MicroFinanceira NA5 Markowitz

(1)

Nota de Aula 5 – Modelo de M´edia-Variˆ

ancia de Markowitz

Microeconomia Financeira

Mestrado Profissional em Economia – Universidade de Bras´ılia

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

1 Introdu¸

c˜

ao

A leitura recomendada para a mat´eria desta nota de aula ´e Elton, Gruber, Brown, and Goetz-mann (2003), cap´ıtulos 5 e 6.

Vamos supor por enquanto que existam apenas dois ativos com risco, A e B. Considere a seguinte nota¸cão: xA representa a fra¸cão da renda investida no ativo A e xB a fra¸cão da renda

investida no ativo B. Por defini¸c˜ao, xA + xB = 1, logo xB = 1 − xA Vamos assumir que

xA, xB ≥ 0 (ou seja, vendas a descoberto de qualquer um dos ativos n˜ao s˜ao permitidas). O

valor esperado da carteira p ´e:

Erp = xAErA+ xBErB = xAErA+ (1 − xA)ErB = ErB+ xA(ErA− ErB)

A variˆancia da carteira p ´e:

σ_p2 = x2_Aσ_A2 + x2_Bσ2_B+ 2xAxBσAB

= x2_Aσ_A2 + (1 − xA)2σ2B+ 2xA(1 − xA)σAB

= x2_Aσ_A2 + (1 − xA)2σ2B+ 2xA(1 − xA)σAσBρAB

Vamos analisar três casos poss´ıveis (dois casos extremos e um intermediário). 1. ρAB = 1. Nesse caso, a variância da carteira é:

σ2_p = x2_Aσ_A2 + (1 − xA)2σB2 + 2xA(1 − xA) σAσB O desvio-padr˜ao ´e: σp = q x2 AσA2 + (1 − xA) 2 σ2 B+ 2xA(1 − xA) σAσB =p[xAσA+ (1 − xA)σB]2 = xAσA+ (1 − xA)σB = xAσA+ σB− xAσB = σB+ xA(σA− σB) ,

j´a que xAσA+ (1 − xA)σB > 0, para todo 0 ≤ xA≤ 1.

Escrevendo a última expressão acima em fun¸cão de xA, obtemos:

xA=

σP − σB

σA− σB

Substituindo essa express˜ao para xA no retorno esperado da carteira, encontramos:

ErP = ErB+ σ_P − σB σA− σB (ErA− ErB) = ErB+ ErB− ErA σA− σB σB | {z } intercepto + ErA− ErB σA− σB | {z } inclina¸c˜ao σP

(2)

O gráfico abaixo, cujos eixos são retorno esperado e desvio-padrão, ilustra a rela¸cão acima entre ERp e σp (estamos supondo que o ativo A possui menor retorno esperado e variância do

que o ativo B). 6 -Er σ A B s s

Fig. 1: Dois Ativos, ρ = 1

2. ρAB = −1. Nesse caso, a variˆancia da carteira ´e:

σ2_p = x2_Aσ_A2 + (1 − xA)2σ2B− 2xA(1 − xA) σAσB O desvio-padr˜ao ´e: σp = q x2 Aσ2A+ (1 − xA) 2 σ2 B− 2xA(1 − xA) σAσB

Vamos analisar o primeiro caso, que se subdivide em dois. Observe que se xA= σB/(σA+ σB),

então σp = 0. Portanto: 1. Se xA ≥ σB/(σA+ σB), então −σB+ xA(σA+ σB) ≥ 0 e σp = −σB+ xA(σA+ σB). Nesse caso, xA = σp + σB σA+ σB (1) 2. Se xA < σB/(σA+ σB), então −σB + xA(σA+ σB) < 0 e σp = −(−σB+ xA(σA+ σB)). Nesse caso, xA = σB− σp σ + σ (2)

(3)

Substituir xA dado pela equa¸c˜ao (1) na express˜ao para o retorno esperado da carteira resulta em: Erp = σP + σB σA+ σB ErA+ 1 −σP + σB σA+ σB ErB = σBErA+ σAErB σA+ σB + ErA− ErB σA+ σB σP (3)

Já substituir xAdado pela equa¸cão (2) na expressão para o retorno esperado da carteira resulta

em: ErP = σB− σP σA+ σB ErA+ 1 −σB− σP σA+ σB ErB = σBErA+ σAErB σA+ σB − ErA− ErB σA+ σB σp (4)

Para 0 ≤ xA< σB/(σA+ σB), vale a equa¸c˜ao (4), para σB/(σA+ σB) ≤ xA≤ 1, vale a equa¸c˜ao

(3). Essas duas equa¸c˜oes possuem o mesmo intercepto no eixo das ordenadas e possuem inclina¸c˜oes opostas em sinal, mas iguais em valor absoluto. Se ErA− ErB > 0, por exemplo,

obtemos a seguinte figura.

6 -Er σ H H H H H H HH s B s A s

Fig. 2: Dois Ativos, ρ = −1

O segundo caso, em que σp = |− xAσA+ (1 − xA)σB|, pode ser analisado de forma semelhante,

e leva ao mesmo tipo de solu¸c˜ao. Observe que se xA= σB/(σA+ σB), ent˜ao σp = 0. Portanto:

1. Se xA ≤ σB/(σA+ σB), ent˜ao σB − xA(σA+ σB) ≥ 0 e σp = σB− xA(σA+ σB). Nesse caso, xA = σp + σB σA+ σB (5) 2. Se xA > σB/(σA+ σB), ent˜ao σB− xA(σA+ σB) < 0 e σp = −(σB− xA(σA+ σB)). Nesse caso, xA = σB− σp σA+ σB (6)

(4)

´

E fácil notar que substituir os valores de xA obtidos acima levam a expressões análogas a (3)

e (4) (mas com os intervalos para xA associados a essas equa¸c˜oes trocados). Ou seja, obtemos

uma figura com o mesmo formato da anterior. Portanto, se ρAB = −1, sempre ser´a

poss´ıvel determinar pesos xA e xB tais que a volatilidade ´e totalmente eliminada.

3: ρAB = 0. (correla¸cão zero) Nesse caso, a variância da carteira é:

σ_p2 = x2_Aσ2_A+ (1 − xA) 2 σ_B2 O desvio-padr˜ao ´e: σp = q x2 AσA2 + (1 − xA) 2 σ2 B

Portanto, temos que:

σp =

p

[xAσA− (1 − xA)σB]2

Erp = xAErA+ (1 − xA)ErB

Combinamos as duas ´ultimas equa¸c˜oes acima para escrever: ErP = f (σP) ,

que gera uma hip´erbole, situa¸c˜ao ilustrada na figura abaixo.

6 -Er σ s_A sB

(5)

2 Fronteira de M´

edia-Variˆ

ancia

Em geral, temos uma quantidade grande de ativos financeiros à disposi¸cão do investidor. Que-remos caracterizar a fronteira de média-variância dos ativos com risco (apesar desse nome, na verdade iremos determinar uma fronteira de média e desvio-padrão). Ou seja, queremos identificar para cada n´ıvel de retorno esperado, a carteira com menor variância.

Logo, o problema que queremos resolver ´e: min x1,...,xn σ_p2 s.a. Erp = µ , n X i=1 xi = 1 , isto ´e, min x1,...,xn n X i=1 x2_iσ_i2+X i6=j xixjσij s.a. x1Er1+ · · · + xnErn = µ , n X i=1 xi = 1 .

O problema escrito em forma matricial ´e: min

x1,...,xn

xTΩ x s.a. xTEr = µ , xT1 = 1 ,

onde x é o vetor de dimensão n × 1 de pesos (o superescrito T indica a transposta de vetores ou matrizes), Ω é a matriz de variância e covariância e Er é o vetor de retornos esperados, e 1 ´

e o vetor n × 1 formado por 1 em toda entrada:

x =      x1 x2 .. . xn      , Ω =      σ2 1 σ12 . . . σ1n σ21 σ22 . . . σ2n .. . ... . .. ... σn1 σn2 . . . σ2n      , Er =      Er1 Er2 .. . Ern      , 1 =      1 1 .. . 1      . O Lagrangeano do problema ´e: L = xT_{Ω x + 2λ[µ − x}T_{Er] + 2δ[1 − x}T_{1] ,}

onde 2λ e 2δ são multiplicadores de Lagrange (escrevemos os multiplicadores de Lagrange multiplicados por 2, já que isso não altera a solu¸cão do problema e simplifica a CPO para x). As CPOs em x levam a:

2Ωx − 2λEr − 2δ1 = 0 ⇒ x = Ω−1(λEr + δ1) Incorporando o valor de x acima nas restri¸c˜oes do problema, obtemos:

ErTx = Er Ω−1(λEr + δ1) = µ 1Tx = 1T Ω−1(λEr + δ1) = 1 Em termos matriciais, temos:

A B B C ·λ δ =Er T_Ω−1_{Er Er}T_Ω−1₁ 1TΩ−1Er 1TΩ−11 ·λ δ =µ 1 , onde A = ErTΩ−1Er, B = ErTΩ−11 = 1T_Ω−1_{Er e C = 1}T_Ω−1_1.

(6)

Lembrando que para uma matriz dois por dois, a inversa ´e: M =A B B C ⇒ M−1 = 1 det(M ) C −B −B A , obtemos: λ = Cµ − B AC − B2 e δ = A − Bµ AC − B2

Substituindo esses valores na express˜ao acima para x, encontramos: x = Ω−1 Er(Cµ − B) + 1(A − Bµ)

AC − B2

(7) Substituindo o valor ótimo de x na fórmula da variância da carteira xT_{Ω x, obtemos:}

σ_p2 = Cµ

2_{− 2Bµ + A}

AC − B2 , (8)

ou seja, a variância m´ınima é uma fun¸cão quadrática do retorno esperado. Logo, no espa¸co retorno esperado/desvio-padrão, o gráfico abaixo deve ilustrar uma hipérbole.

Se minimizarmos (8) na escolha de µ, encontramos µmin = B/C. Para esta carteira, chamada

carteira de variância m´ınima, os pesos são obtidos substituindo µ = B/C na expressão de x dada em (7), o que resulta:

x = Ω

−1₁

1T_Ω−1₁

Finalmente, é poss´ıvel gerar toda fronteira de média-variância usando apenas duas carteiras distintas sobre a fronteira.

6

-Er

σ

Fig. 4: Fronteira de M´edia-Variˆancia

Observe que para calcular a fronteira de média e variância dos ativos com risco precisamos calcular o retorno esperado de cada ativo e a matriz de variância e covariância desse ativos, ou seja, todas as variâncias individuais e todas as covariâncias entre cada par de ativos.

Um investidor irá escolher carteiras na fronteira eficiente, ou seja, na parte crescente da fron-teira de média e variância. Mas será poss´ıvel restringir mais o conjunto de ativos com risco que um investidor deve escolher, ainda sem supor nada sobre a forma funcional espec´ıfica da sua fun¸cão de utilidade? A próxima se¸cão mostra que sim.

(7)

3 Carteira Tangente

Vamos supor que a utilidade do indiv´ıduo é do tipo média e variância, em que maior a média (o retorno esperado), maior a utilidade, e menor a variância, maior a utilidade (indiv´ıduo avesso ao risco). O exemplo abaixo mostra que alavancar cria a possibilidade de carteiras com retornos esperados maiores, mas ao custo de volatilidades mais elevadas.

Exemplo: Suponha dois ativos, A e B, tais que ErA = 8%, σA = 3%, ErB = 14%, σB = 6%

e ρAB = 0,5. Vamos supor que vendas a descoberto s˜ao permitidas e que o indiv´ıduo tem uma

renda de R$ 100 para investir. Se ele investir apenas em B (carteira xA = 0 e xB = 1), ele

obt´em um retorno esperado de 14%. Suponha que xA = −10 e xB = 11 (note que xA+xB = 1).

Ou seja, ele vende $ 1000 do ativo A a descoberto, que a um retorno esperado de 8% implica −80 de retorno esperado, ou seja, 80% da renda dele. Se ele usa os R$ 1000 adquiridos com a venda a descoberto, somados a sua renda de R$ 100, para investir em B, ele obt´em um retorno esperado de R$ 154, ou seja, 154% da renda inicial. O payoff esperado final ´e de R$ 74, ou seja, um retorno esperado de 74%.

Portanto, a alavancagem serviu para aumentar o retorno esperado. É fácil perceber que se aumentarmos mais a alavancagem, aumentaremos o retorno esperado obtido. Porém essa estratégia também aumenta o risco:

σ2_p = x2_Aσ_A2 + x2_Bσ_B2 + xAxBσAσBρAB

= (−10)2(3%)2+ (11)2(6%)2+ 2(−10)(11)(3%)(6%)0,5 = 32,76%

Ou seja, o desvio-padrão da carteira é 57,24%. Portanto, a alavancagem de fato permite obter um retorno esperado mais alto, mas à custa de mais risco.

Logo, queremos uma medida que leve em conta esse trade-off entre retorno esperado e risco. Suponha que existe um ativo sem risco, cujo retorno ´e rf. A medida que iremos usar ´e chamada

taxa Sharpe (Sharpe ratio ou tamb´em pre¸co do risco), dada por: T Sp =

Erp− rf

σp

Essa medida leva em conta o trade-off entre retorno esperado e risco. Suponha rf = 2%. A

taxa Sharpe para os dois portf´olios do exemplo acima s˜ao: T S(xA= 0, xB = 1) = 14% − 2% 6% = 2 T S(xA= −10, xB = 11) = 74% − 2% 57,24% ≈ 1,26

Portanto o portfólio alavancado tem uma taxa Sharpe menor do que o portfólio não-alavancado, indicando que o aumento de retorno esperado foi à custa de um aumento mais do que propor-cional no risco.

Logo, nosso objetivo é determinar a carteira tangente (ou portfólio tangente), ou seja, a carteira de ativos com risco com a maior taxa Sharpe poss´ıvel. O gráfico abaixo ilustra essa carteira para a fronteira de média-variância considerada.

(8)

6 -Er σ rf s

Fig. 5: Carteira Tangente

O problema ent˜ao que queremos resolver ´e:

max x1,...,xn E(rp) − rf σp s.a. n X i=1 xi = 1 (9)

Vamos considerar quatro casos:

1. Vendas a descoberto são permitidas e é poss´ıvel aplicar e tomar dinheiro emprestado à taxa de juros sem risco;

2. Vendas a descoberto são permitidas, mas não é poss´ıvel aplicar e tomar dinheiro empres-tado;

3. Vendas a descoberto não são permitidas, mas é poss´ıvel aplicar e tomar dinheiro empres-tado;

4. Nem as vendas a descoberto são permitidas, nem aplica¸cões ou empréstimos à taxa de juros sem risco são permitidos.

3.1 Vendas a descoberto permitidas; r

f

existe

Esse ´e o caso mais geral, em que o problema ´e:

max x1,...,xn E(rp) − rf σp s.a. n X i=1 xi = 1

Substituindo as express˜oes para Erp e σp, obtemos:

max x1,...,xn (x1Er1+ x2Er2+ · · · + xnErn) − rf Pn i=1x 2 iσi2+ Pn i=1 Pn j=1,j6=ixixjσij 1₂ s.a. n X i=1 xi = 1

(9)

Como podemos resolver o problema acima? Dois modos: 1. Computacionalmente,

2. M´etodo de Lagrange ou Kuhn-Tucker.

Vamos resolver o problema usando o m´etodo de Lagrange. Observe que como Pn

i=1xi = 1, temos que: rf = 1 · rf = n X i=1 xi ! rf = n X i=1 xi· rf

Logo, se reescrevermos o problema como: max x1,...,xn Pn i=1xi(Eri− rf) Pn i=1x 2 iσi2+ Pn i=1 Pn j=1,j6=ixixjσij 1₂ , ent˜ao a restri¸c˜ao Pn

i=1xi = 1 ´e incorporada na fun¸c˜ao objetivo.

Para facilitar a nota¸c˜ao, vamos denotar:

A12 = n X i=1 x2_iσ_i2+ n X i=1 n X j=1,j6=i xixjσij !1₂

As CPO do problema acima para cada peso xk, k = 1, . . . , n, s˜ao:

(Erk− rf) A− 1 2 + −1 2 n X i=1 xi(Eri− rf) ! A−32 2x_kσ2 k+ 2 n X j=1,j6=i xjσkj ! = 0

Multiplicando a CPO acima para xk por A

1 2 resulta em: (Erk− rf) − n X i=1 xi(Eri− rf) ! A−1 xkσk2+ n X j=1,,j6=i xjσkj ! = 0 (10)

Vamos denotar por θ a seguinte express˜ao: θ = n X i=1 xi(Eri− rf) ! A−1 = Erp− rf σ2 p

Substituindo essa expressão para θ na equa¸cão (10) e rearranjando essa equa¸cão, obtemos: Erk− rf = θ xkσ2k+ n X j=1,,j6=i xjσkj ! = θxkσ2k+ θx1σk1+ θx2σk2+ · · · + θxnσkn = zkσk2+ z1σk1+ z2σk2+ · · · + znσkn

onde zi = θxi, para todo k = 1, . . . , n.

Listando todas as n CPOs obtemos:

Er1− rf = z1σ12+ z2σ12+ · · · + znσ1n

Er2− rf = z1σ21+ z2σ22+ · · · + znσ2n

.. .

(10)

As equa¸cões acima determinam um sistema de equa¸cões lineares nas variáveis z. Vamos rees-crever esse sistema em forma matricial:

     Er1− rf Er2− rf .. . Ern− rf      =      σ2 1 σ12 . . . σ1n σ21 σ22 . . . σ2n .. . ... . .. ... σn1 σn2 . . . σn2      | {z } =Ω ·      z1 z2 .. . zn     

Como a matriz de variância e covariância Ω é invert´ıvel, temos que:      z1 z2 .. . zn      = Ω−1      Er1− rf Er2− rf .. . Ern− rf      (11)

Ou seja, encontramos z1, . . . , zn como fun¸c˜ao dos parˆametros do problema (os retornos

es-perados, as variâncias e as covariâncias dos ativos). Porém, queremos encontrar as fra¸cões x1, . . . , xn da renda investidas nos ativos. Mas determinados z1, . . . , zn, recuperamos os pesos

´ otimos x1, . . . , xn fazendo: zk Pn i=1zi = θxk θPn i=1xi = xk, (12) j´a que Pn i=1xi = 1.

Portanto, a determina¸cão dos pesos ótimos exige o cálculo da matriz de variância e covariância Ω e do retorno esperado de cada ativo, assim como no caso da determina¸cão da fronteira de média e variância. Uma vez que estimamos esses parâmetros, podemos calcular z1, . . . , zn facilmente

por meio de (11). Uma vez calculados z1, . . . , zn, calculamos os pesos ´otimos x1, . . . , xn usando

(12).

3.2 Vendas a descoberto permitidas; r

f

n˜

ao existe

Neste caso, podemos determinar a fronteira eficiente resolvendo o problema (9), supondo di-versos valores para rf. Ou seja, repetimos o procedimento na subse¸c˜ao anterior, para diversos

valores diferentes de rf. Desse modo, delineamos a fronteira eficiente dos ativos com risco.

3.3 Vendas a descoberto n˜

ao permitidas; r

f

existe

Neste caso, precisamos impor restri¸cões sobre as fra¸cões xi. Como vendas a descoberto não são

poss´ıveis, ent˜ao o problema agora se torna: max x1,...,xn E(rp) − rf σp s.a. n X i=1 xi = 1, xi ≥ 0, ∀i = 1, . . . , n

Podemos resolver esse problema computacionalmente ou usando o m´etodo de Kuhn-Tucker.

3.4 Vendas a descoberto n˜

ao permitidas; r

f

n˜

ao existe

Neste caso, repetimos o caso anterior, em que foram impostas n restri¸c˜oes xi ≥ 0, supondo

diversos valores para rf. Ou seja, repetimos o procedimento na subse¸c˜ao anterior, para diversos

valores diferentes de rf (similar à análise na subse¸cão 3.2). Desse modo, delineamos a fronteira

(11)

4 Modelo de Markowitz

Suponha que determinamos a carteira tangente, que maximiza a taxa Sharpe, e denote essa carteira com o subscrito p. Suponha que exista um ativo sem risco, cujo retorno ´e denotado por rf.

O problema do investidor é decidir quanto investir no ativo sem risco e na carteira tangente, ou seja, determinar a fra¸cão da riqueza x que deve ser investida na carteira tangente o que, por sua vez, determina a fra¸cão da riqueza investida no ativo sem risco, 1 − x. Vamos denotar por rc e por σ2c o retorno e a variância dessa carteira formada pelo ativo livre de risco e pela

carteira tangente.

Por defini¸c˜ao, como rc= xrp+ (1 − x)rf, temos que:

Erc= xErp+ (1 − x)rf (13)

σ_c2 = x2σ_p2 (14)

Observe que a express˜ao para σ2

c resulta em:

x = σc σp

Se substituirmos esse valor para x na express˜ao do retorno esperado da carteira c, obtemos: Erc = rf + (Erp− rf) x Erc = rf + (Erp− rf) | {z } σc σp prˆemio ao risco

Rearranjando essa express˜ao, obtemos: Erc= rf +

Erp− rf

σp

σc

Essa equa¸cão define uma reta no espa¸co retorno-esperado×desvio-padrão. Ela é chamada linha de aloca¸cão de capital (LAC); em inglês, capital allocation line (CAL). A CAL de-compõe o retorno esperado da carteira completa em: 1) taxa sem risco; e 2) (taxa de retorno médio/volatilidade) × quantidade de risco. Observe que:

• rf ´e o intercepto,

• (Erp− rf)/σp ´e a inclina¸c˜ao.

A CAL mostra as combina¸c˜oes (os pares) de {Erc, σc} fact´ıveis, isto ´e, que podem ser alcan¸cadas

usando uma carteira composta da carteira tangente p e do ativo sem risco.

Vale então o Teorema de Separa¸cão em Dois Fundos: Todo investidor, independentemente de suas preferências, deve investir apenas em uma carteira formada por dois ativos: o ativo sem risco e a carteira tangente (alguns autores chamam esse resultado de separa¸cão em um fundo, já que não consideram rf um fundo de investimento).

Queremos determinar o ponto na CAL escolhido pelo investidor, ou seja, quais fra¸cões da renda ele irá alocar no ativo sem risco e na carteira tangente. Claramente, a composi¸cão dessa carteira completa depende da utilidade do investidor. A Figura 6 abaixo ilustra esse processo.

(12)

6 -Er σ rf

Linha de Aloca¸c˜ao de Capital Inclina¸c˜ao (pre¸co do risco): Erp−rf

σp

s E

Fig. 6: Escolha do Investidor

Suponha que o investidor tenha uma utilidade do tipo m´edia-variˆancia:

U = E (rc) − 0, 005Aσc2 (15)

onde A > 0 é um coeficiente de aversão ao risco (observe que se A = 0, o investidor é neutro ao risco, se A < 0, o investidor é propenso ao risco).

Se substituirmos as expressões (13) e (14) na utilidade de média-variância (equa¸cão 15), obte-mos: U = xErp+ (1 − x)rf − 0, 005Ax2σp2 = rf + (Erp − rf) x − 0, 005Ax2σ2p O problema do investidor é: max x rf + (Erp− rf) x − 0, 005Ax 2_σ2 p A CPO é: Erp− rf − 0, 01Aσ2px = 0

Resolvendo a CPO para x, encontramos:

x∗ = Erp− rf 0, 01Aσ2 p

Observe que a fra¸cão ótima investida na carteira tangente x∗ é maior quanto: • Maior for o excesso de retorno de p (i.e., Erp− rf),

• Menor for a variˆancia σ2

p da carteira tangente,

• Menor a avers˜ao ao risco do indiv´ıduo (A) (ou seja, maior a fra¸c˜ao da renda investida no ativo sem risco).

Referˆ

encias

Elton, E., Gruber, M., Brown, S., & Goetzmann, W. (2003). Moderna teoria de carteiras e an´alise de investimentos. Editora Atlas.