Micro2Pos NA1 JGLR JogosII

(1)

Microeconomia 2 – P´

os-Gradua¸c˜

ao – 2/2019

Notas de Aula 1 – Teoria dos Jogos (Parte 2)

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

Departamento de Economia, Universidade de Bras´ılia

Jogos Bayesianos

1 Informa¸

c˜

ao Incompleta

Em um jogo de informa¸cão incompleta os jogadores possuem informa¸cão privada relevante para o jogo, antes do seu in´ıcio, informa¸cão não compartilhada por todos os jogadores.

Portanto, informa¸cão incompleta é diferente de informa¸cão imperfeita, onde algum jogador desconhece alguma escolha feita por outro jogador após o in´ıcio do jogo.

Poder´ıamos transformar um problema de informa¸cão incompleta em um problema de in-forma¸cão imperfeita, modelando o jogo de modo que se inicie antes de qualquer diferen¸ca de informa¸cão entre os jogadores.

Porém isso pode não ser natural em muitos casos, como em leilões, onde cada participante tem a sua valora¸cão do bem a ser leiloado, informa¸cão essa relevante para o leilão, e mais nenhum outro participante conhece essa valora¸cão. A natureza da informa¸cão incompleta pode ser de vários tipos, como o payoff dos jogadores, as preferências, etc (Myerson, 1997).

Logo, esses jogos são modelados supondo que os jogadores escolhem suas estratégias já pos-suindo informa¸cão privada. Como isso é feito?

Ideia Central – Harsanyi (1967): Toda incerteza a respeito da informa¸cão privada que um jogador possui é descrita pelo seu tipo. Cada jogador sabe o seu tipo, mas desconhece o tipo dos outros jogadores. A natureza escolhe o tipo de cada jogador antes do in´ıcio do jogo. O tipo do jogador contém toda informa¸cão privada relevante que ele possui sobre o jogo e que não é de conhecimento comum entre os outros jogadores. Como um jogador desconhece os tipos dos outros jogadores, ele formará uma cren¸ca (“belief ”) a respeito desses tipos. Esta nota de aula baseia-se em Jehle and Reny (2011), páginas 319-325, Myerson (1997), páginas 67-83.

2 Jogo Bayesiano

Seja ti ∈ Ti uma vari´avel aleat´oria escolhida pela natureza e observada apenas pelo jogador i.

Dizemos que ti ´e o tipo do jogador i. O conjunto T = T1× T2 × · · · × TI ´e o dom´ınio de toda

incerteza do jogo e incorpora toda informa¸c˜ao privada relevante que existe no jogo. Vamos assumir que Ti ´e finito para todo jogador i.

A fun¸cão utilidade do jogador i depende do seu tipo e dos tipos de todos os outros jogadores, além das estratégias de todos os jogadores, como de praxe. Então temos que:

ui : S × T → R , ui = ui(s, t) ,

onde s = (s1, . . . , sI) ∈ S = S1× · · · × SI e t = (t1, . . . , tI) ∈ T = T1× · · · × TI. Logo, podemos

(2)

Vamos supor que cada jogador i conhece T−i = T1× . . . Ti−1× Ti+1. . . TI, ou seja, sabe quais

podem ser os poss´ıveis tipos que os outros jogadores podem vir a ser. Logo, cada jogador pode ser um e apenas um dos tipos elencados no seu conjunto de tipos (ou seja, n˜ao h´a surpresas no sentido de um jogador revelar ser um tipo fora de seu conjunto de tipos).

Precisamos agora apenas caracterizar a probabilidade de ocorrˆencia dos tipos. Vamos supor que para cada jogador i, existe uma fun¸c˜ao de probabilidade subjetiva pi : Ti → ∆(T−i). Logo,

para cada tipo ti do jogador i, pi especifica uma distribui¸c˜ao de probabilidades pi(· | ti) sobre o

conjunto T−i, que representa o sistema de cren¸cas do jogador i sobre o tipo dos outros jogadores,

caso o tipo de i seja ti. Portanto, pi(t−i | ti) ´e a probabilidade que o jogador i, quando do tipo

ti, atribui a que os outros jogadores sejam do tipo t−i. Temos ent˜ao que:

0 ≤ pi(t−i | ti) ≤ 1, ∀ t−i ∈ T−i e

X

t−i∈T−i

pi(t−i | ti) = 1 ,

para todo tipo ti, todo jogador i.

Defini¸cão 7.10: Jogo de Informa¸cão Incompleta. Um jogo de informa¸cão incompleta (ou jogo Bayesiano) é descrito pela cole¸cão:

G = (pi, Ti, Si, ui)Ii=1,

onde para cada ti ∈ Ti, pi(· | ti) ´e uma distribui¸c˜ao de probabilidade sobre T−i, e ui : S ×T → R.

Se I é finito, e Si e Ti são finitos para todo i, dizemos que G é um jogo finito de informa¸cão

incompleta.

Assumimos que cada jogador i conhece toda a estrutura do jogo Bayesiano G = (pi, Ti, Si, ui)Ii=1,

do modo definido acima, e o seu pr´oprio tipo ti. Esse fato ´e de conhecimento comum dos

jogadores. Além disso, cada jogador sabe que todos os outros jogadores conhecem o seu próprio tipo (e isso também é de conhecimento comum do jogo).

Vamos chamar o objeto de escolha em um jogo Bayesiano de a¸cão. Isso é consistente com a defini¸cão de a¸cão para jogos na forma extensiva, que veremos a seguir. A ideia é que uma a¸cão define um plano contingente completo de jogadas que o indiv´ıduo considera fact´ıvel, após conhecer o seu tipo. Já uma estratégia abarca um plano contingente completo, para todas as situa¸cões poss´ıveis, antes de o jogador saber o seu tipo.

Exemplo: Vendedor vs Comprador. Suponha um objeto qualquer posto a venda, em que cada parte da transa¸cão saiba apenas a sua valora¸cão. Suponha que esse valor está entre R$ 1 e R$ 100, com probabilidade igual para cada valor. Ou seja, Ti = {1, 2, 3, . . . , 100}, para

i = v, c, onde v denota o vendedor do objeto e c um potencial comprador, e pi(t−i| ti) = 1/100,

para todo t−i ∈ T−i, ti ∈ Ti, i = v, c. Cada jogador anuncia um valor si, i = v, c, onde

si ∈ {0, 1, 2, 3, . . . , 100}. Suponha que se sc ≥ sv, ent˜ao a venda do objeto ocorre, com pre¸co

igual a (sv + sc)/2. Assumindo que os jogadores s˜ao neutros ao risco e que sc ≥ sv, ent˜ao as

utilidades dos jogadores v e c s˜ao:

Utilidade do vendedor: uv(s, t) = sv + sc 2 − tv, Utilidade do comprador: uc(s, t) = tc− sv+ sc 2 .

Se sc< sv, ent˜ao a venda do objeto n˜ao ocorre e uv(s, t) = uc(s, t) = 0. Com isso, completamos

(3)

3 Consistˆ

encia

Defini¸cão: Consistência do Sistema de Cren¸cas (Myerson, 1997). Dizemos que o sistema de cren¸cas (pi)i∈I é consistente se existir uma distribui¸cão comum a priori p sobre o

conjunto de tipos T (0 ≤ p (t) ≤ 1, para todo t ∈ T , e P

t∈T p (t) = 1) tal que a cren¸ca de cada

jogador é igual à distribui¸cão condicional de p, calculada usando a regra de Bayes: pi(t−i | ti) =

p (ti, t−i)

P

ˆ

t−i∈T−ip (ti, ˆt−i)

,

para todo t = (ti, t−i) ∈ T , para todo jogador i ∈ I.

Observe que no exemplo acima, p(t) = 1/10000, para todo t ∈ {1, 2, . . . , 100} × {1, 2, . . . , 100} mostra que as cren¸cas acima s˜ao consistentes, pois:

pi(t−i| ti) =

p (ti, t−i)

P

ˆ

t−i∈T−ip (ti, ˆt−i)

= 1/10000 100/10000 =

1 100 , para todo ti ∈ Ti, para todo t−i ∈ T−i, para todo jogador i.

A hip´otese de consistˆencia simplifica o modelo. Neste caso, o jogo pode ser caracterizado por G = (p, Ti, Si, ui)Ii=1. Mais ainda, em um modelo consistente, diferen¸cas em cren¸cas individuais

são justificadas apenas por diferen¸cas na informa¸cão que cada agente possui. Se as cren¸cas forem inconsistentes, essas diferen¸cas podem ser geradas por diferen¸cas de opinião.

Mais especificamente, Aumann (1976) argumenta que toda diferen¸ca nas cren¸cas dos jogadores ´

e resultado de uma diferen¸ca de informa¸c˜ao. Logo, segundo Aumann, seria natural supor que todos os sistemas de cren¸cas sejam derivados de uma distribui¸c˜ao conjunta p sobre o conjunto de todos os tipos T (p(t) > 0, para todo t ∈ T , e P

t∈T p(t) = 1). Apesar de os jogadores

desconhecerem os tipos de seus rivais, a distribui¸cão p é de conhecimento comum entre os jogadores. Essa hipótese é chamada common prior assumption (CPA).

Defini¸c˜ao: Jogos Bayesianos Equivalentes. Considere os dois jogos Bayesianos abaixo: G1 = (pi, Ti, Si, ui)Ii=1

G2 = (ˆpi, Ti, Si, ˆui)Ii=1

Dizemos que G1 e G2 s˜ao totalmente equivalentes se para todo jogador i existirem fun¸c˜oes

ai : Ti → R e bi : T → R tais que, para todo ti ∈ Ti, ai(ti) > 0 e:

ˆ

pi(t−i | ti) ˆui(s, t) = ai(ti) pi(t−i | ti) ui(s, t) + bi(t) ,

para todo s ∈ S, t−i ∈ T−i.

Logo, dois jogos são totalmente equivalentes se as utilidade esperadas de cada jogador nos dois jogos representarem a mesma preferência. Neste caso, estamos representando o mesmo jogo, apenas supondo utilidades esperadas diferentes mas equivalentes para cada jogador (observe que as probabilidades acima são subjetivas – por isso podemos considerar fun¸cões de probabilidades diferentes).

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Proposi¸c˜ao. Todo jogo Bayesiano G = (pi, Ti, Si, ui)Ii=1 finito ´e totalmente equivalente a um

jogo Bayesiano com cren¸cas consistentes.

Prova: Considere G = (pi, Ti, Si, ui)Ii=1 arbitr´ario e fa¸ca para todo jogador i:

ˆ

pi(t−i | ti) =

1 |T−i|

∀ ti, e uˆi(s, t) = |T−i| pi(t−i| ti) ui(s, t) ,

ou seja, bi(t) = 0, para todo t ∈ T e ai(ti) = 1 para todo ti ∈ Ti. Ent˜ao Ge = (ˆpi, Ti, Si, ˆui)Ii=1

´

e totalmente equivalente ao jogo original G e as cren¸cas ˆpi s˜ao consistentes com a distribui¸c˜ao

comum a priori p : T → R dada por:

p (t) = 1

|T1| × |T2| × · · · × |TI|

, o que conclui a demonstra¸c˜_ao.

Portanto, para jogos de informa¸c˜ao incompleta G = (pi, Ti, Si, ui)Ii=1, conforme definido acima,

a hipótese de consistência não é limitadora. Porém isso não é verdade em geral. Por exemplo, para modelos que assumem a hipótese de valores privados (private values assumption), ou seja, em que a utilidade de cada jogador depende das a¸cões escolhidas e apenas do seu tipo, ui : S × Ti → R, o resultado acima pode não ser válido.

4 Equil´ıbrio Bayesiano

Queremos definir uma solu¸cão ou no¸cão de equil´ıbrio para jogos de informa¸cão incompleta. O atalho desenvolvido por Harsanyi (1967) consiste em associar ao jogo Bayesiano um jogo na forma estratégica G∗, de modo que essa associa¸cão não seja amb´ıgua. Isso permite usar conceitos definidos para jogos na forma estratégica para os jogos Bayesianos.

Vamos fazer isso tornando cada tipo ti ∈ Ti um jogador distinto. Como o conjunto dos tipos

Ti ´e finito para todo jogador i, podemos supor, sem perda de generalidade, que Ti ∩ Tj = ∅,

para todo i 6= j. Criamos um jogo artificial, onde o conjunto dos jogadores ´e T∗ =S

i∈ITi, ou

seja, cada tipo de cada jogador ´e um jogador nesse novo jogo.

Uma vez definidos os jogadores, precisamos caracterizar as estratégias que cada jogador pode escolher. Obviamente, se o jogador é de um tipo referente ao jogador i no jogo Bayesiano original, fazemos ¯Sti = Si, para todo ti ∈ Ti, para todo i. Logo, o conjunto de todas estratégias

do jogo na forma estrat´egica pode ser denotado por: ¯ S = S|T1| 1 × S |T2| 2 × · · · × S |TI| I

Observe que ¯S ´e equivalente (isomorfo) ao conjunto: S∗ = ST1 1 × S T2 2 × · · · × S TI I , onde S_i∗ = STi

i = {s∗i : Ti → Si} ´e o conjunto de todas as fun¸c˜oes que associam a cada tipo

do jogador i uma estrat´egia. Logo, podemos lidar ou com ¯S ou com S∗, dependendo do que for mais conveniente. Finalmente, falta apenas definirmos as fun¸c˜oes de payoff u∗_t_i : S∗ _{→ R} associadas ao jogo na forma normal. Para isso, fazemos:

u∗_t_i(s∗) = X

t−i∈T−i

pi(t−i| ti) ui s∗i(ti), s∗−i(t−i), ti, t−i

Defini¸c˜ao 7.11: Representa¸c˜ao na Forma Normal. Seja G = (pi, Ti, Si, ui)Ii=1 um jogo

de informa¸cão incompleta. O jogo na forma estratégica G∗ = (S_t∗_i, u∗_t_i)ti∈T∗ definido acima é

(5)

Desse modo, obtemos o jogo na forma normal G∗ que corresponde ao jogo de informa¸c˜ao incom-pleta original, G = (p, Ti, Si, ui)Ii=1. Portanto, transformamos o estudo de jogos de informa¸c˜ao

incompleta em um estudo de jogos na forma estrat´egica. Vamos definir o conceito de equil´ıbrio usando esse atalho.

Definic˜ao 7.12: Equil´ıbrio Bayesiano. Um equil´ıbrio de Nash Bayesiano (ENB, ou apenas equil´ıbrio Bayesiano) s∗ = (s∗₁(·), . . . , s∗_I(·)) do jogo de informa¸c˜ao incompleta G = (p, Ti, Si, ui)Ii=1

´

e um equil´ıbrio de Nash para a representa¸c˜ao agente/tipo de G na forma estrat´egica G∗ descrita acima.

Teorema 7.3: Existˆencia de ENB. Todo jogo finito de informa¸c˜ao incompleta possui pelo menos um equil´ıbrio de Nash Bayesiano.

O Teorema 7.3 é consequência direta do Teorema de Nash (Theorem 7.2), que garante a existência de equil´ıbrios de Nash para todo jogo finito na forma estratégica, quando consi-deramos estratégias mistas.

No Teorema 7.3, cada tipo ti do jogador i ´e um jogador por si pr´oprio, que maximiza a sua

utilidade, dada a sua cren¸ca a respeito dos outros jogadores. Para termos uma descri¸cão completa do equil´ıbrio, precisamos listar as estratégias para cada tipo de cada jogador. Ou seja, mesmo que o jogador i saiba o seu tipo, a sua estratégia de equil´ıbrio é escolher uma a¸cão para cada tipo que ele poderia vir a ser. Isso é necessário por que mesmo que i conhe¸ca o seu tipo, os outros jogadores não sabem qual é o tipo de i (podemos dizer que não sabem o tipo de i que foi realizado). Então, ex-ante (antes de cada jogador saber o seu tipo), cada jogador i tem utilidade dada por:

Ep[ui(si(·), s−i(·), ti, t−i)] =

X

t∈T

p(t) ui(si(ti), s−i(t−i), ti, t−i) .

Ex-post (após cada jogador conhecer o seu tipo), a utilidade realizada é a que os jogadores de fato obtêm escolhendo a a¸cão associada ao seu tipo ti realizado, que faz parte do equil´ıbrio de

Nash: u∗_t i(s ∗_{) = E} pi[ui(si(ti), s−i(·), ti, ·) | ti] = X t−i∈T−i

pi(t−i | ti) ui(si(ti), s−i(t−i), ti, t−i) .

Portanto, um conjunto de regras de decis˜ao (s∗₁(·), . . . , s∗_I(·)) ´e um equil´ıbrio de Nash Bayesiano para o jogo G = (p, Ti, Si, ui)Ii=1 se, e somente se, para todo “jogador ti” tivermos que:

Epiui(s ∗ i(ti), s∗−i(·), ti, ·) | ti ≥ Epiui(s 0 i, s ∗ −i(·), ti, ·) | ti ,

para todo s0_i ∈ Si, para todo ti ∈ Ti com probabilidade positiva de ocorrer.

Finalmente, observe que o Teorema de Existˆencia de Equil´ıbrio acima n˜ao exclui a possibilidade de que o equil´ıbrio Bayesiano envolva jogadores randomizando. Neste caso, denote por:

m = (mi(· | ti))ti∈Ti, i∈I

um conjunto de estratégias mistas definidas para todos os jogadores. Então, vale que para todo si ∈ Si, ti ∈ Ti, e todo jogador i, mi(si| ti) ≥ 0. Além disso, temos que:

X

si∈Si

mi(si| ti) = 1 ,

para todo ti ∈ Ti, para todo jogador i. Ent˜ao o conjunto de estrat´egias m∗ = (mi∗(si| ti))ti∈Ti, i∈I

´

e um equil´ıbrio Bayesiano se para todo i ∈ I, e para todo ti ∈ Ti, temos que:

m∗_i(· | ti) ∈ argmax mi∈∆Si X t−i∈T−i X s∈S   Y j∈I−i m∗_j(sj | tj)  mi(si) u∗ti(s ∗ )

(6)

Exemplos 7.2 e 7.3. Duas firmas competem no pre¸co, do modo de Bertrand. A firma 1 n˜ao conhece o custo marginal de produ¸c˜ao da firma 2, que pode ser baixo ou alto, com a mesma probabilidade. Nesse caso, T1 = {c1} e T2 = {c2l, c2h}, com c1 = 0, c2l = 1 e c2h = 4. O conjunto

de estratégia de cada firma é o pre¸co cobrado pelo bem produzido. O payoff da firma 2 depende de seu custo marginal ser baixo ou alto. A demanda de mercado é 8 − p, onde p é o menor pre¸co cobrado. Vamos supor que cada firma possa escolher apenas entre três pre¸cos, p = 1, p = 4 e p = 6 (cada jogador possui apenas três estratégias). Suponha a seguinte regra: se os pre¸cos anunciados forem diferentes, a firma que anunciou o menor deles define o pre¸co de equil´ıbrio e fica com toda a demanda. Se os pre¸cos anunciados forem iguais, as duas firmas dividem o mercado caso o pre¸co anunciado seja maior do que o maior custo marginal. Caso o pre¸co anunciado seja igual ao maior custo marginal, então a firma 1 fica com toda a demanda. O payoff de cada firma é o seu lucro, igual a zero caso não haja produ¸cão. Logo, os payoffs do jogo são descritas pelas matrizes abaixo, para cada tipo que a firma 2 venha a ser.

1↓ / 2l → p2 l = 6 p2l = 4 p2l = 1 p1 = 6 6, 5 0, 12 0, 0 p1 _{= 4} _{16, 0} _{8, 6} _{0, 0} p1 _{= 1} _{7, 0} _{7, 0} _{7, 0} 1↓ / 2h → p2_h = 6 p2_h = 4 p2_h = 1 p1 = 6 6, 2 0, 0 0, −21 p1 = 4 16, 0 16, 0 0, −21 p1 _{= 1} _{7, 0} _{7, 0} _{7, 0}

Vamos encontrar as matrizes associadas à representa¸cão agente/tipo do jogo Bayesiano acima. Nesse caso, temos três jogadores, 1, 2l e 2h, onde 2l é o jogador 2, tipo l e 2h é o jogador 2, tipo h. A representa¸cão na forma normal gera as matrizes abaixo.

Firma 1 escolhe p1 = 6 2l↓ / 2h → p2 h = 6 p2h = 4 p2h = 1 p2_l = 6 6, 5, 2 3, 5, 0 3, 5, −21 p2 l = 4 3, 12, 2 0, 12, 0 0, 12, −21 p2 l = 1 3, 0, 2 0, 0, 0 0, 0, −21 Firma 1 escolhe p1 _{= 4} 2l↓ / 2h → p2_h = 6 p2_h = 4 p2_h = 1 p2 l = 6 16, 0, 0 16, 0, 0 8, 0, −21 p2_l = 4 12, 6, 0 12, 6, 0 4, 6, −21 p2 l = 1 8, 0, 0 8, 0, 0 0, 0, −21 Firma 1 escolhe p1 _{= 1} 2l↓ / 2h → p2 h = 6 p2h = 4 p2h = 1 p2 l = 6 7, 0, 0 7, 0, 0 7, 0, 0 p2 l = 4 7, 0, 0 7, 0, 0 7, 0, 0 p2_l = 1 7, 0, 0 7, 0, 0 7, 0, 0

Observe que para o jogador 2l, p = 4 é estratégia fracamente dominante. Já para o jogador 2h, p = 6 é estratégia fracamente dominante. Eliminando as estratégias dominadas, encontramos o seguinte equil´ıbrio Bayesiano: 1 escolhe p = 4, 2l escolhe p = 4 e 2h escolhe p = 6. Neste equil´ıbrio, o jogador 1 obtém payoff 12, o jogador 2l obtém payoff 6, e o jogador 2h obtém payoff 0. Portanto, exceto para a firma 2, caso ela seja de alto custo, as firmas obtêm lucro positivo, na presen¸ca da informa¸cão incompleta descrita nestes exemplos. Ou seja, a competi¸cão de Bertrand não necessariamente levará o lucro a zero quando houver informa¸cão incompleta. Finalmente, é poss´ıvel mostrar que existem outros EN para este jogo.

(7)

5 Leil˜

ao de Primeiro Pre¸

co

Suponha um leilão de envelope fechado, onde cada comprador faz uma oferta (fechada) inde-pendentemente dos outros jogadores. Vamos assumir apenas dois jogadores. Após as ofertas serem feitas, os envelopes são abertos e vence o leilão quem fez a maior oferta, que paga o valor da oferta feita (o outro jogador não paga nada).

Vamos denotar por vi o valor do objeto leiloado para o jogador i, i = 1, 2. Cada jogador

sabe o seu vi, por´em desconhece a valora¸c˜ao do seu oponente. Neste caso, o jogador i assume

que v−i ∼ U [0, 1], ou seja, que a valora¸cão do oponente é descrita por uma variável aleatória

com distribui¸cão uniforme entre [0, 1]. Essa informa¸cão é de conhecimento comum entre os jogadores.

Então o tipo do jogador i é dado por v. Um equil´ıbrio de Nash Bayesiano nesse jogo é caracte-rizado por um par de fun¸cões de oferta (b1(·), b2(·)), onde bi : [0, 1] → [0, 1] é a fun¸cão oferta do

jogador i, i = 1, 2. Como o jogo é simétrico, vamos procurar um equil´ıbrio onde os jogadores seguem estratégias idênticas (b1(·) = b2(·) = b(·)).

Vamos supor que a solu¸cão é uma fun¸cão crescente: b(v) é tal que quanto maior a valora¸cão do indiv´ıduo, maior o lance dado. Logo podemos inverter a fun¸cão b(v) e obter a fun¸cão V (b), que diz a valora¸cão do indiv´ıduo que dá um lance igual a b.

A probabilidade de ganhar o leilão com um lance igual a b é igual à probabilidade de que o outro jogador dê um lance menor do que b:

p(v ≤ V (b)) = V (b) ,

já que v ∼ U [0, 1]. Isso implica que o payoff esperado do comprador com valora¸cão v e que dá lance b é:

V (b) × (v − b) + (1 − V (b)) × 0 ,

onde assumimos que o payoff obtido em não ganhar o leilão é 0. A fun¸cão lance ótimo deve maximizar a expressão acima, cuja CPO é:

V0(b)(v − b) − V (b) = 0

Essa express˜ao diz que para cada valor v (o tipo do jogador), podemos encontrar a sua estrat´egia ´

otima. Em equil´ıbrio devemos ter ent˜ao que:

(V (b) − b)V0(b) = V (b) , ∀ b ∈ [0, 1] . A solu¸c˜ao dessa EDO ´e:

V (b) = b +√b2_{+ 2c ,}

onde c é a constante de integra¸cão. Vamos assumir que se v = 0, então o lance é zero: b = 0. Logo:

0 = 0 +√2c ⇒ c = 0

Então V (b) = 2b ou b = v/2. Portanto, o equil´ıbrio de Nash Bayesiano é caracterizado por b(v) = v/2, para os dois jogadores, o que significa que cada jogador deve dar um lance igual à metade da sua valora¸cão do objeto.

Observa¸c˜oes:

• Nesse exemplo, é poss´ıvel mostrar que o equil´ıbrio encontrado acima é único, mas isto não é válido em geral. Alguns leilões podem ter mais de um equil´ıbrio de também pode ser conveniente mentir sobre o seu tipo.

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• O modo que procedemos para encontrar o equil´ıbrio é padrão: “chutamos” que a es-tratégia (a fun¸cão lance ótimo) era crescente (invert´ıvel) e da´ı derivamos uma EDO que essa fun¸cão deve satisfazer.

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6 Discuss˜

ao

Alguns pontos:

1. Dificuldade em definir o jogo: o que s˜ao os tipos? Quais tipos considerar?

2. Qual sistema de cren¸cas p considerar? Diferentes p (cren¸cas a respeito dos outros joga-dores) podem levar a diferentes solu¸c˜oes.

3. É poss´ıvel mostrar, sob condi¸cões razoavelmente gerais, que qualquer conjunto de regras de decisão é um ENB para um determinado sistema de cren¸cas. Ou seja, para qualquer comportamento existe um sistema de cren¸cas que o suporta como ENB (ver Ledyard (1986))

Referˆ

encias

Aumann, R. J. (1976). Agreeing to disagree. The Annals of Statistics, 4:6 , 1236-1239.

Harsanyi, J. (1967). Games with incomplete information played by bayesian players. Manage-ment Science, 14 .

Jehle, G., & Reny, P. (2011). Advanced microeconomic theory (3rd _{ed.). Pearson Education.}

Ledyard, J. O. (1986). The scope of the hypothesis of bayesian equilibrium. Journal of Economic Theory, 39:1 , 59-82.