4 Intervalo de confian¸ ca para a variˆ ancia populacional

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Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Disciplina: Metodos Estat´ısticos

Prof. Anna Regina Corbo

CAP´ITULO 0: Teoria da Estima¸c˜ao

E o processo que consiste em utilizar dados amostrais para obter valores de parˆ´ ametros populacionais desconhecidos.

Estimador: é toda a estat´ıstica amostral que tem um parâmetro correspondente na popula¸cão.

Por exemplo: ¯x´e estimador de µ; s´e estimador de σ.

Estimador não-tendencioso: Seθ é um parâmetro e ˆθé seu estimador, dizemos que θˆé um estimador não-tendencioso de θ seE[ˆθ] =θ.

Estimativa: ´e o valor num´erico do estimador.

As estimativas obtidas podem ser:

Pontuais: o parˆametro ´e estimado unicamente pelo valor do estimador.

Intervalar: o parâmetro é estimado através de um intervalo de valores, onde o estimador é seu valor central.

1 Intervalos de Confian¸ ca

A estima¸c˜ao por intervalos consiste no estabelecimento de limites inferior e superior para o parˆametro que se deseja estimar.

Ao construir o intervalo [lim inf; lim sup] devemos associar a ele umgrau de riscopara o valor real do parâmetro não pertencer a este intervalo. Este grau de risco é expresso em termos de probabilidade, isto é, podemos estabelecer um erro aceitável(por exemplo, 1%

ou 5%).

A precisão do intervalo é o complementar do grau de risco. Este grau de risco é chamado de n´ıvel de significância e é notado por α.

Ograu de precisãoé o complementar do n´ıvel de significância e é notado por 1−α.

Sejaθ um parˆametro em estudo.

[ ˆθ₁ 6θ 6θˆ₂] ´e um intervalo de confian¸ca.

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Caracter´ısticas:

1. O tamanho da amostra afeta a precisão do intervalo. Se n é grande ⇒ a precisão é melhor.

2. O tamanho do intervalo tamb´em depende do n´ıvel de significˆanciaα desejado.

2 Intervalo de confian¸ ca para a m´ edia da popula¸ c˜ ao com variˆ ancia conhecida

Sejam X ∼N(µ, σ²) e ¯X ∼ µ,^σ_n²

. Temos que Z = X−µ

σ e Z_x_¯ = x¯−µ σ/√

n. Sejaz^α

2 tal que P(Z 6z^α

2) = 1−α

2 (obtido pela tabela da distribui¸c˜ao normal padr˜ao).

Ent˜ao, temos que:

P(−z^α

2 6Z 6z^α

2) = 1−α Deste modo, temos:

P(−z^α

2 6Z_x_¯ 6z^α

2) = 1−α P

−z^α

2 6 x¯−µ σ/√

n 6z^α

2

= 1−α P

−z^α

2 · σ

√n 6x¯−µ6z^α

2 · σ

√n

= 1−α P

−¯x−z^α

2 · σ

√n 6−µ6−¯x+z^α

2 · σ

√n

= 1−α P

¯ x−z^α

2 · σ

√n 6µ6x¯+z^α

2 · σ

√n

= 1−α

Este é o intervalo de confian¸ca 1−α para a média se xé a média de uma amostra aleatória de tamanho n, proveniente de uma popula¸cão com variância conhecida σ².

Exemplo 1 Considere uma amostra de 100 elementos extra´ıda de uma popula¸cão aproxima- damente normal, cujo desvio-padrão é igual a 2,0, que forneceu média x¯= 35,6. Construir um intervalo de 95% de confian¸ca para a média desta popula¸cão.

Exemplo 2 A taxa de queima de um combust´ıvel num determinado ve´ıculo é normalmente distribu´ıda, com desvio-padrão de 2 cm/s. Num experimento com 25 amostras, foi obtido uma taxa média amostral de 51,3 cm/s. Determine o intervalo de 99% de confian¸ca para a taxa média populacional de queima.

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3 Intervalo de confian¸ ca para a m´ edia quando a variˆ ancia populacional ´ e desconhecida

3.1 A distribui¸c˜ao t-Student

Considere a distribui¸cão t-Student (similar a distribui¸cão normal, porém com o uso de s ao invés de σ). Logo,

Z_¯_x= X¯ −µ σ/√

n =⇒T^α

2;n−1 = X¯ −µ s/√

n Isto ´e, quando ny∞ temos que T yZ pois syσ.

Usando a tabela t-Student Se α= 0,05 e n = 20 ent˜aot^α

2;n−1 =t_0,025;19 = 2,09.

3.2 Construindo o intervalo de confian¸ca

Queremos construir um intervalo de confian¸ca para a média onde a variância populacional σ² é desconhecida.

Seja, ent˜ao,

P −t^α

2;n−1 6T 6t^α

2;n−1

= 1−α P

−t^α

2;n−1 6 x¯−µ s/√

n 6t^α

2;n−1

= 1−α P

−t^α

2;n−1 · s

√n 6x¯−µ6t^α

2;n−1· s

√n

= 1−α P

¯ x−t^α

2;n−1· s

√n 6µ6x¯+t^α

2;n−1· s

√n

= 1−α

Este é o intervalo de confian¸ca 1−α para a média se xé a média de uma amostra aleatória de tamanho n, proveniente de uma popula¸cão com variância desconhecida σ².

Exemplo 3 Considerando que uma amostra de 4 elementos extra´ıda de uma popula¸cão normal forneceu média 8,20e desvio-padrão 0,40, construir um intervalo de 99% de confian¸ca para a média dessa popula¸cão.

Exemplo 4 Os resultados de testes de consumo de energia com geladeiras foram registrados na tabela abaixo. Com base nestes valores, responda: entre que valores está a média da popula¸cão com grau de precisão de 95%?

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4 Intervalo de confian¸ ca para a variˆ ancia populacional

4.1 A distribui¸c˜ao χ² (Qui-Quadrado)

Seja X uma amostra tal queX ∼N(µ, σ²).

Sabe-se que a variˆancia amostral ´e dada por s² =

P(xi−¯x)² n−1 . Ent˜ao,

s² σ² =

P(xi−¯x)² n−1

σ² =

P(x_i−x)¯ ² n−1 · 1

σ² =

P(x_i−x)¯ ² (n−1)·σ² onde σ² ´e a variˆancia populacional de X.

Por´em,

P(x_i−x)¯ ²

σ² ∼χ²_n−1 tem distribui¸c˜ao Qui-Quadrado se X ∼N(µ, σ²).

Logo,

P(x_i−x)¯ ²

(n−1)·σ² = 1 n−1·

P(x_i−x)¯ ²

σ² = 1

n−1 ·χ²_n−1 Ou seja,

s²

σ² = 1

n−1 ·χ²_n−1

Como utilizar a tabela da distribui¸c˜ao Qui-Quadrado?

Dados de entrada: n,α n´ıvel de significˆancia =⇒ valor de referˆenciaχ²_n−1,α.

Exemplo 5 Buscar na tabela χ², os valores relativos `a distribui¸c˜ao amostral inferior e superior para:

a)n= 8 e α = 0,05

b)n= 30 e α= 0,1

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4.2 Intervalo de confian¸ca para a variˆancia

Seja s²

σ² = 1

n−1 ·χ²_n−1 =⇒ s²(n−1)

σ² =χ²_n−1 Considere o intervalo:

P(χ²_inf 6χ² 6χ²_sup) = 1−α

onde:







χ²_inf =χ²_n−1,1−α 2

χ²_sup=χ²_n−1,^α

2

Ent˜ao:

P(χ²_inf 6χ² 6χ²_sup) = 1−α

P

χ²_inf 6 s²(n−1)

σ² 6χ²_sup

= 1−α

P 1

χ²_inf > σ²

s²(n−1) > 1 χ²_sup

!

= 1−α

P s²(n−1)

χ²_inf >σ² > s²(n−1) χ²_sup

!

= 1−α

P s²(n−1)

χ²_sup 6σ² 6 s²(n−1) χ²_inf

!

= 1−α

Este ´e o intervalo de 1−αde confian¸ca para a variˆancia populacional com base em uma amostra de tamanho n.

Exemplo 6 Uma amostra de 11 elementos extra´ıda de uma popula¸cão com distribui¸cão normal forneceu variância de 7,08. Construir um intervalo de 90% de confian¸ca para a variância desta popula¸cão.

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5 Estimativa da Propor¸ c˜ ao Populacional

Quando analisamos determinado fenômeno, podemos avaliar a propor¸cão de sucessos e falhas na popula¸cão total.

Tomemos como sucessos o evento X e como falha o evento Y = complementar de X.

P(X) = π P(Y) = 1−π

Dada uma amostra X⁰ queremos estimar a propor¸cão populacional π através da propor¸cão amostral p.

Para amostras “grandes” (em geral quando n > 30) podemos supor que elas tenham distribui¸cão normal. Deste modo, o intervalo de 1−α de confian¸ca para a propor¸cão populacional π, com base em uma amostra de tamanho n, é dado por:

P p−z^α

2 ·

rp(1−p)

n 6π6p+z^α

2 ·

rp(1−p) n

!

= 1−α

Exemplo 7 Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. A partir de um intervalo de confian¸ca de 98%, podemos dizer que a moeda ´e honesta?