UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´IBA CENTRO DE INFORM ´ATICA PROGRAMA DE P ´OS-GRADUA ¸C ˜AO EM INFORM ´ATICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA´ IBA CENTRO DE INFORM ´ ATICA

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUA ¸ C ˜ AO EM INFORM ´ ATICA

JOS´ E FAGNER RODRIGUES MEDEIROS

ESTRAT´ EGIAS DE RESOLU ¸ C ˜ AO EXATA PARA O PROBLEMA DO CORTE GLOBAL ROTULADO M´INIMO

Jo˜ ao Pessoa

2020

ESTRAT´ EGIAS DE RESOLU ¸ C ˜ AO EXATA PARA O PROBLEMA DO CORTE GLOBAL ROTULADO M´INIMO

Disserta¸c˜ ao apresentada ao Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Inform´ atica do Cen- tro de Inform´ atica da Universidade Fe- deral da Para´ıba, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do Grau de Mestre em In- form´ atica.

Orientador: Prof. Dr. Gilberto Farias de Sousa Filho Coorientador: Prof. Dr. Thiago Gouveia da Silva

Jo˜ ao Pessoa

2020

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE INFORMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM INFORMÁTICA

Ata da Sessão Pública de Defesa de Dissertação de Mestrado de José Fagner Rodrigues Medeiros, candidato ao título de Mestre em Informática na Área de Sistemas de Computação, realizada em 06 de julho de 2020.

Aos seis dias do mês de julho do ano de dois mil e vinte, às quatorze horas, por meio de 1

videoconferência, reuniram-se os membros da Banca Examinadora constituída para julgar o 2

José Fagner Rodrigues Medeiros, vinculado a esta Universidade sob a matrícula nº 3

20181000920, candidato ao grau de Mestre em Informática, na área de “Sistemas de 4

Computação”, na linha de pesquisa “Computação Distribuída”, do Programa de Pós- 5

Graduação em Informática, da Universidade Federal da Paraíba. A comissão examinadora 6

foi composta pelos professores: Gilberto Farias de Sousa Filho (PPGI-UFPB) Orientador e 7

Presidente da Banca, Lucídio dos Anjos Formiga Cabral (PPGI-UFPB), Examinador Interno, 8

Teobaldo Leite Bulhões Junior (UFPB), Examinador Externo ao Programa, Thiago Gouveia 9

da Silva (IFPB), Examinador Externo à Instituição. Dando início aos trabalhos, o Presidente 10

da Banca cumprimentou os presentes, comunicou aos mesmos a finalidade da reunião e 11

passou a palavra ao candidato para que o mesmo fizesse a exposição oral do trabalho de 12

dissertação intitulado: “Estratégias de Resolução Exata para o Problema do Corte Global 13

Rotulado Mínimo”. Concluída a exposição, o candidato foi arguido pela Banca Examinadora 14

que emitiu o seguinte parecer: “aprovado”. Do ocorrido, eu, Ruy Alberto Pisani Altafim, 15

Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Informática, lavrei a presente ata que vai 16

assinada por mim e pelos membros da banca examinadora. João Pessoa, 06 de julho de 17

2020.

18

Prof. Dr. Ruy Alberto Pisani Altafim

Prof.

Gilberto Farias de Sousa Filho

Orientador (PPGI-UFPB)

_________________________________

Prof.

Lucídio dos Anjos Formiga Cabra

UFPB

_________________________________

Prof.

Teobaldo Leite Bulhões Junior

UFPB

_________________________________

Prof.

Thiago Gouveia da Silva

Examinador Externo à Instituição (IFPB)

_________________________________

M488e Medeiros, José Fagner Rodrigues.

Estratégias de resolução exata para o problema do corte global rotulado mínimo / José Fagner Rodrigues

Medeiros. - João Pessoa, 2020.

56 f. : il.

Orientação: Gilberto Farias de Sousa Filho Sousa Filho.

Coorientação: Thiago Gouveia da Silva Silva.

Dissertação (Mestrado) - UFPB/CI.

1. Grafos com arestas rotuladas. 2. Conectividade. 3.

Programação matemática. I. Sousa Filho, Gilberto Farias de Sousa Filho. II. Silva, Thiago Gouveia da Silva.

III. Título.

UFPB/BC

RESUMO

Neste trabalho, abordamos o Problema do Corte Global Rotulado M´ınimo (PCG- RM), que ´ e um problema de an´ alise combinat´ oria e pode ser definido formalmente como:

seja G = (V, E, L) um grafo com arestas rotuladas, no qual V ´ e o conjunto de v´ ertices de G, E ´ e o conjunto de arestas, L ´ e o conjunto de r´ otulos (cores) sobre E e cada aresta e ∈ E possui um r´ otulo L(e) associado; o PCGRM tem como objetivo encontrar um subconjunto de r´ otulos L

⊆ L de modo que o grafo G = (V, E

, L\L

) seja desconexo e |L

| seja mi- nimizado. Ent˜ ao, com o objetivo de solucionar este problema, desenvolvemos algumas estrat´ egias de resolu¸c˜ ao exata, estendemos e adaptamos os conceitos de fecho crom´ atico, e desenvolvemos uma nova fam´ılia de formula¸c˜ oes matem´ aticas chamada MF

. Para cons- tru¸c˜ ao do MF

, tivemos como base um modelo presente na literatura chamado P ART

, que ´ e definido em Silva et al (2016). Os experimentos computacionais demonstraram que o modelo proposto neste trabalho obteve uma grande melhoria de tempo em rela¸c˜ ao ao modelo P ART

.

Palavras-chave: grafos com arestas rotuladas, branch-and-cut, conectividade.

In this work, we approach the Minimum Labeling Global Cut Problem (MLGCP), which is a combinatorial analysis problem and can be formally defined as: Let G = (V, E, L) be an edge-labeled graph in which V is the set of vertices of G, E is the set of edges, L is the set of labels (colors) on E and each edge e ∈ E has a label L(e) associated;

The goal of MLGCP is to find a subset L

⊆ L of labels such that G = (V, E

, L\L

) is not connected and |L

| is minimized. So, in order to solve this problem, we developed some strategies for exact resolution, extended and adapted the concept of chromatic closure, and developed a new family of mathematical formulations called MF

. For the construction of the MF

, we were based on a model present in literature called P ART

, defined in Silva et al (2016). The computational experiments demonstrated that the model proposed in this work obtained a great improvement of time compared to the P ART

model.

Keywords: edge-labeled graphs, branch-and-cut, connectivity.

4

SUM ´ ARIO

1 INTRODU ¸ C ˜ AO 9

1.1 Defini¸c˜ ao do Tema . . . . 10

1.2 Justificativa . . . . 10

1.3 Objetivos . . . . 12

1.3.1 Objetivo Geral . . . . 12

1.3.2 Objetivos Espec´ıficos . . . . 12

1.4 Estrutura do Trabalho . . . . 13

2 FUNDAMENTA ¸ C ˜ AO TE ´ ORICA E REVIS ˜ AO DA LITERATURA 14 2.1 Teoria dos Grafos . . . . 14

2.1.1 Conceitos B´ asicos . . . . 14

2.1.2 Representa¸c˜ ao de Grafos . . . . 17

2.1.3 Algoritmos de Busca em Grafos . . . . 18

2.2 M´ etodo Branch-and-Bound para Resolu¸c˜ ao de PLIM . . . . 22

3 M´ ETODOS DA LITERATURA PARA O PCGRM 27 3.1 Trabalhos Relacionados . . . . 27

3.2 Modelos de Programa¸c˜ ao Linear Inteira Mista para o PCGRM . . . . 28

3.2.1 P ART

. . . . 29

3.2.2 P3E . . . . 30

3.2.3 EAC . . . . 31

3.3 Heur´ısticas para o PCGRM . . . . 32

3.3.1 Algoritmo Gen´ etico, VNS e MultiVND . . . . 32

3.3.2 VNS-Greedy e VNS-Probabilistic . . . . 34

4 MODELO MF

36 4.1 Fecho crom´ atico . . . . 36

4.1.1 Defini¸c˜ ao . . . . 36

4.1.2 Extens˜ ao do Fecho Crom´ atico . . . . 38

4.2 Formula¸c˜ ao MF

. . . . 41

4.3 Algoritmo branch-and-cut . . . . 42

4.4 Estrat´ egias pr´ e-branching . . . . 43

5 EXPERIMENTOS COMPUTACIONAIS 46 5.1 Compara¸c˜ ao entre P ART

e MF

. . . . 46

6 CONCLUS ˜ AO 52

6

LISTA DE FIGURAS

1.1 Instˆ ancia exemplo para o PCGRM. . . . 10

1.2 Exemplo do PCGRM aplicado ao sistema de planejamento de transporte. . 12

2.1 Exemplo de grafos G e H. . . . 15

2.2 Exemplo de grafo com la¸ co e arestas paralelas. . . . 15

2.3 (a) grafo completo, (b) grafo bipartido completo, (c) grafo estrela. . . . 16

2.4 Exemplo de subgrafo. . . . 16

2.5 (a) Caminho de tamanho trˆ es, (b) Ciclo de tamanho cinco. . . . 17

2.6 (a) grafo conexo, (b) grafo desconexo. . . . 17

2.7 (a) Grafo exemplo, (b) lista de adjacˆ encias. . . . . 18

2.8 Execu¸c˜ ao do algoritmo BFS . . . . 20

2.9 Execu¸c˜ ao do algoritmo DFS . . . . 23

2.10 ´ Arvore B&B. . . . . 24

2.11 Solu¸c˜ ao gr´ afica do exemplo (P). . . . 25

2.12 Espa¸co de solu¸c˜ oes de (P

) e (P

). . . . 25

2.13 ´ Arvore B&B do problema (P). . . . 26

3.1 Arvore de cobertura contida na instˆ ´ ancia exemplo do PCGRM. . . . . 31

4.1 Exemplos de fechos transitivo e crom´ atico. (a) O grafo de arestas r´ otuladas G = (V, E, L). (b) O fecho transitivo do r´ otulo F . (c) O fecho crom´ atico do grafo G. . . . . 37

4.2 Exemplos de fechos transitivo e crom´ atico d. (a) O grafo de arestas r´ otula- das G = (V, E, L). (b) O fecho crom´ atico 4. (c) O fecho crom´ atico 3. (d) O fecho crom´ atico 2. (e) O fecho crom´ atico 0. (f ) O fecho crom´ atico *. . . 39

4.3 Exemplo do algoritmo pre-branching. . . . 44

4.4 Exemplo do algoritmo pre-branching percorrendo todas a solu¸c˜ oes poss´ıveis 44

LISTA DE TABELAS

2.1 Matriz de adjacˆ encias A

. . . . 18

4.1 Matriz de distˆ ancias D

do subgrafo G[{B}] . . . . 40

5.1 Resultados computacionais dos modelos P ART

e MF

. . . . 47

5.2 Resultados computacionais para as instˆ ancias |V | = 100 e d = ld . . . . 47

5.3 Resultados computacionais para as instˆ ancias |V | = 100 e d = md . . . . . 48

5.4 Resultados computacionais para as instˆ ancias |V | = 100 e d = hd . . . . . 48

5.5 Resultados computacionais para as instˆ ancias |V | = 200 e d = ld . . . . 48

5.6 Resultados computacionais para as instˆ ancias |V | = 200 e d = md . . . . . 49

5.7 Resultados computacionais para as instˆ ancias |V | = 200 e d = hd . . . . . 50

5.8 Resultados do algoritmo pre-branching . . . . 50

5.9 Resultados computacionais do MF

para as instˆ ancias com |V | = 100 . . . 50

5.10 Resultados computacionais do MF

para as instˆ ancias com |V | = 200 . . . 51

LISTA DE SIGLAS

GAR Grafos com Arestas Rotuladas

PCGRM Problema do Corte Global Rotulado M´ınimo

PAGRM Problema da ´ Arvore Geradora com Rotula¸c˜ ao M´ınima PERM Problema do Emparelhamento Rotulado M´ aximo PCVC Problema do Caixeiro Viajante Colorido

PCCM Problema do Corte Colorido M´ınimo PCGM Problema do Corte Global M´ aximo PART2 Modelo Baseado em Particionamento

P3E Modelo Baseado em Agrupamento de V´ ertices EAC Modelo Baseado em Elimina¸c˜ ao de ´ Arvores B&B Branch-and-Bound

B&C Branch-and-Cut

VND Variable Neighborhood Descent VNS Variable Neighborhood Search

MVCA Maximum Vertex Covering Algorithm

PLIM Programa¸c˜ ao Linear Inteira Mista

PLI Programa¸c˜ ao Linear Inteira

PL Programa¸c˜ ao Linear

Problemas definidos sobre Grafos com Arestas Rotuladas (coloridas) (GAR) tˆ em atra´ıdo bastante aten¸c˜ ao nos ´ ultimos anos. Nestes grafos, em vez de peso, cada aresta possui um r´ otulo (ou cor) associado. Um problema cl´ assico e certamente o mais estudado dentre os problemas definidos sobre GAR ´ e o Problema da ´ Arvore Geradora com Rotula¸c˜ ao M´ınima (PAGRM), proposto por Chang e Leu (1997). Esse problema consiste em, dado um GAR, encontrar uma ´ arvore geradora que utilize o menor n´ umero de r´ otulos.

V´ arios trabalhos despertaram o interesse em pesquisas envolvendo GAR. Estes s˜ ao encontrados na literatura, como o Problema do Emparelhamento Rotulado M´ aximo (PERM) (Carrabs et al, 2009), Problema do Clique Rotulado M´ aximo (Carrabs et al, 2014), Problema de Cobertura do Ciclo do Arco-´ıris (Silvestri et al, 2016) e Problema do Caixeiro Viajante Colorido (PCVC) (Xiong et al, 2007). Informa¸c˜ oes sobre outros problemas definidos sobre grafos rotulados podem ser encontrados na revis˜ ao realizada por Granata et al (2013) e na Tese de Silva (2019).

Neste trabalho apresentamos algumas defini¸c˜ oes e conceitos de fecho crom´ atico, que ´ e um nova maneira de representar GARs. Este conceito foi proposto na tese de Silva (2019) sendo estendido e adptado para o objetivo desta pesquisa. Dado o conceito de fecho crom´ atico, propomos uma nova fam´ılia de formula¸c˜ oes matem´ aticas chamada MF

, que

´

e um modelo de Programa¸c˜ ao Linear Inteira Mista (PLIM), para resolver o Problema do Corte Global Rotulado M´ınimo (PCGRM). Ainda como contribui¸c˜ oes, desenvolvemos um algoritmo branch-and-cut (B&C) para resolver o MF

e algumas estrat´ egias de branching.

Por fim, os experimentos computacionais realizados demonstram que o modelo

MF

obteve uma grande melhoria de tempo em rela¸c˜ ao ao modelo P ART

, tornando-

se, com o melhor do nosso conhecimento, o modelo exato com melhores resultados para o

problema.

10 1.1 Defini¸c˜ ao do Tema

Nesta se¸c˜ ao introduzimos algumas defini¸c˜ oes e conceitos b´ asicos do PCGRM.

O PCGRM ´ e um problema de Otimiza¸c˜ ao Combinat´ oria e tem aplica¸c˜ oes em dife- rentes ´ areas. Este problema tem como entrada um GAR conexo n˜ ao orientado e o objetivo

´

e encontrar o menor n´ umero de r´ otulos no grafo tal que a retirada das arestas associadas a estes r´ otulos resulte em um grafo desconexo. A Figura 1.1 ilustra o problema: na Figura 1.1(a) temos o grafo de entrada, a Figura 1.1(b) exibe um corte composto pelos r´ otulos E e F e a Figura 1.1(c) mostra que o grafo sem os r´ otulos do corte ´ e desconexo.

Figura 1.1: Instˆ ancia exemplo para o PCGRM.

Formalmente, o PCGRM pode ser descrito como: dado um grafo n˜ ao orientado G = (V, E, L), sendo V o conjunto de v´ ertices de G, E o conjunto de arestas e L o conjunto de r´ otulos (cores) sobre E, onde cada aresta e ∈ E possui um r´ otulo L(e) associado; o objetivo ´ e encontrar um conjunto de r´ otulos L

⊆ L tal que o grafo G = (V, E, L\L

) seja desconexo e |L

| seja minimizado.

Zhang (2014) demonstra que o PCGRM pode ser resolvido em tempo polinomial em alguns casos especiais, isto ´ e, quando o parˆ ametro f

´ e limitado, onde o autor define f

como sendo o n´ umero m´ aximo de aparˆ encias de um r´ otulo no grafo de entrada, quando a largura em ´ arvore ´ e limitada e o grafo de entrada ´ e planar. A complexidade computacional deste problema ainda continua como uma quest˜ ao te´ orica em aberto (Xu e Farag´ o, 2019).

1.2 Justificativa

Nos ´ utimos anos, com a dissemina¸c˜ ao de redes multicamadas MPLS e IP/WDM,

v´ arios cen´ arios de falhas se tornaram inevit´ aveis (Coudert et al, 2007). Ent˜ ao, dado este

cen´ ario, desenvolver redes com um n´ıvel baixo de vulnerabilidade, se tornou um aspecto

de suma importˆ ancia quando falamos em projetar redes. Farag´ o (2006) define como quan- tificar a vulnerabilidade de uma rede: seja uma topologia de rede modelada por um grafo conexo n˜ ao orientado, e considerarmos falhas de link, a medi¸c˜ ao da vulnerabilidade desta rede ´ e o tamanho de um corte m´ınimo, isto ´ e, remover o n´ umero m´ınimo de arestas (links) para desconectar o grafo. Essa medi¸c˜ ao ´ e chamada de conectividade do grafo. Ent˜ ao, podemos observar, que quanto menos falhas de links puderem desconectar a rede, mais vulner´ avel a rede ser´ a.

Um fator importante em rela¸c˜ ao a falhas de link ´ e que, em muitos cen´ arios, v´ arios conjuntos de links s˜ ao propensos a falhas simultˆ aneas. Por exemplo, em uma rede Wireless, todos os enlaces em uma certa frequˆ encia podem ser derrubados por um advers´ ario adici- onando um forte sinal de ru´ıdo. Farag´ o (2006) lista outros exemplos de falhas simutˆ aneas de links. Citamos alguns destes:

• Se, em uma rede sem fio, um advers´ ario transmite um sinal de interferˆ encia em uma determinada ´ area, todos os links pr´ oximos o suficiente provavelmente falham juntos;

• Se um n´ o for destru´ıdo, todos os links adjacentes falhar˜ ao;

• Se os links funcionarem em diferentes bandas de frequˆ encia em uma rede sem fio, o bloqueio de uma banda de frequˆ encia em uma determinada ´ area poder´ a inibir todos os links na ´ area que usam a determinada faixa de frequˆ encia, enquanto outros podem permanecer intactos;

• Em uma rede com fio, v´ arios cabos podem compartilhar seu caminho f´ısico no mesmo duto. Nesse caso, se o duto estiver danificado, ´ e prov´ avel que todos os cabos nele falhem juntos;

• Se existirem redes l´ ogicas de sobreposi¸c˜ ao em uma rede f´ısica, v´ arios links l´ ogicos poder˜ ao usar o mesmo link f´ısico. Ent˜ ao, a falha de um ´ unico link f´ısico pode resultar na falha de um conjunto (possivelmente grande) de links l´ ogicos, que naturalmente falham juntos.

Portanto, o PCGRM est´ a intimamente relacionado ` a vulnerabilidade de redes mul- ticamadas e tem como objetivo medir a conectividade da rede quando seus links possuem riscos compartilhados de falha (Coudert et al, 2007, 2016).

Al´ em de vulnerabilidade de redes, este problema pode ser aplicado em sistemas de

planejamento de transporte p´ ublico de ˆ onibus, onde as regi˜ oes servidas por ˆ onibus s˜ ao

12 os v´ ertices, as linhas que ligam as regi˜ oes s˜ ao as arestas e as empresas prestadoras do servi¸co s˜ ao os r´ otulos. Seguindo este escopo, a solu¸c˜ ao do problema ´ e fornecer um n´ umero m´ınimo de empresas que ao pararem de trabalhar desconectam duas regi˜ oes, tornando-as inacess´ıveis entre si.

A Figura 1.2 ilustra a aplica¸c˜ ao do PCGRM em sistemas de planejamento de trans- porte. O conjunto dos r´ otulos L = {A, B, C, D, E, F } representa as empresas prestadoras do servi¸co p´ ublico e o conjunto dos v´ ertices V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} representa as regi˜ oes do mapa.

Figura 1.2: Exemplo do PCGRM aplicado ao sistema de planejamento de transporte.

1.3 Objetivos

Nesta se¸c˜ ao, apresentamos o objetivo geral e os objetivos espec´ıficos do trabalho.

1.3.1 Objetivo Geral

Propor estrat´ egias de resolu¸c˜ ao exata para o Problema do Corte Global Rotulado M´ınimo.

1.3.2 Objetivos Espec´ıficos

• Propor novas formula¸c˜ oes matem´ aticas para o problema.

• Propor novas desigualdades v´ alidas para as formula¸c˜ oes.

• Desenvolver algoritmos para constru¸c˜ ao de fechos crom´ aticos.

• Cria¸c˜ ao de novos algoritmos de separa¸c˜ ao das novas desigualdades propostas a serem adicionadas ` a estrat´ egia de branch-and-cut adotada.

• Desenvolver uma estrat´ egia pre-branching.

• Comparar os modelos propostos.

1.4 Estrutura do Trabalho

O restante do trabalho est´ a organizado da seguinte forma:

• No Cap´ıtulo 2, s˜ ao apresentados alguns conceitos de Teoria dos Grafos, o m´ etodo branch-and-bound para resolu¸c˜ ao de PLIM e uma breve revis˜ ao da literatura.

• No Cap´ıtulo 3, s˜ ao descritos alguns m´ etodos para solucionar o PCGRM.

• No Cap´ıtulo 4, ´ e apresentada toda formula¸c˜ ao matem´ atica do MF

, os conceitos de fecho crom´ atico e tamb´ em os algoritmos branch-and-cut e pre-branching propostos neste trabalho.

• No Cap´ıtulo 5, s˜ ao apresentados os resultados dos experimentos computacionais

realizados.

2 FUNDAMENTA ¸ C ˜ AO TE ´ ORICA E REVIS ˜ AO DA LITERATURA

Neste cap´ıtulo, s˜ ao apresentados alguns conceitos que envolvem o trabalho desen- volvido, como Teoria dos Grafos e o M´ etodo branch-and-bound para resolu¸c˜ ao de PLIM.

2.1 Teoria dos Grafos

Nesta se¸c˜ ao, apresentamos uma breve introdu¸c˜ ao sobre Teoria dos Grafos. Um estudo mais detalhado sobre Teoria dos Grafos pode ser encontrado no livro de Bondy e Murty (2008). Para realizar o estudo das subse¸c˜ oes 2.1.2 e 2.1.3, tivemos como base o livro Cormen et al (2009).

2.1.1 Conceitos B´ asicos

Um grafo ´ e um par ordenado G = (V, E) que consiste em um conjunto de v´ ertices n˜ ao vazio V e um conjunto de arestas E, sendo cada aresta e formada por um par de v´ ertices i, j ∈ V , assim, uma aresta ´ e representada por e(i, j). Grafos s˜ ao chamados assim porque s˜ ao representados graficamente, e ´ e essa representa¸c˜ ao que nos ajuda a entender muitas propriedades. A Figura 2.1 mostra um grafo G = (V, E) com V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

e E = {e

, e

, e

, e

, e

, e

, e

, e

, e

} e um grafo H = (V, E) com V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {e

, e

, e

, e

, e

, e

, e

, e

}.

Pode-se dizer que um grafo ´ e simples se ele n˜ ao possuir la¸ cos ou arestas paralelas.

Os grafos G e H da figura 2.1 s˜ ao grafos simples. Uma aresta e(v, u) com extremidades iguais v = u ´ e chamada de la¸ co. Duas ou mais arestas com o par de extremidades iguais s˜ ao arestas paralelas. A Figura 2.2 mostra um grafo com um la¸ co, que ´ e a aresta e

, as arestas e

e e

s˜ ao arestas paralelas.

Pode-se dizer que dois v´ ertices v e u de um grafo G = (V, E) s˜ ao adjacentes, se

Figura 2.1: Exemplo de grafos G e H.

Figura 2.2: Exemplo de grafo com la¸ co e arestas paralelas.

e somente se existir uma aresta e(v, u) ∈ E. Neste caso, a aresta e(v, u) ´ e incidente aos v´ ertices v e u e os v´ ertices v e u s˜ ao as extremidades da aresta e(v, u). Denota-se um conjunto de vizinhos de um v´ ertice v no grafo G por N

(v ). O grau de um v´ ertice v, δ(v), em grafo simples, ´ e igual ao n´ umero de arestas que incidem em v, portanto, δ(v) = |N

(v)|.

Alguns tipos de grafos desempenham fun¸c˜ oes importantes na Teoria dos Grafos.

Um grafo completo ´ e um grafo simples, no qual, quaisquer dois v´ ertices do grafo s˜ ao adjacentes. Pode-se dizer que um grafo ´ e bipartido se seu conjunto de v´ ertices puder ser particionado em um subconjunto X e um subconjunto Y ; essa parti¸c˜ ao (X, Y ) ´ e chamada de biparti¸c˜ ao do grafo e, X e Y suas partes. Um grafo bipartido G com biparti¸c˜ ao (X, Y )

´

e denotado por G[X, Y ]. G[X, Y ] ´ e dito um grafo bipartido completo se for simples e todos os v´ ertices em X forem unidos a todos os v´ ertices em Y . Uma estrela ´ e um G[X, Y ] com

|X| = 1 ou |Y | = 1. A Figura 2.3 mostra um grafo completo, um grafo bipartido completo

e um estrela.

16

Figura 2.3: (a) grafo completo, (b) grafo bipartido completo, (c) grafo estrela.

O grafo H = (V, E), onde V (H) ´ e o conjunto de v´ ertices de H e E(H) o conjunto de arestas de H, ´ e um subgrafo do grafo G = (V, E ), onde V (G) ´ e o conjunto de v´ ertices de G e E(G) o conjunto de arestas de G, se V (H) ⊆ V (G) e E(H) ⊆ E(G). Se V (H) = V (G), ent˜ ao H ´ e um subgrafo gerador de G. Seja S, um subconjunto de v´ ertices, onde S ⊆ V , o subgrafo de G ´ e definido pelos v´ ertices de S e pelas arestas de G que incidem sobre dois v´ ertices quaisquer de S, onde este subgrafo ´ e induzido por S. A Figura 2.4 mostra um grafo G e um grafo H, que ´ e subgrafo de G.

Figura 2.4: Exemplo de subgrafo.

Em um grafo G, um caminho ´ e representado por uma sequˆ encia de v´ ertices distintos u

, u

, ..., u

onde os v´ ertices u

e u

s˜ ao vizinhos, ∀i ∈ {1, 2, ..., k − 1}. Pode-se dizer que um ciclo ´ e um caminho fechado que dada uma sequˆ encia de v´ ertices u

, u

, ..., u

, u

e u

s˜ ao vizinhos, ∀i ∈ {1, 2, ..., k − 1}, onde todos os v´ ertices dessa sequˆ encia s˜ ao distintos, menos o v´ ertice inicial e o v´ ertice final, que s˜ ao iguais. A Figura 2.5 mostra um caminho de tamanho trˆ es e um ciclo de tamanho cinco.

Pode-se dizer que um grafo G ´ e conexo quando existir um caminho em G com extremidades em v e u, para dois v´ ertices v e u quaisquer. Caso contr´ ario, G ´ e um grafo desconexo. A Figura 2.6 exemplifica um grafo conexo e um desconexo respectivamente.

Um grafo que n˜ ao cont´ em ciclos ´ e um grafo ac´ıclico, assim, uma ´ arvore T ´ e um

grafo conexo que n˜ ao possui ciclos. Ent˜ ao, dada uma ´ arvore T , ela pode ser dita uma

Figura 2.5: (a) Caminho de tamanho trˆ es, (b) Ciclo de tamanho cinco.

Figura 2.6: (a) grafo conexo, (b) grafo desconexo.

´

arvore geradora de um grafo G se esta for um subgrafo gerador de G.

2.1.2 Representa¸c˜ ao de Grafos

Um grafo G = (V, E) pode ser representado computacionalmente atrav´ es de dois modos padr˜ ao. Lista de adjacˆ encias ou como uma matriz de adjacˆ encias. Esses dois modos podem representar grafos orientados ou n˜ ao orientados.

Uma lista de adjacˆ encias consiste em um arranjo de |V | listas, sendo uma para cada v´ ertice v ∈ V . A lista de adjacˆ encias de um v´ ertice v cont´ em todos v´ ertices u ∈ V tal que exista uma aresta (v, u) ∈ E, ou seja, a lista de adjacˆ encias de v ´ e formada por todos os v´ ertices adjacentes a ele. A Figura 2.7 ilustra a lista de adjacˆ encias.

Uma desvantagem da lista de adjacˆ encias ´ e verificar se uma aresta (v, u) est´ a no grafo G, pois, tem que ser feito uma busca linear na lista de adjacˆ encias de v verificando se u ∈ Adj[v], onde sua complexidade ´ e O(n).

Para representa¸c˜ ao de um grafo G = (V, E) atrav´ es de uma matriz de adjacˆ encias,

supondo que os v´ ertices s˜ ao enumerados 1, 2, ..., |V | de forma arbitr´ aria, ent˜ ao, a matriz

de adjacˆ encias de um grafo consiste em uma matriz |V | × |V | A = (a

) tal que

18

Figura 2.7: (a) Grafo exemplo, (b) lista de adjacˆ encias.

a

=



 

 

1 se (i, j) ∈ E, 0 em caso contr´ ario.

A Tabela 2.1 representa a matriz de adjacˆ encias do grafo exemplo da Figura 2.7 (a).

Tabela 2.1: Matriz de adjacˆ encias A

A

1 2 3 4 5

1 0 1 0 1 1

2 1 0 1 1 0

3 0 1 0 1 0

4 1 1 1 0 1

5 1 0 0 1 0

Matriz de adjacˆ encias pode contornar essa desvantagem que a lista de adjacˆ encias tem ao verificar se uma aresta (v, u) est´ a no grafo G. Desse modo, podemos verificar se (v, u) est´ a em G em O(1), pois, basta consultar a linha v e a coluna u da matriz. Por´ em, uma desvantagem da matriz de adjacˆ encias ´ e listar os vizinhos de um v´ ertice v de G, onde a complexidade ´ e O(n).

2.1.3 Algoritmos de Busca em Grafos

A seguir, ser˜ ao apresentados dois algoritmos b´ asicos para realizar busca em grafo.

Quando falamos em realizar uma busca, isso significa que devemos percorrer de forma sistem´ atica as arestas do grafo afim de visitar todos o v´ ertices.

A busca em largura ´ e um algoritmo simples para realizar busca em um grafo. Dado

um grafo G = (V, E ) e um v´ ertice raiz s, a busca em largura explora as arestas de G

a partir de s descobrindo cada v´ ertice que pode ser alcan¸cado. O algoritmo calcula a distˆ ancia de s at´ e cada v´ ertice alcan¸cado e produz uma “´ arvore de busca em largura”.

Para qualquer v´ ertice v que pode ser alcan¸cado a partir de s, o caminho simples de s at´ e v corresponde a um caminho m´ınimo de s a v em G.

Para se obter o controle no funcionamento do algoritmo, cada v´ ertice pode ser marcado de branco, cinza ou preto. No in´ıcio do algoritmo, todos os v´ ertices s˜ ao brancos, e a partir do momento que v˜ ao sendo visitados se tornam cinza ou preto. Um v´ ertice preto significa que todos os seus v´ ertices adjacentes j´ a foram visitados, j´ a os v´ ertices com a cor cinza podem ter v´ ertices adjacentes brancos, ou seja, n˜ ao visitados.

Como dito anteriormente, o algoritmo constr´ oi uma ´ arvore em largura, que inici- almente cont´ em apenas a raiz s. Sempre que um v´ ertice v branco ´ e encontrado na lista de adjacˆ encia de um v´ ertice u j´ a visitado, o v´ ertice v e a aresta (u, v) s˜ ao adicionadas ` a

´

arvore. O procedimento do BFS mostrado no Algoritmo 1 sup˜ oe que o grafo G = (V, E) de entrada ´ e representado com a utiliza¸c˜ ao de listas de adjacˆ encias.

Algoritmo 1 BFS

Entrada: Grafo G e um v´ ertice raiz s

1:

para cada v´ ertice u ∈ V [G] − {s} fa¸ ca

2:

u.cor = BRANCO

3:

u.d = ∞

4:

u.π = NIL

5:

s.cor = CINZA

6:

s.d = 0

7:

s.π = NIL

8:

Q = ∅

9:

ENFILEIRAR(Q,s)

10:

enquanto Q 6= ∅ fa¸ ca

11:

u = DESENFILEIRAR(Q)

12:

para cada v = Adj[u] fa¸ ca

13:

se v.cor == BRANCO ent˜ ao

14:

v.cor = CINZA

15:

u.d = u.d + 1

16:

v.π = u

17:

ENFILEIRAR(Q,v)

18:

u.cor = PRETO

Descrevemos o funcionamento do algoritmo a seguir. As linhas 1-4, com exce¸c˜ ao

do v´ ertice raiz s, cada v´ ertice u ∈ G ´ e definido como branco, u.d como infinito e u.π com

NIL. Nas linhas 5-7, s ´ e definido como cinza, s.d = 0 e s.π com NIL, ou seja, a busca em

largura come¸car´ a a partir do v´ ertice raiz s.

20 O la¸co das linhas 10-18 executa at´ e que a fila Q seja vazia, ou seja, enquanto houver v´ ertices cinzas. Na linha 11, u recebe o primeiro v´ ertice da fila Q e o remove da fila. No la¸co das linhas 12-17, considera cada v´ ertice v adjacente a u. Na linha 11, se v ´ e branco quer dizer que ainda n˜ ao foi visitado, ent˜ ao v ´ e marcado de cinza, v.d ´ e incrementado e o pai de v ´ e u. O v´ ertice v ´ e inserido na fila Q (linha 17). Por fim, u ´ e marcado de preto, o que significa que todos os v´ ertices da sua lista de adjacˆ encia j´ a foram visitados. O tempo de execu¸c˜ ao total do algoritmo BFS ´ e O(V + E), assim, a busca em largura ´ e executada em tempo linear em rela¸c˜ ao ao tamanho da representa¸c˜ ao por listas de adjacˆ encias de G.

A Figura 2.8 ilustra a execu¸c˜ ao do BFS em um grafo exemplo n˜ ao orientado.

Figura 2.8: Execu¸c˜ ao do algoritmo BFS.

A estrat´ egia adotada pela busca em profundidade ´ e ir “mais fundo” no grafo sempre que poss´ıvel. O algoritmo explora as arestas a partir do v´ ertice v rec´ em visitado. Depois de explorar todas as arestas de v a busca retorna pelo mesmo caminho at´ e o v´ ertice predecessor de v para explorar as arestas que partem deste v´ ertice. Esse procedimento se repete at´ e que todos os v´ ertices poss´ıveis sejam visitados a partir do v´ ertice raiz inicial.

Caso reste v´ ertices que ainda n˜ ao foram visitados, a busca em profundidade seleciona um

deles como raiz e inicia o mesmo processo a partir deste v´ ertice selecionado.

A busca em profundidade marca cada v´ ertice para indicar seu estado atual, seguindo o mesmo processo que ocorre na busca em largura. Os v´ ertices iniciam brancos, s˜ ao marcados de cinza quando visitado e preto quando termina de visitar todos os seus v´ ertices adjacentes. Ao encontrar um v´ ertice v na lista de adjacˆ encias de u, o “pai” de v ser´ a u, ou seja, o atributo v.π = u. Os atributos u.d e u.f representam dois carimbos de tempo, u.d registra quando o v´ ertice ´ e visitado pela primeira vez e u.f registra o t´ ermino da busca na lista de adjacˆ encias deste v´ ertice.

A seguir, o algoritmo b´ asico de busca em profundidade ´ e representado (Algoritmo 2). O DFS “chama” a sub-rotina DFS-visit que ´ e descrita no Algoritmo 3.

Algoritmo 2 DFS Entrada: Grafo G

1:

para cada v´ ertice u ∈ V [G] fa¸ ca

2:

u.cor = BRANCO

3:

u.π = NIL

4:

tempo = 0

5:

para cada v´ ertice u ∈ V [G] fa¸ ca

6:

se u.cor == BRANCO ent˜ ao

7:

DFS-Visit(G, u)

Algoritmo 3 DFS-Visit Entrada: Grafo G e v´ ertice u

1:

tempo = tempo + 1

2:

u.d = tempo

3:

u.cor = CINZA

4:

para cada v´ ertice v ∈ Adj[u] fa¸ ca

5:

se v.cor == BRANCO ent˜ ao

6:

v.π = u

7:

DFS-Visit(G, v)

8:

u.cor = PRETO

9:

tempo = tempo + 1

10:

u.f = tempo

Nas linhas 1-3 todo v´ ertice u ∈ G ´ e marcado de branco e seus “pai” s˜ ao inicializados como NIL. Verifica-se cada v´ ertice de v ∈ V [G] e ao encontrar um v´ ertice branco a sub- rotina DFS-Visit ´ e chamada para visitar este v´ ertice (5-7). Quando a sub-rotina ´ e chamada na linha 7, o v´ ertice u se torna a raiz de uma nova ´ arvore na floresta em profundidade.

Na linha 1 do DFS-visit, a v´ ariavel global tempo ´ e incrementada. J´ a nas linhas 2 e

3 registra o novo valor de u.d e u ´ e marcado de cinza (visitado). Nas linhas 4-7 percorre a

lista de adjacˆ encias de u e ao encontrar um v´ ertice v branco, sua vari´ avel u.π recebe u e a

22 sub-rotina DFS-Visita ´ e chamada para visitar esse v´ ertice. Este loop encerra quando n˜ ao estiver mais v´ ertices brancos adjacentes de u. Em seguida u ´ e marcado de preto, tempo ´ e incrementado e u.f recebe tempo. O custo total do tempo de execu¸c˜ ao do algoritmo DFS

´

e Θ(V + E).

A Figura 2.9 apresenta o funcionamento do algoritmo DFS. Ao iniciar o algoritmo, todos os v´ ertices do grafo s˜ ao marcados de branco, como pode ser visto em (a). Em seguida, o v´ ertice s ´ e escolhido de forma aleat´ oria verificando se sua cor ´ e branco; se sim, o DFS-Visit ´ e chamado para visitar este v´ ertice marcando-o de cinza (b). Em (c), percorre a lista de adjacˆ encia de s e o DFS-Visit ´ e chamado para visitar o v´ ertice r. O v´ ertice v adjacente a r ´ e visitado (d). Em (e) e (f), todos os v´ ertices adjacentes a v e r j´ a foram visitados, ent˜ ao ambos s˜ ao marcados de preto. Ao percorrer a lista de adjacˆ encia de s o v´ ertice w ainda n˜ ao foi visitado, ent˜ ao o DFS-Visit ´ e chamado para visit´ a-lo (h). Em (k), ao percorrer os adjacentes de w, o v´ ertice t ´ e visitado; em seguida, o v´ ertice u ´ e visitado ao percorrer a lista de adjacˆ encia de t (i). Por fim, em (j), (k), (l) e (m), os v´ ertices u, t, w e s s˜ ao marcados de preto respectivamente.

2.2 M´ etodo Branch-and-Bound para Resolu¸c˜ ao de PLIM

Alguns problemas exigem que suas vari´ aveis sejam inteiras, com isso, surgem pro- blemas de Programa¸c˜ ao Linear Inteira (PLI). Nesta se¸c˜ ao, apresentamos uma vis˜ ao geral do m´ etodo branch-and-bound (B&B). Para o estudo desta se¸c˜ ao utilizamos os livros de Goldbarg e Luna (2000) e Arenales et al (2015).

De maneira inteligente, o branch-and-bound enumera pontos candidatos ` a solu¸c˜ ao

´

otima inteira de um problema. Um conceito fundamental utilizado por este m´ etodo ´ e a relaxa¸c˜ ao linear, que consiste em substituir x ∈ Z

por x ∈ R

, ou seja, tornando um Problema Inteiro (PI) em um Problema Linear (PL). Como vemos a seguir.

(PI) = Maximizar {cx | Ax = b, x ≥ 0, x ∈ Z

} o problema relaxado,

(PL) = Maximizar {cx | Ax = b, x ≥ 0, x ∈ R

}

Definindo z como valor ´ otimo da fun¸c˜ ao objetivo do problema relaxado e z do

problema inteiro, temos que o problema relaxado ´ e um limitante superior do problema

inteiro, isto ´ e, z ≥ z.

Figura 2.9: Execu¸c˜ ao do algoritmo DFS.

Seja x uma solu¸c˜ ao ´ otima de (PL) tal que a vari´ avel x

´ e n˜ ao inteiro, temos:

x

≥ bx

c + 1 ou x

≤ bx

c

Reduzir o espa¸co de busca usando informa¸c˜ oes do problema de PL ´ e uma estrat´ e- gia usada pelo m´ etodo branch-and-bound. Este procedimento ´ e denominado enumera¸ c˜ ao impl´ıcita, em que subconjuntos s˜ ao considerados e descartados. Tais subconjuntos s˜ ao ob- tidos atrav´ es da separa¸c˜ ao do problema original em problemas menores, que normalmente s˜ ao mais f´ aceis de serem resolvidos, o que leva a reduzir o esfor¸co computacional. Para esta separa¸c˜ ao do problema ´ e usada a estrat´ egia divis˜ ao e conquista.

A seguir, abordamos os conceitos definidos acima atrav´ es do exemplo (P).

(P)

Maximizar z = 6x

+ 9x

24 Sujeito a. x

+ x

≤ 5

4x

+ 9x

≤ 36 x

, x

∈ R

A Figura 2.11 representa a solu¸c˜ ao gr´ afica do exemplo (P). Pode ser visto que os valores das vari´ aveis cont´ınuas x

= 1,8 e x

= 3,2, leva o valor da fun¸c˜ ao objetivo a z = 39,6.

Dividir o exemplo original (P) em dois problemas menores (P

) e (P

) em rela¸c˜ ao a vari´ avel x

, produz uma nova restri¸c˜ ao em cada subproblema. Como podemos ver a seguir:

x

≤ b3,2c ⇒ x

≤ 3 x

≥ b3,2c + 1 ⇒ x

≥ 4

(P

) (P

)

max z = 6x

+ 9x

max z = 6x

+ 9x

s. a. x

+ x

≤ 5 s. a. x

+ x

≤ 5

x

≤ 3 x

≥ 4

4x

+ 9x

≤ 36 4x

+ 9x

≤ 36

x

, x

∈ R

x

, x

∈ R

Este particionamento de um problema original em problemas menores pode ser facilmente representado atrav´ es de uma ´ arvore, onde cada n´ o da ´ arvore representa um problema. O problema original (P) ´ e a raiz; (P

) e (P

), os filhos de (P). A Figura 2.13 representa uma ´ arvore B&B.

Figura 2.10: ´ Arvore B&B.

Considerando as novas restri¸c˜ oes, o exemplo original (P) ser´ a reduzido a dois novos

problemas, (P

) e (P

), produzindo novos espa¸cos de solu¸c˜ oes fact´ıveis (Figura 2.12).

Figura 2.11: Solu¸c˜ ao gr´ afica do exemplo (P).

Figura 2.12: Espa¸co de solu¸c˜ oes de (P

) e (P

).

No exemplo descrito acima, usamos a estrat´ egia de separa¸c˜ ao em fun¸c˜ ao da vari´ avel

x

. Esta estrat´ egia tamb´ em pode ser reaplicada em fun¸c˜ ao da vari´ avel x

quando, e

somente quando, a vari´ avel for cont´ınua. Ap´ os o t´ ermino do procedimento o problema

com solu¸c˜ ao ´ otima inteira e o maior valor da fun¸c˜ ao objetivo ´ e retornado. As solu¸c˜ oes

cont´ınuas s˜ ao um limite superior para o valor de z, enquanto as solu¸c˜ oes com todas as

vari´ aveis inteiras geram um limite inferior. Podemos ver na ´ arvore B&B na Figura 2.14,

que (P) tem uma solu¸c˜ ao cont´ınua z = 39, 6 e (P

) possui uma solu¸c˜ ao inteira z = 39. O

problema (P

) n˜ ao precisaria ser resolvido, uma vez que entre 39, 6 e 39 n˜ ao tem outra

solu¸c˜ ao inteira melhor que 39 (39 ≤ z ≤ 39, 6).

26

Figura 2.13: ´ Arvore B&B do problema (P).

Este cap´ıtulo est´ a dividido da seguinte forma, na Se¸c˜ ao 3.1, apresentamos os traba- lhos relacionados, na Se¸c˜ ao 3.2, abordamos alguns modelos de PLIM, e algumas heur´ısticas presentes na literatura s˜ ao descritas na Se¸c˜ ao 3.3.

3.1 Trabalhos Relacionados

No trabalho de Xu e Farag´ o (2019) ´ e apresentado o cen´ ario do PCGRM, fazendo uma revis˜ ao aprofundada do problema, fornecendo novas ideias, apresentando algumas defini¸c˜ oes e corrigindo alguns erros existentes na literatura. Principalmente, o trabalho aborda a rela¸c˜ ao do que chamam de vers˜ ao n˜ ao-sobreposta e vers˜ ao sobreposta. A vers˜ ao n˜ ao-sobreposta ´ e onde cada aresta possui apenas um r´ otulo, e na vers˜ ao sobreposta, cada aresta possui m´ ultiplos r´ otulos. Os autores proporam um m´ etodo para transformar uma vers˜ ao sobreposta em uma vers˜ ao n˜ ao sobreposta que garante a conectividade de cobertura do grafo.

A tese de Silva (2019) aborda diversos problemas de conectividade definidos sobre grafos com arestas rotuladas, tendo um maior foco no Problema da ´ Arvore Geradora com Rotula¸c˜ ao M´ınima (PAGRM) e sua vers˜ ao generalizada, Problema Generalizado da ´ Arvore Geradora com Rotula¸c˜ ao M´ınima (PGAGRM). O trabalho introduziu novos conceitos, defini¸c˜ oes, propriedades e teoremas ´ uteis em rela¸c˜ ao a grafos com arestas rotuladas, como tamb´ em realizou um estudo poli´ edrico sobre o PGAGRM. Ainda como contribui¸c˜ ao do trabalho, o autor propˆ os novas heur´ısticas e m´ etodos exatos para solucionar o PGAGRM.

Os experimentos mostraram que as abordagens introduzidas no trabalho alcan¸caram os

melhores resultados para m´ etodos heur´ısticos e exatos em compara¸c˜ ao com a literatura,

segundo o autor.

28 Um problema que est´ a fortemente relacionado ao PCGRM ´ e o Problema do Corte s-t Rotulado M´ınimo (PCstRM), que pode ser definido da seguinte forma: dado um grafo G = (V, E, L) orientado ou n˜ ao orientado; um v´ ertice origem s e um v´ ertice destino t; e seja L

um subconjunto de r´ otulos (L

⊆ L), o objetivo do problema ´ e minimizar |L

| tal que com a remo¸c˜ ao das arestas associadas aos r´ otulos em L

, desconecta s e t. O PCstRM foi proposto por Jha et al (2002) e os autores provaram que o problema ´ e NP-Hard.

O PCstRM tem diversas aplica¸c˜ oes, e uma das principais ´ areas de aplica¸c˜ ao ´ e em seguran¸ca de computadores (Jha et al, 2002; Sheyner et al, 2002; Sheyner e Wing, 2003).

Em particular, o que motivou os estudos foi a gera¸c˜ ao de grafos de ataque e detec¸c˜ ao de intrusos. Os v´ ertices do grafo de ataque representam diversos estados, as arestas repre- sentam a transi¸c˜ ao de um estado para outro e os poss´ıveis ataques s˜ ao representados pelos r´ otulos.

Os artigos de Coudert et al (2007, 2016) abordam o PCstRM e o PCGRM quando o objetivo ´ e mensurar a conectividade da rede quando seus links possuem riscos compar- tilhados de falha. Fellows et al (2010) tamb´ em estudou o PCstRM, mas relacionado a sua complexidade parametrizada, demostrando que o problema ´ e W[1]-Hard para grafos com largura de caminho menor ou igual a 4, e W[2]-Hard quando grafos com largura de caminho menor ou igual a 3.

V´ arios algoritmos de aproxima¸c˜ ao foram propostos para o PCstRM (Zhang et al, 2011; Tang e Zhang, 2012; Zhang, 2014). Broersma et al (2005) propˆ os um algoritmo exato para o PCstRM com tempo de execu¸c˜ ao O(n

|L|!), onde L ´ e o conjunto de r´ otulos.

Em Zhang e Tang (2019) foi feito um estudo de dois programas lineares para o PCstRM e provaram que ambos tem largos gaps de integralidade, nomeando-os, Ω(m) e Ω(m

), onde m ´ e o n´ umero de arestas em um grafo.

Sucupira et al (2017) apresenta o estudo da complexidade do Problema do Corte Global M´ aximo (PCGM) e do Problema do Corte Colorido, que ´ e um caso particular do PCGM. Os autores provaram que ambos os problemas s˜ ao NP-completo mesmo em grafos completos, planar e com largura de ´ arvore limitada. Mostraram tamb´ em que o PCGM ´ e trat´ avel com parˆ ametro fixo com rela¸c˜ ao aos parˆ ametros |E| e |L|.

3.2 Modelos de Programa¸c˜ ao Linear Inteira Mista para o PCGRM

No trabalho de Silva et al (2016) foram propostos trˆ es modelos de programa¸c˜ ao

linear inteira mista para o PCGRM, al´ em de t´ ecnicas exatas para resolvˆ e-los. Os modelos

s˜ ao: o Modelo Baseado em Particionamento (P ART

), o Modelo Baseado em Agrupamento de V´ ertices (P3E) e o Modelo Baseado em Elimina¸c˜ ao de ´ Arvores (EAC).

3.2.1 P ART

O Modelo P ART

tem como objetivo gerar duas parti¸c˜ oes de v´ ertices: S e S = V \S.

Para qualquer conjunto S ⊂ V , S 6= ∅, a remo¸c˜ ao de todas as arestas com um extremo em S e outro em S desconecta o grafo. Seja e

uma aresta com extremos nos v´ ertices i e j , L(e

) o r´ otulo associado a aresta e

; seja z

, ∀` ∈ L, uma vari´ avel que assume valor 1 se e somente se o r´ otulo ` participa do corte; e w

, ∀v ∈ V uma vari´ avel que assume valor 1 se e somente se o v´ ertice v faz parte do conjunto S; o modelo est´ a descrito nas express˜ oes (3.1-3.7):

P ART

= Minimize X

`∈L

z

(3.1)

s.a. X

v∈V

w

< |V |, (3.2)

w

= 1, (3.3)

z

≥ w

− w

, ∀e

∈ E, (3.4)

z

≥ w

− w

, ∀e

∈ E, (3.5)

z

≥ 0, ∀` ∈ L, (3.6)

w

∈ {0, 1}, ∀v ∈ V. (3.7)

A fun¸c˜ ao objetivo (3.1) minimiza o n´ umero de r´ otulos necess´ arios para desconectar

o grafo; a restri¸c˜ ao (3.2) for¸ca que S ⊂ V ; a restri¸c˜ ao (3.3) al´ em de garantir que S 6= ∅,

elimina a simetria das solu¸c˜ oes ao escolher um v´ ertice arbitr´ ario para participar de S; as

restri¸c˜ oes (3.4) e (3.5) ativam as cores (ou r´ otulos) das arestas do corte; e as restri¸c˜ oes

(3.6) e (3.7) definem o dom´ınio das vari´ aveis.

30 3.2.2 P3E

O modelo P3E ´ e baseado no problema de agrupamento de v´ ertices por edi¸c˜ ao de arestas. Seja K

um grafo completo e E o conjunto de arestas de K

; onde cada aresta e

∈ E possui um custo positivo ou negativo associado, o objetivo deste modelo ´ e remover as arestas, contabilizando o custo associado, de modo que o grafo resultante seja um particionamento de subcliques. Ent˜ ao, para transformar um grafo G de entrada em um grafo K

, ´ e adicionado a G uma aresta com custo de remo¸c˜ ao 0 para cada par de v´ ertices i, j tal que e

6∈ E.

Seja E o conjunto de arestas que n˜ ao pertecem a G, de modo que E ∪ E origina em um grafo completo; e seja x

, ∀e ∈ E, uma vari´ avel que assume valor 1 se e somente se a aresta e participa do corte; e z

, ∀` ∈ L, uma vari´ avel que assume valor 1 se e somente se o r´ otulo ` participa do corte. As express˜ oes (3.8-3.15) apresentam o modelo P3E.

A fun¸c˜ ao objetivo (3.8) minimiza o custo dos r´ otulos da solu¸c˜ ao; o conjunto do restri¸c˜ oes (3.9) liga as vari´ aveis de aresta com as vari´ aveis de r´ otulos; o conjunto de ine- qua¸c˜ oes (3.10-3.12) ´ e o cl´ assico conjunto de elimina¸c˜ ao de P

, ou seja, caminhos com 3 v´ ertices; a restri¸c˜ ao (3.13) garante que a solu¸c˜ ao n˜ ao seja vazia; e as restri¸c˜ oes (3.14) e (3.15) definem o dom´ınio das vari´ aveis de decis˜ ao.

P3E = Minimize X

`∈L

z

(3.8)

s.a. z

≥ x

, ∀e ∈ E, (3.9)

+x

+ x

− x

≥ 0, ∀i, j, k ∈ V, i 6= j, j 6= k, k 6= i, (3.10) +x

− x

+ x

≥ 0, ∀i, j, k ∈ V, i 6= j, j 6= k, k 6= i, (3.11)

−x

+ x

+ x

≥ 0, ∀i, j, k ∈ V, i 6= j, j 6= k, k 6= i, (3.12) X

e∈E

x

≥ 1, (3.13)

z

≥ 0, ∀` ∈ L, (3.14)

x

∈ {0, 1}, ∀e ∈ E ∪ E. (3.15)

Dado que o grafo G de entrada ´ e conexo, a corretude do modelo baseia-se no fato de que G ´ e um particionamento de cliques se e somente se P

n˜ ao ´ e subgrafo de G, P

sendo um caminho formado por 3 v´ ertices. Por fim, foi proposto o algoritmo branch-and-cut para resolu¸c˜ ao do modelo.

3.2.3 EAC

O modelo EAC ´ e baseado na elimina¸c˜ ao de ´ arvores. Dado que uma ´ arvore de cobertura ´ e um grafo conexo minimal com respeito ao seu n´ umero de arestas, temos que a proibi¸c˜ ao de todas as ´ arvores de cobertura de G resulta em um grafo desconexo. Seja T o conjunto de todas as ´ arvores de cobertura do grafo G; seja L(T ), T ∈ T , o conjunto de r´ otulos utilizados pelas arestas de T ; e seja z

, ∀` ∈ L, vari´ aveis de decis˜ ao. As express˜ oes de (3.16-3.18) apresentam o modelo:

EAC = Minimize X

`∈L

z

(3.16)

s.a. X

`∈L(T)

z

≥ 1, ∀T ∈ T , (3.17)

z

∈ {0, 1}, ∀` ∈ L. (3.18)

A func˜ ao objetivo (3.16) minimiza o custo dos r´ otulos da solu¸c˜ ao; o conjunto de restri¸c˜ oes (3.17) garante a desconectividade do grafo solu¸c˜ ao pela proibi¸c˜ ao de todas as

´

arvores de cobertura de G; e as restri¸c˜ oes (3.18) definem o dom´ınio das v´ ariaveis.

Figura 3.1: ´ Arvore de cobertura contida na instˆ ancia exemplo do PCGRM.

32 A Figura 3.1(a) ilustra uma instˆ ancia exemplo do PCGRM e a Figura 3.1(b) apre- senta uma ´ arvore de cobertura T extra´ıda da instˆ ancia exemplo. Logo, T n˜ ao pode conti- nuar existindo para garantir que o grafo G seja desconexo, para isto, a adi¸c˜ ao da inequa¸c˜ ao

z

+ z

+ z

+ z

≥ 1

garante que pelo menos um dos r´ otulos de T faz parte do corte.

Por fim, o trabalho apresenta testes computacionais que demonstram que os mo- delos s˜ ao capazes de solucionar instˆ ancias de pequeno e m´ edio porte com esfor¸co compu- tacional razo´ avel. O P ART

obteve o melhor desempenho dos trˆ es modelos propostos no trabalho, o que se deve, segundo os autores, ao n´ umero linear de inequa¸c˜ oes do modelo e ao processo de branch-and-bound.

3.3 Heur´ısticas para o PCGRM

Apresentamos a seguir, algumas heur´ısticas para solucionar o PCGRM. Modelos exatos s˜ ao muitas vezes limitados em aplica¸c˜ oes pr´ aticas. Com isso, torna-se necess´ ario utilizar m´ etodos heur´ısticos para resolu¸c˜ ao de problemas de otimiza¸c˜ ao combinat´ oria, que tem um custo computacional alto, embora n˜ ao seja garantida a solu¸c˜ ao ´ otima para o problema.

3.3.1 Algoritmo Gen´ etico, VNS e MultiVND

Silva et al (2018) prop˜ oe trˆ es heur´ısticas para solucionar o problema. A primeira heur´ıstica ´ e baseada nos conceitos de Algoritmo Gen´ etico, onde X ´ e o conjunto de todas as solu¸c˜ oes para uma instˆ ancia do PCGRM e a fun¸c˜ ao de avalia¸c˜ ao: X → Z

. O algoritmo busca uma solu¸c˜ ao x ∈ X com uma fun¸c˜ ao de avalia¸c˜ ao(x) m´ınima. Esta vers˜ ao inicia com uma popula¸c˜ ao aleat´ oria, executa o elitismo e as itera¸c˜ oes s˜ ao reiniciadas at´ e o limite de tempo ser atingido.

Cada solu¸c˜ ao ´ e uma biparti¸c˜ ao do conjunto V , sendo essas parti¸c˜ oes chamadas de left e right. Cada indiv´ıduo x ´ e representado por um vetor bin´ ario, onde x[i] = 0, indica que o v´ ertice i ∈ P

, no qual ´ e a parti¸c˜ ao left da solu¸c˜ ao x. Por outro lado, i ∈ P

´ e a parti¸c˜ ao right de x. Portanto, L

= {L

|(i, j ) ∈ E} e x[i] 6= x[j]} e fitness(x) = |L

|.

A popula¸c˜ ao inicial P ´ e composta por |N | solu¸c˜ oes aleat´ orias. Para cada x ∈ P , um

n´ umero de v´ ertices ´ e retirado para ser inserido em P

, enquanto os demais s˜ ao inserido

em P

. Seja P

que represente 20% dos melhores indiv´ıduos de P , e P

represente os indiv´ıduos restantes. O elitismo ´ e feito por opera¸c˜ oes de cruzamento, onde N ´ e novos indiv´ıduos gerado e adicionados a P pelo cruzamento de duas solu¸c˜ oes x

∈ P

e x

∈ P

. Para realiza¸c˜ ao da opera¸c˜ ao de cruzamento ´ e ultilizado o conhecido random single cut point crossover. O resultado gerado ´ e adicionado a nova popula¸c˜ ao P

.

Por fim, s˜ ao eliminados metade dos indiv´ıduos de P

na fase de rein´ıcio da popu- la¸c˜ ao. Em seguida, 30% dos piores indiv´ıduos que permanacem em P

s˜ ao substituidos por novas solu¸c˜ oes aleat´ orias. O algoritmo retorna a melhor solu¸c˜ ao x

ap´ os ser atingida a condi¸c˜ ao de parada.

A segunda heur´ıstica proposta ´ e uma adapta¸c˜ ao da Variable Neighborhood Search (VNS) (Mladenovi´ c e Hansen, 1997), que ´ e uma meta heur´ıstica para explorar o espa¸co de solu¸c˜ oes atrav´ es de trocas sistem´ aticas de estruturas de vizinhan¸ca durante o processo de busca com o objetivo de evitar ´ otimos locais. Para representa¸c˜ ao da solu¸c˜ ao foi definido um par de parti¸c˜ oes P

= {P

, P

}, onde P

representa o conjunto de v´ ertices na parti¸c˜ ao left e P

o conjunto de v´ ertices na parti¸c˜ ao right.

Se |P

| > 0 e |P

| > 0, tem-se a garantia de um corte v´ alido. Seja o conjunto L

= {L

| i ∈ P

, j ∈ P

e (i, j) ∈ E} para representar a solu¸c˜ ao G. Para o procedimento de busca local, os autores proporam duas estruturas de vizinhan¸ca. Em todas essas estruturas,

´

e considerada uma pr´ e-solu¸c˜ ao vi´ avel de G

, formado por um par de parti¸c˜ oes v´ alidas P

. Na mudan¸ca de parti¸c˜ ao, se |P

| > 1, move um v´ ertice v ∈ P

para a parti¸c˜ ao P

ou se |P

| > 1, move um v´ ertice v ∈ P

para P

. Depois, ´ e atualizado o conjunto de cores no corte L

. Na parte da heur´ıstica que os autores chamam de interchange-partition ou parti¸c˜ ao de intercˆ ambio, quando |P

| > 1 e |P

| > 1, move um v´ ertice v ∈ P

para a parti¸c˜ ao P

e um v´ ertice u ∈ P

para P

. Depois, ´ e atualizado o conjunto de cores no corte L

. Por fim, foi proposto uma estrutura de dados auxiliar para avalia¸c˜ ao das solu¸c˜ oes.

A terceira heur´ıstica desenvolvida no trabalho ´ e a MultiVND, que consiste em uma heur´ıstica multistart simples. Em cada itera¸c˜ ao multistart ´ e gerado uma solu¸c˜ ao aleat´ oria e

´

e aplicado o m´ etodo Variable Neighborhood Descent (VND) como pesquisa local. A melhor solu¸c˜ ao encontrada ´ e retornada.

Portanto, segundos os autores, a meta heur´ıstica VNS obteve os melhores resultados

em compara¸c˜ ao aos outros m´ etodos, sendo capaz de produzir melhores resultados em m´ edia

para todos os casos estudados. O MultiVND funcionou melhor com instˆ ancias mais simples,

34 e em alguns casos alcan¸cando o VNS; por´ em, em intˆ ancias mais dif´ıceis, o MultiVND obteve resultados muito ruins. Por fim, o Algoritmo Gen´ etico para instˆ ancias dif´ıceis foi t˜ ao bom quanto o VNS.

3.3.2 VNS-Greedy e VNS-Probabilistic

Outro trabalho que prop˜ oe heur´ısticas para resolu¸c˜ ao do PCGRM ´ e o de Bordini et al (2017), que apresenta uma abordagem determin´ıstica VNS-Greedy e uma abordagem probabil´ıstica VNS-Probabilistic. Os autores proporam um algoritmo geral (Algoritmo 4) como estrutura b´ asica para essas duas abordagens. Algumas sub-rotinas desse algoritmo como Generate-Initial-Solution, New-Solution e Local-search tˆ em uma “vers˜ ao greedy” e uma “vers˜ ao probabilistic”. Portanto, executando o algoritmo geral usando as vers˜ oes greedy de tais sub-rotinas produz o algoritmo VNS-Greedy, enquanto executando usando as vers˜ oes probabilistic produz o algoritmo VNS-Probabilistic.

Algoritmo 4 General algorithm

Entrada: Graph G = (V, E, C), Where C = {c(e) | e ∈ E}

1:

Generate-Initial-Solution(BestS)

2:

MaxNeighborhood ← |C| − |BestS|

3:

repita

4:

New-Solution(S)

5:

enquanto |S| > |BestS| fa¸ ca

6:

BestS ← S

7:

MaxNeighborhood ← |C| − |BestS|

8:

New-Solution(S)

9:

k − 1

10:

enquanto k < MaxNeighborhood fa¸ ca

11:

S

← S

12:

Shake(S

, k)

13:

se Number-of-Components(S

) = 1 ent˜ ao

14:

Fix(S

)

15:

Local-Search(S

)

16:

se |S

| > |S| ent˜ ao

17:

S

← S

18:

k ← 1

19:

sen˜ ao

20:

k ← k + 1

21:

se |S| > |BestS| ent˜ ao

22:

|BestS| ← S

23:

MaxNeighborhood ← |C| − |BestS|

24:

at´ e que stop condition is true

A vari´ avel BestS representa a melhor solu¸c˜ ao atual, M axN eighborhood ´ e uma

vari´ avel que controla a vizinhan¸ca, S e S

s˜ ao solu¸c˜ oes auxiliares e Number-of- Components(S

) ´ e a fun¸c˜ ao padr˜ ao que retorna o n´ umero de componentes conexas da solu¸c˜ ao S

. Na linha 1, uma solu¸c˜ ao inicial ´ e gerada; M axN eighborhood ´ e um conjunto com o n´ umero de cores que n˜ ao est˜ ao em BestS (linha 2) e o loop principal (3 a 24) ´ e executado at´ e que a condi¸c˜ ao de parada seja aceita.

Nas linhas 4 a 7, uma nova solu¸c˜ ao candidata S ´ e gerada no in´ıcio de uma nova itera¸c˜ ao. Primeiro, S ´ e gerado utilizando a sub-rotina New-Solution(S) (linha 4). Se S for maior que BestS, BestS e M axN eighborhood s˜ ao atualizados e outra solu¸c˜ ao candidata S ´ e gerada. O loop (linha 5 a 9) termina quando o n´ umero de cores da solu¸c˜ ao candidata n˜ ao for maior que o n´ umero de cores da melhor solu¸c˜ ao atual. As linhas 10 a 23 contˆ em o n´ ucleo da estrat´ egia b´ asica da meta heur´ıstica VNS.

Os resultados das heur´ısticas propostas foram comparados com os resultados obti-

dos pelos trˆ es m´ etodos exatos propostos por Silva et al (2016), que foram brevemente abor-

dados no Cap´ıtulo 3. Segundo os autores, as abordagens VNS-Greedy e VNS-Probabilistic,

foram capazes de alcan¸car todas as solu¸c˜ oes ´ otimas, em instˆ ancias com |V | ≤ 200, em

um baixo tempo computacional. J´ a com instˆ ancias com o valor ´ otimo desconhecido, as

abordagens geraram uma solu¸c˜ ao em um tempo computacional razo´ avel. Por fim, greedy

e probabilistics, exibiram o mesmo comportamento em termos de qualidade da solu¸c˜ ao, e

nenhuma diferen¸ca significativa em termos de tempos computacionais.

4 MODELO MF

Neste cap´ıtulo, apresentamos o modelo MF

, que ´ e a contribui¸c˜ ao central deste trabalho. O MF

´ e uma nova fam´ılia de formula¸c˜ oes matem´ aticas capaz de solucionar o PCGRM. Para construir o modelo MF

nos baseamos em um modelo presente na literatura chamado P ART

, proposto no trabalho de Silva et al (2016), e utilizamos o conceito de fecho crom´ atico, que ´ e definido na Se¸c˜ ao 4.1. Na Se¸c˜ ao 4.2, apresentamos a formula¸c˜ ao do modelo, e nas Se¸c˜ oes 4.3 e 4.4, os algoritmos B&C e estrat´ egias pr´ e- branching, respectivamente.

4.1 Fecho crom´ atico

Nesta se¸c˜ ao, s˜ ao apresentadas duas defini¸c˜ oes ´ uteis sobre os GARs: o fecho transi- tivo e o fecho crom´ atico, que nos permite alterar a representa¸c˜ ao de um GAR de entrada.

Estas defini¸c˜ oes vˆ em do trabalho de Silva (2019), sendo estendidas e adaptadas para o objetivo desta pesquisa. Ent˜ ao, utilizando o conceito de fecho crom´ atico, podemos trans- formar um grafo G = (V, E, L) de entrada em um grafo H = (V, E

, L) com um novo conjunto de arestas E

.

Assim, para apresentarmos as duas defini¸c˜ oes de fecho crom´ atico a seguir, de- claramos o subgrafo de um GAR G como sendo: G[{`}] = (V, E({`}), {`}), onde E({`}) = {e ∈ E | L(e) = `}.

4.1.1 Defini¸c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 1. O fecho transitivo de um r´ otulo ` ∈ L, denotado por F ({`}), representa a

expans˜ ao do conjunto de arestas E({`}) tal que se houver um caminho entre os v´ ertices u

e v no grafo G[{`}], ent˜ ao a aresta e = (u, v) ∈ F ({`}).

Defini¸ c˜ ao 2. Por extens˜ ao, o fecho transitivo crom´ atico, abreviado fecho crom´ atico, de um GAR G = (V, E, L), denotado por F(G), ´ e o grafo H = (V, E

, L), que tem o mesmo conjunto de v´ ertices e r´ otulos de G, e cujo conjunto de arestas ´ e definido pela uni˜ ao do fecho transitivo F ({`}), ∀` ∈ L. Formalmente, E

= S

`∈L

F ({`}).

A Figura 4.1 ilustra os conceitos de fecho transitivo e fecho crom´ atico. A Figura 4.1(a) apresenta um pequeno GAR G = (V, E, L). Fig. 4.1(b) destaca F ({F }), o fecho transitivo do r´ otulo F ∈ L, e a Fig. 4.1(c) apresenta F (G), o fecho crom´ atico do grafo G.

Figura 4.1: Exemplos de fechos transitivo e crom´ atico. (a) O grafo de arestas r´ otuladas G = (V, E, L). (b) O fecho transitivo do r´ otulo F . (c) O fecho crom´ atico do grafo G.

Proposi¸ c˜ ao 1. Resolver o PCGRM para um GAR G ´ e equivalente ` a resolver o problema para o grafo H = F(G).

Demonstra¸ c˜ ao. Seja C qualquer subconjunto de L. Provamos esta proposi¸c˜ ao demons- trando que H[C] = (V, E

, C ) ´ e desconexo se e somente se G[C] = (V, E, C) ´ e desconexo.

(⇒) Suponha que H[C] ´ e desconexo e G[C] ´ e conexo. J´ a que o fecho transitivo ´ e uma extens˜ ao do conjunto de arestas de G, H[C] ´ e o grafo G[C] com arestas adicionais. A remo¸c˜ ao de arestas n˜ ao pode conectar o grafo G[C], uma contradi¸c˜ ao.

(⇐) Suponha que G[C] ´ e desconexo e H[C] ´ e conexo. Neste caso G[C] tem dois conjuntos separados de v´ ertices S, S ⊂ V , tal que u ∈ S, v ∈ S, e

= (u, v) ∈ E , mas n˜ ao h´ a caminho entre u e v ∈ G[C]. Contudo, da Defini¸c˜ ao 2, se e

= (u, v) ∈ E

, ent˜ ao h´ a um caminho entre u e v em G[C], uma contradi¸c˜ ao.

Corol´ ario 1. Dado um GAR G, adicionar uma aresta que forme um ciclo monocrom´ atico

em G n˜ ao muda o valor da fun¸ c˜ ao objetivo em rela¸ c˜ ao ao PCGRM.

38 Corol´ ario 2. Dado um GAR G, qualquer ciclo monocrom´ atico pode ser quebrado arbitra- riamente pela remo¸ c˜ ao de uma de suas arestas sem mudar o valor da fun¸ c˜ ao objetivo em rela¸ c˜ ao ao PCGRM.

4.1.2 Extens˜ ao do Fecho Crom´ atico

A seguir, ser´ a apresentado algumas extens˜ oes da defini¸c˜ ao geral de fecho crom´ atico, no qual, a partir destas, obtemos o fecho crom´ atico d, o fecho crom´ atico 0 e o fecho crom´ atico ∗.

Defini¸ c˜ ao 3. Seja δ(i, j) a distˆ ancia entre os v´ ertices i, j ∈ G({`}) e extrapolando a defini¸ c˜ ao do fecho transitivo F ({`}), temos que F

({`}) ´ e o fecho transitivo de distˆ ancia d, onde d ≥ 1, que expande o conjunto de arestas E({`}) tal que se houver um caminho entre os v´ ertices u e v no grafo G[{`}] com δ(u, v) ≤ d, ent˜ ao a aresta e = (u, v) ∈ F

({`}).

Defini¸ c˜ ao 4. De forma an´ aloga, o fecho transitivo crom´ atico de distˆ ancia d, abreviado fecho crom´ atico d, de um GAR G = (V, E, L), denotado por F

(G) = (V, E

, L), ´ e definido pela uni˜ ao do fecho transitivo F

({`}), ∀` ∈ L. Formalmente, E

= S

`∈L

F

({`}).

Defini¸ c˜ ao 5. Extrapolando a defini¸ c˜ ao do fecho transitivo F ({`}), temos que F

({`}) ´ e o fecho transitivo 0, que reduz o conjunto de arestas E({`}) tal que se houver um ciclo

`-crom´ atico C ⊂ G[{`}], ent˜ ao remove uma aresta e de r´ otulo `, onde e ∈ C.

Defini¸ c˜ ao 6. Por extens˜ ao, o fecho transitivo crom´ atico 0, abreviado fecho crom´ atico 0, de um GAR G = (V, E, L), denotado por F

(G), ´ e o grafo H = (V, E

, L), que tem o mesmo conjunto de v´ ertices e r´ otulos de G, e cujo conjunto de arestas ´ e definido pela uni˜ ao do fecho transitivo F

({`}), ∀` ∈ L. Formalmente, E

= S

`∈L

F

({`}).

Defini¸ c˜ ao 7. Extrapolando a defini¸ c˜ ao do fecho transitivo F ({`}), temos que F

({`}) ´ e o fecho transitivo ∗, que transforma o conjunto de arestas E({`}) tal que se houver uma componente `-crom´ atica K

⊂ G[{`}], onde |V (K

)| > 2, ent˜ ao K

´ e transformada em uma estrela S

`-crom´ atica cujo v´ ertice central v ´ e um v´ ertice arbitr´ ario de V (K

).

Defini¸ c˜ ao 8. Por extens˜ ao, o fecho transitivo crom´ atico ∗, abreviado fecho crom´ atico ∗, de um GAR G = (V, E, L), denotado por F

(G), ´ e o grafo H = (V, E

, L), que tem o mesmo conjunto de v´ ertices e r´ otulos de G, e cujo conjunto de arestas ´ e definido pela uni˜ ao do fecho transitivo F

({`}), ∀` ∈ L. Formalmente, E

= S

`∈L

F

({`}).