3º
Aula
Descontos Compostos
Vamos investigar, nesta aula, o conceito do valor do dinheiro no tempo. Notem que “empréstimos ou investimentos realizados no presente terão seu valor aumentado no futuro. Inversamente, valores disponíveis no futuro, se considerarmos ou avaliarmos
no presente, terão seus valores reduzidos.”
Inicialmente, vamos verificar quais são os objetivos e quais as seções que serão desenvolvidas ao longo desta aula.
Boa aula!
Boa aula!
Objetivos de
aprendizagem
1 − Fluxo de Caixa 2 − Descontos 3 − Equação de Valor
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
• calcular: descontos, valor presente e valor futuro;
• determinar taxas e tempos de aplicações;
• entender um fluxo de caixa, entrada e saída de capitais;
• constatar a equivalência entre dois capitais.
Seções de
estudo
O fl uxo de caixa determina as entradas e saídas de dinheiro.
Em geral, a representação das entradas e das saídas de dinheiro ao longo do tempo se faz através de um diagrama, o qual será denominado de fl uxo de caixa (vide Gráfi co 1).
É quanto vale um título na data de seu vencimento.
EXEMPLO: uma pessoa que aplicou uma quantia hoje e que vai resgatá-la por $ 20.000,00 daqui a 12 meses. Portanto, o valor nominal desta aplicação é $ 20.000,00 no mês 12.
Notação: fv (valor futuro ou N (valor nominal).
Também conhecido como capital ou principal, é o valor de um compromisso em uma data que antecede ao seu vencimento. Notação: PV (valor presente ) ou A (valor atual) (vide gráfi co 2).
É o valor de um título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento. É o mesmo que montante, quando a data considerada for à do vencimento da aplicação.
O valor futuro corresponde ao próprio montante ou valor nominal.
FLUXO DE CAIXA:
VALOR NOMINAL:
VALOR ATUAL:
VALOR FUTURO:
1 - Fluxo de caixa
Fonte: <http://rrupta.wordpress.com/2012/06/17/
que-rio20-que-nada/>
Em fi nanças, chama-se desconto à diferença entre o Valor Nominal de um título (Valor Futuro) “VF” e o Valor Presente ou Atual, “PV” deste mesmo título [D = VF – VP]. Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).
ATENÇÃO! Agora suponha que passado um mês, vocês precisem de dinheiro, mas, o cheque ainda não venceu.
Então, o que vocês fazem? Vocês procuram alguém ou um banco que queiram comprar o seu cheque. Bom, mas quem vai comprar, vai querer pagar menos. Claro, isso é natural, por estar cobrando juros.
Se tiverem dúvidas nestes cálculos, voltem e revejam a Aula 02.
2 - Descontos
EXEMPLO:
1. Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% ao mês, daqui a três meses?
Utilizaremos a fórmula de juros compostos (AULA 01):
Cn = C0.( 1 + i )n C3 = 10.000 (1+ 0,05)3 C3 = 10.000 (1,05)3 C3 = 10.000 (1,157625) C3 = 11.576,25
Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, e os descontos compostos são obtidos com cálculos exponenciais.
FORMAS DE DESCONTOS
Um desconto pode ser feito de duas maneiras:
A PRIMEIRA necessidade de se retirar um valor aplicado antes de seu vencimento. Neste caso, o aplicador deve ir junto ao tomador do recurso e levantar o principal e os juros já ganhos.
Veja o exemplo:
Suponha que vocês venderam certa mercadoria por $ 1000,00 e receberam com cheque pré-datado, assim;
• Data da venda: hoje
• Data para desconto do cheque: daqui a 2 meses.
Hoje _______________________(1 000,00)_
vencimento ( nominal) n = 2 meses 2. Qual será o valor futuro dos mesmos $
10.000,00 se a taxa for de 10% ao mês, daqui a três meses?
Cn = C0. ( 1 + i )n C3= 10.000 (1+0,10)3 C3= 10.000 (1,10)3 C3= 10.000 (1,331) C3= 13.310,00
Define-se desconto como sendo o abatimento que o devedor faz jus quando antecipa o pagamento de um título ou quando o mesmo é resgatado antes de seu vencimento, ou ainda, como sendo o juro cobrado por um intermediário para antecipar o recebimento de um título, que representa um direito de crédito futuro. É uma operação tradicional no mercado financeiro e no comércio em geral.
• Notações comuns na área de descontos:
DESCONTOS:
D Desconto realizado sobre o título A - PV Valor Atual ou Valor Presente de um título N - FV Valor Nominal ou Valor Futuro de um título i Taxa de desconto
n Número de períodos para o desconto
Fonte: <www.atkconsultasdecredito.blogspot.com>
Suponha que vocês conseguiram vender o cheque por $ 950,00. Este valor é o que chamamos de valor Atual, valor obtido antes da data de vencimento.
950 (atual)___________________________1000 (nominal )
• Então, o desconto foi de:
D = 1000 – 950 Então, D = 50
A SEGUNDA é uma situação onde uma empresa que vende a prazo e necessita de capital imediatamente. A mesma pode ir a um banco e transferir a posse da duplicata, recebendo dinheiro em troca.
DESCONTO COMPOSTO
Já vimos que desconto é a diferença entre o valor nominal e o valor atual de um compromisso que seja saldado em “n” períodos antes do seu vencimento.
VALOR DESCONTADO
É a diferença entre o valor nominal e o desconto. É o que chamamos de valor líquido, o que foi creditado na conta.
• O DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO (POR FORA) praticamente não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo do Juro composto. O que se faz é calcular a diferença entre o valor nominal (valor futuro) e o valor atual (valor presente) do compromisso na data em que se propõe seja feito o desconto. O desconto corresponde à quantia a ser abatida do valor nominal e, o valor descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto.
Para fins de conhecimentos ou uma proposta de estudo para concursos, colocamos a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicações repetidas do desconto simples para 1 período.
Para n = 1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, conforme abaixo indicado, onde PV1 é o valor presente ou atual do título com valor futuro ou nominal FV:
PV1 = FV (1 - i )1
IMPORTANTE! Temos dois tipos de descontos, o RACIONAL OU DESCONTO “POR DENTRO” e o DESCONTO COMERCIAL OU “POR FORA”.
Veremos a seguir cada um deles:
Para n = 2, devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora FV por PV1 para obter PV2, isto é:
PV2 = PV1 (1 - i )1, ou seja PV2 = FV(1 – i )2 Por este raciocínio, temos que, para cada número n:
PVn= FV(1 -i )n
Esta fórmula é similar à do montante composto que é dada por:
C
n= C
o(1+ i)
nFV = PV(1 + i )n
Cn ou FV = montante ao fim de “n” períodos Co ou PV = capital inicial
n = número de períodos i = taxa de juros por período Exemplos:
1 – Calcular o desconto composto “por fora”.
De um título cujo valor nominal é de R$ 28.800, descontado 120 dias antes do vencimento. Sabendo que a é de 2,5% ao mês.
• Dados:
FV = 28.800,00
n = 120 dias = 4 meses i = 2,5% ao mês (0,025) D = ?
• Resolução:
PV = FV(1 - i )n
PV = 28.800,00(1-0,025)4 = 28.800,00 x 0,903688 = 26.026,21
D = FV - PV
D = 28.800,00 - 26.026,21 D = 2.773,79
2 - Um título, com 90 dias a vencer, foi descontado à taxa de 3% ao mês, produzindo um desconto no valor de R$ 1.379,77. Calcular o valor nominal do título.
• Dados:
D = 1.379,77
i = 3% ao mês ( 0,03 ) n = 90 dias ou 3 meses FV = ?
Em fi nanças, chama-se Desconto Racional Composto (por dentro) ou Desconto Composto Real ao desconto obtido pela diferença entre o Valor Nominal ou Valor Futuro (FV) e o Valor Atual ou Valor Presente (PV), de um compromisso que seja saldado “n” períodos antes do seu vencimento.
Para uma melhor compreensão, podemos dizer que o desconto racional composto passa a ser sinônimo de juro composto. Este tipo de desconto é muito utilizado no mercado Brasileiro.
Com uso da HP -12 C HP -12C
(f- clx)
50.000 (CHS) FV
5 n
3,5 i
PV = 42.098,65 Agora vamos calcular o desconto:
D = 50.000 – 42.098,65 D = 7.901,35
Obs.: as setas indicam os procedimentos a serem seguidos.
• Resolução:
D = FV – PV
D = FV – FV (1 - d)n D = FV [1- (1 - d)n]
1.379,77 = FV [ 1 - (1 - 0,03)3]
1.379,77 = FV [ 1 - (0,97)3]
1.379,77 = FV [ 1 - 0,912673]
1.379,77 = FV x 0,087327
FV = 1.379,77 / 0,087327 = 15.800,00
• Desconto racional composto ou desconto
“por dentro
• Como:
D = FV - PV e
FV = PV(1 + i )n desta relaçao tiramos (veja que (1 + i )n estava multiplicando, passou dividindo)
• Agora temos que:
D = FV ______ ou ainda D = FV . [1- (1+i)-n] A melhor maneira para entender o desconto racional composto é considerar o Valor Atual ou presente (PV) como o capital inicial (Co) de uma aplicação e o Valor Nominal ou Futuro (VF) como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.
Desta forma a fórmula para cálculo do Valor Atual ou Valor Presente, com base nos juro composto, ficará:
Exemplos:
1 - Calcular o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 50.000,00, sabendo-se que o seu prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.
• Dados:
FV = 50.000,00 n = 5 meses
i = 3,5% ao mês (0,035) D = ?
• Resolução:
Vamos primeiro calcular o VP
50.000 (1+0,035)5
50.000 (1,035)5 VP = __________
VP = __________
VP = __________
VP = 42.098,65 D = FV – VP
D = 50.000,00 – 42.098,65 D = 7.901,35
Podemos calcular o valor presente PV com o uso da HP 12-C e depois então subtrair o valor inicial.
2 – Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 meses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros compostos corrente for de 2,5% a.m.?
50.000 (1,187686)
FV = 1.131,40 i = 2,5 % a.m.
n = 5 meses PV = ?
PV = ________
PV = ________ = _________
PV = 1.000,00 Com uso da HP -12 C HP -12C
(f- clx)
1.131,40 (CHS) FV
5 n
2,5 i
PV = 1.000,00
Obs.: as setas indicam os procedimentos a serem seguidos.
Data focal é a data que se considera como base de comparação dos valores referidos a datas diferentes. A data focal também é chamada de data de avaliação ou data de referência.
Então, posso comprar o título por $ 1.000,00 e não estarei fazendo mal negócio.
• Resolução:
FV (1 + i)n 1.131,40 (1,025)5
1.131,40 1,131408
~
~
• EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
“Como já foi visto, no caso das operações de desconto, é frequente a necessidade de antecipar ou de prorrogar títulos nas operações financeiras. Às vezes queremos substituir um título por outro ou por vários. Podemos também ter vários títulos que queremos substituir por um único ou por vários”.
Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferentes, considerando-se uma dada taxa de juros.
Na prática, estas comparações são feitas utilizando-se o critério de juros compostos.
Data focal:
Do ponto de vista teórico, a escolha da data focal é indiferente – ela pode ser qualquer -, mas do ponto de vista prático, isto é, levando-se em conta a grande quantidade de cálculos que você terá que realizar.
Quando forem resolver problemas de equivalência composta, vocês devem estrategicamente escolher a data focal que facilite o máximo possível o trabalho de cálculo (geralmente é a data que mais se projeta no futuro).
Dependendo da data focal escolhida, um determinado capital poderá ser movimentado para frente ou para trás com relação ao eixo dos tempos. Quando o capital for movimentado para frente (para um data futura), precisaremos calcular o seu MONTANTE: (FV = PV (1 + i)n. Isto é, deveremos capitalizá-lo.
Quando o capital for movimentado para trás (para uma data antes do seu vencimento), precisaremos descapitalizá-lo, calculando o seu VALOR ATUAL (PV =FV/(1 + i)n. Vejam que regime de desconto racional composto, tudo isto significa que teremos que multiplicar ou dividir o capital pelo fator (1 + i)n.
Observem, em seguida, o exemplo resolvido logo abaixo.
Exemplo:
Vocês têm uma nota promissória a receber com valor nominal de $ 15.000,00, que vencerá em dois anos. Além disto, possuem $ 10.000,00 hoje, que irão aplicar à taxa de 2% a.m., durante dois anos. Considerando que o custo de oportunidade do capital hoje, ou seja, a taxa de juros vigente no mercado, é de 2% a.m., pergunta-se:
a) Quanto possuem hoje?
b) Quanto possuirão daqui a um ano?
c) Quanto possuirão daqui a dois anos?
• Resolução:
a) Quanto possuem hoje?
Neste caso, a nossa data focal é hoje.
Para os R$ 10.000 não precisamos fazer cálculo, pois ele já está representado na data de hoje. Agora, para a nota promissória, devemos calcular o seu valor atual (PV). Notem que ela representa R$ 15.000 para 2 anos.
Lembrem-se: Dinheiro tem valor diferente no tempo.
Então, R$ 15.000 para dois anos não tem o mesmo valor se considerado na data de hoje!!!
Com uso da HP -12 C HP -12C
(f- clx)
15.000 (CHS) FV
24 n
2 i
PV = 9.325,82
Obs.: as setas indicam os procedimentos a serem seguidos.
Com uso da HP -12 C HP -12C
(f- clx)
10.000 (CHS) PV
12 n
2 i
FV = 12.682,41
Obs.: as setas indicam os procedimentos a serem seguidos.
Com uso da HP -12 C HP -12C
(f- clx)
15.000 (CHS) FV
12 n
2 i
PV = 11.827,39
Obs.: as setas indicam os procedimentos a serem seguidos.
• Dados do problema:
FV = 15.000
n = 2 anos (24 meses) i = 2% a.m. (0,02)
• Assim, temos:
PV= ________
PV= ________ = ________
PV = 9.325,82
Vejam que os R$ 15.000 para 2 anos representam hoje R$ 9.325,82.
Então, temos da data de hoje o equivalente a:
PV = 10.000 + 9.325,82 PV = 19.325,82
b) Quanto possuirão daqui a um ano?
Neste caso, a data focal considerada será um ano.
Ou seja, os R$ 10.000 de hoje serão capitalizados por um ano e os R$ 15.000 da nota promissória serão descapitalizados por 1 ano.
Vejam a figura para um melhor entendimento:
Observem que os R$ 10.000 serão capitalizados e os R$ 15.000 descapitalizados, ambos por um ano.
FV (1 + i)n 15.000 (1,02)24
15.000 1,608437
~
~
• Resolução:
Parte 1 (capitalização) PV = 10.000
n = 1 ano (12 meses ) i = 2% a.m ( 0,02 ) FV = ?
• Aqui usamos a fórmula de juros compostos.
FV = PV ( 1 + i )n FV = 10.000 (1 + 0,02)12 FV = 10.000 (1,02)12 FV = 10.000 (1,268241) FV = 12.682,41
Parte 2 (descapitalização) FV = 15.000
n = 1 ano ( 12 meses ) i = 2% a.m ( 0,02 ) PV = ?
PV= ________
PV= ________ = _________
PV = 11.827,39 FV (1+i)n 15.000 (1,02)12
~ 15.000 1,268241
~
Vejam que agora os dois capitais foram calculados para a mesma data, daqui um ano.
• Então, temos:
PV = 12.682,41 + 11.827,39 = 24.509,80 c) Quanto possuirão daqui a dois anos?
Nesse caso a data focal considerada será dois anos. Ou seja, os R$ 10.000 de hoje serão capitalizados por dois anos e os R$ 15.000 da nota promissória estará no vencimento.
Parte 1 (capitalização):
PV = 10.000
n = 2 anos ( 24 meses ) i = 2% a.m ( 0,02 ) FV = ?
Aqui usamos a fórmula de juros compostos.
FV = PV ( 1 + i )n
FV = 10.000 (1 + 0,02)24 FV = 10.000 (1,02)24 FV = 10.000 (1,608437) FV = 16.084,37
• Temos:
x = quantia que possui na data zero y = quantia que possuirá na data 12.
z = quantia que possuirá na data 24.
• Assim, temos:
a) Hoje: x = 10.000 + ________ = 10.000 + 9.325,82 = 19.325,82
Logo: x = 19.325,82 b) Daqui um ano:
y = 10.000(1,02)12 + ________
y = 12.682,41 + 11.827,39 y = 24.509,80
c) Daqui a 2 anos:
z = 10.000 (1,02)24 + 15.000 z = 16.084,37 + 15.000 z = 31.084,37
Logo, considerando uma taxa de 2% a.m, podemos dizer que vocês possuem hoje R$
19.325,82. Possuirão daqui um ano R$ 24.509,80 e R$ 31.084,37 daqui a dois anos.
Não precisamos alterar o valor da nota promissória, pois, está no vencimento. Somando tudo temos:
PV = 16.084,37 + 15.000 PV = 31.084,37
Com uso da HP -12 C HP -12C
(f- clx)
10.000 (CHS) PV
24 n
2 i
FV = 16.084,37
Obs.: as setas indicam os procedimentos a serem seguidos.
Resumindo!
Tal problema pode ser representado grafi camente da seguinte forma
15.000 (1,02)24
15.000 (1,02)12
EQUAÇÃO DE VALOR
A equação de valor permite que capitais diferentes, referentes a datas diferentes, sejam igualados para uma mesma data focal, desde que seja fixada certa taxa de juros.
Em outras palavras, a equação de valor pode ser obtida igualando-se em uma data focal as somas dos valores atuais e/ou montantes dos compromissos que formam a alternativa em análise.
Exemplo
Considere-se o exercício resolvido no item anterior. As expressões de em x, y e z são equações de valor.
3 - Equação de valor
Com uso da HP -12 C HP -12C
(f- clx)
3.000 (CHS) PV
3 n
4 i
FV = 3.374,59
Obs.: as setas indicam os procedimentos a serem seguidos.
CAPITAIS EQUIVALENTES
Dois ou mais capitais localizados em datas diferentes são chamados de EQUIVALENTES quando, a certa taxa de juros produz valores IGUAIS numa data comum (DATA FOCAL).
A equivalência de capitais é utilizada na renegociação de dívidas, em particular, na substituição de um conjunto de títulos por outro, equivalente ao primeiro.
Para estabelecer a equivalência, basta impor que a soma dos respectivos valores atuais Va1 , Va2 , Va3 ...
Dos títulos do primeiro conjunto, calculados na data focal considerada, seja igual à soma dos valores atuais Vaa , Vab , Vac ...
Dos títulos do segundo conjunto, calculados para essa mesma data. Obtemos, assim, a chamada EQUAÇÃO DE VALOR:
Va1 + Va2 + Va3 + ... = Vaa + Vab + Vac + ...
EQUIVALÊNCIA ENTRE DOIS CAPITAIS
Podemos supor uma dividia que precise ser trocado por outra (renegociada). Mas, para isso, a taxa de juros deve ser aplicada relativa ao período da renegociação.
Exemplo:
1) Vocês têm uma dívida de R$ 3.000,00 que irá vencer em seis meses. Por problema financeiro e supondo que não terão condições de quitar a divida no prazo combinado, vocês propõe que o pagamento seja adiado por mais três meses. Qual o valor da nova dívida, supondo que a taxa de juros aplicada pela empresa seja de 4% a.m?
• Dados:
FV = 3.000,00 (para 6 meses)
FV = ??? (para 6 + 3 meses = 9 meses) i = 4% a.m
O valor do sexto mês deve ser substituído por outro com vencimento três meses adiante, nesse
caso os R$ 3.000 é um PV (valor atual) em relação ao valor que se pretende no nono mês.
Vamos corrigir os R$ para mais três meses.
• Assim temos:
PV = 3000 n = 3 meses i = 4% a.m. (0,04) FV = ?
FV = PV . (1 + i )n FV = 3.000 (1 + 0,04 )3 FV = 3.000 (1,04 )3 FV = 3.000 . (1.124864) FV = 3.374,59
Logo, o valor a ser pago no mês nove é de R$ 3.374,59.
2) Vocês têm uma dívida de R$ 3.000,00 que irá vencer em seis meses. Por sorte vocês ganham um prêmio e, resolvem quitar a dívida hoje, vocês propõe que o pagamento seja adiantado por mais seis meses.
3) Qual o valor da nova divida supondo que a taxa de juros aplicada pela empresa seja de 4% a.m.?
• Dados:
FV = 3.000,00 (para 6 meses) PV = ??? (para hoje) i = 4% a.m
O valor do sexto mês deve ser substituído por outro com vencimento hoje. Neste caso, os R$ 3.000
Quanto cálculo!!!
Mas, até agora tudo bem!
é um FV (valor nominal) em relação ao valor que se pretende no mês zero.
PV= ________
PV = ________
PV = ________
PV = 2.370,94
Logo, o valor a ser pago no mês zero (hoje) é de R$ 2.370,94.
Seja um conjunto de valores nominais e suas respectivas datas de vencimento:
A representação gráfica destes capitais no tempo é a seguinte:
Adotando-se uma taxa de juros i, estes capitais serão equivalentes na data focal zero, se:
FV (1+i)n
3.000 (1,04)6
3.000 1,265319
~
~
Com uso da HP -12 C HP -12C
(f- clx)
3.000 (CHS) FV
6 n
4 i
PV = 2.370,94
Obs.: as setas indicam os procedimentos a serem seguidos.
Capital data de vencimento
FV1 1
FV2 2
FV3 3
... ...
FVn n
PV = __________ = _________ = _________
= ... = ________
Indicamos os valores por PV, já que estes são atuais à taxa de juros i, na data focal zero.
Exemplo:
Consideremos os valores nominais seguintes:
Admitindo-se uma taxa de juros compostos de 10% a.a., verificar se os capitais são equivalentes na data focal zero.
• Resolução:
PV1 = ________ = 1.000
PV2 = ________ = 1.000
PV3 = ________ = 1.000
PV4 = ________ = 1.000
PV5 = ________ = 1.000
Vejam que: PV1 = PV2 = PV3 = PV4 = PV5 FV1
(1+i)1
FV2 (1+i)2
FV3 (1+i)3 FVn
(1+i)n
Capital ($) data de vencimento (anos)
1.100,00 1
1.210,00 2
1.331,00 3
1.464,10 4
1.610,51 5
1.100 1.10 1.210 (1.10)2
1.331 (1.10)3 1.464,10
(1.10)4 1.610,51
(1.10)5
Logo, os capitais são equivalentes. Ou seja, considerando a taxa de 10% termos R$ 1.000,00 hoje equivale a ter R$ 1.100 daqui um ano ou R$
1.210 daqui dois anos.
• Valor atual de um conjunto de capitais Suponhamos que uma pessoa tenha uma carteira de aplicações em títulos de renda fixa ou cheques pré-datados com datas de vencimento diferentes.
Esta carteira de valores nominais é um conjunto de capitais. O conjunto pode ser caracterizado pelo valor nominal do título e por sua data de vencimento:
Uma questão normal é a de saber qual o valor da carteira, ou seja, do conjunto de capitais numa determinada data. Para isso, é necessário fixar-se a taxa de juros i e a data focal, que vamos admitir, neste caso, como sendo a data zero.
Nessas condições, o valor da carteira pode ser obtido descontando-se os títulos para a data zero e somando-se os valores obtidos:
PV = __________ + _________ + _________
+ ... + ________
O total obtido PV é o valor atual do conjunto de capitais na data zero. É o valor atual desta carteira, que é quanto ela vale hoje. Ou seja, dado um custo de oportunidade de capital (a taxa de juros vigente no mercado) e uma data de comparação, podemos dizer que o valor atual naquela data “mede” o valor da carteira.
Exemplo:
Admitamos o conjunto de capitais seguinte:
Admitindo-se a taxa de juros de 3% a.a., pergunta-se qual o valor atual deste conjunto na data focal zero.
Capital data de vencimento
FV1 1
FV2 2
FV3 3
... ...
FVn n
FV1 (1+i)1
FV2 (1+i)2
FV3 (1+i)3 FVn
(1+i)n
Capital ($) data de vencimento (anos)
1.000,00 6
2.000,00 12
5.000,00 15
• Resolução:
PV1 = __________ + _________ + ________
PV = 837,48 + 1.402,76 + 3.209,31 PV = 5.449,55
• Conjunto equivalente de capitais
Seja dada a taxa de juros i e dois conjuntos de valores nominais com seus respectivos prazos, contados a partir da mesma data de origem.
Considerem agora duas carteiras:
Exemplo:
Verificar se os conjuntos de capitais, referidos à data focal zero, são equivalentes a taxa de juros compostos de 5% ao mês.
Vamos calcular o valor do primeiro conjunto de capitais:
PV1 = ________ + _______ + _______ + _______
1.000 (1.03)6
2.000 (1.03)12
5000 (1,03)15
1º conjunto 2º conjunto
Capital data vencimento capital data vencimento
FV1 m1 FV’1 m’1
FV2 m2 FV’2 m’2
FV3 m3 FV’3 m’3
... ... ... ...
FVn mn FV’n m’n
_____ + _____ + _____ + ... + _____ + _____ +
_____ + _____ +... + _____
FV1 (1+i)m1
FV2 (1+i)m2
FV3 (1+i)m3
FVn (1+i)mn
FV'1 (1+i)m'1 FV2
(1+i)m'2
FV'3 (1+i)m'3
FV'n (1+i)m'n
1 CONJUNTO 2 CONJUNTO
Capital Vencimento Capital Vencimento
1.050,00 1 mês 2.100,00 1 mês
3.307,50 2 mês 3.528,00 2 mês
1.736,43 3 mês 2.083,72 3 mês
2.431,01 4 mês 607,75 4 mês
1.050 1.05
3.307,50 (1.05)2
1.736 (1.05)3 2.431,01
(1.05)4
PV1 = 1000 + 3.000 + 1.500 + 2000 PV1 = 7.500
Vamos calcular o valor do segundo conjunto de capitais:
PV2 = ________ + _______ + _______ + _______
PV2 = 2000 + 3.200 + 1.800 + 500 PV2 = 7.500
Como PV1 = PV2, podemos concluir que, à taxa de 5% a. m os dois conjuntos de capitais são equivalentes.
Resumindo: as duas carteiras tem o mesmo valor desde que a taxa de juros seja de 5% a.m.
Chegamos, assim, ao final da terceira aula. Espero que agora tenha ficado mais claro o entendimento de vocês sobre os vários aspectos dos descontos.
2.100 1.05
3.528,00 (1.05)2
2.083,72 (1.05)3 607,75
(1.05)4
Descontos devem ser calculados de forma precisa. Caso contrário, depois será preciso correr atrás do prejuízo...
Retomando a
aula
Vamos, então, retomar os conteúdos estudados:
1 - Fluxo de Caixa
Entradas e saídas de valores em determinadas datas nos dão o valor do saldo em determinado período e nos fornece o valor atual ou nominal de uma nota de crédito ou de débito.
2 - Descontos
Nesta seção, pudemos entender as várias maneiras que há no mercado para a troca de cheques e/ou duplicatas. E quanto vale notas emitidas para datas diferentes quando calculados para uma mesma data.
3 – Equação de Valor
A equação de valor permite que capitais diferentes, referentes a datas diferentes, sejam igualados para uma mesma data focal, desde que seja fixada certa taxa de juros. Isso permite saber o quanto de dinheiro podemos dispor em determinada data, sendo muito útil para tomadas de decisões.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática financeira com HP12C e Excel: uma abordagem descomplicada. 1ª. Edição. São Paulo: Pearson Education, 2008.
Matemática didática. Disponível em: <www.
matematicadidatica.com.br>
Vale a
pena
Vale a
pena ler
Vale a
