Notas de Aula de Microeconomia
Carlos Eugˆ enio da Costa
Funda¸c˜ ao Getulio Vargas - EPGE/FGV
Setembro de 2010
Conte´ udo
1 A Metodologia e o Escopo da Ciˆ encia Econˆ omica 5
1.1 A Metodologia . . . . 9
1.1.1 Friedman (1953) . . . . 9
1.1.2 Coase (1981) . . . . 11
1.1.3 McCloskey (1983) . . . . 12
1.1.4 Sims (1996) . . . . 12
I Teoria da Escolha Individual 15 2 A Abordagem das Preferˆ encias 16 2.1 O Conjunto de Consumo e o Conjunto Or¸cament´ ario . . . . 17
2.1.1 O Conjunto de Consumo . . . . 17
2.1.2 O Conjunto Or¸cament´ ario . . . . 17
2.1.3 Elasticidades . . . . 19
2.2 Preferˆ encias . . . . 21
2.2.1 Hip´ otese Comportamental . . . . 24
2.3 A Fun¸c˜ ao Utilidade . . . . 25
3 O Problema da Escolha do Consumidor 30 3.1 Utilidade Indireta, Fun¸c˜ ao Gasto, Propriedades da Demanda . . . . . 33
3.1.1 Utilidade Indireta . . . . 33
3.1.2 Demanda Marshalliana . . . . 36
3.1.3 A Fun¸c˜ ao Gasto (Despesa) . . . . 36
3.1.4 Demanda Hicksiana . . . . 39
3.1.5 Problemas Duais . . . . 41
3.1.6 A Equa¸c˜ ao de Slutsky . . . . 42
3.1.7 Revendo as Propriedades da Demanda Usando Elasticidades . 43 3.1.8 Bens Complementares e Substitutos . . . . 44
1
CONTE ´ UDO 2
3.2 Bem-Estar . . . . 46
3.2.1 O Excedente do Consumidor . . . . 46
3.2.2 Varia¸c˜ ao Compensat´ oria . . . . 49
3.2.3 Varia¸c˜ ao Equivalente . . . . 50
3.2.4 Comparando as medidas exatas . . . . 51
4 O Problema da Integrabilidade 53 4.0.5 Dualidade . . . . 54
4.0.6 Integrabilidade . . . . 61
5 A Teoria das Preferˆ encia Reveladas 64 5.1 Preferˆ encia Revelada . . . . 64
6 T´ opicos em Teoria do Consumidor 71 6.1 A Demanda Excedente . . . . 71
6.1.1 Aplica¸c˜ oes . . . . 72
6.1.2 Propriedades da demanda excedente . . . . 74
6.2 Pre¸cos n˜ ao-lineares e a Equa¸c˜ ao de Slutsky . . . . 77
6.2.1 Pre¸cos n˜ ao-lineares: imposto de renda progressivo . . . . 77
6.3 Separabilidade . . . . 80
6.3.1 O Teorema do Bem Composto . . . . 81
6.3.2 Separabilidade: Defini¸c˜ ao e Propriedades . . . . 82
6.4 Demanda Condicional e A Segunda Lei da Demanda . . . . 87
6.5 Demanda Frisch . . . . 89
6.5.1 Separabilidade e Demanda Frisch . . . . 91
7 Agrega¸ c˜ ao 93 7.1 Demanda agregada como fun¸c˜ ao dos pre¸cos e da renda agregada. . . . 93
7.2 Propriedades da Demanda Agregada . . . . 95
7.2.1 Regras de Propor¸c˜ ao Fixa . . . . 98
7.2.2 Lei da Demanda N˜ ao-Compensada . . . . 99
7.2.3 O Modelo de Escolha Coletiva de Browning-Chiappori . . . . 103
7.3 Agente Representativo e An´ alise de Bem-estar. . . 107
7.4 Efeitos Reguladores da Agrega¸c˜ ao . . . 111
7.4.1 Suaviza¸c˜ ao . . . 111
7.4.2 Lei da Demanda N˜ ao-compensada (Hildebrand, 1983) . . . 112
CONTE ´ UDO 3
II Teoria da Produ¸ c˜ ao 115
8 Teoria da Produ¸ c˜ ao 116
8.1 Teoria da Produ¸c˜ ao e Teoria da Firma . . . 116
8.2 A firma neocl´ assica . . . 117
8.2.1 Tecnologia . . . 117
8.2.2 Maximiza¸c˜ ao de Lucro . . . 121
8.3 Agrega¸c˜ ao . . . 123
8.4 Eficiˆ encia . . . 125
8.5 Firmas de Produto ´ Unico . . . 126
8.6 Minimiza¸c˜ ao de Custos . . . 130
8.6.1 Curto e Longo Prazos . . . 133
8.6.2 Custos: M´ edio e Marginal, Fixo e Vari´ avel . . . 135
8.7 Maximiza¸c˜ ao de Lucros . . . 136
8.8 Oferta da Firma . . . 140
8.9 Recuperando a Fun¸c˜ ao de Produ¸c˜ ao . . . 143
8.10 Sobre os objetivos da firma. . . 144
8.11 Testando a Maximiza¸c˜ ao de Lucros . . . 146
8.12 A Teoria da Produ¸c˜ ao Dom´ estica . . . 147
III Incerteza 151 9 A Teoria da Escolha sob Incerteza 152 9.1 Introdu¸c˜ ao . . . 152
9.1.1 Utilidade Esperada (informal) . . . 154
9.2 Formaliza¸c˜ ao . . . 156
9.2.1 Defini¸c˜ oes e Conceitos . . . 156
9.2.2 Utilidade Esperada (formal) . . . 159
9.3 Preferˆ encias sobre Loterias Monet´ arias . . . 167
9.3.1 Loterias sobre resultados monet´ arios. . . 167
9.3.2 Avers˜ ao ao Risco: Defini¸c˜ oes . . . 168
9.3.3 Medidas de Tolerˆ ancia ao Risco . . . 171
9.3.4 Renda e Avers˜ ao ao Risco . . . 175
9.4 Dominˆ ancia Estoc´ astica . . . 182
9.5 Utilidade Esperada Subjetiva . . . 187
9.6 Utilidade Dependente do Estado . . . 187
9.6.1 Aplica¸c˜ oes . . . 189
CONTE ´ UDO 4
10 Escolha no Tempo 191
IV Equil´ıbrio 196
11 Equil´ıbrio Parcial 197
11.1 Defini¸c˜ ao e Conceitos Relevantes . . . 198
11.1.1 Descri¸c˜ ao do ambiente . . . 198
11.1.2 Oferta . . . 198
11.1.3 Equil´ıbrio . . . 200
11.2 Eficiˆ encia . . . 201
11.3 Monop´ olio . . . 206
12 Equil´ıbrio Geral 208 12.1 Descri¸c˜ ao do ambiente . . . 209
12.2 Defini¸c˜ ao de equil´ıbrio . . . 209
12.2.1 Escolhas ´ otimas . . . 210
12.2.2 Normaliza¸c˜ oes e Identidade de Walras . . . 211
12.2.3 Equil´ıbrio: defini¸c˜ ao formal . . . 212
12.3 Existˆ encia . . . 213
12.3.1 Economia de Trocas . . . 214
12.3.2 Economia com Produ¸c˜ ao . . . 214
12.4 Eficiˆ encia: Teoremas de Bem-estar . . . 215
12.4.1 1 o Teorema do Bem-estar social . . . 216
12.4.2 2 o Teorema do Bem-estar social . . . 217
12.5 Exemplos . . . 218
12.5.1 Economia de troca (modelo 2x2) . . . 218
12.5.2 Economia de Robinson Cruso´ e . . . 224
13 Um ‘pouquinho’ de finan¸ cas 225 13.0.3 N˜ ao-arbitragem . . . 228
13.0.4 Escolha do Investidor . . . 228
13.1 Mercados Completos vs. Mercados Incompletos . . . 232
13.1.1 Mercados Completos e Divis˜ ao ´ Otima de Riscos . . . 232
Cap´ıtulo 1
A Metodologia e o Escopo da Ciˆ encia Econˆ omica
O que ´ e economia?
A defini¸c˜ ao tradicional de ciˆ encia econˆ omica ´ e algo do tipo: ‘a ciˆ encia que es- tuda a forma como a sociedade aloca recursos escassos para fins competitivos’. Esta defini¸c˜ ao ´ e bastante abrangente e capta a essˆ encia do que a ciˆ encia econˆ omica pre- tende entender: como os homens e mulheres se organizam para lidar com a escassez.
Alguns a definem simplesmente como ‘aquilo de que se ocupam os economistas.’
Hoje em dia isso inclui (e essa ´ e uma lista n˜ ao capaz de exaurir o tema), crime, de- scrimina¸c˜ ao, lei, marketing, finan¸cas, recursos humanos, comportamento das fam´ılias, etc., al´ em das ´ areas mais tradicionais como economica monet´ aria, tributa¸c˜ ao, defesa da concorrˆ encia, etc.
Como, ent˜ ao, podemos saber se um artigo ´ e um artigo em economia? Minha opini˜ ao pessoal ´ e de que deve satisfazer a um dos dois crit´ erios a seguir: i) tratar de assunto pertinente ` as ´ areas de atua¸c˜ ao tradicionais dos economistas, e/ou; ii) usar uma vis˜ ao de economista de um problema pertinente a qualquer outra ´ area do comportamento humano. 1
A abordagem dos economistas
1 Para polemizar, costumo associar ` a satisfa¸ c˜ ao do primeiro crit´ erio sem a satisfa¸ c˜ ao do segundo o termo ‘bad economics’.
5
CAP´ ITULO 1. A METODOLOGIA E O ESCOPO DA CI ˆ ENCIA ECON ˆ OMICA6 E o que ´ e a ’vis˜ ao de economista’ ? Primeiro devemos ter em considera¸c˜ ao que a ciˆ encia econˆ omica procura estudar a sociedade a partir da perspectiva do indiv´ıduo.
Em segundo lugar, toma por hip´ otese fundamental a id´ eia de que as a¸c˜ oes dos in- div´ıduos s˜ ao munidas de prop´ osito. Em outras palavras, economistas est˜ ao compro- metidos com uma abordagem conhecida como individualismo metodol´ ogico, a id´ eia de que os fenˆ omenos sociais devem ser entendidos a partir das a¸c˜ oes individuais que por sua vez devem ser compreendidas pelas motiva¸c˜ oes individuais. Este compro- misso requer uma teoria sobre a a¸c˜ ao humana. O princ´ıpio de racionalidade, i.e., a id´ eia de que as pessoas agem no seu melhor interesse a partir da sua percep¸c˜ ao quanto a isso, oferece tal id´ eia.
A id´ eia de otimiza¸ c˜ ao implica em que as pessoas escolham a melhor (ou aquela percebida como a melhor) das alternativas que lhe est˜ ao dispon´ıveis). Uma quest˜ ao mais delicada ´ e estabelecer o que ´ e melhor, ou o que ´ e percebido como melhor. Em geral, aqui n˜ ao h´ a julgamento de valor, mas simplesmente a id´ eia de que as pes- soas s˜ ao capazes de hierarquizar op¸c˜ oes. Na maior parte do que se segue estaremos supondo que as pessoas s˜ ao racionais, i.e., que tˆ em uma estrutura de preferˆ encias racional (a ser definida com precis˜ ao no pr´ oximo cap´ıtulo) e que escolhem a alter- nativas preferida de acordo com esta estrutura de preferˆ encias dentre as alternativas vi´ aveis.
Ainda que adotemos a perspectiva do indiv´ıduo, quando estudamos a sociedade, nossa preocupa¸c˜ ao ´ e principalmente com os efeitos agregados, i.e com a vida social.
Naturalmente, os indiv´ıduos (pelo menos a grande maioria dos indiv´ıduos) n˜ ao agem em isolamento. Queremos entender a forma como as decis˜ oes individuais interagem de forma a determinar ‘a forma como a sociedade aloca recursos escassos para fins competitivos’. Usamos o conceito de equil´ıbrio para expressar a situa¸c˜ ao em que dadas todas as a¸c˜ oes e rea¸c˜ oes poss´ıveis dos agentes, eles n˜ ao encontram nenhum incentivo para mudar suas decis˜ oes. Assim, podemos, passar da a¸c˜ ao individual para o resultado social.Neste caso, precisamos de alguma forma de compatibilizar os v´ arios comportamentos individuais. Para isso, usamos a id´ eia de equil´ıbrio.
Finalmente a id´ eia de eficiˆ encia. Eficiˆ encia para n´ os ser´ a sempre eficiˆ encia no
sentido de Pareto: uma situa¸c˜ ao tal que n˜ ao ´ e poss´ıvel melhorar ningu´ em sem piorar
CAP´ ITULO 1. A METODOLOGIA E O ESCOPO DA CI ˆ ENCIA ECON ˆ OMICA7 algu´ em. H´ a trˆ es coisas que devemos ressaltar desde o in´ıcio. Primeiro, eficˆ encia diz respeito aos indiv´ıduos (seres humanos) e n˜ ao a firmas, governos, regi˜ oes, etc., ainda que possamos fazer referˆ encia a estes ´ ultimos como uma forma aproximada de pensar nos primeiros. Note, por´ em, que estas ‘formas reduzidas’ podem nos levar a adotar m´ etricas equivocadas. Por exemplo, qual a relevˆ ancia das desigualdades regionais se os indiv´ıduos puderem migrar a custo zero? Em segundo lugar, temos que a id´ eia de eficiˆ encia n˜ ao envolve qualquer conceito de eq¨ uidade. Portanto, uma aloca¸c˜ ao eficiente n˜ ao ´ e necessariamente ‘desej´ avel.’ Finalmente, veremos que o primeiro teorema de bem-estar nos garante que dadas determinadas condi¸c˜ oes todo equil´ıbrio competitivo ´ e eficiente no sentido de Pareto. Este resultado nos permite abordar a quest˜ ao das ineficiˆ encias sempre a partir da busca do pressupostos que s˜ ao violados na pr´ atica.
Ou seja, ao definirmos a vis˜ ao do economista estamos seguindo Lazear (2000), que considera que esta vis˜ ao se baseia em trˆ es ingredientes: i) otimiza¸c˜ ao, 2 ii) equil´ıbrio e iii) eficiˆ encia. Ou seja, Lazear sugere que ´ e o m´ etodo que define a ciˆ encia econˆ omica, n˜ ao seu objeto.
M´ etodo ou objeto?
A vis˜ ao que apresentei aqui n˜ ao ´ e exata,emte minha. Ela simplesmente procura acomodar duas opini˜ oes distintas de dois grandes economistas: Gary Becker e Ronald Coase. Isto pode ser percebido como um reflexo da minha imaturidade e/ou inca- pacidade de aprofundar-me no assunto (ambas as possibilidades s˜ ao, pelo menos parcialmente, verdadeiras). Em minha defesa, manifesto a minha esperan¸ca de que alguns fios de cabelo branco a mais permitam que eu acabe por posicionar-me com um pouco menos de ambig¨ uidade sobre o assunto, ou que venha a adquirir, pelo menos maior capacidade de definir os limites de cada posi¸c˜ ao.
2 Mais adiante discutiremos algumas conseq¨ uˆ encias de relaxremos esta hip´ otese. H´ a grandes
economistas hoje que trabalham muito pr´ oximos aos psic´ ologos e neurocientistas que de alguma
forma relativizam a id´ eia de que as pessoas escolhem de maneira ´ otima [e.g. Persendorfer e Gul
(200X), (200X)]. Entre outras coisas investigam a forma como o procedimento espec´ıfico na tomada
de decis˜ ao pode afetar a escolha [e.g. Rubinstein (2006).]
CAP´ ITULO 1. A METODOLOGIA E O ESCOPO DA CI ˆ ENCIA ECON ˆ OMICA8
Becker (1976)
Para Becker, o que define a Ciˆ encia Econˆ omica ´ e o seu m´ etodo (ver os argumentos de Lazear) e n˜ ao o objeto estudado.
Ele caracteriza a abordagem econˆ omica como sendo uma combina¸c˜ ao de trˆ es hip´ oteses: comportamento maximizador, equil´ıbrio de mercado e estabilidade das preferˆ encias. ´ E interessante notar que Becker defende essa ´ ultima hip´ otese, a es- tabilidade das preferˆ encias, afirmando que, at´ e o momento (1976), os economistas n˜ ao tˆ em muitas coisas interessantes a dizer sobre a forma¸c˜ ao das preferˆ encias. Hoje, Becker ´ e conhecido como um dos pioneiros da modelagem de preferˆ encias (ver, por exemplo, seu artigo de 1988, “A Theory of Rational Addiction” com Kevin Murphy).
Becker defende a controversa id´ eia de que o comportamento humano sempre pode ser considerado racional. Para ele, todo comportamento humano pode ser analisado como sendo racional, independetemente do contexto:
“[...] be it behavior involving money prices or imputed shadow prices, repeated or infrequent decisions, emotional or mechanical ends, rich or poor people, men or women, adults or children, brilliant or stupid persons, patients or therapists, businessmen or politicians, teachers or students”.
Ele faz quest˜ ao de fazer duas ressalvas. Primeiro, ele n˜ ao diz que as pessoas nec- essariamente s˜ ao capazes de descrever seus pr´ oprios comportamentos e nem que elas s˜ ao conscientes de sua pr´ opria racionalidade. Segundo, ele n˜ ao afirma que a maioria dos economistas seguem o que ele chama de “abordagem econˆ omica do comporta- mento humano”.
Coase (1977)
O ponto de Coase ´ e simples. Ele discorda de Becker e acredita que o que define
a economia ´ e o seu objeto e n˜ ao o seu m´ etodo. Ele tamb´ em duvida que o avan¸co da
economia em dire¸c˜ ao ao objeto de outras ciˆ encias–sociologia, pol´ıtica, etc.–v´ a muito
longe.
CAP´ ITULO 1. A METODOLOGIA E O ESCOPO DA CI ˆ ENCIA ECON ˆ OMICA9 Segundo Coase, ainda que economistas possuam um instrumental poderoso, em sua capaciade de formalizar id´ eias sobre o comportamente humano, eles n˜ ao con- hecem as quest˜ oes relevantes das diversas ´ areas. Isso, por´ em n˜ ao elimina o espa¸co de coopera¸c˜ ao.
Lazear (2000)
Assim como Becker, Lazear acredita no “Imperialismo Econˆ omico”, isto ´ e, na capacidade da economia tomar o espa¸co de todas as outras disciplinas sociais.
Ele mostra v´ arios exemplos onde isso j´ a est´ a acontecendo com algum sucesso. Sua lista de t´ opicos n˜ ao tradicionalmente econˆ omicos inclui a modelagem de preferˆ encias, demografia, discrimina¸c˜ ao, fam´ılia, intera¸c˜ oes sociais, religi˜ ao, recursos humanos, fi- nan¸cas, contabilidade, estrat´ egia, comportamento organizacional, marketing, direito, pol´ıtica, sa´ ude, cultura e lingu´ıstica.
Os trˆ es ingredientes b´ asicos que determinam o sucesso da economia (segundo ele) s˜ ao as no¸c˜ oes de: i) maximiza¸c˜ ao, ii) equil´ıbrio e iii) eficiˆ encia.
Al´ em disso, os economistas usam m´ etodos estat´ısticos de forma muito mais rig- orosa que os demais cientistas sociais.
Ele est´ a consciente de que outras ciˆ encias tamb´ em est˜ ao invadindo os espa¸co dos economistas e conquistando novos adeptos, sendo a psicologia experimental o caso mais evidente. Ainda assim, ele acredita que a nova onda de “economia comporta- mental” n˜ ao representa uma s´ eria amea¸ca ` a abordagem econˆ omica.
1.1 A Metodologia
1.1.1 Friedman (1953)
Este artigo (o mais citado de Friedman, para seu desagrado) estabeleceu a metodolo- gia “oficial” da economia.
O primeiro ponto elaborado por Friedman (e que ´ e crucial para a sua an´ alise) ´ e
a distin¸c˜ ao entre a economia positiva e a normativa. Segundo ele,
CAP´ ITULO 1. A METODOLOGIA E O ESCOPO DA CI ˆ ENCIA ECON ˆ OMICA10
“positive economics is in principle independent of any particular ethical position or normative analysis”.
Friedman argumenta que o objetivo final da economia ´ e a previs˜ ao. Previs˜ ao para Friedman significa basicamente o resultado de exerc´ıcios de est´ atica compar- ativa. Por essa defini¸c˜ ao, a economia n˜ ao ´ e nada mais do que uma ´ area aplicada da estat´ıstica. Mas segundo ele, isso ´ e o que torna a economia algo diferente de uma “matem´ atica disfar¸cada”: a economia se preocupa com previs˜ oes e n˜ ao com de- scri¸c˜ oes das consequˆ encias de determinadas a¸c˜ oes simplesmente. A uma teoria n˜ ao ´ e bastante ser internamente consistente. Deve mostrar-se tamb´ em aderente aos dados.
Friedman raciocina como um estat´ıstico cl´ assico. Segundo ele, n˜ ao se deve olhar para os dados antes de derivar as conclus˜ oes de uma teoria.
Friedman tamb´ em discute o problema da escolha de hip´ oteses alternativas. Um ponto evidente mas normalmente esquecido ´ e o fato de que evidˆ encias finitas s˜ ao in- capazes de identificar uma entre virtualmente infinitas hip´ oteses alternativas. N˜ ao h´ a coment´ ario mais comum em semin´ arios (emp´ıricos) de economia do que “o seu mod- elo n˜ ao ´ e identificado”, normalmente acompanhado de alguma est´ oria descrevendo alguma outra hip´ otese alternativa. 3
Interessante ´ e que Friedman discute crit´ erios para a escolha de hip´ oteses alter- nativas. Simplicidade e a capacidade de explicar outros fenˆ omenos s˜ ao os crit´ erios mais importantes para ele. Completeza e consistˆ encia tamb´ em s˜ ao crit´ erios v´ alidos.
Mas o ´ unico crit´ erio que jamais dever ser utilizado ´ e o realismo das hip´ oteses (aqui no sentido de assumptions).
[citar trecho do livro “O gene ego´ısta”.]
De certa forma as hip´ oteses de uma teoria n˜ ao devem ser realistas, j´ a que ´ e exatamente na abstra¸c˜ ao de aspectos da realidade que reside a capacidade da teoria de se provar ´ util. Para ele, as teorias devem ser aceitas (n˜ ao-rejeitadas) na medida em que suas previs˜ oes sejam corroboradas por evidˆ encias. O realismo subjetivo das hip´ oteses n˜ ao desempenha nenhum papel nessa hist´ oria.
3 Esta observa¸ c˜ ao bastante perspicaz ´ e devida ao Daniel Ferreira.
CAP´ ITULO 1. A METODOLOGIA E O ESCOPO DA CI ˆ ENCIA ECON ˆ OMICA11 Ainda que enfatizado pela metodologia oficial de Friedman, este ponto ´ e muitas vezes esquecido. De fato, uma vasta literatura tem criticado a hip´ otese de que os in- div´ıduos agem de forma racional. Grande parte dos ataques vem da teoria de “econo- mia comportamental”. 4 Parte das cr´ıticas ´ e mal direcionada ao criticar a hip´ otese de que as pessoas agem de forma racional conscientemente: que tomam a cada momento decis˜ oes a partir de c´ alculos cuidadosos, etc. Note, por´ em que ningu´ em afirmou tal coisa. O que se est´ a dizendo ´ e que podemos descrever o comportamento humano como se fosse derivado desta maneira.
1.1.2 Coase (1981)
O artigo de Coase ´ e uma cr´ıtica aberta ao artigo de Friedman. Segundo Coase, o artigo de Friedman n˜ ao ´ e positivo, “como a ciˆ encia econˆ omica ´ e feita”, mas sim normativo, “como ela deveria ser feita”.
Coase argumenta por meio de exemplos que os economistas n˜ ao seguem as re- comenda¸c˜ oes de Friedman na escolha entre teorias. Na verdade, testes emp´ıricos s´ o s˜ ao feitos para as teorias que s˜ ao tidas como razo´ aveis para um grupo grande de economistas. Afinal, que revista vai publicar um trabalho emp´ırico rejeitando uma teoria em que ningu´ em acredita?
Aqui vale comentar a contradi¸c˜ ao entre a proposta metodol´ ogica de Friedman e sua vis˜ ao sobre o comportamento humano. De fato, a id´ eia de que os indiv´ıduos agem por interesse pr´ oprio indica que s´ o devem ser testadas teorias amplamente aceitas - pois isso ´ e o que gera ’retorno’ do ponto de vista individual.
Coase vai mais longe e argumenta que se os economistas de fato seguissem as recomenda¸c˜ oes de Friedman, n˜ ao haveria mais progresso na ciˆ encia econˆ omica (esse ponto ´ e mais bem elaborado por McCloskey, 1983).
Coase tamb´ em duvida que exista qualquer separa¸c˜ ao entre as id´ eias do pesquisador e as conclus˜ oes de suas teorias. Para ele, o processo de competi¸c˜ ao entre id´ eias leva ao progresso da ciˆ encia econˆ omica.
4 Aumann ( ) muito perspicazmente rejeita esta denomina¸ c˜ ao. Segundo ele: “...true behavioral
economics does exist; it is called empirical economics.”
CAP´ ITULO 1. A METODOLOGIA E O ESCOPO DA CI ˆ ENCIA ECON ˆ OMICA12
1.1.3 McCloskey (1983)
McCloskey distingue a ret´ orica oficial da economia, que defende as id´ eias de Friedman, da ret´ orica n˜ ao-oficial, que ´ e a forma como os economistas efetivamente discutem economia nos semin´ arios e c´ırculos acadˆ emicos. Na ret´ orica n˜ ao-oficial, a discuss˜ ao sobre o realismo de hip´ oteses, introspec¸c˜ ao e o recurso a analogias s˜ ao todas atividades aceit´ aveis.
Para McCloskey, previs˜ oes n˜ ao devem servir de crit´ erio para a escolha entre teo- rias. Por exemplo, a teoria darwiniana da evolu¸c˜ ao n˜ ao tem nenhuma previs˜ ao no sentido usual do termo. 5
Mas a maior cr´ıtica de McCloskey ´ e a contesta¸c˜ ao da pr´ opria id´ eia de m´ etodo na economia. Segundo ele, qualquer m´ etodo proposto ´ e arbitr´ ario, arrogante e preten- sioso. McCloskey crˆ e que o estabelecimento de ‘padr˜ oes de compara¸c˜ ao’ amplamente aceitos pelos economistas profissionais deve no final determinar a escolha entre teo- rias.
1.1.4 Sims (1996)
Nesse artigo, Sims caracteriza avan¸cos na ciˆ encia como novas formas de “com- press˜ ao dos dados” - tanto dos dados que j´ a existem como dados potenciais - com um m´ınimo de perda de informa¸c˜ ao.
Por um lado, reconhece que a metodologia da ciˆ encia econˆ omica (e das ciˆ encias sociais em geral) est´ a muito distante do ideal Friedmaniano, que vˆ e a ciˆ encia como o processo Popperiando de formula¸c˜ ao de hip´ oteses test´ aveis e confronta¸c˜ ao — com poss´ıvel falseamento — com os dados. Uma hip´ otese que se confromasse com os dados seria tida como ‘verdadeira’, no sentido de verdade tempor´ aria, e falsa caso fosse rejeitada por eles. Pela pr´ opria natureza dos dados dispon´ıveis para os estudos em economia, trabalha-se sempre com margens de erro estat´ıstico, o que torna a id´ eia de refuta¸c˜ ao um pouco mais complicada e a pr´ opria no¸c˜ ao de teoria menos clara.
Sims apresenta ent˜ ao sua vis˜ ao de teoria como forma de compress˜ ao dos dados (tanto dados que j´ a existem quanto dados potenciais). Por exemplo, Kepler ao
5 Talvez essa seja a raz˜ ao de o criacionismo ainda ter tanto espa¸ co mesmo na academia!
CAP´ ITULO 1. A METODOLOGIA E O ESCOPO DA CI ˆ ENCIA ECON ˆ OMICA13 perceber que os dados sobre movimentos dos planetas acumulados por Tycho Braher podiam ser descritos por ´ orbitas elipticas em torno do sol permitiu uma grande compress˜ ao dos dados. Newton deu um passo al´ em ao mostrar que os mesmos dados poderiam ser descritos de forma mais econˆ omica com sua f´ ormula do inverso do quadrado. Al´ em disso, a teoria Newtoniana permitia a previs˜ ao de novos dados em
´
areas distintas do movimento dos planetas e de f´ acil observa¸c˜ ao.
Isto ´ e verdade na f´ısica, na cosmologia ou na ciˆ encia econˆ omica. O problema, no nosso caso ´ e que n˜ ao importa qu˜ ao boa a teoria econˆ omica, h´ a uma quantidade enorme de varia¸c˜ ao dos dados n˜ ao explicada por ela. Neste sentido o ideal Friedma- niano levaria ` a elimina¸c˜ ao de toda a teoria econˆ omica, como salientado por Coase.
Se julgarmos diferentes teorias de acordo com sua capacidade relativa de com- press˜ ao dos dados, poderemos ver o sucesso de uma teoria, no sentido de sua capaci- dade de compress˜ ao dos dados, como um cont´ınuo. Voltando ao exemplo de Kepler, o modelo de ´ orbitas el´ıpticas ´ e refutado se a mensura¸c˜ ao for feita de forma muito pre- cisa. Isto n˜ ao quer dizer que devamos jogar fora a teoria...ela continua representando uma aproxima¸c˜ ao bastante ´ util do comportamento dos planetas.
Para a ciˆ encia econˆ omica o fato de que qualquer teoria deixa n˜ ao-explicada uma enorme variabilidade nos dados leva Sims a sugerir que o grau de confian¸ca em uma teoria deva ser entendido a partir da id´ eia de que os agentes fazem uma revis˜ ao Bayesiana sobre o sucesso de uma teoria ` a medida que novas evidˆ encias v˜ ao apare- cendo.
Cabe lembrar que o papel da inferˆ encia estat´ıstica nas ciˆ encais reflete dois princ´ıpios:
1) Inferˆ encia n˜ ao ´ e importante quando a evidˆ encia ´ e t˜ ao abundante que permite hier- arquisar perfeitamente teorias; 2) quando n˜ ao h´ a necessidade de escolher entre teorias alternativas que os dados n˜ ao conseguem decidir de forma categ´ orica. Mas quando os dados n˜ ao permitem uma escolha ´ obvia e decis˜ oes dependem dessa escolha, ent˜ ao deve-se usar crit´ erios de probabilidade.
A aderˆ encia aos dados tamb´ em n˜ ao pode ser o crit´ erio ´ unico. As teorias podem ser t˜ ao complexas que n˜ ao permitam uma compress˜ ao importante dos dados. Lembremos aqui do conhecido argumento acerca da inutilidade de um mapa com escala real.
Neste sentido, deve-se reconhecer que ´ e mais comum que teorias divirjam menos na
CAP´ ITULO 1. A METODOLOGIA E O ESCOPO DA CI ˆ ENCIA ECON ˆ OMICA14 sua capacidade de aderir aos fatos do que na sua simplicidade.
Finalmente, uma boa teoria n˜ ao somente deve ser capaz de comprimir os da- dos, mas deve fazˆ e-lo de tal maneira que seja convincente e compreens´ıvel para seu p´ ublico-alvo. A capacidade de persuas˜ ao das teorias por sua vez, depende de quem s˜ ao os “experts” ou, melhor dizendo, dos tipos de argumentos que eles est˜ ao prepara- dos para ouvir, como salientado por McCloskey. Isto tende a levar a uma tendˆ encia a uma postura de enclausuramento defensivo por parte dos praticantes.
Conquanto reconhe¸ca o papel da ret´ orica em ciˆ encia econˆ omica, sua rea¸c˜ ao ´ e bastante distinta da rea¸c˜ ao de McCloskey. Ao contr´ ario de entusiasmo, mostra pre- ocupa¸c˜ ao.
Economia n˜ ao ´ e f´ısica. Ciˆ encia em geral n˜ ao consiste em formular teoria, test´ a-la contra os dados e aceit´ a-la ou rejeit´ a-la. Mas devemos reconhecer esses pontos sem perder de perspectiva a diferen¸ca qualitativa entre ciˆ encia moderna e filosofia natural cl´ assica ou medieval: ciˆ encia moderna criou com sucesso um consenso de que no discurso cient´ıfico certos tipos de argumentos aparentemente perusasivos n˜ ao s˜ ao leg´ıtimos.
O ´ unico tipo de argumento que a ciˆ encia moderna trata como leg´ıtimo concerne ` a aderˆ encia da teoria aos dados obtidos por experimentos e observa¸c˜ ao.
Em resumo, ainda que Sims concorde em v´ arios pontos com McCloskey, na de- scri¸c˜ ao dos fatores que afetam a sociologia da ciˆ encia econˆ omica, ele reafirma a confronta¸c˜ ao com os dados como crit´ erio ´ ultimo de validade da teoria.
Finalmente, cabe lembrar que ainda que n´ os possamos tentar insistir nessa pos-
tura de defesa do confronto com os dados como crit´ erio ´ ultimo do valor de uma
teoria, cabe lembrar que, as grandes dificuldades encontradas em ciˆ encias sociais
abrem flancos para a discordˆ ancia n˜ ao somente de quais teorias s˜ ao melhores, mas
at´ e sobre o tipo de argumento admiss´ıvel no debate acadˆ emico.
Parte I
Teoria da Escolha Individual
15
Cap´ıtulo 2
A Abordagem das Preferˆ encias
A primeira parte do curso (de fato a quase totalidade do curso) trata fundamen- talmente da teoria da escolha individual. Como dissemos, no primeiro cap´ıtulo, a unidade tomadora de decis˜ ao ´ e o indiv´ıduo. ´ E apartir da escolha individual que vamos construir toda a nossa vis˜ ao de mundo.
H´ a duas grandes abordagens distintas para a modelagem da escolha individual.
Em primeiro lugar existe uma teoria que define os gostos ou rela¸c˜ oes de preferˆ encia como as caracter´ısticas primitivas do indiv´ıduo. Ent˜ ao axiomas de racionalidade s˜ ao impostos e verifica-se as conseq¨ uˆ encais para as escolhas observ´ aveis. Uma abordagem alternativa considera a escolha em si como caracter´ıstica primitiva e imp˜ oe restri¸c˜ oes diretamente sobre esse comportamento. A hip´ otese central dessa abordagem ´ e o axioma fraco da preferˆ encia revelada, que imp˜ oe restri¸c˜ oes ao tipo de comportamento que se espera observar.
Come¸caremos com a primeira abordagem, que se tornou mais comum. Na se¸c˜ ao 5.1, discutiremos a abordagem alternativa em mais detalhes. Note tamb´ em que estaremos estudando o indiv´ıduo consumidor. Ou seja, estaremos enfatizando um ambiente espec´ıfico para a nossa teoria da escolha, mas devemos ressaltar que a teoria aqui apresentada pode ser ampliada para ambientes outros.
A abordagem tradicional ´ e formada por quatro elementos b´ asicos: i) o conjunto de consumo; ii) o conjunto fact´ıvel (ou conjunto or¸cament´ ario), iii) a rela¸c˜ ao de preferˆ encia e iv) a hip´ otese comportamental.
16
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 17
2.1 O Conjunto de Consumo e o Conjunto Or¸ cament´ ario
2.1.1 O Conjunto de Consumo
O conjunto de todas as cestas que podem ser consumidas ´ e chamado de conjunto de consumo. Define a totalidade de possibilidades de consumo que um agente pode conceber. Restri¸c˜ oes f´ısicas e/ou institucionais definem o conjunto de consumo.
Formalmente, seja X o conjunto de consumo e x, um elemento desse conjunto.
Vamos sempre supor que: i) ∅ 6= X ⊆ R n + ; ii) X ´ e fechado e convexo, e: iii) 0 ∈ X.
Na maioria dos casos trabalharemos com X = R n + . Neste caso, x = (x 1 , ..., x n ) ∈ R n + ´ e uma cesta de consumo (plano de consumo, cesta de bens). Neste caso, x i ≥ 0
´ e a quantidade consumida do bem i (good, commodity) (quantidades negativas s˜ ao consideradas insumos na teoria da firma).
2.1.2 O Conjunto Or¸ cament´ ario
Tamb´ em conhecido como conjunto de oportunidades, ´ e um subconjunto B ⊂ X que corresponde ` as alternativas fact´ıveis para o agente.
Conjunto or¸ cament´ ario competitivo Considere o B definido por
B ≡ {x ∈ X|px ≤ y}
onde p ´ e o vetor de pre¸cos dos bens, x o vetor de quantidades e y a renda do indiv´ıduo. Ou seja, o conjunto de cestas tais que P n
i=1 p i x i ≤ y.
Este ´ e o conjunto or¸cament´ ario competitivo j´ a que os pre¸cos n˜ ao dependem da quantidade demandada. ´ E isto o que garante que a restri¸c˜ ao or¸cament´ aria seja linear.
Pode-se dizer que o ‘conjunto or¸cament´ ario walrasiano’, pressup˜ oe implicitamente a existˆ encia de mercados eficientes e sem custos de transa¸c˜ ao. Quando essas hip´ oteses s˜ ao relaxadas, surgem as restri¸c˜ oes n˜ ao lineares.
Com dois bens, podemos escrever p 1 x 1 + p 2 x 2 ≤ y. Assim, a reta or¸cament´ aria ´ e definida por
x 2 = y p 2 − p 1
p 2 x 1 ,
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 18 facilmente represent´ avel em uma figura bi-dimensional.
Restri¸ c˜ oes N˜ ao-lineares
Consideremos os seguintes exemplos de restri¸c˜ oes n˜ ao lineares.
i) Numa economia de escambo, pre¸cos de compra e venda podem ser diferentes, pois h´ a custos em encontrar pessoas que queiram comprar os bens que vocˆ e quer vender, ou pessoas que queiram vender os bens que vocˆ e quer comprar. [existem custos de transa¸c˜ ao]
ii) Um motivo para a existˆ encia de restri¸c˜ oes n˜ ao-lineares em economias monetizadas
´ e a imposi¸c˜ ao de tarifas de duas partes. [mercados n˜ ao s˜ ao competitivos e existem custos de transa¸c˜ ao]
iii) Problemas de escolha entre renda e lazer (i.e., oferta de trabalho) normalmente apresentam “quebras” na restri¸c˜ ao or¸cament´ aria. [idem]
iv) Escolha intertemporal quando o mercado de capitais ´ e imperfeito [existem custos de transa¸c˜ ao].
v) Escolha social quando redistribui¸c˜ ao afeta a estrutura de incentivos. [mercados n˜ ao competitivos e custos de transa¸c˜ ao]
Implica¸ c˜ oes da Restri¸ c˜ ao Linear
Suponha a existˆ encia de fun¸c˜ oes de demanda, i.e., uma regra fixa que estabelece uma associa¸c˜ ao entre um conjunto de or¸cament´ ario B e uma cesta escolhida pelo agente. Como um conjunto or¸cament´ ario competitivo ´ e totalmente determinado definido por meio de (y, p) podemos representar essa fun¸c˜ ao (regra) por x (y, p), i.e., para cada bem i = 1, ..., n, (abusando um pouco da nota¸c˜ ao),
x i = x i (y, p) ,
a fun¸c˜ ao de demanda marshalliana (ou walrasiana, segundo MWG)
Hip´ otese crucial: indiv´ıduos sempre escolhem uma cesta de consumo sobre a reta
or¸cament´ aria (bens s˜ ao “bens”). N˜ ao h´ a necesidade de se impor nenhuma outra
hip´ otese sobre o comportamento do consumidor para que os resultados seguintes se-
jam v´ alidos. Mais tarde consideraremos os axiomas sobre preferˆ encias que garantem
esse tipo de escolha. Por enquanto definamos uma escolha tal que o agente sempre
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 19
‘esgote seus recursos.’
A primeira restri¸c˜ ao sobre as demandas ´ e conhecida como “adding-up”:
X
k p k x k (y, p) = y
Com a hip´ otese adicional de que as demandas sejam diferenci´ aveis, temos que o adding-up implica
X
k ∂ y x k (y, p) p k = 1, e
X
k ∂ i x k (y, p) p k + x i = 0
Essas duas condi¸c˜ oes tamb´ em s˜ ao conhecidas como agrega¸ c˜ ao de Engel e agrega¸ c˜ ao de Cournot, respectivamente.
A segunda restri¸c˜ ao ´ e chamada de “homogeneidade”; as fun¸c˜ oes de demanda s˜ ao homogˆ eneas de grau zero em pre¸cos e renda, i.e., para todo escalar λ > 0, e todo bem, i, temos que
x i (λy, λp) = x i (y, p) .
A propriedade ´ e uma conseq¨ uˆ encia imediata do fato de que (λy, λp) e (y, p) definem o mesmo conjunto, B .
Se a fun¸c˜ ao demanda for diferenci´ avel, homogeneidade implica em
∂ y x i (y, p) y + X
k ∂ k x i (y, p) p k = 0
Todas as trˆ es propriedades podem ser escritas por meio de elasticidades.
2.1.3 Elasticidades
Seja y = f (x) , ent˜ ao definimos a elasticidade de y com rela¸ c˜ ao a x como dy/y
dx/x = f 0 (x) x f (x) .
No presente momento estaremos interessados em duas elasiticidades relevantes
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 20 da fun¸c˜ ao demanda:
Elasticidade-renda
η i ≡ ∂ y x i (p, y) y x i
Elasticidade-Pre¸ co (quando i 6= j elasticidade cruzada, quando i = j elasticidade pr´ opria)
ε ij ≡ ∂ j x i (p, y) p j x i Voltemos agora ` a agrega¸c˜ ao de Engel,
X
k ∂ y x k (y, p) y x k
| {z }
η
kp k x k
y
| {z }
w
k= 1.
J´ a a agrega¸c˜ ao de Cournot, X
k ∂ i x k (y, p) p i
x k
| {z }
ε
kix k p k
y
| {z }
w
k+ p i x i
y
|{z} w
i= 0.
Como vimos ambas s˜ ao conseq¨ uˆ encias da propriedade de adding-up.
Finalmente, a equa¸c˜ ao de Euler associada ` a homogeneidade de grau zero em pre¸cos e renda da demanda pode ser reescrita como
∂ y x i (y, p) y x i
| {z }
η
i+ X
k ∂ k x i (y, p) p k x i
| {z }
ε
ik= 0.
Adding-up e homogeneidade s˜ ao as duas ´ unicas restri¸c˜ oes sobre as fun¸c˜ oes de demanda que resultam exclusivamente da hip´ otese de que o consumidor escolhe uma cesta na fronteira de um conjunto or¸cament´ ario competitivo.
Qual ´ e a importˆ ancia da hip´ otese de racionalidade? Por exemplo, ´ e necess´ ario que os indi´ viduos sejam racionais para que as demandas sejam negativamente inclinadas?
Veja o exemplo de Becker (1962) de um consumidor “impulsivo” (irracional), que
escolhe aleatoriamente uma cesta sobre a reta or¸cament´ aria (usando uma distribui¸c˜ ao
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 21 uniforme). Com dois bens apenas, a demanda de mercado esperada ´ e
Q 1 = n 2
y p 1 que ´ e negativemente inclinada.
Moral da hist´ oria: a lei da demanda ´ e muito mais fruto da escassez do que da racionalidade.
2.2 Preferˆ encias
Preferˆ encias s˜ ao caracterizadas de forma axiom´ atica. Formalizam a id´ eia de que os consumidores podem escolher e que essas escolhas s˜ ao consistentes em certo sen- tido.
[discutir estabilidade das preferˆ encias]
As preferˆ encias s˜ ao representadas por uma rela¸c˜ ao bin´ aria 1 , , definida em X tal que se x 1 x 2 , dizemos que x 1 ´ e prefer´ıvel ` a cesta x 2 (ou “pelo menos t˜ ao boa quanto”).
Os axiomas principais s˜ ao:
Axioma 1: Completeza. ∀x 1 , x 2 temos que ou x 1 x 2 ou x 1 x 2 (ou ambos) Axioma 2: Transitividade. ∀x 1 , x 2 , x 3 , temos que se x 1 x 2 e x 2 x 3 , ent˜ ao x 1 x 3
(E a reflexividade? ´ E uma implica¸c˜ ao da completeza... desde que as cestas sejam definidas sem ambig¨ uidade)
Defini¸ c˜ ao A rela¸ c˜ ao bin´ aria definida no conjunto de consumo X ´ e chamada uma rela¸ c˜ ao de preferˆ encia racional se satisfizer os axiomas 1 e 2. 2
1 Uma rela¸ c˜ ao bin´ aria definida em um conjunto X ´ e uma regra que define subconjuntos espec´ıficos de X × X.
2 Em alguns lugares (e.g., Debreu, 1959) utiliza-se o termo quase-ordem ou pr´ e-ordem para
uma rela¸ c˜ ao bin´ aria completa e transitiva. Destingue-se, desta forma, o conceito de pr´ e-ordem do
conceito de ordem em que, se usarmos o s´ımbolo < para representar a rela¸ c˜ ao bin´ aria, teremos x<y
e y<x = ⇒ x = y. A denomina¸ c˜ ao, por´ em, n˜ ao ´ e consensual, e ´ e poss´ıvel encontrar o termo quase
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 22 S˜ ao razo´ aveis as hip´ oteses. Alguns argumentam que sim utilizando o seguinte exemplo:
Dutch Game: Suponha que o indiv´ıduo I tenha a seguinte estrutura de preferˆ encias:
s h g s e que tenha uma dota¸c˜ ao inicial de g e m unidades monet´ arias.
Suponha que I esteja disposto a trocar g mais 11 reais por h. O indiv´ıduo R vende h para I em troca de onze reais e g. No pr´ oximo per´ıodo, R vende s para I em troca de h mais 25 reais e finalmente vende g para I em troca de s mais 15 reais. No final, I terminou com uma dota¸c˜ ao de g e m − 51 unidades monet´ arias.
Moral da hist´ oria: a intera¸c˜ ao entre indiv´ıduos racionais e irracionais no mercado tende a levar todos para as regi˜ oes transitivas de suas estruturas de preferˆ encias.
Minha opini˜ ao ´ e de que, a partir da vis˜ ao Friedmaniana da metodologia em ciˆ encia econˆ omica a pergunta carece de sentido. De fato, n˜ ao precisamos saber se os axiomas s˜ ao razo´ aveis. Basta ver se as previs˜ oes do modelo o s˜ ao.
A rela¸c˜ ao bin´ aria representa: x 1 x 2 → x 1 ´ e estritamente prefer´ıvel ` a x 2 (ou
“´ e melhor do que”). ´ E definida da seguinte maneira:
x 1 x 2 ⇐⇒ x 1 x 2 e x 2 x 1 .
A rela¸c˜ ao bin´ aria ∼ representa: x 1 ∼ x 2 → x 1 ´ e indiferente ` a x 2 . E definida da ´ seguinte maneira:
x 1 ∼ x 2 ⇐⇒ x 1 x 2 e x 2 x 1 .
Tome qualquer cesta x 0 ∈ X. Definimos, ent˜ ao, os seguintes conjuntos:
(x 0 ) ≡ {x|x ∈ X,x x 0 }, cestas ‘pelo menos t˜ ao boas quanto x 0 ’.
(x 0 ) ≡ {x|x ∈ X,x x 0 }, cestas ‘n˜ ao melhores do que x 0 ’.
(x 0 ) ≡ {x|x ∈ X,x x 0 }, cestas ‘melhores do que x 0 ’.
≺ (x 0 ) ≡ {x|x ∈ X,x ≺ x 0 }, cestas ‘piores do que x 0 ’.
∼ (x 0 ) ≡ {x|x ∈ X,x ∼ x 0 }, cestas ‘indiferentes a x 0 ’.
ordem para uma rela¸ c˜ ao bin´ aria reflexiva e completa. O termo ordenamento fraco ´ e ent˜ ao utilizado
se a pr´ e-ordem for tamb´ em completa.
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 23 Os conjuntos (x 0 ) , ≺ (x 0 ) e ∼ (x 0 ) particionam o conjunto X. Ou seja
i) (x 0 ) ∩ ≺ (x 0 ) = ∅; (x 0 ) ∩ ∼ (x 0 ) = ∅; ≺ (x 0 ) ∩ ∼ (x 0 ) = ∅; e ii) (x 0 ) ∪ ≺ (x 0 ) ∪ ∼ (x 0 ) = X
Axiomas adicionais garantem que as preferˆ encias sejam ’bem comportadas’.
Axioma 3: Continuidade. ∀x ∈ R n + , o conjunto das cestas pelo menos t˜ ao boas quanto x , (x) , e o conjunto das cestas que n˜ ao s˜ ao melhores que x, (x) , s˜ ao fechados em R n + .
Ou seja, uma seq¨ uˆ encia de cestas {x n } ∞ n=0 tais que x n x 0 ∀n e x n → x ∗ . Ent˜ ao x ∗ x 0 . 3
Axioma 4 0 : N˜ ao-saciedade local. ∀x 0 ∈ R n + e todo ε > 0, existe pelo menos um x ∈ B ε (x 0 ) ∩ R n + tal que x x 0 .
Axioma 4: Monotonicidade estrita. 4 ∀x 0 , x 1 ∈ R n + , se x 0 ≥ x 1 , ent˜ ao x 0 x 1 , e se x 0 x 1 , ent˜ ao x 0 x 1 .
Note que a hip´ otese de monotonicidade estrita n˜ ao ´ e violada quando dois bens s˜ ao complementares perfeitos.
Axioma 5 ’ : Convexidade. Se x 1 x 0 , ent˜ ao tx 1 + (1 − t) x 0 x 0 , para todo t ∈ [0, 1]
Uma maneira de pensar em convexidade ´ e imaginar que se uma cesta x 1 ´ e (fra- camente) melhor do que uma outra cesta x 0 , a cesta criada pela mistura das duas n˜ ao pode ser pior do que x 0 . Naturalmente podemos pensar em v´ arios exemplos em
3 O exemplo cl´ assico de preferˆ encias que violam continuidade s˜ ao as preferˆ encias lexicogr´ aficas.
De fato, ∀n ∈ N, (1/n, 0) (0, 1) , por´ em,
n−→∞ lim (1/n, 0) = (0, 0) ≺ (0, 1) .
4 Nota¸ c˜ ao: Para dois vetores x 0 e x 1 , escrevemos:
x 0 ≥ x 1 quando todos os elementos de x 0 forem maiores ou iguais aos correspondentes de x 1 x 0 > x 1 quando todos os elementos de x 0 forem maiores ou iguais aos correspondentes de x 1 , com pelo menos um elemento estritamente maior
x 1 x 0 quando todos os elementos de x 0 forem estritamente maiores aos correspondentes de
x 1 .
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 24 que este axioma ´ e violado, mas o adotaremos com freq¨ uˆ encia pois que ele no ser´ a particularmente ´ util quando formos estudar equil´ıbrio geral.
Axioma 5: Convexidade estrita. Se x 1 6= x 0 e x 1 x 0 , ent˜ ao tx 1 + (1 − t) x 0 x 0 , para todo t ∈ (0, 1)
2.2.1 Hip´ otese Comportamental
Agora acrescentamos o ´ ultimo elemento da nossa teoria da escolha: a hip´ otese comportamental.
Hip´ otese comportamental: consumidores “racionais” escolhem a melhor (de acordo com suas ordena¸c˜ oes de preferˆ encias) cesta x ∗ fact´ıvel (i.e., dentro do conjunto or¸cament´ ario B ):
x ∗ ∈ B tal que x ∗ x para todo x ∈ B
Chamaremos o problema acima de ‘o problema do consumidor’. A primeira per- gunta relevante ´ e: o problema do consumidor tem solu¸c˜ ao quando B ≡
x ∈ R n + ; px ≤ y ? Sim. Quando as preferˆ encias s˜ ao cont´ınuas, temos que, para todo x 0 o conjunto das cestas piores do que x 0 , ≺ (x 0 ), ´ e aberto em R n + . Suponha que o problema do consumidor n˜ ao tem solu¸c˜ ao, ent˜ ao todos os pontos x ∈ B fazem parte de um conjunto ≺ (x 0 ) em que x 0 ∈ B . Como todo x ∈ B pertence a um desses conjuntos
≺ (x 0 ), sob a hip´ otese de que o problema n˜ ao tem solu¸c˜ ao, temos que o conjunto desses conjuntos cobre B . Sendo B um conjunto compacto, essa cobertura admite uma subcobertura finita ≺ (x i ) i = 1, ..., n. 5 Ou seja podemos considerar uma uni˜ ao finita de conjuntos ≺ (x i ) que cont´ em o conjunto B . Tome x ∗ como a melhor escolha em {x i } n i=1 , ent˜ ao temos que todo os outros elementos de B s˜ ao piores do que x ∗ ∈ B , uma contradi¸c˜ ao.
5 Uma cobertura de um subconjunto B ⊂ R n ´ e ´ e uma fam´ılia de conjuntos {C λ } λ∈L ,C λ ⊂ R n para todo λ tal que B ⊂ S
λ∈L
C λ . Se todos os conjuntos C λ forem abertos dizemos que {C λ } λ∈L ´ e uma cobertura aberta de B . O que o teorema de Borel-Lebesgue nos garante ´ e que, se B for compacto, toda cobertura aberta de B admite uma sub-cobertura (i.e., uma subfam´ılia finita L 0 ⊂ L) tal que B ⊂ S
λ∈L
0C λ .
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 25 A solu¸c˜ ao ´ e ´ unica? Para isso precisamos de mais estrutura. Suponha que as preferˆ encias s˜ ao estritamente convexas, e suponha que x 0 e x 1 s˜ ao solu¸c˜ oes do problema do consumidor. Neste caso px 0 ≤ y e px 1 ≤ y, o que implica em p (λx 0 + (1 − λ) x 1 ) ≤ y. Mas por convexidade extrita λx 0 + (1 − λ) x 1 x 0 ∼ x 1 , uma contradi¸c˜ ao. Portanto a solu¸c˜ ao tem que ser ´ unica.
O que vamos mostrar a seguir ´ e que essa escolha pode ser convenientemente representada por um problema de “maximiza¸c˜ ao de utilidade”. Para tanto ser´ a necess´ ario definirmos a fun¸c˜ ao utilidade e discutirmos as condi¸c˜ oes que garantem a sua existˆ encia.
2.3 A Fun¸ c˜ ao Utilidade
Defini¸ c˜ ao Uma fun¸ c˜ ao u : R n + → R ´ e uma fun¸ c˜ ao utilidade que representa a rela¸ c˜ ao de preferˆ encias se ∀x 0 , x 1 ∈ R n + , u (x 0 ) ≥ u (x 1 ) ⇔ x 0 x 1 .
Se as preferˆ encias s˜ ao completas, transitivas e cont´ınuas, existe pelo menos uma fun¸c˜ ao utilidade cont´ınua que as representa.
Teorema 1 Se uma rela¸ c˜ ao de preferˆ encias, , pode ser representada por uma fun¸ c˜ ao u : X −→ R , ent˜ ao ´ e racional (i.e., completa e transitiva).
Demonstra¸ c˜ ao: i) Como u ´ e uma fun¸c˜ ao de X em R , para quaisquer x 0 e x 1 ∈ X, ou u (x 0 ) ≥ u (x 1 ) ou u (x 1 ) ≥ u (x 0 ) . Como u representa ent˜ ao ou x 0 x 1 ou x 1 x 0 . Portanto a rela¸c˜ ao ´ e completa. ii) Suponha x 0 x 1 e x 1 x 2 . Ent˜ ao u (x 0 ) ≥ u (x 1 ) e u (x 1 ) ≥ u (x 2 ) o que implica em u (x 0 ) ≥ u (x 2 ) . Como u representa ent˜ ao x 0 x 2 . Portanto a rela¸c˜ ao ´ e transitiva.
Teorema 2 Se ´ e completa, transitiva, cont´ınua e estritamente monotˆ onica, existe
uma fun¸ c˜ ao real cont´ınua u : R n + → R que representa .
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 26 Demonstra¸ c˜ ao: Vamos construir essa fun¸c˜ ao. Primeiro defina ι ≡ (1, ..., 1) ∈ R n + . Ent˜ ao, pegue qualquer x ∈ R n + e atribua a ele o n´ umero u (x) tal que a cesta u (x) ι ∼ x. Eis nossa fun¸c˜ ao utilidade. Temos somente que responder as seguintes quest˜ oes: i) Esse n´ umero existe?; ii) E ´ ´ unico?; iii) Ele representa as preferˆ encias?
Existˆ encia: Fixe x e defina os seguintes sub-conjuntos de R + , A ≡ {α ≥ 0|αι x} and B ≡ {α ≥ 0|αι x}
Continuidade de garante que os dois conjuntos A e B s˜ ao fechados em R + . 6 Por outro lado, monotonicidade estrita, garante que α ∈ A e α 0 ≥ α impliquem em α 0 ∈ A. Logo A ´ e um intervalo fechado do tipo [α, ∞). Por argumentos an´ alogos, B ´ e um intervalo do tipo [0, α]. Finalmente, completeza de garante que R + = A ∪ B = [0, α] ∪ [α, ∞). Isso s´ o ´ e poss´ıvel se α ≤ α, o que quer dizer que A ∩ B 6= ∅.
Ou seja, existe pelo menos um α ∗ tal que α ∗ ι x e α ∗ ι x, ou seja, α ∗ ι ∼ x.
Unicidade: Suponha que haja dois n´ umeros α ∗ e α ∗∗ tais que α ∗ ι ∼ x e α ∗∗ ι ∼ x.
Transitividade de ∼ garante que α ∗ ι ∼ α ∗∗ ι. Mas por monotonicidade estrita α ∗ = α ∗∗ .
Precisamos ainda mostrar que essa fun¸c˜ ao utilidade representa as preferˆ encias. Mas isso ´ e f´ acil. Considere duas cestas x 1 e x 2 e as utilidades associadas u (x 1 ) e u (x 2 ) . Ent˜ ao
x 1 x 2 ⇔
defini¸ c˜ ao u (x 1 ) ι ∼ x 1 x 2 ∼ u (x 2 ) ι
transitividade ⇔ u (x 1 ) ι u (x 2 ) ι
monotonicidade ⇔ u (x 1 ) ≥ u (x 2 )
Continuidade: Basta mostrar que a imagem inversa de qualquer bola aberta em R +
´ e um conjunto aberto em X. Primeiro note que uma bola aberta em R + nada mais
6 Seja {α n } ∞ n=0 uma seq¨ uˆ encia tal que α n ι ∈ % (x) ∀n e α n → α ∗ (donde, α n ι → α ∗ ι). Con-
tinuidade de % implica em que α ∗ ι ∈ % (x) . Logo α ∗ ∈ A.
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 27
´ e do que um intervalo (a, b) . Assim, u −1 ((a, b)) =
x ∈ R n + ; a < u (x) < b
=
x ∈ R n + ; aι ≺ u (x) ι ≺ bι
=
x ∈ R n + ; aι ≺ x ≺ bι
=
x ∈ R n + ; aι ≺ x ∩
x ∈ R n + ; x ≺ bι Note que
x ∈ R n + ; aι ≺ x ´ e o complementar de
x ∈ R n + ; aι % x que ´ e fechado por continuidade das preferˆ encias. ´ E portanto aberto em R n + . Racioc´ınio an´ alogo vale para
x ∈ R n + ; x ≺ bι . Portanto u −1 ((a, b)) ´ e a interce¸c˜ ao de dois conjuntos abertos donde ´ e um conjunto aberto.
Observa¸ c˜ ao 1. Na verdade, somente os Axiomas 1,2 e 3 s˜ ao estritamente necess´ arios (ver Debreu, 1959, cap. 4)
Observa¸ c˜ ao 2: Se existe pelo menos uma fun¸c˜ ao utilidade que representa as pre- ferˆ encias, existem infinitas, pois fun¸c˜ oes utilidade s˜ ao invariantes em rela¸c˜ ao a tran- forma¸c˜ oes monotˆ onicas. Se f : R → R ´ e estritamente crescente,
f
u x 0
≥ f
u x 1
⇔ u x 0
≥ u x 1
⇔ x 0 x 1
Observa¸ c˜ ao 3: Provamos que existem fun¸c˜ oes cont´ınuas que representam . Por´ em, nem toda representa¸c˜ ao de precisa ser cont´ınua. Basta tomar v (·) = f (u (·)) onde f ´ e mon´ otona descont´ınua.
Antes de avan¸carmos apresentaremos algumas defini¸c˜ oes que nos ser˜ ao bastante
´ uteis.
Defini¸ c˜ ao: Uma fun¸c˜ ao f : R n −→ R ´ e dita quase-cˆ oncava se f tx 0 + (1 − t) x 1
≥ min f x 0
; f x 1 t ∈ (0, 1)
Defini¸ c˜ ao: Uma fun¸c˜ ao f : R n −→ R ´ e dita estritamente quase-cˆ oncava se x 0 6= x 1
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 28 f tx 0 + (1 − t) x 1
> min f x 0
; f x 1 t ∈ (0, 1)
Algumas propriedades s˜ ao trivialmente verificadas:
u (x) ´ e estritamente crescente ⇔ ´ e estritamente monotˆ onica.
u (x) ´ e quase-cˆ oncava ⇔ ´ e convexa.
u (x) ´ e estritamente quase-cˆ oncava ⇔ ´ e estritamente convexa.
Finalmente, vale notar que se uma fun¸c˜ ao f : R n −→ R ´ e quase-cˆ oncava, e continuamente diferenci´ avel, ent˜ ao ∂ x f (x) (x 0 − x) ≥ 0 sempre que f (x 0 ) ≥ f (x) . De fato,
f (tx 0 + (1 − t) x) =f (t (x 0 − x) + x) ≥ f (x) = min {f (x) ; f (x 0 )}
= ⇒ f (t (x 0 − x) + x) − f (x) ≥ 0
dividindo por t e tomando limite com t −→ 0, temos ∂ x f (x) (x 0 − x) ≥ 0.
A interpreta¸c˜ ao geom´ etrica desse fato ´ e que o gradiente em x de uma fun¸c˜ ao quase-cˆ oncava faz um ˆ angulo agudo com todos os elementos do conjunto
A ≡ {x 0 ∈ R n ; f (x 0 ) ≥ f (x)} . Racionalidade
Vimos que por racionalidade entendemos simplesmente um processo pelo qual os indiv´ıduos escolhem elementos de um conjunto de alternativas, A, de acordo com os quatro elementos a que nos referimos.
Na maior parte das aplica¸c˜ oes de economia, por´ em, algum tipo de especializa¸c˜ ao da id´ eia de racionalidade ´ e requerida. Consideremos alguns exemplos.
Teoria da Utilidade Esperada: Define-se um conjunto X de prˆ emios e o conjunto A ´ e o conjunto de distribui¸c˜ oes de probabilidade sobre X. O axioma da independˆ encia imp˜ oe a restri¸c˜ ao de que as curvas de indiferen¸ca em A sejam retas paralelas.
Utilidade Esperada Subjetiva: Nela, define-se um conjunto de ’estados da na-
tureza’, S, e um conjunto de resultados, X. Uma fun¸c˜ ao que mapeia ’estados’ em
CAP´ ITULO 2. A ABORDAGEM DAS PREFER ˆ ENCIAS 29 resultados f : S −→ X ´ e um ato. O conjunto A neste caso ´ e o conjunto de ’atos’.
Uma rela¸c˜ ao de preferˆ encia no conjunto de atos A tem uma representa¸c˜ ao de utilidade esperada subjetiva se houver uma fun¸c˜ ao payoff definida em X e uma distribui¸c˜ ao de probabilidades p em S tal que f g ⇔ E p [v (f (s))] ≥ E p [v (g (s))] .
Apesar do compromisso dos economistas com o individualismo metodol´ ogico, n˜ ao
´ e absolutamente verdade a id´ eia de que a descri¸c˜ ao do indiv´ıduo seja totalmente pr´ e- social (usando a express˜ ao de Blume e Easley, 2007): em alguns casos n˜ ao ´ e verdade que os indiv´ıduos v˜ ao ao mercado com cren¸cas e preferˆ encias pr´ e-definidas. De fato, h´ a pelo menos dois tipos de modelos em que a pr´ opria defini¸c˜ ao do indiv´ıduo depende do resultado de equil´ıbrio.
Expectativas Racionais
Jogos n˜ ao-cooperativos
Cap´ıtulo 3
O Problema da Escolha do Consumidor
O cap´ıtulo anterior vimos que, dada a hip´ otese comportamental de que consumi- dores “racionais” escolhem a melhor (de acordo com suas ordena¸c˜ oes de preferˆ encias) cesta x ∗ fact´ıvel (i.e., dentro do conjunto or¸cament´ ario B ),o problema do consumidor pode ser escrito como
x ∗ ∈ B tal que x ∗ x para todo x ∗ ∈ B (3.1) Essa escolha pode ser convenientemente representada por um problema de “max- imiza¸c˜ ao de utilidade”. (Afinal, todo o esfor¸co feito na se¸c˜ ao anterior teria que ter alguma utilidade, certo?)
Assim,
x∈ max R
n+u (x) sujeito a y ≥ px (3.2)
A primeira quest˜ ao que devemos perguntar ´ e se uma solu¸c˜ ao existe. Como o problema (3.2) ´ e equivalente a (3.1) e como vimos que exite solu¸c˜ ao para (3.1) ent˜ ao exite solu¸c˜ ao para (3.2). Podemos, por´ em, oferecer uma prova direta.
Neste caso (Existˆ encia), perceba que B ≡
x ∈ R n + |y ≥ px ´ e um conjunto n˜ ao- vazio, e B ´ e fechado e limitado (portanto compacto), i.e., se y > 0 e os pre¸cos s˜ ao
30
CAP´ ITULO 3. O PROBLEMA DA ESCOLHA DO CONSUMIDOR 31 positivos. Se u (x) for cont´ınua (lembre-se que sempre podemos achar uma utilidade cont´ınua, desde que os axiomas 1-3 sejam v´ alidos), o Teorema de Weiertrass garante a existˆ encia de solu¸c˜ ao.
A segunda quest˜ ao ´ e: a solu¸c˜ ao para esse problema ´ e ´ unica (Unicidade)? A solu¸c˜ ao (ou argmax), x (p, y) , do problema (3.2) ´ e uma fun¸c˜ ao (e n˜ ao uma corre- spondˆ encia) se o Axioma 5 ´ e v´ alido.
Finalmente, gostar´ıamos de caracterizar essa solu¸c˜ ao. Para tanto, suporemos que u (x) ´ e diferenci´ avel e estritamente quase-cˆ oncava (axioma 5) para podermos aplicar o m´ etodo dos multiplicadores de Kuhn-Tucker:
1. Escreva o Lagrangeano,
L (x,λ, µ) = u (x) + λ [y − px] + µx.
2. Tire as condi¸c˜ oes de primeira ordem (para todo i = 1, ..., n),
∂ x
iL = ∂ x
iu (x ∗ ) − λ ∗ p i + µ ∗ i = 0.
3. Escreva as restri¸c˜ oes de n˜ ao-negatividade, y − px ∗ ≥ 0 e
x ∗ i ≥ 0 ∀i.
4. Escreva as condi¸c˜ oes de “complementary slackness”, λ ∗ [y − px ∗ ] = 0 e
µ ∗ i x ∗ i = 0 ∀i.
CAP´ ITULO 3. O PROBLEMA DA ESCOLHA DO CONSUMIDOR 32 5. Imponha a n˜ ao-negatividade dos multiplicadores
λ ∗ ≥ 0 e µ ∗ i ≥ 0 ∀i.
Perceba que o m´ etodo de Kuhn-Tucker tem v´ arios disfarces (ver MWG ou Kreps, appendix).
Em geral, essas s˜ ao apenas condi¸c˜ oes necess´ arias. Por´ em, dadas as nossas hip´ oteses de convexidade das preferˆ encias e do conjunto orcament´ ario, elas s˜ ao tamb´ em sufi- cientes.
Durante a maior parte do curso lidaremos com o caso em que n˜ ao precisamos nos preocupar com as restri¸c˜ oes de n˜ ao-negatividade. Al´ em disso, suporemos sempre monotonicidade, o que nos garante que a restri¸c˜ ao y ≥ px ∗ ser´ a sempre ativa. 1
Especializando ainda para o caso em que x ∗ 0, prodemos trabalhar com o Lagrangeano,
L (x,λ) = u (x) + λ [y − px] .
Vamos mostrar primeiramente que, se encontrarmos (x ∗ , λ ∗ ) com λ ∗ 6= 0 que resolvem o sistema.
∂ x
iL = ∂ x
iu (x ∗ ) − λ ∗ p i = 0
∂ λ L = y − px ∗ = 0
ent˜ ao x ∗ ´ e um ponto cr´ıtico de f (·) ao longo de y − px = 0.
Para ver que respeitamos y − px = 0 ´ e s´ o notar que ∂L/∂λ = y − px = 0.
Finalmente, considere qualquer varia¸c˜ ao permiss´ıvel. Neste caso, pdx = 0.
∂
xu (x ∗ ) dx − λpdx = ∂ x u (x ∗ ) dx = dL = 0.
1 Na verdade, n˜ ao-saciedade local ´ e suficiente. Sen˜ ao vejamos. Suponha que a escolha ´ otima x ∗
perten¸ ca ao interior de B (i.e., px ∗ < y). Ent˜ ao, existe ε > 0 tal que a bola aberta de raio ε e
centro em x ∗ , B ε (x ∗ ), est´ a contida em B . Mas n˜ ao-saciedade local garante que ∃ x o ∈ B ε (x ∗ ) tal
que x o x ∗ . Como B ε (x ∗ ) ⊂ B , x o ∈ B , contradizendo a hip´ otese de que x ∗ ´ e ´ otimo.
CAP´ ITULO 3. O PROBLEMA DA ESCOLHA DO CONSUMIDOR 33 Ou seja, x ∗ ´ e um ponto cr´ıtico de f (·) ao longo de y − px = 0.
Vamos agora mostrar que se (x ∗ , λ ∗ ) 0 resolve o sistema acima e u (·) ´ e quase- cˆ oncava, ent˜ ao x ∗ resolve o problema de maximiza¸c˜ ao do consumidor.
Suponha que n˜ ao. Isto ´ e, suponha que ∂ x u (x ∗ ) = λp, y = px ∗ , mas exista x o tal que u (x o ) > u (x ∗ ) e y ≥ px o . Por continuidade, existe α < 1 e x 0 = αx o tal que u (x 0 ) > u (x ∗ ) e y > px 0 . Mas, neste caso, p (x 0 − x ∗ ) < 0 = ⇒ ∂ x u (x ∗ ) (x 0 − x ∗ ) <
0, o que n˜ ao ´ e poss´ıvel se u (·) ´ e quase-cˆ oncava.
3.1 Utilidade Indireta, Fun¸ c˜ ao Gasto, Propriedades da Demanda
3.1.1 Utilidade Indireta
A fun¸c˜ ao de utilidade indireta tem por argumentos o vetor de pre¸cos, p, e a renda, y, do indiv´ıduo. Se as condi¸c˜ oes do Teorema de Weiertrass s˜ ao v´ alidas, o m´ aximo do problema abaixo existe e v(p, y) ´ e bem definida por meio de
v (p, y) ≡
( max x∈ R
n+
