CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

Prof. Dr. Yara de Souza Tadano

[email protected]

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Aula 4

Estudos das Diferenciais e suas aplicações (Parte 1)

11/12/2013

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Aula 4 – Estudo das Diferenciais e suas Aplicações

Cálculo Diferencial e Integral I 3/38

DIFERENCIAL

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¨  Até aqui foi visto como uma simples notação para a

derivada de y = f(x). Agora, iremos interpretar como um quociente entre dois acréscimos.

Inicialmente, vamos olhar para dx como um acréscimo em x e, em seguida, procuraremos uma interpretação para o acréscimo dy.

dy dx

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¨  Fixado x, podemos olhar para a função linear que a cada associa , onde . dx ∈ ℜ dy ∈ ℜ dy = f '

( )

x ^dx

dy = f '

( )

x ^dx Diferencial de f em x.

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Exemplo 2

¨  Seja A = πr². Calcule a diferencial de A = A(r). Interprete.

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Teorema

¨  Se y = f(x), então quando f’(x) existe, dy = f’(x) dx, sendo x uma variável independente ou não.

¨  Esta relação é semelhante à apresentada anteriormente, porém naquela situação, x era variável independente e dy era expressa em termos de x e dx, enquanto que aqui, t é a variável independente e ambas dy e dx são expressas em termos de t e dt.

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Exemplo 3

¨  Suponha x = cos t, y = sen t e 0 < t < π. Encontre dy/dx.

Lembre-se dy/dx deve estar em função apenas de x.

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Regras de Diferenciação

I d c( )

dx =0 I' d c( )⁼ ⁰

II d x( )ⁿ

dx =nxⁿ⁻¹ II' d x( )ⁿ ⁼^nxⁿ⁻¹^dx

III d cu( )

dx =cdu

dx III' d cu( )⁼^cdu

IV d u( +v)

dx = du dx + dv

dx IV' d u( +v)⁼^du⁺^dv

V d uv( )

dx =udv

dx +vdu

dx V' d uv( )⁼^udv⁺^vdu

VI

d u v

"

#$ %

&

' dx =

vdu

dx −udv dx

v² VI' d u

v

"

#$ %

&

'= vdu−udv

v² VII d u( )ⁿ

dx =nuⁿ⁻¹ du

dx VII' d u( )ⁿ ⁼^nuⁿ⁻¹^du

Se y = f(x), dy pode ser encontrada se aplicarmos as

fórmulas I’ – VII’, ou se determinarmos

f’(x) e a

multiplicarmos por dx.

Regras de Derivação Regras de Diferenciação

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Regras de Diferenciação

¨  Nessas fórmulas, u e v são funções de x e elas são válidas desde que du/dx e dv/dx existam.

¨  C representa uma constante.

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Exemplo 4

¨  Dada

onde x e y são funções de uma terceira variável, ache calculando a diferencial termo a termo.

2 x

²

y

²

− 3x

³

+ 5 y

³

+ 6 xy

²

= 5

dy dx

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Exemplo 5

¨  Considere as funções abaixo, onde x e y são funções de uma terceira variável. Calcule dy/dx, encontre a diferencial termo a termo.

a) 3x² + 4y² = 48

b) sen xcosy− cosx sen y = 1 2 c) x + y = 4

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Exemplo 6

¨  Uma queimadura na pele de uma pessoa tem a forma de um círculo, tal que se r cm for o raio e A cm² for a área da

queimadura, então A = πr². Use a diferencial para encontrar o decréscimo aproximado da área da queimadura quando o raio passa de 1 para 0,8 cm.

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Exemplo 7

¨  Um empreiteiro concorda em pintar ambos os lados de 1.000 sinais circulares, com 3 m de raio cada um. Depois de

receber os sinais, descobre que na realidade o raio de cada sinal tem 1 centímetro a mais. Use diferenciais para

encontrar uma porcentagem aproximada da quantidade adicional de tinta que será necessária.