Josenildo F Galdino_Dissertaçao

(1)

Laguerre

Josenildo Ferreira Galdino

Dissertação de Mestrado submetida à Coordenação do Programa

de Pós-Graduação em Engenharia Elétri ada Universidade Federal

de Campina Grande- Campus de Campina Grande omo parte dos

requisitosne essáriosparaaobtençãodograudeMestreemCiên ias

no DomíniodaEngenharia Elétri a.

Área de Con entração: Instrumentação eControle

Péri lesRezende Barros, Ph.D

Orientador

Campina Grande, Paraíba, Brasil

(2)

Laguerre

Josenildo Ferreira Galdino

Dissertação de Mestrado apresentada em Março de 2012

Péri lesRezende Barros, Ph.D

Orientador

Prof. D.S . Benemar Alen ar de Souza (UFCG)

Examinador

Prof. D.S . José Sérgio daRo haNeto (UFCG)

Examinador

(3)

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA UFCG

G149i

Galdino, Josenildo Ferreira.

Identificação de sistemas com bases de funções de Languerre / Josenildo

Ferreira Galdino. - Campina Grande, 2012.

85f.: il. col.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica) – Universidade Federal

de Campina Grande, Centro de Engenharia Elétrica e Informática.

Orientador: Prof. Ph.D. Péricles Rezende Barros.

Referências.

1. Identificação de Sistemas. 2. Laguerre. 3. Experimento do Relé.

I. Título.

CDU 621.318 (043)

(4)

Aos meus pais, José

Gal-dino Fernandes e Aurenir

(5)

Desejo expressar osmeus sin eros agrade imentos.

Primeiramente, agradeço a DEUS por propor ionar a on lusão de mais uma etapa

daminha vidaque se onsuma neste trabalho.

Aosmeuspais,JoséGaldinoFernadeseAurenirFreitasFernandeseaosmeusqueridos

irmãos: Jura i, Jurandire Joelma, agradeço todo oamor, arinhoe motivação.

Ao Ph.D Péri les Rezende Barros, sou grato pela orientação e onança em mim

depositada. Agradeço pelas dis ussões e reexões que possibilitaram o enrique imento e

realizaçãodeste trabalho.

(6)

Nateoria lássi adeidenti açãode sistemasoproblemadeidenti arosistema

on-siste na estimação dos parâmetros de um dado modelo, por meio de um algoritmo que

utiliza os dados de entrada e saída do pro esso. Em ontrapartida, a identi ação de

sistemas om bases de funções ortonormais permite in orporar um onhe imento par ial

sobre a dinâmi a do sistema, o que reduz a ordem e, onsequentemente, estimação de

menosparâmetros serão ne essários.

Nesta dissertação, o problema de identi ação de sistemas é resolvido utilizando-se

bases de funções de Laguerre. É proposta uma nova metodologiapara a identi açãode

sistemas om bases de Laguerre om a utilização do experimento do relé para obtenção

de uma estimativaini ial do pólo de Laguerre. O uso do experimento do relé possibilita

obterum onhe imentopar ialdosistemaaser identi ado. Alémdisso,diversos

experi-mentosdealgunspro essosdeprimeiraesegundaordemforamsimulados omoMatlab

r

.

(7)

In the lassi alapproa hto systemidenti ationproblemof identifyingthe system is

the assessment of parameters of a given model, using an algorithmthat uses data input

andoutputof thepro ess. In ontrast,system identi ationwithorthonormalbasis

fun -tions allows in orporating a partial knowledge about the dynami s of the system whi h

redu esthe orderand, onsequently,fewerparametersare ne essary intherepresentation

of the model.

Inthis thesiswe addresstheproblemofidentifyingbase systemsusing Laguerre

fun -tions. It proposed a new approa h for identifying systems with bases Laguerre using

the relay experiment to obtain an initial estimate of the pole of Laguerre. The use of

experiment relay allows to obtain a partial knowledge of the system being identied. In

addition,severalexperimentsofsomepro essesrstandse ondorderweresimulatedwith

Matlab.

(8)

AR Auto-regressivo (Auto regressive);

ARMAX Auto-regressivo,de média móvel om entradas exógena

(Auto regressive moving average with exogenousinput);

ARX Auto-regressivo om entradas exógenas (Auto regressive with exogenous

in-put);

AWGN Ruído bran ogaussiano aditivo(Additive White Gaussian Noise);

BJ Box-Jenkins;

FIR Resposta nitaao impulso(Finite Impulse Response);

OBF Basede Funções Ortonormais(Orthonormal Basis Fun tions);

OE Erro nasaída (Output Error);

PEP Por entagem doErro de Predição;

(9)

3.1 Por entagem doErro de Prediçãodo sistema(3.6). . . 33

3.3 Por entagem doErro de Prediçãodo sistema(3.8 ). . . 38

3.4 Por entagem doErro de Prediçãodo sistema(3.9 ). . . 40

4.1 Pro essos utilizadosna identi ação. . . 48

4.2 Parâmetros domodelo de primeiraordemdado em (4.10). . . 50

4.3 Comparativo entre o valorreal e aproximado do pólodo pro esso (4.10). . 50

4.11 Pro essos utilizadosna identi ação. . . 64

4.12 Parâmetros doModelo de segunda ordem dado em (4.19). . . 66

(10)

1.1 Diagrama de etapas daidenti açãode sistemas.[23℄. . . 8

2.1 Uso dooperadorq (atraso). . . 11

2.2 Regiões

D

,

E

e o ir ulo de raiounitário (

r = |z| = 1

).. . . 14

2.3 Representação grá a dopro edimentode Gram-S hmidt. . . 16

2.4 Funçõesde Laguerre para p =1 . . . 19

2.5 As duas primeirasfunções de Laguerre para

p = 0, 3; 0, 5; 0, 7; 1, 0

. . . 20

2.6 Diagrama de blo os: modelo linear geral . . . 21

2.7 Sistema real

G

0

, H

0

e modelo preditor

(G, H)

. . . 22

2.8 Diagrama de blo os domodelo ARX . . . 24

2.9 Diagrama de blo os domodelo ARMAX . . . 25

2.10 Diagrama de blo os domodelo OE . . . 25

2.11 Diagrama de blo os domodelo BJ . . . 25

2.12 Diagrama de blo os domodelo FIR . . . 26

3.1 Modelo OBF om dinâmi ade Laguerre. . . 29

3.2 Amplitude dosinal de saída do sistema(3.6). . . 31

3.3 Saída dosistema (3.6) e domodelo de Laguerre om póloa =0,4. . . 31

(11)

3.16 Saída dosistema (3.10) edo modelo de Laguerre om póloa =0,4. . . 42

4.1 Sistema em Malha Fe hada. . . 45

4.2 Diagrama de blo os dopro esso om realimentação porrelé. . . 45

4.3 Método doRelé no Simulinkpara opro esso (4.10). . . 48

4.4 Diagrama de Nyquist (4.10). . . 49

4.5 Saída dosistema e dorelé do pro esso (4.10). . . 49

4.6 Determinação doganho estáti o dopro esso (4.10). . . 50

4.7 Diagrama de blo os noSimulinkpara o sistema(4.10). . . 51

4.8 Sinal de entrada utilizado naidenti açãodosistema (4.10). . . 51

4.9 Saída dosistema e domodelo de Laguerre. . . 52

4.11 Diagrama de Nyquist do pro esso (4.13). . . 54

4.30 Saída dosistema do modelode Laguerre. . . 68

(12)

(13)

1 Introdução 6 1.1 Revisão Bibliográ a . . . 8 1.2 Objetivos . . . 10 1.3 Organização doTexto . . . 10 2 Fundamentação Teóri a 11 2.1 Introdução . . . 11

2.2 Função de Transferên ia, Resposta aoImpulso e Resposta em Frequên ia . 11 2.3 Modelo de Espaço de Estados . . . 12

2.4 Espaço de Funções eProduto Interno . . . 13

2.4.1 Propriedades do ProdutoInterno . . . 14

2.4.2 Norma . . . 15

2.5 Ortonormalidade . . . 15

2.5.1 Pro edimento de Ortogonalização de Gram-S hmidt . . . 15

2.5.2 Funções OrtogonaisRa ionais . . . 17

2.5.3 Funções de Laguerre . . . 18

2.5.4 Método Baseado em Espaço de Estados . . . 19

2.6 Identi ação de Sistemas . . . 21

2.6.1 Erro de Predição . . . 22

2.6.2 Por entagem doErro de Predição (PEP) . . . 23

2.7 Identi ação Paramétri a. . . 23 2.7.1 ARX . . . 23 2.7.2 ARMAX . . . 24 2.7.3 OE . . . 24 2.7.4 BJ . . . 25 2.7.5 FIR . . . 26 2.8 Con lusões. . . 26

(14)

3 Identi ação de Sistemas usando Bases de Laguerre 27

3.1 Introdução . . . 27

3.2 Critério de Identi ação: Mínimos Quadrados . . . 28

3.3 Casos de Simulação . . . 30

3.3.1 Experimento 1: Sistemade 4 a Ordem om degrau naentrada. . . . 30

3.3.2 Experimento 2: Sistema de 4 a Ordem om AWGN e degrau na entrada (Potên ia = 0,1). . . 33

3.3.5 Experimento5: Sistemade4 a Ordem omAWGNePRBSnaentrada. 40 3.4 Con lusões. . . 44

4 O Método do Relé 45 4.1 Introdução . . . 45

4.2 Estimação do pólo de Laguerre om o método do Relé para modelos de primeiraordem . . . 47

4.3 Estimação do pólo de Laguerre om o método do Relé para modelos de segunda ordem . . . 47

4.4 Casos de Simulação: Sistemasde 1 a Ordem . . . 48

4.4.1 Experimento I . . . 48

4.4.2 Experimento II . . . 53

4.4.3 Experimento III . . . 58

4.5 Casos de Simulação: Sistemasde 2 a Ordem . . . 64 4.5.1 Experimento I . . . 64 4.5.2 Experimento II . . . 69 4.5.3 Experimento III . . . 74 4.6 Con lusões. . . 79 5 Con lusões e Sugestões 80 5.1 Con lusões. . . 80 5.2 Sugestões . . . 80 Referên ias Bibliogra as 82

(15)

Introdução

Modelos matemáti os de sistemas são utilizados. Por exemplo, modelo em espaço

de estados, função de transferên ia (rela iona a entrada e saída do sistema) ou modelos

baseados em série ( a série de Laguerre). O onhe imento obtido da quími a, físi a ou

matemáti a do pro esso pode apontar um modelo que des reva a dinâmi a do sistema,

isto é, o fun ionamento do sistema ao longo do tempo. No entanto, essa práti a não é

interessanteparasistemasmais omplexosequenão tenhamos o onhe imentoplenodos

fenmenosenvolvidos. Alternativamente, a identi ação de sistemas possibilita a

obten-çãodemodelosmatemáti osaproximadosparaarepresentaçãodesistemas. Sendoassim,

na identi ação de sistemas, os modelos utilizam os dados obtidos de experimentos que

devem ser realizados nopro esso oua partir de modelos simulados.

Identi ar sistemas dinâmi os signi a al ular, aproximar ou obter modelo(s)

ma-temáti o(s)querepresentem determinado(s) tipo(s)de omportamento(s)dosistemaque

está sendo estudado, numa determinadafaixa ou regiãode operação.[2℄

A identi ação de sistemas pode ser realizada no domínio do tempo ou da

frequên- ia. Nodomíniodo tempo são utilizadosdadostemporais medidosnaentrada ena saída

do sistema. Já no domínio da freqüên ia utilizam-se das ara terísti as de resposta em

freqüên iado sistema.

Naidenti açãode sistemasoproblemade identi arosistema onsistenaestimação

dos parâmetros de um dado modelo, por meio de um algoritmo que utiliza os dados de

entrada e saída do pro esso. Em ontrapartida, a identi ação de sistemas om bases

defunções ortonormaispermitein orporar um onhe imentopar ialsobre adinâmi ado

(16)

para o modelo, o que está de a ordo om o Prin ípio de Parsimony. 1

Sendo assim, ao

utilizarmodelosde basede funçõesortonormaisosproblemas naidenti açãodosistema

tornam-se mais simples. Dentre as bases de funções ortonormais utilizadasna

identi a-ção de sistemas, desta am-se: Laguerre e de Kautz. A base de Laguerre éformada pelas

funçõesde Laguerre, ideal para representar sistemasdinâmi os que possuam pólos reais,

enquanto que a base de Kautz é adequada para sistemas que possuam pólos omplexos

onjugados.

Oproblema deidenti arum sistemaédivididoemetapas. Asetapasde identi ação

de sistemassão quatro, são elas: [23℄

1. Testes dinâmi os e oleta de dados. Esta etapa onsiste na obtenção dos

dados a partir de um experimento. Comumentemente esses dados, hamados de

dados de identi ação podem ser obtidos no domínio do tempo ou da frequên ia,

dependendo da es olha do ritério de identi ação a ser utilizado. No domínio do

tempo são utilizados dados temporais medidos na entrada e na saída do sistema.

Enquanto que nodomínio da freqüên ia utilizam-sedas ara terísti asde resposta

em freqüên ia dosistema.

2. Es olhadaestruturado modelo. Estaetapa onsistenaes olhadeum onjunto

de modelos que serão utilizados para representar o sistema. Além disso, o tipo

de modelo: linear ou não linear, tempo ontínuo ou dis reto, paramétri o ou não

paramétri o.

3. Estimação de parâmetros. Esta etapa onsiste na es olha do ritério para

esti-mação dos parâmetros domodeloe depende da es olha daestrutura de modelo da

etapa anterior. Porexemplo,aotrabalhar om dadosnodomíniodotempopode-se

utilizar o ritériodos mínimos quadrados.

4. Validação do modelo. Com osparâmetros domodelo al uladosna etapa

ante-riorépre isode idirseomodelodefatopodeserutilizadoparaidenti arosistema.

Por esse motivo essa etapa é onhe ida omo Validação do Modelo. Ao trabalhar

no domíniodo tempo é utilizadoum parâmetro que quantique a proximidade da

saída do modelo om a saída do sistema. Por exemplo, a Por entagem do Erro de

Predição (PEP) é um indi ativodoquão próximoo modelo está dosistema.

1

(17)

A gura (1.1) éo diagramade etapas de identi açãode sistemas.

Figura 1.1: Diagramade etapas daidenti açãode sistemas.[23℄

1.1 Revisão Bibliográ a

Amodelagem e identi ação om bases de funções ortogonaisra ionais éum temade

pesquisaquevemganhandodestaquenaliteraturaespe ializada,pelofatode quemodelos

de sistemas dinâmi os que utilizam base de funções ortonormais apresentam vantagens

em relação à identi ação lássi a de sistemas. Em [41℄ mostra-se algumas vantagens

do uso das funções de Laguerre na identi ação de sistemas, omo por exemplo, o fato

da ordem do modelo ser reduzido, em omparação om a modelagem (ARX (Auto

re-gressive with exogenous input), FIR (Finite Impulse Response), AR (Auto regressive)),

atravésde modelosLaguerre. Já[33℄ propõeumaté ni ade identi açãodesistemas

ba-seadaemexpansõesdasériede Laguerre onsiderandodadosde entradaesaída ltrados.

Em [15℄ utilizam o algoritmo dos mínimos quadrados para a estimação do modelo OBF

(OrthonormalBasisFun tions). Domesmomodo,[6℄desta amaestimaçãonuméri ados

(18)

Geralmente, os modelos de base de funções ortonormais são parametrizados a partir

daespe i ação de um ou mais pólosdo sistema a ser identi ado. Modelos

parametri-zados por pólos podem levar a modelos om número reduzido de parâmetros se o pólo

es olhido for próximo do pólo real do sistema. Em geral, a es olha do(s) pólo(s) pode

ser feita através de métodos de seleção do(s) pólo(s) ou a partir de algum onhe imento

prévio das ara terísti asda dinâmi adosistema. [36℄

Diversos autoresabordaramoproblema de seleçãode pólosem modelos BFO.Em[8℄

demonstra omo resolvero problema de seleção de póloótimo de Laguerre para sistemas

des ritos por funções de transferên ias ra ionais,assumindo a existên ia de uma

expres-são analíti a daresposta ao impulso e que não haja atraso de transporte no sistema. Já

[21℄ apresentam uma ondição de otimalidade para a es olha do pólo de Laguerre. Em

[29℄ apresentam uma solução analíti apara determinaçãodo póloótimode Laguerre

uti-lizandoarespostaaoimpulsodosistema. Já[12℄ propõemautilizaçãodebus anuméri a

unidimensionalpara lo alizar opólode Laguerre. Em [43℄ é mostrada uma solução para

opóloótimo de Laguerre para sistemas em tempo ontínuo. Já[28℄ utilizamo algoritmo

de Newton-Raphson iterativo para al ular o pólo de Laguerre ideal para sistemas de

tempo ontínuo. Em[42℄édadaumageneralizaçãoparasistemasestáveisno

L

2

tomando omo base o estudo de [8℄ para a es olhaótima do pólode Laguerre. Em[39℄ apresenta

um algoritmo híbrido para seleção de pólo ótimo de Laguerre. Neste aso o algoritmo

híbrido utiliza algoritmos genéti os e o algoritmo de Newton-Raphson. Enquanto que,

[35℄, utilizao métodode Otimização por Nuvem de Partí ulas (PSO, doinglês, Parti les

Swarm Optimization)proposto por[20℄ para bus aruma soluçãodoproblema de seleção

depólosemmodelosBFO.Porm,[26℄apresentam umanovapropostaparaaotimização

de modelos de sistemas dinâmi osatravés de BFO om funçõesde Laguerre naformade

espaçode estados.

Apesar dos trabalhos itados anteriormente sobre o problema da seleção de pólosna

identi açãode sistemas usandobases de funçõesortonormais. Nesta dissertação

utiliza-seumanovaestratégiadeidenti açãoutilizandoométododoréle paraobtençãode uma

estimativadopólode Laguerre. Este métodoéuma alternativapara obterosparâmetros

domodelodopro esso, atravésdaanálise de algunspontos daresposta em frequen iado

pro esso.

Diversosautoresutilizaramométododorelénaáreadeidenti açãodesistemas. Em

[19℄édes ritoummétodoparaestimaçãodosparâmetrosdeummodelodeprimeiraordem

(19)

nométodo anterior para utilizar o experimento do relé simétri o. Em[16℄ sugerem uma

alternativapara obtenção dos parâmetrosdos modelosde primeiraesegunda ordem om

atrasoa partir doexperimentodorelé.

1.2 Objetivos

A identi açãode sistemaséútilpara oprojeto de ontrole,e onomia de tempoe

dinheiro, evitar testes experimentais. Enm, aidenti açãoé uma maneirade responder

questõessobreosistemasem ane essidade defazertestesperigososoudestrutivos. Além

disso,épossivel onhe erofun ionamentodopro essoem ondiçõesopera ionaispadrões

extremassem dani ar osistema.[27℄

Com arealização desse trabalho, objetiva-se atingir os seguintes pontos:

•

Realizar um estudo naárea de identi ação, trabalhando nodomínio dotempo.

•

Identi ar sistemas utilizando bases de Laguerre.

•

Utilizar o métododorelé omo estratégia para es olha dopólo de Laguerre.

1.3 Organização do Texto

Nesta introdução, apresentamos a des rição do problema e os objetivos deste

traba-lho. Nos apítulos seguintes serão abordados os tópi os atinentes ao desenvolvimento

destetrabalho.

No apítulo2osfundamentostéori osparaentendimentodoproblemadeidenti ação

sãoapresentados. Emseguida,no apítulo3des revemosametodologiaeos

pro edimen-tos que serão utilizadosnaidenti açãousando asbases de Laguerre.

No apítulo 4 desta a-se o método do relé e sua apli abilidade na identi ação de

sistemasutilizando basesde Laguerre. No apítulo5éfeitaa on lusãodotrabalhoesão

(20)

Fundamentação Teóri a

2.1 Introdução

Neste apítulodesta a-sealguns on eitosfundamentaisatinentesaáreade

identi a-ção de sistemas. Desta amosdois métodos de onstrução de bases ortonormais: Método

de ortogonalizaçãode Gram-S hmidt emétodobaseado em espaço de estados.

2.2 Função de Transferên ia, Resposta ao Impulso e

Resposta em Frequên ia

Dadoum sistema linear em tempodis reto

y(t) = G(q)u(t)

(2.1)

naqual,

u(t)

éosinal deentrada,

y(t)

éosinalde saída. Osistemaserá representado por um operador de transferên ia

G(q)

, q é um operador de deslo amento e pode fun ionar omoumavanço ouatraso. Porexemplo,dado um sinalde entrada

u(t)

,

qu(t) = u(t + 1)

fun iona omoum avanço, enquantoque,

q

−1

_{u(t) = u(t − 1)}

é umatraso. Nagura (2.1)

enfatiza-seo uso dooperador q omo atraso.

(21)

Para sistemas estáveis, aresposta ao impulsoé dada por

y(t) =

∞

X

k=0

g

k

u(t − k)

(2.2)

Noteque

u(t − k) = q

−k

_u(t)

. Sendoassim, podemosrees revera equação (2.2).

y(t) =

∞

X

k=0

g

k

q

−k

u(t)

(2.3)

Agora, omparando-se aequação (2.3) om a equação(2.1), obtém-se

G(q) =

∞

X

k=0

g

k

q

−k

(2.4)

A função de transferên ia G(z) será dada por

G(z) =

∞

X

k=0

g

k

z

−k

,

z ∈ C

earespostaemfrequên iaéobtidapor

G(e

iw

₎

om

w = [−π, π]

. Alémdisso,assumiremos queas funçõesde transferên ias são estritamente próprias, ouseja,

lim

|z|→∞

G(z) = 0

(2.5)

Em outras palavras, uma função de transferên ia G(z) é dita estritamente própria,

quando ograu dodenominador de

G(z)

for maior que ograu do numerador de

G(z)

.[10℄

2.3 Modelo de Espaço de Estados

Ummodelo de espaçode estadosde tempo dis retoé dado por

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t)

(2.6)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

(2.7)

Na qual,

x(t) ∈ R

n

é o vetor de estados,

u(t) ∈ R

m

e

y(t) ∈ R

p

. O aso parti ular

em que

m = p = 1

é onhe ido omo SISO (Single-Input Single-Output), ou seja, uma entrada euma saída.

Para distinguir os sinais de suas transformadas, iremos adotar a seguinte onvenção,

os sinais serão representados por letras minús ulas do alfabeto, enquanto que suas

tran-formadas serão representadas por letras maiús ulas. Além disso, a transformada Z de

sinaisé dada por

X(z) =

∞

X

k=0

(22)

Agora, apli ando-sea trasformadaZa ambososmembros da equação(2.6), obtém-se

Z(x(t + 1)) = Z(Ax(t) + Bu(t))

zX(z) = Z(Ax(t)) + Z(Bu(t))

zX(z) = AZ(x(t)) + BZ(u(t))

zX(z) = AX(z) + BU(z)

X(z)(zI − A) = BU(z)

X(z) = B(zI − A)

−1

U(z)

(2.9)

Z(y(t)) = Z(Cx(t) + Du(t))

Y (z) = Z(Cx(t)) + Z(Du(t))

Y (z) = CX(z) + DU(z)

(2.10) Substituindo(2.9) em (2.10), obtém-se

Y (z) = [C(zI − A)

−1

B + D]U(z)

(2.11)

Portanto, a função de transferên ia para o modelo de espaço de estado de tempo

dis retoé dadopor

G(z) = C(zI − A)

−1

B + D

(2.12)

2.4 Espaço de Funções e Produto Interno

Seja

D

o dis o de raio unitário, ou seja,

{z; |z| < 1}

,

E

o exterior do dis o de raio unitário, in luindo o innito:

{z; |z| > 1}

e

T

o ir ulo de raio unitário:

z; |z| = 1

. Na gura (2.2) mostra as regiões

D

,

E

e o ir ulo de raio unitário. Além disso, denota-se

H

2

(E)

oespaço densode funçõesquadrati amenteintegráveisem

T

,analíti as 1

naregião

E

. No entanto, existem espaços de funções mais gerais, omo o espaço de Hilbert 2

,

es-paçoformadoporfunçõesmatri iais omplexasde dimensão

p × m

quesão integráveisno 1

Uma função

f

davariável omplexa

w

éditaanalíti anum ponto

w

0

, sesuaderivada

f

′

(w)

existe nãosóem

w

0

omotambémemtodoponto

w

deumavizinhançade

w

0

. Emoutraspalavras,féanalíti a numdominio do plano-

w

se ela é analíti aem todo ponto desse domínio. Uma introdução as funções analíti aspodeseren ontradaem[38℄.

2

DavidHilbert(1862-1943)Foiummatemáti oalemão ujotrabalhoemgeometriateveamaiorinuên iano ampo

desdeEu lides. Depoisdefazerumestudosistemáti odosaxiomasdageometriaEu lidiana,Hilbertpropsum onjunto

(23)

ir ulode raiounitárioe representado simboli amentepor

L

p×m

2

(T)

Figura 2.2: Regiões

D

,

E

eo ir ulode raiounitário(

r = |z| = 1

).

Denição 1 (Produto Interno) Sejam duas funções

X(z)

e

Y (z) ∈ H

2

(E)

, o produto interno entre elas será expresso matemati amente por

hX, Y i :=

1 2π

Z

π

−π

X(e

iw

)Y

∗

(e

iw

) dw =

1 2π

I

T

X(z)Y

∗

(1/z

∗

)

dz

z

(2.13)

2.4.1 Propriedades do Produto Interno

O produto interno possui boas propriedades, tais omo: bilinearidade,simetria e

po-sitividade denida. Sejam

F

1

(z), F

2

(z)

, e

F

3

(z) ∈ H

2

(E)

.

•

Bilinearidade

hF

1

+ aF

2

, F

3

i = hF

1

, F

3

i + ahF

2

, F

3

i, ∀a ∈ R

hF

1

, F

2

+ bF

3

i = hF

1

, F

2

i + bhF

1

, F

3

i, ∀b ∈ R

•

Simetria

hF

1

, F

2

i = hF

2

, F

1

i

•

PositividadeDenida

hF

1

, F

1

i ≥ 0, hF

1

, F

1

i = 0 ⇒ F

1

= 0

pelo restodesua vida. Entre 1900e1914,muitosmatemáti osdosEstados Unidosquedepoisrepresentaramumpapel

importantenodesenvolvimentodamatemáti aforamparaGottingenestudar omele. Hilbert ontribuiuemváriosramos

damatemáti a,in luindoateoria algébri adonúmero,análisefun ional,físi asmatemáti as,eos ál ulosdevariações.

Tambémenumerou23problemasnãosolu ionadosdematemáti aqueele onsideroumere edordeinvestigaçãoadi ional.

(24)

2.4.2 Norma

A norma dafunção de transferên ia

X(z) ∈ H

2

(E)

é dada por

kXk :=

phX, Xi

2.5 Ortonormalidade

Dadasduas funções

X

1

(z)

e

X

2

(z)

elas são ortonormais,seas seguintes ondiçõessão satisfeitasmutuamente

hX

1

, X

2

i = 0

(2.14)

kX

1

k = kX

2

k = 1

(2.15)

A ondição (2.14) garante que as funções

X

1

(z)

e

X

2

(z)

são ortogonais. Enquanto que, a ondição (2.15) garante a normalidade de

X

1

(z)

e

X

2

(z)

. Esta denição pode ser generalizadapara o aso de utilizarmos

n

funções de transferên ias.

Iremos des rever nas seções seguintes dois métodos de ortonormalização, são eles:

métodode Ortonormalizaçãode Gram-S hmidte métodode espaço de estados.

2.5.1 Pro edimento de Ortogonalização de Gram-S hmidt

O pro edimentode ortogonalizaçãode Gram 3

-S hmidt é um métodosistemáti o

uti-lizado para onverter uma dada base arbitrárianuma base ortogonal. Vale salientar que

nosso interesse aqui é utilizar este pro edimento de ortogonalização de Gram-S hmidt a

umabase formadade funçõesde transferên ias.

Primeiramente,iremos onsiderarumabaseformadaporapenasduasfunçõesde

trans-ferên ias ra ionais,

V (z) = [F

1

(z) F

2

(z)]

. Deste modo, deseja-se en ontrar uma base or-togonal a partir de

V (z)

. Sejam

F

1

(z)

e

F

2

(z) ∈ H

2

(E)

duas funções de transferên ias

3

Jörgen Pederson Gram (1850 -1916) foium atuário dinamarquês. A edu ação bási ade Gram foiem es olas

de aldeias suplementada om tutoria parti ular. Depois de on luir o segundo grau ele obteve o grau de Mestre em

Matemáti a omespe ialização em Álgebra Moderna. Em seguida Gram foi ontratado omo atuário na Companhia

HafniadeSegurosdeVida,ondeeledesenvolveuosfundamentosmatemáti osdesegurosdea identesparaarmaSkjold.

Eletrabalhou na Diretoriada Hafniaedirigiu Skjoldaté1910, quando setornou diretor do Conselho Dinamarquêsde

Seguros. Enquanto trabalhava deatuário, eleobteve o Doutorado om sua teseintituladaSobre Desenvolvimentos em

SériesUtilizandooMétododosMínimosQuadrados. Foinestatesequeprimeiroformulousuas ontribuiçõesaopro esso

deGram-S hmidt.MaistardeGrampassouainteressar-seporTeoriaAbstratadeNúmeros,tendoganhadoumamedalha

deourodaSo iedadeRealDinamarquesadeCiên iaseLetrasporsua ontribuiçãoneste ampo.Noentanto,eletambém

manteveuminteresse, durantetodasua vida,nainter-relação entre matemáti a-teóri aeapli ada, queolevouaquatro

(25)

ra ionais. Devemos obter asfunções

F

′

1

(z)

e

F

′

2

(z)

que são asfunçõesque formama base ortogonalaV(z). Simbolizaremosesta base por

V

′

(z) = [F

′

1

(z) F

′

2

(z)]

. Seja

F

′

1

= ¯

F

1

. Sendo assim, pre isamos en ontrar a partir de

F

2

uma função

F

′

2

que seja ortogonala

F

′

1

, istoé,

hF

′

2

, F

′

1

i = 0

. Para isto tomamos

F

′

2

= F

2

− cF

′

1

, na qual é

um número es olhido, de modoque

hF

′

2

, F

′

1

i = 0

,isto é,

hF

′

2

− cF

′

1

, F

′

1

i = 0

.

hF

1 ′

, F

2

− cF

′

1

i = hF

′

1

, F

2

i − chF

′

1

, F

′

1

i

hF

1 ′

, F

2

− cF

′

1

i = hF

2

, F

′

1

i − chF

′

1

, F

′

1

i

0 = hF

2

, F

′

1

i − chF

′

1

, F

′

1

i

c =

hF

2

, F

1 ′

_i

hF

′

1

, F

′

1

i

, ou seja,

c =

hF

2

, F

1 ′

i

hF

′

1

, F

′

1

i

. Na gura (2.3), ilustra-se gra amente o pro edimento de

orto-gonalizaçãode Gram-S hmidtapli ado abase

V (z) = [F

1

(z) F

2

(z)]

.

Figura 2.3: Representação grá ado pro edimentode Gram-S hmidt.

Portanto,

F

₁

′

= F

1

F

₂

′

= F

2

−

hF

2

, F

₁

′

_i

hF

′

1

, F

′

1

i

F

₁

′

Observe que

F

′

2

, queéortogonala

F

1 ′

,foioriginadade

F

2

subtraindo-seaprojeçãode

F

2

sobre

F

′

1

. Logo, a base ortogonalobtidaé dada por

V

′

(z) =

h

F

1 ′

(z) F

′

2

(z)

i

(2.16)

Aoutilizaropro edimentoGram-S hmidt 4

obtém-se umabaseortogonal. Noentanto,

4

Erhardt S hmidt(1876-1959) foi um matemáti o alemão. S hmidt re ebeu seu doutorado da Universidade de

Göttingenem1905,ondeestudousoborientaçãodeDavidHilbert,umdosgigantesdaMatemáti a. Maistardeem1917,

foile ionarnaUniversidadedeBerlim,ondepermane eupelorestodesuavida. S hmidtfezimportantes ontribuiçõesem

umavariedadede amposmatemáti os,masémaisnotávelporter onseguidomoldarmuitasdasdiversasidéiasdeHilbert

numúni o on eitoabrangente( hamadoespaçodeHilbert),queéfundamentalnoestudodeespaçosvetoriaisdedimensão

(26)

é interessante ter uma base que seja ortogonale normal, ou seja, uma base ortonormal.

Paraobtenção dabase ortonormalapartirdabaseortogonal,bastanormalizar ada uma

das funções. Matemati amente, temos:

V

′

(z) =

h

F

1 ′

_(z)

kF

′

1

(z)k

F

₂

′

(z)

kF

′

2

(z)k

i

(2.17)

Opro edimentodeortogonalizaçãode Gram-S hmidtpodeser generalizadoparauma

base nita formadapor

n

funções de transferên ias.

V (z) =

h

F

1

(z) F

2

(z) . . . F

n

(z)

i

(2.18)

Abaseortogonalobtidapelopro edimentodeGram-S hmidtédadamatemati amente

por

F

₁

′

= F

1

F

₂

′

= F

2

−

hF

2

, F

′

1

i

hF

′

1

, F

′

1

i

F

₁

′

F

₃

′

= F

3

−

hF

3

, F

′

2

i

hF

′

2

, F

′

2

i

F

₂

′

₋

hF

3

, F

′

1

i

hF

′

1

, F

′

1

i

F

₁

′

. . .

F

_n

′

= F

n

−

hF

n

, F

n−1

′

i

hF

′

n−1

, F

′

n−1

i

F

_n−1

′

_{− · · · −}

hF

n

, F

′

1

i

hF

′

1

, F

′

1

i

F

₁

′

Portanto,

V

′

=

h

F

₁

′

F

₂

′

. . . F

_n

′

i

(2.19)

Consequentemente, a base ortonormal será dada por

V

′

=

h

F

′

1

kF

′

1

k

F

′

2

kF

′

2

k

. . .

F

′

n

kF

′

n

k

i

2.5.2 Funções Ortogonais Ra ionais

Umafunção detransferên ia

G(z)

édita ra ionaldeordem

n

,seelaforexpressa omo arazão entre dois polinmiosem

z

. Matemati amente, temos

G(z) =

B(z)

A(z)

(2.20) naqual,

B(z) = b

1

z

n−1

+ · · · + b

n

A(z) = z

n

+ a

1

z

n−1

+ · · · + a

n

=

n

Y

k=1

(z − ξ

k

)

(27)

Alémdisso, se asfunções ra ionaissatisfazema ondição de ortogonalidadedada por

(??), então elas são funçõesortogonais ra ionais. Alguns exemplosde funções ortogonais

ra ionaissão asfunçõesde LaguerreeTakenaka-Malmquist. Aseguirapresentaremos,de

formadetalhada, asfunções de Laguerre.

2.5.3 Funções de Laguerre

O res enteinteressenautilizaçãodasfunçõesdeLaguerre,deve-seasuaapli abilidade

naárea de identi açãode sistemas. Asfunções de Laguerre possuem propriedades

atra-tivas,tais omo ortonormalidade e ompletude que desta aremos naseção seguinte. Em

suma,asfunçõesdeLaguerrepodemserutilizadaspararepresentarfunçõesde

transferên- ias estáveis. Teori amente, qualquer sistema estável pode ser representado exatamente

por uma série innita de funções de Laguerre. Obviamente, na práti a, utiliza-se uma

série nita (trun amento) da série de Laguerre. Sendo assim, o erro de trun amento

de-pende donúmerode funções utilizadase doparâmetro a que é ara terísti odas funções

de Laguerre. [11℄

Um onjunto de funçõesreais

l

1

(t), l

2

(t), . . .

formaum onjunto ortonormal no inter-valo

(0, ∞)

se elas satisfazem asseguintes propriedades.

Z

∞

0

l

_i

2

(t) dt = 1

(2.21) e

Z

∞

0

l

i

(t)l

j

(t) dt = 0,

i 6= j

(2.22)

A ondição (2.21) garante a normalidade para o onjunto de funções

l

1

(t), l

2

(t), . . .

, enquantoquea ondição(2.22)garanteaortogonalidadedasfunções

l

1

(t), l

2

(t), . . .

. Além disso,o onjuntodefunçõesortogonaisserá ompletosenãoexistirumasfunção

f (t)

om

Z

∞

0

f (t)

2

_{< ∞}

, ex etuando-se afunção identi amente nula, de modo que

Z

∞

0

(28)

Funções de Laguerre em tempo ontínuo

Asfunçõesde Laguerre formam umabase de funçõesortonormais,ouseja,satisfazem

as ondições (2.21)e (2.22). O onjuntodas funçõesde Laguerre é denido omo

l

1

(t) =

p2p · e

−pt

l

2

(t) =

p2p(−2pt + 1) · e

−pt

l

3

(t) =

p2p(+2p

2

t

2

− 4pt + 1) · e

−pt

. . .

=

. . .

l

i

(t) =

p2p

h

(−1)

i−1

(2p)

i−1

(i − 1)!

t

i−1

+ (−1)

i

(i − 1)(2p)

i−2

(i − 2)!

t

i−2

+(−1)

i−1

(i − 1)(i − 2)(2p)

i−3

2!(i − 3)!

t

i−3

_{+ · · · + 1}

i

_{· e}

−pt

na qual,

p

é um parâmetro hamado de fator de es ala do tempo para as funções de Laguerre.[42℄Na gura (2.4) mostraas 4primeiras funções de Laguerre para p= 1.

0

2

4

6

8

10 −1

−0.5

0

0.5

1

1.5 Funções de Laguerre

t

L(t)

L1

L2

L3

L4

Figura2.4: Funções de Laguerre para p = 1

Para analisarmos a inuên ia do parâmetro

p

nas funções de Laguerre mostra-se na gura (2.5) a primeira função de Laguerre para os asos em que

p

assume os seguintes valores

0, 3; 0, 5; 0, 7; 1, 0

. Do mesmo modo, traçaremos em um outro grá o a segunda função de Laguerre.

2.5.4 Método Baseado em Espaço de Estados

Para obter uma base ortonormal ao espaço formado por

{ ¯

F

1

(z), . . . , ¯

F

n

(z)}

siga as seguintes etapas.[15℄

1. Considere oespaço formadopor

n

funções de transferên iasra ionais

(29)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0.5

1

1.5 Primeira Função de Laguerre

t

L(t)

p = 0,3

p = 0,5

p = 0,7

p = 1,0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 −1

−0.5

0

0.5

1

1.5 Segunda Função de Laguerre

t

L(t)

p = 0,3

p = 0,5

p = 0,7

p = 1,0

Figura2.5: As duas primeirasfunções de Laguerre para

p = 0, 3; 0, 5; 0, 7; 1, 0

.

2. Determine o modelo de espaço de estados ontrolável

¯

x(t + 1) = ¯

A¯

x(t) + ¯

Bu(t)

om base de funções de transferên ias dada por

¯

V (z) = [ ¯

F

1

(z), . . . , ¯

F

n

(z)] = (zI − ¯

A)

−1

B

¯

Os autovalores de

A

¯

são iguais aos pólosde

{ ¯

F

1

(z), . . . , ¯

F

n

(z)}

.

3. Determine a matrizde ovariân ia

P

¯

que satisfaz aequação de Lyapunov

¯

P = ¯

A ¯

P ¯

A

T

+ ¯

B ¯

B

T

4. En ontre a raiz quadrada damatriz Tda inversa de

P

¯

,ou seja,

T ¯

P T

T

_{= I}

5. Faça a transformação

x(t) = T ¯

x(t)

. O modelo em espaço de estados transformado é dado por

x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t),

A = T ¯

AT

−1

_,

_{B = T ¯}

_B

om base de funções de transferên ias dada por

¯

(30)

2.6 Identi ação de Sistemas

Oproblemadaidenti açãode sistemas,énofundo, um aso parti ular dabus apor

leis e modelos que expliquem fenmenos naturais ou por ação do Homem. Os modelos

obtidossãodotipo aixa-preta, ousejaatravésdosimplesajustedosdadosexperimentais

amodelos de estrutura pré-denida, sem relação om des riçõesfenomenológi as. Existe

aindaapossibilidadedeseapli arté ni asde identi açãoparaseobter oe ientes para

uso em modelos a partirdas leisdaFísi a. [30℄,[13℄

A identi ação de um sistema dinâmi o a partir de dados experimentais, onsiste

naes olhade um onjuntode modelos de estrutura pré-denida. O onjunto de modelos

é uma oleção de modelos entre os quais o melhor modelo é pro urado om base nos

dados. Sendoassim, aes olhado onjunto de modelosinuen iadiretamentenamáxima

pre isãopossível domodelo identi ado. Alémdisso, o onjunto de modelos deveser tão

grandeeexívelquantopossível,am de onter,muitos andidatosde modelospossíveis.

Issoreduzirá erros estruturaisoude polarizaçãonomodelo. Noentanto,aoparametrizar

omodelo denido, o número de parâmetros deve ser tão pequeno quanto possível devido

ao prin ípio da Parsimony. Este prin ípio estabele e que a variabilidade dos modelos

identi ados aumenta om o aumento donúmero de parâmetros.

Para obtenção do onjunto de modelos iremos denir um modelo linear dinâmi o

queéformadoporduaspartes: umapartedeteminísti aeumaparteesto ásti a. Aparte

determinísti a é obtida a partir dos dados experimentais

{u(t), y(t)}

t=1,...,N

, enquanto quea parte esto ásti a éoriginadapelaperturbação no sistema (

e(t)

). Representaremos gra amenteeste modelo lineardinâmi opormeio dodiagramade blo osdagura (2.6)

(31)

2.6.1 Erro de Predição

Apartirdeumasequên iadedadosdeentradaesaídadopro esso,ouseja,

{u(t), y(t)}

t=1,2,...,N

e onsiderando um sistemalinear, invarianteno tempoe de tempodis reto.[15℄

y(t) = G

0

(q)u(t) + v(t)

naqual,

G

0

∈ H

2

,

u

é um sinal quase-esta ionário e

v

é um pro esso esto ásti o esta io-nário om densidade espe tral ra ional, representada por

v(t) = H

0

(q)e(t)

, onde

e

é um ruído bran o om média nula evariân ia

σ

2 e

e

H

0

é uma função de transferên ia mni a, istoé,

lim

|z|→∞

H

0

(z) = 1

, om

H, H

−1

0

∈ H

2

.

(32)

2.6.2 Por entagem do Erro de Predição (PEP)

A por entagem doerro de predição é denida omo

P EP =

n

X

k=1

(y(k) − ˆy(k))

2 n

X

k=1

(y(k) − ˜y)

2

× 100

(2.24)

naqual

y

˜

éo valormédio das medições

{y(k)}

e

y(k)

ˆ

são osvalorespreditos de y(k).

A PEP pode ser utilizado omo ritério de onvergên ia [25℄. Sendo assim,

utili-zando a PEP podemos obter o melhor modelo de Laguerre, ou seja, o que apresentar o

menorvalordaPEP.

2.7 Identi ação Paramétri a

Aidenti açãoparamétri asurgiudevido aofatoquemodelosnão-paramétri os,bem

omo, diagramas de Bode, diagrama de Nyquist e resposta ao degrau podem não ser

apazes de des rever ompletamente a dinâmi a do sistema. Em ontrapartida,

mode-losparamétri os tem a apa idade de obter um modelo aproximado para a dinâmi ado

sistema. Os modelos mais utilizados na identi ação paramétri a são: ARX (Auto

re-gressive), ARMAX (Auto regressive moving average with exogenous input), OE (Output

Error),FIR (Finite Impulse Response),BJ (Box-Jenkins). [34℄

2.7.1 ARX

O modelo auto-regressivo om entradas externas, ARX, onde AR é a parte

auto-regressiva,

A(q)y(t)

e

X

a entrada externa,

B(q)u(t)

pode ser obtidoa partir do modelo geral.[24℄ Omodelo ARX é dado por

A(q)y(t) =

B(q)

F (q)

u(t − n

k

) +

C(q)

D(q)

e(t)

(2.25)

omasrestrições

C(q) = D(q) = F (q) = 1

e

A(q)

e

B(q)

polinmiosarbitráriosdados por

A(q

−1

, θ) = 1 + a

1

q

−1

+ a

2

q

−2

+ · · · + a

n

a

q

−n

a

(2.26)

B(q

−1

, θ) = b

0

+ b

1

q

−1

+ b

2

q

−2

+ · · · + b

n

b

q

−n

b

(2.27) naqual

q

−1

(33)

θ := [a

1

a

2

. . . a

n

a

b

0

b

1

. . . b

n

b

]

T

∈ Θ ⊂ R

n

a

+n

b

+1

(2.28)

Sendoassim, temos:

A(q)y(t) = B(q)u(t − nk) + e(t)

(2.29)

Rees revendo a equação (2.29), obtém-se:

y(t) =

B(q)

A(q)

u(t − nk) +

1 A(q)

e(t)

(2.30)

Omodelo ARX des rito pelaequação (2.30) é ilustradonagura (2.8).

Figura2.8: Diagrama de blo os domodelo ARX

O modelo ARX é utilizado em apli ações industriais devido a sua simpli idade na

estimaçãodosparâmetrosdomodelo. Em[31℄abordaautilizaçãodomodeloARXparaa

observaçãodo omportamentodatemperaturadoreti adorde orrenteelétri autilizado

para suprimento dos motores de tração de uma Lo omotivaDiesel-Elétri a.

2.7.2 ARMAX

O modelo ARMAX é derivado do modelo linear geral om as seguintes restrições,

D(q) = F (q) = 1

. Matemati amente, temos:

y(t) =

B(q)

A(q)

u(t) +

C(q)

A(q)

e(t)

(2.31)

Odiagramade blo os domodelo ARMAX é dado nagura (2.9).

2.7.3 OE

O modelo OE é derivado do modelo linear geral om as seguintes restrições,

A(q) =

C(q) = D(q) = 1

y(t) =

B(q)

(34)

Figura 2.9: Diagramade blo os do modeloARMAX

Figura 2.10: Diagramade blo os domodelo OE

2.7.4 BJ

Omodelo BJ éderivado domodelolinear geral om arestrição,

A(q) = 1

. Matemati- amente, temos:

y(t) =

B(q)

F (q)

u(t) +

C(q)

D(q)

e(t)

(2.33)

A estrutura do modelo BJ é a estrutura mais geral,visto que utiliza quatro polinmios

distintos

B, F, C, D

. Odiagramade blo os domodelo BJ édado na gura(2.11).

(35)

2.7.5 FIR

O modelo FIR é derivado do modelo linear geral om as seguintes restrições,

C(q) =

D(q) = F (q) = 1

y(t) = B(q)u(t) + e(t)

(2.34)

OmodeloFIRéomodelolinearmais simples,sendoformadoporuma ombinaçãolinear

de atrasos su essivos,

q

−1

_{, q}

−2

_{, ..., q}

−n

. O diagrama de blo os do modelo FIR é dado na

gura(2.12).

Figura2.12: Diagrama de blo os domodelo FIR

2.8 Con lusões

Neste apítulodesta a-se alguns on eitos bási oseinformaçõessobre aárea de

iden-ti ação de sistemas. Dois métodos para onstrução de uma base ortonormal:

Pro edi-mento de ortogonalização de Gram-S himdth e método baseado em espaço de estados.

Alémdisso,uma introduçãosobre identi açãoparamétri ade sistemas. Nopróximo

(36)

Identi ação de Sistemas usando Bases

de Laguerre

AsbasesortonormaisdeLaguerresãodotadasdeboaspropriedadestais omo:

omple-tudeeortonormalidade. A ompletudegarantesuarepresentaçãopara sistemasestáveis.

Alémdisso,aidenti açãode sistemasusandoasbasesde Laguerre possibilitain orporar

um onhe imentopar ial sobre a dinâmi adosistema.

Neste apítulootermoOBF 1

-Nexibidoemalgumaslegendasde gurasdesse apítulo

deve ser entendido omo o modelo de Laguerre-N, isto é, modelo de Laguerre de ordem

N.

3.1 Introdução

As funçõesde Laguerre são denidas, nodomíniodo tempo, por

F

k

(z) =

√

1 − a

2

z − a

h

1 − az

z − a

i

k−1

,

k = 1, 2, . . .

noqual,o parâmetro a, om

a ∈ R

, espe i aa lo alizaçãode k pólos idênti os em a. O onjunto formado pelas funções

F

k

(z), k = 1, . . . , N

é onhe ido omo base de Laguerre. A base de Laguerre é adequada para representar sistemas dinâmi os que possuem pólos

reais. [15℄.

Em identi ação de sistemas, na etapa da es olha da estrutura do Modelo, é

pre- iso denir qual o tipo de estrutura a ser utilizadano modelo. Osmodelos baseados em

funçõesortonormais possibilitamquesistemas sejamrepresentados pelaseguinte série

1

(37)

G(z) =

∞

X

k=1

c

k

F

k

(3.1)

Noentanto, napráti aé desejável utilizarmodelos om bases de funçõesortonormais

de ordem N,ou seja,trun a-se asérie (3.1) om N termos. Matemati amente, temos:

G(z) ≈ G

n

(z) =

N

X

k=1

c

k

F

k

O vetor

θ = [c

1

c

2

, . . . , c

N

]

T

∈ R

n

é o vetor de parâmetros a ser denido. Aodenir a ordemdo modelo,temos o número de funções utilizadasnasérie (3.1), istoé, dene-se a

base

{F

k

(z), k = 1, . . . , N}

. Odesao éen ontrar osparâmetros

c

k

quemelhor aproxime omodelo obtido dosistema. Em[1℄foi utilizadoa base de Laguerre.

Omodelo de Laguerre pode ser expresso matemati amentepelaseguinte série

ˆ

y =

n

X

k=1

c

k

F

k

(3.2) naqual

F

1

=

z(1 − a

2

₎

1/2

1 − az

F

2

= L

1

· z − a

1 − az

. . .

=

. . .

F

n

= L

n−1

· z − a

1 − az

Observe queasfunçõesde Laguerre sãore ursivas,istoé,afunção

F

n

podeser obtida da função anterior

F

n−1

. A base

[F

1

F

2

. . . F

n

]

é onhe ida omo base de Laguerre. O modelode Laguerre de ordemn em diagramade blo os está apresentado nagura (3.1).

Na seção seguinte são mostrados alguns experimentos de identi ação usando bases de

Laguerre, onsiderando omo sinal de entrada o degrau eo PRBS.

3.2 Critério de Identi ação: Mínimos Quadrados

A partir dos dados

{u(t), y(t)}

t=1,...,N

obtidos do sistema o erro de predição de uma passo afrente rela ionado aestrutura de modelo es olhida é dadapor

(38)

Figura3.1: Modelo OBF om dinâmi a de Laguerre.

ε(t, θ) = H(q)

−1

_{[y(t) − G(q, θ)u(t)]}

= y(t) − ϕ

T

(t)θ

(3.3)

Na qual,

ϕ(t) := Γ

n

(q)u(t),

Γ

n

(q) := [F

1

(q) F

2

(q) . . . F

n

(q)]

T

Observe que a expressão (3.3) exibe uma estrutura de regressão linear para o

pro-blema de identi ação. A úni a diferença do lássi o FIR ou ARX é que as variáveis de

regressãosão versõesltradasdosinal de entrada,em vez de versõesatrasadas dos sinais

u e y. Sendoassim, o ritério dos mínimos quadrados pode ser utilizadopara estimaros

parâmetrosdo modelo OBF.

Oparâmetro estimadoporminimos quadrados é determinadopor

ˆ

θ

N

= arg min

θ∈Θ

1 N

N

X

t=1

ǫ(t, θ)

2

epodeser obtido omoumaestimativadaregressãolinearsimples,resolvendoasequações

normais

h

1 N

N

X

t=1

ϕ(t)ϕ

T

(t)

i

_{· ˆθ}

N

=

1 N

N

X

t=1

ϕ(t)y(t)

(3.4) istoé,

(39)

ˆ

θ

N

=

h

1 N

N

X

t=1

ϕ(t)ϕ

T

(t)

i

−1

_·

1 N

N

X

t=1

ϕ(t)y(t)

(3.5)

A equação (3.5) é onhe ida omo o estimador de mínimos quadrados lássi o. Para

omodelo de Laguerre

ˆ

θ

N

= [c

1

c

2

. . . c

N

]

istoé, o vetor de parâmetros representa os oe ientes domodelo de Laguerre om pólo

em a.

O sinal empregado na identi açãodo sistema deve ser apaz de ex itá-lo em todaa

faixadeinteressepois, aso ontrário,estas ara terísti asnãosãoregistradase,portanto,

o modelo identi ado não é apaz de representá-las. Geralmente, sinais de entrada om

ex itação persistente possibilitam um melhor ondi ionamento numéri o nos problemas

de estimação que utilizamo algoritmodos mínimosquadrados.

3.3 Casos de Simulação

Devido a propriedade de ompletude, ao onstruir uma base de Laguerre, todo

sis-tema será representado por um modelo de Laguerre. A seguir, iremos projetar alguns

experimentos para um sistemade 4 a

ordem.

3.3.1 Experimento 1: Sistema de 4 a

Ordem om degrau na

en-trada.

Considere um sistemadado por

y(s) =

13, 5

17, 13s

4

_{+ 56, 09s}

3

_{+ 57, 64s}

2

_{+ 20, 2s + 1}

u(s)

(3.6)

naqual,u é osinal de entrada ey é osinal de saída.

Para a identi ação, o sinal de entrada será um degrau unitárioe o modelo dado em

(3.6) foi onstruído no Simulink do Matlab, foram gerados

80

pontos om intervalo de amostragemde uma unidade de tempo para utilizar omo dados no algoritmode

identi- ação implementado no Matlab. Na gura (3.2) temos a amplitude do sinal de saída.

Nas guras (3.3), (3.4) e (3.5) os resultados obtidos das simulações do pro esso usando

o modelo de Laguerre om pólos em 0,4; 0,6 e 0,8, respe tivamente, nessa ordem. Vale

(40)

Além disso, na tabela (3.1) temos os valores da por entagem do erro de predição para

modelosimuladono Matlab.

0

100

200

300

400

500

600

0

2

4

6

8

10

12

14 Tempo em segundos

y

Figura 3.2: Amplitudedo sinal de saída dosistema (3.6).

0

10

20

30

40

50

60

70

80 −40

−30

−20

−10

0

10

20

30 k

y

sistema

OBF−2

OBF−4

OBF−6

OBF−8

OBF−10

(41)

0

10

20

30

40

50

60

70

80 −20

−15

−10

−5

0

5

10

15 k

y

sistema

OBF−2

OBF−4

OBF−6

OBF−8

OBF−10

Figura 3.4: Saída dosistema(3.6) e domodelode Laguerre om pólo a= 0,6.

0

10

20

30

40

50

60

70

80 −10

−5

0

5

10

15

20

25

30 k

y

sistema

OBF−2

OBF−4

OBF−6

OBF−8

OBF−10

(42)

Pólo OBF-2 OBF-4 OBF-6 OBF-8 OBF-10

0,4 312,1385 69,2807 22,9183 0,3362 0,0813

0,6 147,9330 61,7686 2,6308 0,1509 0,1222

0,8 191,6212 30,7012 0,7212 0,2156 0,2772

Tabela3.1: Por entagem do Erro de Predição dosistema (3.6).

Agora, analisando os dados da tabela (3.1) o melhor modelo dentre o onjunto de

pólos

{0, 4; 0, 6; 0, 8}

é oOBF-10 om póloem 0,4. Osparâmetros desse modelo são

[−185, 0711 − 38, 6553 117, 1444 82, 6584 21, 9852 2, 1275 − 0, 1381 − 0, 0474 −

0, 0036 − 0, 0001].

Ordem om AWGN e degrau

na entrada (Potên ia = 0,1).

y(s) =

13, 5

17, 13s

4

_{+ 56, 09s}

3

_{+ 57, 64s}

2

_{+ 20, 2s + 1}

u(s) +

3 6s + 1

e(s)

(3.7)

naqual,u é osinal de entrada,y éo sinal de saída e e um ruído bran o.

Para a identi ação, o sinal de entrada será um degrau unitário e o modelo dado

em (3.7) foi onstruído no Simulink do Matlab, foram gerados

80

pontos om tempo de amostragem de uma unidade de tempo para utilizar omo dados no algoritmo de

identi açãoimplementadonoMatlab. Alémdisso, oruidobran ofoigeradonosimulink

utilizando o blo o Band-Limited White -Noise e ajustando os parâmetros de tempo de

amostragem para uma unidade de tempo e potên ia do ruido em 0,1. Na gura (3.2)

temosaamplitude dosinal de saída. Nas guras(3.6), (3.7)e (3.8)osresultados obtidos

das simulações do pro esso usando o modelo de Laguerre om pólos em 0,4; 0,6 e 0,8,

respe tivamente, nessa ordem.. Vale ressaltar que foi utilizado o método do mínimos

quadrados omo ritériode identi ação. Alémdisso, natabela(3.2) temosos valoresda

(43)

0

10

20

30

40

50

60

70

80 −40

−30

−20

−10

0

10

20

30 k

y

sistema

OBF−2

OBF−4

OBF−6

OBF−8

OBF−10

0

10

20

30

40

50

60

70

80 −25

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20 k

y

sistema

OBF−2

OBF−4

OBF−6

OBF−8

OBF−10

(44)

0

10

20

30

40

50

60

70

80 −10

−5

0

5

10

15

20

25

30 k

y

sistema

OBF−2

OBF−4

OBF−6

OBF−8

OBF−10

0,4 339,6148 70,5344 23,5854 0,7449 0,3278

0,6 152,8032 60,8713 3,1613 0,4047 0,3606

0,8 199,5883 30,0566 1,1130 0,4729 0,5116

Tabela3.2: Por entagem do Erro de Predição dosistema (3.7).

pólos

{0, 4; 0, 6; 0, 8}

[−199, 7452 − 42, 6483 127, 4087 89, 7379 23, 4224 2, 1001 − 0, 1768 − 0, 0498 −

0, 0034 − 0, 0001].

y(s) =

13, 5

17, 13s

4

_{+ 56, 09s}

3

_{+ 57, 64s}

2

_{+ 20, 2s + 1}

u(s) +

3

(45)

80

amostragem para uma unidade de tempo e potên ia do ruido em 0,3. Na gura (3.2)

temos a amplitude do sinal de saída. Nas guras (3.9), (3.10) e (3.11) os resultados

obtidosdas simulaçõesdopro esso usandoomodelo de Laguerre ompólosem 0,4; 0,6 e

0,8, respe tivamente, nessa ordem. Valeressaltar que foi utilizadoo métododomínimos

por entagem doerro de predição para modelo simulado noMatlab.

0

10

20

30

40

50

60

70

80 −40

−30

−20

−10

0

10

20

30 k

y

sistema

OBF−2

OBF−4

OBF−6

OBF−8

OBF−10

(46)

0

10

20

30

40

50

60

70

80 −20

−15

−10

−5

0

5

10

15 k

y

sistema

OBF−2

OBF−4

OBF−6

OBF−8

OBF−10

Figura3.10: Saída dosistema (3.8) edo modelo de Laguerre om póloa =0,6.

0

10

20

30

40

50

60

70

80 −10

−5

0

5

10

15

20

25

30 k

y

sistema

OBF−2

OBF−4

OBF−6

OBF−8

OBF−10

(47)

0,4 322,3618 72,2876 25,7147 1,4179 0,8447

0,6 149,9339 63,5143 4,1419 0,9425 0,8847

0,8 192,1478 32,8289 1,8042 1,0014 1,0084

Tabela 3.3: Por entagem do Erro de Predição dosistema (3.8 ).

pólos

{0, 4; 0, 6; 0, 8}

[−222, 6223 − 49, 2897 145, 2583 102, 2799 26, 4373 2, 2718 − 0, 2171 − 0, 0558 −

0, 0036 − 0, 0001].

y(s) =

13, 5

17, 13s

4

_{+ 56, 09s}

3

_{+ 57, 64s}

2

_{+ 20, 2s + 1}

u(s) +

3 6s + 1

e(s)

(3.9)

naqual,u é osinal de entrada,y é o sinal de saída e e um ruído bran o.

80

amostragem para uma unidade de tempo e potên ia do ruído em 0,5. Na gura (3.2)

temos a amplitude do sinal de saída. Nas guras (3.12), (3.13) e (3.14) os resultados

obtidosdas simulaçõesdopro esso usandoomodelo de Laguerre ompólosem 0,4; 0,6 e

0,8, respe tivamente, nessa ordem. Valeressaltar que foi utilizadoo métododomínimos