i=1 p(x_i, y_j)

X No caso cont´ınuo bidimensional tem-se:

Seja f_XY a fdp conjunta da variável aleatória bidimensional cont´ınua (X, Y ). Definem-se as fun¸cões de densidades mar-ginais de X, f_X, e de Y , f_Y por:

f_X(x) =

Z ∞

−∞ fX,Y (x, y)dy e fY (y) =

Z ∞

(18)

Probabilidade condicional

X Caso discreto p(x_i|y_j) = P (X = x_i|Y = y_j) = p(xi, yj) p(y_j) se p(yj) > 0 p(y_j|x_i) = P (Y = y_j|X = x_i) = p(xi, yj) p(x_i) se p(xi) > 0

(19)

No caso cont´ınuo, a formula¸c˜ao da probabilidade condicional apresenta alguma dificuldade, uma vez que para quaisquer x₀ e y₀ tem-se P (X = x₀) = P (Y = y₀) = 0

Seja (X, Y ) uma variável aleatória cont´ınua bidimensional com fdp conjunta f . Sejam f_X e f_Y as fdp marginais de X e Y respectivamente. Então:

? A fdp de X condicional a um dado Y = y ´e definida por: f_X|Y (x|Y = y) = fX,Y (x, y)

f_Y (y) , fY (y) > 0

? A fdp de Y condicional a um dado X = x ´e definida por: f_{Y |X}(Y |X = x) = fX,Y (x, y)

(20)

X Interprete geometricamente.

X Interprete f_X,Y (x, y), f_X, f_Y , f_X|Y e f_{Y |X} quando X e Y forem, respectivamente, altura do pai e altura do filho.

(21)

Vari´

aveis aleat´

orias independentes

Lembre-se que dois eventos A e B s˜ao independentes se e s´o se P (A ∩ B) = P (A)P (B).

X Caso discreto

Seja (X, Y ) uma variável aleatória discreta bidimensional. Diz-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes se, e somente se,

p(x_i, y_j) = p(x_i)p(y_j) para quaisquer i e j isto ´e,

(22)

X Caso cont´ınuo

Seja (X, Y ) uma variável aleatória cont´ınua bidimensional. Diz-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes se, e somente se,

(23)

Esperan¸

ca Matem´

atica para v.a. unidimensionais

X Caso discreto

Se X é uma v.a.d. que assume os valores x₁, . . . , x_m com as res-pectivas probabilidades p(x₁), . . . , p(x_m), a esperan¸ca matemática de X, ou valor médio de X, é E(X) = m X i=1 x_ip(x_i)

Exemplo: No lan¸camento de um dado, se X é a v.a. que indica o número de pontos obtidos, qual é a esperan¸ca de X?

E(X) = 11 6 + 2 1 6 + 3 1 6 + 4 1 6 + 5 1 6 + 6 1 6 = 3, 5

Isso significa que em um grande n´umero de jogadas, espera-se obter uma m´edia em torno de 3,5.

(24)

Esperan¸

ca Matem´

atica para v.a. unidimensionais

X Caso cont´ınuo

Se X é uma v.a.c. com fun¸cão densidade f (x), a esperan¸ca matemática de X, ou valor médio de X, é

E(X) =

Z ∞

−∞xf (x)dx Exemplo: Seja a v.a. X com fdp

f (x) =    1 2x x ∈ [0, 2]

0 caso contr´ario Tem-se que E(X) = Z ∞ −∞ xf (x)dx = Z 2 0 1 2x 2_{dx =} 4 3

(25)

Esperan¸

ca Matem´

atica de uma fun¸

c˜

ao de X

a) E[g(X)] = m X i=1 g(x_i)p(x_i), v.a.d.

Exemplo (vad): No lan¸camento de um dado, se X ´e a v.a. que indica o n´umero de pontos obtidos,

E(X2) = 121 6 + 2 21 6 + 3 21 6 + 4 21 6 + 5 21 6 + 6 21 6 = 15, 17 b) E[g(X)] = Z ∞ −∞ g(x)f (x)dx, v.a.c. Exemplo (vac): E(X2) = R∞

−∞ x2f (x)dx =

R2

(26)

Esperan¸

ca Matem´

atica para v.a. bidimensionais

Sejam X e Y variáveis aleatórias com fun¸cão de probabilidade conjunta p(x_i, y_j) se ambas forem discretas ou fun¸cão densidade de probabilidade conjunta f(x,y) se ambas forem cont´ınuas. O valor esperado da fun¸cão g(x,y) é

E[g(X, Y )] = m X i=1 n X j=1 g(x_i, y_j)p(x_i, y_j), v.a.d. E[g(X)] = Z ∞ −∞ Z ∞

(27)

Observa-se que se g(X, Y ) = X, então, obtém-se E(X) = m X i=1 n X j=1 x_ip(x_i, y_j) = m X i=1 x_i n X j=1 p(x_i, y_j) = m X i=1 x_ip(x_i), no caso de v.a.d., sendo p(x_i) a fun¸cão de probabilidade marginal de X_i. E(X) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ xf (x, y)dxdy = Z ∞ −∞ x Z ∞ −∞ f (x, y)dxdy = Z ∞ −∞ xg(x)dx,

no caso de v.a.c., sendo g(x) a fun¸c˜ao densidade de probabilidade marginal de X.

(28)

Propriedades de Esperan¸

ca Matem´

atica

Teorema 1 Se a e b s˜ao constantes e X uma v.a., ent˜ao, E(aX + b) = aE(X) + b

Corolário 1 Se a = 0, tem-se E(b) = b, isto é, a esperan¸ca de uma constante é a própria constante.

Corolário 2 Se b = 0, tem-se E(aX) = aE(X), isto é, a esperan¸ca do produto de uma constante por uma v.a. é o produto da constante pela esperan¸ca da v.a.

(29)

Teorema 2 - Teorema da soma Se X e Y s˜ao duas v.a. quaisquer, ent˜ao,

E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Esse teorema generaliza-se para n vari´aveis

E(X₁ + X₂ + . . . + X_n) = E(X₁) + E(X₂) + . . . + E(X_n)

Teorema 3 - Teorema do produto Se X e Y s˜ao duas v.a. inde-pendentes, ent˜ao,

E(XY ) = E(X)E(Y )

Esse teorema generaliza-se para n vari´aveis independentes E(X₁X₂ . . . X_n) = E(X₁)E(X₂) . . . E(X_n)

(30)

Casos especiais de esperan¸

ca matem´

atica: momentos

a) Momentos em rela¸c˜ao `a origem

Define-se como momento de ordem n em rela¸cão à origem e representa-se por µ0_n, a esperan¸ca matemática de Xn, isto é,

µ0_n = E(Xn) = m X i=1 xn_i p(x_i), v.a.d. µ0_n = E(Xn) = Z ∞ −∞ x n_{f (x)dx,} _v.a.c.

O momento em rela¸cão à origem mais importante é o primeiro momento.

(31)

O momento de ordem 0 em rela¸cão à origem é igual a 1, pois µ0₀ = E(X0) = m X i=1 x0_i p(x_i) = m X i=1 p(x_i) = 1 ou µ0₀ = E(X0) = Z ∞ −∞ x 0 f (x)dx = 1

(32)

b) Momentos em rela¸cão à média

Define-se como momento de ordem n em rela¸cão à média e representa-se por µ_n, a esperan¸ca matemática de [X − E(X)]n, isto é, µ_n = E[X − E(X)]n = m X i=1 [x_i − E(X)]np(x_i), v.a.d. µ_n = E[X − E(X)]n = Z ∞ −∞[x − E(X)] n_{f (x)dx,} _v.a.c.

O momento em rela¸cão à média mais importante é o segundo momento, também chamado variância

µ₂ = σ2 = E[X − µ0]2 = E(X2) − [E(X)]2

O primeiro momento em rela¸cão à média é zero, isto é, E[X − E(X)] = E(X) − E(X) = 0

(33)

São importantes, ainda, o terceiro e o quarto momentos em rela¸cão à média, pois estão relacionados, respectivamente, à as-simetria e à curtose da distribui¸cão.

Tem-se α₃ = E[(X − mu) 3_] σ3 = µ₃ (σ2)3/2

o coeficiente de assimetria (igual a zero para distribui¸c˜oes sim´etricas) e α₄ = E[(X − mu) 4_] σ4 = µ₄ (σ2)2

(34)

Rela¸cão entre os momentos de ordem n em rela¸cão à origem e à média µn = (µ0₍₎ − µ01)(n) = = (−1)0n 0 µ0_n−0(µ0₁)0 + . . . + (−1)j n j µ0_n−j(µ0₁)j + . . . + (−1)n n n µ0_n−n(µ0₁)n = = µ0_n − nµ0_n−1µ0₁ + . . . + (−1)j n j µ0_n−j(µ0₁)j + . . . + (−1)n(µ0₁)n

Assim, para n = 1, tem-se

µ₁ = µ0₁ − µ0₁ = 0 para n = 2, tem-se

(35)

Fun¸

c˜

ao geradora de momentos

Define-se a fun¸c˜ao geradora de momentos de uma v.a. X como M_X(t) = E(etX), isto ´e, M_X(t) = E(etX) = m X i=1 etxi_p(x i), v.a.d. M_X(t) = E(etX) = Z ∞ −∞ e tx_{f (x)dx,} _v.a.c.

Em qualquer dos casos, discreto ou cont´ınuo, M_X(t) ´e apenas o valor esperado de etX.

(36)

A razão da designa¸cão fun¸cão geradora de momentos é que os coeficientes do desnvolvimento M_X(t) por séries de Maclaurin permite determinar os momentos, isto é,

M_X(t) = m X i=1 [1 + txi 1! + (tx_i)2 2! + . . .]p(xi) = = m X i=1 p(x_i) + t m X i=1 x_ip(x_i) + t 2 2! m X i=1 x2_i p(x_i) + . . . , isto ´e, M_X(t) = 1 + µ0₁t + µ0₂t 2 2! + µ 0 3 t3 3! . . . . Para t = 0, M_X(0) = 1 = µ0₀.

(37)

Derivando-se M_X(t) em rela¸c˜ao a t, tem-se M_X0 (t) = µ0₁ + µ0₂2t 2! + µ 0 3 3t2 3! . . . . e, fazendo-se t = 0, tem-se M_X0 (0) = µ0₁.

Derivando-se M_X0 (t) em rela¸c˜ao a t, tem-se M_X00 (t) = µ00₂ + µ0₃t + . . . . e, fazendo-se t = 0, tem-se

M_X00 (0) = µ0₂ e, assim, sucessivamente, verifica-se que

µ0_(n) = E(X(n)) = M_X(n)(0)

em que M_X(n)(0) é a derivada de ordem n em rela¸cão a t da fun¸cão M_X(t) no ponto t = 0.

(38)

Covariˆ

ancia e coeficiente de correla¸

c˜

ao

No caso de variáveis aleatórias bidimensionais X e Y com fun¸cão de probabilidade conjunta se ambas foram discretas ou fun¸cão de densidade conjunta se ambas forem cont´ınuas, tomando-se g(X, Y ) = (X − µ_X)(Y − µ_Y ), sendo µ_X = E(X) e µ_Y = E(Y ), define-se covariância de (X, Y ), por

σ_XY = Cov(X, Y ) = E(X − µ_X)(Y − µ_Y ) = E(X, Y ) − µ_Xµ_Y , isto ´e,

σ_XY = X

x

X

y

(x − µ_X)(y − µ_Y )p(x, y), v.a.d.

σ_XY =

Z ∞

−∞

Z ∞

(39)

Se X e Y forem variáveis aleatórias independentes, então, σ_XY = 0. A rec´ıproca, porém, não é sempre verdadeira.

Se, por outro lado, são completamente dependentes, por exem-plo, quando X = Y , então, Cov(X, Y ) = σ_XY = ρ_XY σ_Xσ_Y . Isso, conduz a uma medida de dependência das variáveis X e Y , cha-mada coeficiente de correla¸cão, dada por

ρ_XY = σXY σ_Xσ_Y

(40)

Propriedades de variˆ

ancia e covariˆ

ancia

Teorema 1 Se X ´e uma v.a. e k uma constante, ent˜ao, V ar(kX) = k2V ar(X)

Teorema 2 Se X e Y s˜ao duas v.a., ent˜ao,

V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) ± 2Cov(X, Y ) Se X e Y forem independentes, ent˜ao,

V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) e, no caso de n vari´aveis independentes, tem-se

(41)

Teorema 3 Se k ´e uma constante, ent˜ao, V ar(k) = 0

Teorema 4 Se k é uma constante e X, Y e Z são v.a., então, Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)

Cov(kX, Y ) = Cov(X, kY ) = kCov(X, Y ) Cov(k, X) = Cov(X, k) = 0

(42)

Esperan¸

ca condicional

Defini¸cão Seja (X, Y ) uma v.a. bidim. e g(X, Y ) uma fun¸cão de (X, Y ). A esperan¸ca condicional de g(X, Y ) dado X = x é

E[g(X, Y )|X = x] = m X j=1 g(x, y_j)p_{Y |X}(y_j|x), v.a.d. E[g(X, Y )|X = x] = Z ∞

−∞g(x, y)fY |X(y|x)dy, v.a.c.

Teorema Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional , ent˜ao E[g(Y )] = E{E[g(Y )|X]}

e, em particular,

(43)

Variˆ

ancia condicional

Defini¸cão Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional, então, a variância condicional de Y dado X = x é definida por

V ar[g(X, Y )|X = x] = E(Y 2|X = x) − [E(Y |X = x)]2

Teorema Seja (X, Y ) uma v.a. bidimensional , ent˜ao V ar(Y ) = E[V ar(Y |X)] + V ar[E(Y |X)] e, em particular,

(44)

Exemplo Suponha que Y |Z ∼ P(Z), z > 0, isto ´e, com fp f (y|z) = e

−z_zy

y! , y = 0, 1, 2, . . . ; e que Z ∼ G(k, λ), isto ´e, com fdp

f (z; k, λ) = λ k λ Γ(λ)z λ−1 _exp₋zλ k ,

com E(Z) = kλ−1 e V ar(Z) = kλ−2. Mostre que Y tem distri-bui¸c˜ao binomial negativa, com E(Y ) = kλ−1 = µ e V ar(Y ) = µ + k−1µ2

(45)

Exemplo Seja Y | P ∼ B(m, P ) e P ∼ Beta(α, β), α > 0, β > 0, 0 < p < 1, isto ´e, f (y | p) = m y py(1 − p)m−y e f (p) = p α−1₍₁ _{− p)}β−1 B(α, β) , sendo B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β). Mostre que:

a) incondicionalmente, Y tem distribui¸c˜ao beta-binomial com f.d.p. expressa por f (y) = m y B(α + y, m + β − y) B(α, β) ; b) E(Y ) = m α α + β = mπ e V ar(Y ) = mπ(1 − π)[1 + ρ(m − 1)], sendo ρ = 1 α + β + 1.

(46)

Exemplo Uma distribui¸cão para explicar o excesso de zeros em dados de contagem é a distribui¸cão de Poisson inflacionada de zeros, com fun¸cão de probabilidade igual a

P(Y = y) =      ω + (1 − ω)e−λ y = 0 (1 − ω)e −λ_λy y! y = 1, 2, . . .

Mostre que E(Y ) = (1 − ω)λ = µ e V ar(Y ) = µ +

ω

1 − ω

(47)

Uma distribui¸cão alternativa para explicar o excesso de zeros em dados na forma de contagens é a distribui¸cão binomial negativa inflacionada de zeros, com fun¸cão de probabilidade expressa por

P(Y = y) =                    ω + (1 − ω) (1 + αλc) −λ 1−c α _, _{y = 0} (1 − ω) Γ y + λ 1−c α y!Γ λ1−c α (1 + αλ c₎− λ1−c α 1 + λ −c α −y , y = 1, 2, . . .