Tensão (V) Tempo (s)

Descarga Interna e Tens~ao de Retorno

em Capacitores

Internaldischargeandreturnvoltageincapacitors

Ren^e Robert

Departamentode EngenhariaEletricadaUFPR

C.P.19047 Curitiba, PR,81531-990

Recebidoem7deDezembro2000. Manuscritorevisadoem23deAgosto2001. Aceitoem06deSetembro2001.

Osfen^omenosdedescargainternaetens~aoderetornoemcapacitoress~aocalculadosnocasoondea

respostadodieletricoedaformaexponencialnotempo.Comestahipoteseamatematicaenvolvida



esimpleseascaractersticasgeraisdosfen^omenosdehereditariedadepodemserseguidas.

The phenomenaof internal discharge and return voltages of capacitors are studied for the case

where the dielectric response intime domainis of exponentialtype. Themathematics involved

becomessuÆcientlysimpleandthegeneralfeatureoftheheredityphenomenamaybefollowed.

I Introduc~ao

No estudo de capacitores n~ao se mencionam alguns

fen^omenos que ocorrem normalmente em dieletricos

solidoselquidos. ConsidereocircuitodaFig. 1.

Car-regamosocapacitorCcolocandoachaveSnaposic~ao

1 durante um tempo sucientemente longo  e a

se-guir colocando a chaveS na posic~ao0, observa-se

ex-perimentalmente no eletr^ometroE que adiferenca de

potencialnasplacas docapacitordiminuimuito

lenta-mente. Estefen^omeno chama-sedescargainterna. Um

segundoexperimento consisteem secolocara chaveS

naposic~ao1duranteumintervalosucientementelongo

 easeguira chaveSecolocadanaposic~ao 2,isto e,

curto-circuitandoocapacitor durante um intervalo de

tempo dealgunssegundos,passandoent~aoachaveS

para a 0. A observac~ao do eletr^ometro E mostra que

adiferencadepotencialinicialmente nulaaumentaate

atingir umvalor maximo, queeuma frac~aoda tens~ao

depolarizac~ao,paraaseguirtenderazeromuito

lenta-mente. Estefen^omeno econhecidocomo tens~aode

re-tornopodeserdanosoparapessoasdesavisadasque

tra-balhameminstalac~oesdealtatens~aocomoporexemplo

bancosdecapacitores. NasFigs. 2e3mostra-se

esque-maticamenteosfen^omenosacimadescritos. Estesfatos

jaeramconhecidosdesdeoseculoXIX,quando

Hopkin-son(1877)[1]osestudouporsugest~aodeJ.C.Maxwell.

Na literaturatecnica estes eoutros fen^omenos

simila-resreceberamnomesdiversoscomoafter-eect[2],

pro-postoporL.Boltzmannnateoriaelastica,ouefeitosde

hereditariedade[3]propostoporV.Volterra.Doponto

devistadaeletricidadeestesfen^omenoss~ao

importan-tes poisest~ao relacionadoscomperdasdieletricas[4]e

mostramqueocapacitortemumcomportamento

razo-avelmentemaiscomplexoqueaqueledescritonoslivros

detexto.

B

E

S

1

2

0

C

Figura1. Circuitoeletrico usadoparaas medidas da

des-cargainternaedatens~aoderetornodocapacitorC.

0

1000

2000

3000

4000

0

2

4

6

8

10

T

ens

ã

o (V)

Tempo (s)

Figura2. Descargainternadeumcapacitordemicade1nF

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0

1

2

3

4

5

Te

n

s

ã

o (V)

Tempo (s)

Figura3. Tens~aoderetornodeum capacitordemicacom

C=0,68 tempo de polarizac~ap =30min, tempo de

curto-circuito=5seU

0 =102V.

Em1937B.Gross[5], apartirdeconsiderac~oesde

teoriadecircuitos,desenvolveuumformalismoque

per-mite calcularacorrente I(t) queatravessaodieletrico

de um capacitor de placas planas e paralelas, depois

de solicitadoporuma tens~aocontinuamente variavela

partirdoinstantet=0,aqualedadapela equac~ao

I(t)= U(t) R +C 0 dU(t) dt +I 0 (t)+ Z t 0 dU() d '(t )d; (1)

em que R e a resist^encia eletrica do dieletrico, C

0 a

capacit^ancia geometrica, '(t) uma func~ao que

carac-terizaodieletricochamadafunc~aorelaxac~aodieletrica

com as condic~oes de ser nula no innito e para

valo-res negativos do tempo, I

0 (t) = R 0 1 dU() d '(t )d

e a corrente gerada por todas as variac~oes de tens~ao

anteriores ao instante inicial, que traduz o fen^omeno

de hereditariedade epor estaraz~ao chamada corrente

hereditaria. Os dois problemas anteriormente

menci-onados, da descarga interna e da tens~ao de retorno

podem se resolvidos pela Eq. (1), bastando para tal

fazer acorrente externaI(t)=0. Desta formaobt

em-seumaequac~aointegro-diferencialparaafunc~aoU(t).

Uma soluc~ao para esta equac~ao integro-diferencial foi

obtida por B. Gross [5] quando a func~ao relaxac~ao

dieletricaedaforma'(t)='

0

exp( t), onde'

0 e

s~ao constantes que caracterizamodieletrico. Embora

os dieletricos reais n~ao sejam regidos poruma func~ao

relaxac~ao dieletrica deste tipo [6] os resultados

quali-tativoss~ao bons eamatematicaenvolvidae

razoavel-mente simples.

Nossoobjetivoemultiplo: em primeirolugar

mos-trar como a teoria de dieletricos pode ser tratada do

pontodevistafenomenologicodemaneiramaisprecisa

queaquelaencontradanormalmentenoslivrosdetexto;

segundo mostrar como resolver uma equac~ao

integro-diferencial usando como func~ao relaxac~ao dieletrica

umafunc~aoexponencialnotempo(Debye)ecomparar

osresultados obtidos comaqueles experimentais;

ter-ceiro,lembrarumpoucodahistoriadafsicanoBrasil

enfatizandoqueesteformalismofoi desenvolvido

inici-almente pelo prof. B.Gross; quarto lembrarque este

eumproblema classicoaindan~aoresolvido

completa-menteequeapresentagrandeinteressetecniconaarea

deenvelhecimento de materiais dieletricosem cabose

transformadores. Emsumaprocurou-sepopularizaros

efeitosdeumdieletricoreal,sejamelessolidos,amorfos

oucristalinosoulquidos.

II Desenvolvimento teorico

A partir do vetor densidade de corrente eletrica total

(densidadedecorrente ^ohmicamais densidadede

cor-rente de deslocamento), vamos deduzir a Eq. (1) a

partirde considerac~oesteoricasfenomenologicas.

Usa-se aqui a mesma conceituac~ao utilizada for R.

E. Tilley [7] que consiste em suporque apolarizac~ao

total do dieletrico num ponto seja composta de duas

partes: ~ P i (t) =  0  i ~

E(t); a qual responde ao campo

eletrico ~

E(t) de maneira quase instant^anea; ~ P s (t) =  o R 1 0  s () ~

E(t )d; polarizac~aolenta, queobedece

aosprincpiosdecausalidadeesuperposic~aoedepende

detodososcamposeletricospreviamenteexistentesao

instante t (videap^endice). Sendo ~ P(t)= ~ P i (t)+ ~ P s (t)

edenindoasuscetibilidadegeneralizadanoponto em

quest~ao pela equac~ao (t) = 

i

Æ(t)+

s

(t), pode-se

escreverovetorpolarizac~aototalpelaequac~ao

~ P(t)= 0 Z t 1 (t ) ~ E()d: (2)

A explicac~aoparaodesdobramentodapolarizac~ao

eletricaemduasparcelasestarelacionadaaosdiversos

mecanismospropostosparaofen^omenodepolarizac~ao

em um dieletrico, dos quais os mais importantes s~ao:

polarizac~ao eletr^onica, polarizac~ao i^onica; polarizac~ao

dipolar; polarizac~ao interfacial nos eletrodose nas

vi-zinhancasdeinomogeneidades;injec~aodecargas

indu-zindoefeitos de cargaespacial; tunelamento de

porta-dores de carga para armadilhas e salto de portadores

de cargade umestado localizadopara outro. Alguns

destesprocessoss~aoextremamenterapidoscomoocorre

napolarizac~ao eletr^onica e na polarizac~ao i^onica,

tra-duzidosatravesde 

i

, outross~ao mais lentos e s~aoos

responsaveispeloefeitosdehereditariedade,traduzidos

aquipor

s (t):

Supondoqueodieletricotemcondutividadeeletrica

eobedecealeideOhmpode-secalcularovetor

densi-dadedecorrenteeletricatotalqueedadopelaequac~ao

c ~ J(t)= ~ E(t)+ 0 (1+ i ) d ~ E(t) dt + 0 Z t  s (t ) d ~ E() d d: (3)

A Eq. (3) pode serparticularizada paraocasode umcapacitorcomdieletricohomog^eneo,deplacas planase

paralelasdeareaAeespessura`comacondic~aoA>>` 2 obtendo-se I(t)= U(t) R + 1 C 0 dU(t) dt +C 0 Z t 0  s (t ) dU() d d+I 0 (t); (4) d emque 0 eapermissividadedovacuo, 1 =1+ i e

a permissividade relativaa alta frequ^encia, C

0 =

0A

`

a capacit^ancia geometrica e I

0 (t) = C 0 R 0 1  s (t ) dU() d

d a corrente hereditaria gerada por todas as

variac~oes de tens~ao anteriores ao instante inicial. A

Eq. (4)e formalmentesemelhante aEq. (1)proposta

porB.Gross.

Nocasoparticulardecircuitoexternoaberto,I(t)=

0, e chamando (t) = dU(t)

dt

, aEq. (4) se transforma

numaequac~ao integralde Volterrade 2a. especie[8]e

podeserescritacomo

(t)+ Z t 0  + '(t ) C 1  ()d =f(t); (5) em que C 1 =  1 C 0 ,  = 1 RC 1 , '(t) = C 0  s

(t), chamadafunc~aorelaxac~aodieletricaef(t)=

h I 0 (t) C1 +(U)(0) i .

Para resolver a Eq. (5) vamos inicialmente

resol-veraequac~aodeVolterrafazendonosegundomembro

asubstituic~ao def(t) pela func~aodelta de DiracÆ(t).

Comestatransformac~aoobtem-se

G(t)+ Z t 0  + '(t ) C 1  G()d =Æ(t): (6) 

Efacilmostrarqueasoluc~aodaEq. (5) ca

deter-minadapelaequac~ao

(t)= Z

t

0

G(t )f()d : (7)

Consequentemente a soluc~ao da Eq. (4) ca na

forma U(t) U(0)= Z t 0 d Z  0 G(t )f()d: (8)

Usando como func~ao de relaxac~ao dieletrica a

mesma express~ao exponencial usadaporB.Gross[5] e

utilizandoometododastransformadasde Laplaceem

ambos osmembrosdaEq. (6)obtem-se

G(t)=Æ(t)+ +   exp(t)  +   exp(t); (9) emque = 1 2 (++)+ 1 2 p (++) 2 4; = 1 2 (++) 1 2 p (++) 2 4; e = ' 0 C 1 : Sendo  e U 0

, respectivamente o tempo ea tens~ao de

polarizac~ao, a Eq. (8) pode serresolvida com auxilio

daidentidade c Z x 0 dt Z t 0 '(t ) d () d d = (0) Z x 0 '(t)dt+ Z x 0 '(x t) (t)dt;

obtendo-separaatens~aodedescargainternaaequac~ao

U(t)= U 0     exp(t)  exp( )+ (+)   exp(t)  exp( )+ (+)   ; (10) d em que zemos f(t) = U 0 [+exp( (t+))] e U(0)=U 0 .

torno com tens~ao de polarizac~ao U

0

, tempo de

U(t)= U

0

exp( )

[1 exp( )][exp(t) exp(t)];

(11)

emquezemosf(t)=U

0

[exp( (t+)) exp( (t+

+))]eU(0)=0.

As Eqs. (4), (10)e (11) apresentamalgumas

con-sequ^enciasimportantesdopontodevistaexperimental:

-Omaximodatens~aoderetornonaEq. (11),ocorre

noinstantet 

= ln(=)

oqualindependedotempode

polarizac~aoedotempodecurto-circuito;

-AsEqs. (10)e(11)n~aos~aocompletamente

inde-pendentes. 

E possvel deduzir uma apartir deoutra.

Considere aEq. (10)aplicada adoistemposde

pola-rizac~ao

1 e

2

. Porsubtrac~aoobtem-seaEq. (11)para

umtempodepolarizac~ao= 1  2 etempodecurto circuito = 2

. Estapropriedadefoi mostradateorica

eexperimentalmenteporB.Gross[9];

- Polarizandoo dieletrico durante um intervalo de

tempo aEq. (4)permitecalcularacapacit^ancia

C()=C 1 + Z 1 0 '(t)dt Z 1 0 '(t+)dt; (12)

a qual depende do tempo de polarizac~ao. Quando

 !1obtem-se C(1)=C 1 + Z 1 0 '(t)dt; (13) em que a parcela R 1 0 '(t)dt = ' 0  e chamada

capa-cit^anciaan^omala;

-Umcasointeressante ocorrequandoodieletricoe

umisolanteperfeito, istoe,R!1. Nestascondic~oes

asEqs. (10)e(11)setransformamrespectivamenteem

U(t)= U 0 + fexp( )[exp( (+)t) 1]++g; (14) U(t)= U 0 exp( ) + (1 exp( (+)t)): (15)

Quandoacargadocapacitorforcompleta,!1,

vericamosqueocapacitorn~aosofredescargainternae

atens~aoderetorno,aposumintervalodetempomuito

grandeatingeovalor U0

+

exp( ). Esteresultadonos

dizqueotermodaresist^encianacorrentetotalpromove

adescargainternaeseop~oeatens~aoderetornolevando

estaazero.

III Resultados numericos

A Fig. 4 mostra oajuste da Eq. (11) comos dados

experimentaisobtidosparaatens~aoderetornoemum

lme de polietileno com eletrodosde alumnio, tempo

depolarizac~ao =15h,50min, tempode curto-circuito

=5s e tens~ao U

0

=158,4V. Este ajuste permite obter

os par^ametros que aparecem na Eq. (11). A Fig. 5

mostraoajuste daEq. (10)comosdados

experimen-taisdacurvadedescargainternaparaamicamoscovita

comeletrodosde prata. Otempodepolarizac~ao para

este caso e =20h e a tens~ao U

0

=9,55V. Da mesma

forma que no caso anterior oajuste permite obter os

par^ametros da Eq. (10). Embora a teoria aqui

de-senvolvidan~aosejaquantitativamentecorretaela

apre-sentaumbomresultadodopontodevistaqualitativo.

AtabelaImostraosresultadosdoajustecomosdados

experimentais,emunidadesdoSistemaInternacional.

0

2000

4000

6000

8000

10000

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

valores experimentais

ajuste

Te

n

s

ã

o (

V

)

Tempo (s)

Figura 4. Tens~ao de retorno em um lme de polietileno

com=15h50min=5s eU0=158,4V. Acapacit^anciada

amostraede332pF.

0

2000

4000

6000

8000

10000

0

2

4

6

8

10

valores experimentais

ajuste

Vol

ta

g

e

(V

)

Time (s)

Figura5. Descarga internaemumaamostrademica

mos-covita comeletrododeprata =20 h,U0=9,55 V.A

Dieletrico (s 1 ) (s 1 ) (s 1 ) R () ' 0 (S) Polietileno 0,0001158 0,0018241 0,0000948 1,5910 12 3,310 14 Mica 0,0003637 0,0008782 0,0002893 3,7310 12 8,810 14

AFig. 6mostraatens~aoderetornoemumlmede

polietileno para dois tempos de polarizac~ao diferentes

=1e =1800scomtempodecurto-circuito=5s.

AFig. 7mostraatens~aodedescarga internapara

aamostrademicamoscovitapara doistemposde

po-larizac~aodiferentes

1 e

2

=5s. Mostra-sequepela

di-ferencadasduascurvasdedescargainternaobt^em-sea

tens~aoderetornopara=1795se=5s.

A Fig. 8 mostra as curvasde tens~ao de retornoe

descarga interna em um dieletrico perfeito (R ! 1)

paradoistempos depolarizac~aonitosedistintos.

0

2000

4000

6000

8000

10000

0

1

2

3

4

Te

n

s

ã

o (V)

Tempo (s)

Figura6. Tens~aoderetornocalculadaparadoistemposde

polarizac~ao, =1e=1800semumaamostra de

polieti-lenocomtempodecurto-circuito=5s. Tens~aoU0=100V.

0

2000

4000

6000

8000

10000

0

20

40

60

80

100

ξ

=1795s

η

=5s

ξ

=5s

ξ

=1800s

Tens

ã

o (

V

)

Tempo (s)

Figura 7. Descarga interna calculada para dois diferentes

temposdepolarizac~ao,1=1800e2=5semumaamostrade

micamoscovitacomtens~aoU0=100V.Atens~aoderetorno

foi obtida peladiferenca entre as duascurvas de descarga

0

2000

4000

6000

8000

10000

0

20

40

60

80

100

T

ens

ã

o (

V

)

Tempo (s)

ξ

=1800s

ξ

=18000s

ξ

=1800s

η

=5s

ξ

=18000s

η

=5s

Figura8. Tens~aoderetornoe descargainternaemum

ca-pacitordepolietilenonahipotesedesuaresist^enciaeletrica

serR=1comtempodepolarizac~aonitos.

IV Conclus~ao

Embora a grande maioria dos materiais n~ao possua

func~aorelaxac~aodieletricadeformaexponencial,os

re-sultadosqueseobtems~aoqualitativamentecompatveis

com os experimentos. Seu interesse reside

especial-mente na simplicidade matematica envolvida. A Eq.

(4) permiteobter, quando douso de tens~ao alternada

senoidaldefrequ^encia!,apermissividaderelativa

com-plexa de Debye[10], sendo 1= otempo de relaxac~ao.

Do ponto de vista didatico este formalismo e

interes-santepoispermiteobterarespostadeumdieletriconos

domniosdotempoefrequ^enciasemousode

transfor-mada de Fourier, alem de permitir asimulac~ao desta

resposta.



E interessante citar que ate aEq. (8) asoluc~aoe

geral podendo seraplicada a outrasformas da func~ao

relaxac~ao dieletrica mais realistas tais como aquelas

propostasporCurie-Schweidler,Jonscher,Dissado-Hill

etc. O mesmo formalismo pode ser usado em

ou-tras areas, como hereditariedade mec^anica

(viscoelas-ticidade)emateriaismagneticos[2].

References

[1] J. Hopkinson, \Residual Discharge of Layden Jar",

Phil.Trans.,London,167,599(1877).

[2] J.L.SnoekandF.K.duFay,Severalafter-eects

Phe-nomenaandresidualLossesinAlternatingFields,

Phi-lipsTechnicalReviewvol.8,n.2,Feb.(1946).

[4] B.Gross,\OntheTheoryofDielectricLoss,"Physical

Review,59,748(1941).

[5] B.Gross, 

UberdieAnomalienderFastenDielektrika,

Zeitschrift Fur Physik 107, 217 (1937). B. Gross e

P.Rocha, Estudos sobreDieletricos, An. Acad.Bras.

Cien.,tomoIX,n.3,187, (1937).B.GrosseP.Rocha,

Estudos sobre Dielectricos II,An. Acad. Bras. Cien.,

tomoIX,n.4,309, (1937).

[6] L.A.DissadoandR.M.Hill,\NonExponencialDecay

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[7] D.E.Tilley, APhenomenological Theory ofDielectric

Response,J.ofAppl.Physics,38,2543(1967).

[8] F.M. deOliveiraCastro,\OnTheIntegro-Dierential

Equation of an Absorptive Capacitors", An. Acad.

Bras.Cien. 57,275(1985).

[9] B.Gross,\On TheAfter-EectsinSolidDielectrics",

PhysicalReview,57,57(1940).

[10] H. Frohlich,Theory of Dielectrics, Oxford University

Press, Oxford,(1990),p.73.

Ap^endice

Relac~ao entre estmulo e resposta

Considere umdieletricoonde seaplica no instante

t 

k

umestmuloemformadepulsodecampoeletrico

~

E(t 

k

). Seja
~

P(t) aresposta empolarizac~ao

me-dida noinstante tconformemostraaFig. 9. Supondo

existirlinearidade entre a respostae oestimulo

pode-mosescrever
~ P(t)= 0
( k ) ~ E(t  k ); (A:1) emque 0  eapermissividadedovacuoe
( k )um

es-calarquerepresentacomoapolarizac~aodecaiparazero

notempo,aposaaplicac~aodopulsodecampoeletrico.

Tempo

Polarização

t

t-λ

E(t-λ)

∆P(t)

O

Figura 9. Resposta do dieletrico no instante t devido ao

pulsodecampoeletriconoinstantet .

Aplicando agora uma sequ^encia nita de pulsos e

admitindoavalidezdoprincpiodesuperposic~ao

pode-mosescrever ~ P(t)= N X k =1  0
( k ) ~ E(t  k ); (A:2)

a qual para um sistema continuo de pulsos se

trans-formaem ~ P(t)= 0 Z 1 0  s () ~ E(t )d: (A:3)

A xac~ao dos extremosda integral (III) esta

rela-cionada ao princpio de causalidade sendo 

s

() = 0

quando  < 0. Uma propriedade adicional deve ser

feita,

s